1、 中考数学 （山东专用） 第八章 专题拓展 8.3 几何变换综合问题 1.(2020福建,24,12分)如图,ADE由ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到,且点B的对应点D恰好落在BC 的延长线上,AD,EC相交于点P. (1)求BDE的度数; (2)F是EC延长线上的点,且CDF=DAC. 判断DF和PF的数量关系,并证明; 求证:=. EP PF PC CF 解析解析 本小题考查旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性 质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识,考查推理能力,考查化归与转化思想. (1)由旋转的性质可知,AB=AD,BAD=90,AB
2、CADE, 在RtABD中,B=ADB=45, ADE=B=45, BDE=ADB+ADE=90. (2)DF=PF. 证明:由旋转的性质可知,AC=AE,CAE=90, 在RtACE中,ACE=AEC=45, CDF=CAD,ACE=ADB=45, ADB+CDF=ACE+CAD, 即FPD=FDP,DF=PF. 证明:过点P作PHED交DF于点H, HPF=DEP,=, DPF=ADE+DEP=45+DEP, DPF=ACE+DAC=45+DAC, DEP=DAC,又CDF=DAC, DEP=CDF,HPF=CDF, 又FD=FP,F=F,HPFCDF, HF=CF,DH=PC, EP P
3、F DH HF 又=,=. 说明:本参考答案仅给出一种解法供参考. EP PF DH HF EP PF PC CF 一题多解一题多解 (2)设5=6=, 由(1)知A、C、D、E四点共圆, 1=2. 又AC=AE,CAE=90, 3=2=45,1=2=45, PDF=1+5=45+, DPF=3+6=45+, PDF=DPF,PF=DF. 证法一:EPD=APC,EDP=45=ACP, DEP=CAP, 又FDC=CAD,DEP=FDC, 在FDC和FED中,FDC=DEP,CFD=DFE, FDCFED,=, =, 又DF=PF,=,=. 证法二:A、C、D、E四点共圆,4=6. 又5=6,
4、4=5, 又F是公共角,DEFCDF, =, FE FD FD FC -FE FD FD -FD FC FC EP FD PC FC EP PF PC CF EF DF DF CF =,=,=. EF PF PF CF -EF PF PF -PF CF CF PE PF PC CF 2.(2020浙江杭州,23,12分)如图,已知AC,BD为O的两条直径,连接AB,BC,OEAB于点E,点F是半径OC的 中点,连接EF. (1)设O的半径为1,若BAC=30,求线段EF的长; (2)连接BF,DF,设OB与EF交于点P. 求证:PE=PF; 若DF=EF,求BAC的度数. 解析解析 (1)因为
5、OEAB,BAC=30,OA=1, 所以AOE=60,OE=OA=,AE=. 又因为点F是半径OC的中点,所以OF=OC=, 所以OE=OF,所以OFE=AOE=30,所以BAC=OFE. 所以EF=AE,所以EF=. (2)作FGAB于点G,与BO交于点H,连接EH. 证明:因为AC为O的直径,所以ABC=90, 所以FGBC,所以OFHOCB, 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 3 2 所以=,同理=, 所以FH=OE. 又因为FHOE,所以四边形OEHF是平行四边形, 所以PE=PF. 因为OEFGBC, FH BC OF OC 1 2 OE BC 1 2 所以=1, 所以
6、EG=GB,所以EF=BF. 因为DF=EF,所以DF=BF. 因为DO=BO,所以FOBD. 所以AOB是等腰直角三角形,所以BAC=45. EG GB OF FC 思路分析思路分析 (1)利用解直角三角形、等腰三角形的性质及判定,求出EF的值.(2)过点F作FGAB于点G,交 BD于点H,连接EH.由FGBC,OEBC推得FH=OE,判断出四边形OEHF是平行四边形,又由平行四边形 的对角线互相平分,得PE=PF.根据平行线分线段成比例,可知G是EB的中点,即EG=GB.由FGAB,EG= GB可知EF=BF,故DF=BF.因为O是BD的中点,根据等腰三角形的性质可得FO与BD互相垂直,即
7、可求出 BAC. 3.(2019辽宁铁岭,25,12分)如图,在ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,交线段BC于点E(点E与点C不重合),点 F为AC上一点,点G为AB上一点(点G与点A不重合),且GEF+BAC=180. (1)如图1,当B=45时,线段AG和CF的数量关系是 ; (2)如图2,当B=30时,猜想线段AG和CF的数量关系,并加以证明; (3)若AB=6,DG=1,cos B=,请直接写出CF的长. 3 4 解析解析 (1)如图1,连接AE, DE垂直平分AB, AE=BE, BAE=B=45, AEBC, AB=AC, BE=EC=AE,BAE=EAC=C=45, GEF
8、+BAC=180, AGE+AFE=360-180=180, AFE+CFE=180, AGE=CFE, GAE=C=45, AEGCEF(AAS), AG=CF. 故答案为AG=CF. (2)AG=CF. 理由:如图2,连接AE, 1 2 AB=AC,B=C=30, BAC=120, DE垂直平分AB,AE=BE, BAE=B=30, CAE=90,BAE=C, GEF+BAC=180, AGE+AFE=180, CFE+AFE=180, AGE=CFE, AGECFE, =, 在RtACE中,C=30, =sin C=,=, AG=CF. (3)当G在DA上时,如图3,连接AE, DE垂直
9、平分AB, AG CF AE CE AE CE 1 2 AG CF 1 2 1 2 AD=BD=3,AE=BE, cos B=, BE=4, AE=BE=4,BAE=B, AB=AC,B=C, C=BAE, GEF+BAC=180, AGE+AFE=360-180=180, AFE+CFE=180, BD BE cos BD B 3 3 4 CFE=AGE, CFEAGE,=, 过A作AHBC于点H, cos B=, BH=AB=6=, AB=AC, BC=2BH=9, BE=4,CE=9-4=5, AG=AD-DG=3-1=2, CF AG CE AE BH AB 3 4 3 4 3 4 9
10、 2 =,CF=2.5. 当点G在BD上时,如图4, 同(1)可得,CFEAGE, =, AG=AD+DG=3+1=4,=, CF=5. 综上所述,CF的长为2.5或5. 2 CF5 4 CF AG CE AE 4 CF5 4 4.(2019济宁,22,11分)如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是CD边上一点,连接AE,将矩形ABCD沿AE折 叠,顶点D恰好落在BC边上点F处,延长AE交BC的延长线于点G. (1)求线段CE的长; (2)如图2,M,N分别是线段AG,DG上的动点(与端点不重合),且DMN=DAM,设AM=x,DN=y. 写出y关于x的函数解析式,并求出y的最小
11、值; 是否存在这样的点M,使DMN是等腰三角形?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由. 解析解析 (1)四边形ABCD是矩形, AD=BC=10,AB=CD=8, B=BCD=90, 由翻折可知:AD=AF=10,DE=EF. 设EC=a,则DE=EF=8-a. 在RtABF中,BF=6, CF=BC-BF=10-6=4. 在RtEFC中,(8-a)2=a2+42, a=3,EC=3. (2)ADCG,ADEGCE, 22 -AFAB =,=,CG=6, BG=BC+CG=16. 在RtABG中,AG=8, 在RtDCG中,DG=10, AD=DG=10, DAG=AGD, DMG=DM
12、N+NMG=DAM+ADM,DMN=DAM, ADM=NMG, ADMGMN,=, AD CG DE CE 10 CG 5 3 22 8165 22 68 AD GM AM GN =,y=x2-x+10. 当x=4时,y取最小值,最小值为2. 存在.有两种情形:如图,当MN=MD时, MDN=GDM,DMN=DGM, DMNDGM, 10 8 5-x10- x y 1 10 4 5 5 5 =, MN=DM,DG=GM=10, x=AM=8-10. 如图,当MN=DN时,作MHDG于H. DM DG MN GM 5 MN=DN,MDN=DMN, DMN=DGM,MDG=MGD,MD=MG, M
13、HDG,DH=GH=5. 易证GHMGBA,可得=, =,MG=, x=AM=8-=. 综上所述,满足条件的x的值为8-10或. GH GB MG AG 5 168 5 MG5 5 2 5 5 5 2 11 5 2 5 11 5 2 5.(2019菏泽,23,10分)如图,ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,BAC=DAE=90. (1)如图1,连接BE,CD,BE的延长线交AC于点F,交CD于点P,求证:BPCD; (2)如图2,把ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时,连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,若BC=6, AD=3,求PDE的面积. 2 解析解析 (1)证明:
14、ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,BAC=DAE=90, AD=AE,AB=AC,BAC-EAF=EAD-EAF, BAE=DAC. 在ABE与ACD中, ABEACD(SAS), ABE=ACD. ABE+AFB=ABE+CFP=90, ACD+CFP=90, CPF=90.BPCD. , , , ABAC BAECAD AEAD (2)在ABE与ACD中, ABEACD(SAS), ABE=ACD,BE=CD. PDB=ADC,BPD=CAB=90, EPD=90,则PDE为直角三角形. BC=6,AD=3, DE=3,AB=6, BD=6-3=3,CD=3. 易知BDPCDA,
15、=, , 90?, , AEAD EABDAC ABAC 2 2 22 ADAC5 BD CD PD AD PB AC =,PD=,PB=, PE=3-=, PDE的面积=. 3 3 53 PD 6 PB3 5 5 6 5 5 5 6 5 5 9 5 5 1 2 9 5 5 3 5 5 27 10 思路分析思路分析 (1)根据等腰直角三角形的性质得到AD=AE,AB=AC,BAC=DAE=90,则BAC-EAF= EAD-EAF,求得BAE=DAC,根据全等三角形的性质得到ABE=ACD,根据余角的性质即可得到结 论; (2)根据全等三角形的性质得到ABE=ACD,BE=CD,求得EPD=90,得到DE=3,AB=6,解得BD=6-3= 3,CD=3,根据相似三角形的性质得到PD=,PB=,根据直角三角形的面积公式即可 得到结论. 2 22 ADAC5 3 5 5 6 5 5
