1、 中考数学 （山东专用） 第五章 圆 5.1 圆的有关概念与性质 A组 20162020年山东中考题组 考点一 圆的有关概念和垂径定理 1.(2020聊城,9,3分)如图,AB是O的直径,弦CDAB,垂足为点M,连接OC,DB.如果OCDB,OC=2,那么 图中阴影部分的面积是( ) A. B.2 C.3 D.4 3 答案答案 B 连接OD,BC, 由垂径定理易知DM=CM,COB=BOD, OCBD,COB=OBD, BOD=OBD,OB=OD=DB, BOD是等边三角形, BOD=60, BOC=60, DM=CM,SOBC=SOBD, OCDB,SOBD=SCBD,SOBC=SDBC,
2、图中阴影部分的面积=2.故选B. 2 60 (2 3) 360 思路分析思路分析 连接OD,BC,根据垂径定理得到DM=CM,COB=BOD,进一步推出BOD是等边三角形,得 到BOC=60,然后根据扇形的面积公式即可得到结论. 2.(2020滨州,9,3分)在O中,直径AB=15,弦DEAB于点C,若OCOB=35,则DE的长为( ) A.6 B.9 C.12 D.15 答案答案 C 连接OD.由已知得BO=7.5, OCOB=35,CO=4.5, DC=6, 又DEAB于点C,DE=2DC=12. 22 -DO CO 3.(2018菏泽,6,3分)如图,在O中,OCAB,ADC=32,则O
3、BA的度数是( ) A.64 B.58 C.32 D.26 答案答案 D 由垂径定理得=,又ADC=32, BOC=2ADC=64,OBA=90-64=26. AC BC 4.(2019东营,16,4分)如图,AC是O的弦,AC=5,点B是O上的一个动点,且ABC=45,若点M、N分别是 AC、BC的中点,则MN的最大值是 . 答案答案 5 2 2 解析解析 易知MN为ABC的中位线,MN=AB, 当AB取得最大值时,MN就取得最大值. 当AB是直径时,AB最大, 连接AO并延长交O于点B,连接CB, AB是O的直径, ACB=90. ABC=45,AC=5, ABC=45, AB=5, 1
4、2 5 2 2 2 MN最大=AB=. 1 2 5 2 2 思路分析思路分析 由三角形中位线定理得MN=AB,将求MN的最大值转化为求AB的最大值,当AB是直径时,AB 最大,即可求出MN的最大值. 1 2 考点二 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系 1.(2019菏泽,6,3分)如图,AB是O的直径,C,D是O上的两点,且BC平分ABD,AD分别与BC,OC相交于点 E,F,则下列结论不一定成立的是( ) A.OCBD B.ADOC C.CEFBED D.AF=FD 答案答案 C 由圆周角定理的推论和角平分线得ADB=90,OBC=DBC,由等腰三角形的性质得OCB =OBC,故DBC=OCB
5、,所以OCBD,选项A成立; 由OCBD,BDA=90得ADOC,选项B成立; 由垂径定理得AF=FD,选项D成立; 由条件推不出CEF与BED全等,选项C不成立,故选C. 2.(2019滨州,6,3分)如图,AB为O的直径,C,D为O上两点,若BCD=40,则ABD的大小为( ) A.60 B.50 C.40 D.20 答案答案 B 连接AD, AB为O的直径, ADB=90. BCD=40, A=BCD=40, ABD=90-40=50. 3.(2017青岛,6,3分)如图,AB是O的直径,点C,D,E在O上,若AED=20,则BCD的度数为( ) A.100 B.110 C.115 D.
6、120 答案答案 B 连接AC. AED=20,ACD=AED=20. AB是O的直径,ACB=90, BCD=ACD+ACB=20+90=110.故选B. 4.(2019威海,12,3分)如图,P与x轴交于点A(-5,0),B(1,0),与y轴的正半轴交于点C,若ACB=60,则点C的纵 坐标为( ) A.+ B.2+ C.4 D.2+2 13323 22 答案答案 B 连接PA、PB、PC,过点P分别作PFAB,PEOC,垂足为F,E. 由题意可知四边形PFOE为矩形, PE=OF,PF=OE. ACB=60,APB=120. PA=PB,PAB=PBA=30. PFAB,AF=BF=3.
7、PE=OF=2. tan 30=,cos 30=, PF=,AP=2. OE=,PC=2. 在RtPEC中,CE=2, OC=CE+EO=2+,即点C的纵坐标为2+. PF AF AF AP 33 33 22 -PC PE2 2323 考点三 圆内接三角形、四边形 1.(2020泰安,8,4分)如图,ABC是O的内接三角形,AB=BC,BAC=30,AD是直径,AD=8,则AC的长为 ( ) A.4 B.4 C. D.2 3 8 3 33 答案答案 B 连接CD,AD是直径,ACD=90. AB=BC,BAC=30, ACB=BAC=30,B=180-30-30=120, D=180-B=60
8、,CAD=30, AD=8,CD=AD=4, AC=4. 1 2 22 -AD CD 22 8 -43 思路分析思路分析 连接CD,由等腰三角形的性质得ACB=BAC=30,进而求得B,根据圆内接四边形的性质 得到D=180-B=60,求得CAD=30,根据含30角的直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论. 2.(2019德州,9,4分)如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若ABC=40,则ADC的度数 是( ) A.130 B.140 C.150 D.160 答案答案 B 连接OA,OD,由题意得OA=OB=OC=OD,作出圆O,如图所示, 四边形ABCD为圆O的内接四
9、边形, ABC+ADC=180, ABC=40,ADC=140, 故选B. 思路分析思路分析 根据线段的等量关系,构造以O为圆心的圆,得四边形ABCD为圆内接四边形,从而解决问题. 3.(2018烟台,10,3分)如图,四边形ABCD内接于O,点I是ABC的内心,AIC=124,点E在AD的延长线上, 则CDE 的度数为( ) A.56 B.62 C.68 D.78 答案答案 C 由AIC=124,知IAC+ICA=180-AIC=180-124=56, 点I是ABC的内心, 点I是ABC三个内角的平分线的交点, BAC+BCA =562=112, ABC=180-(BAC+BCA)=180-
10、112=68. 四边形ABCD内接于O,ABC+ADC=180, 又ADC+CDE=180,CDE=ABC=68. 4.(2020聊城,14,3分)如图,在O中,四边形OABC为菱形,点D在上,则ADC的度数是 . AmC 答案答案 60 解析解析 四边形ABCD内接于O, B+D=180, 四边形OABC为菱形, B=AOC, D+AOC=180, 又AOC=2D, 3D=180, ADC=60. 思路分析思路分析 根据菱形的性质得出B=AOC,根据圆内接四边形的性质得出B+D=180,即可得出D +AOC=180,根据圆周角定理得出3D=180,即可求得ADC=60. 5.(2016潍坊,
11、21,8分)正方形ABCD内接于O,如图所示,在劣弧上取一点E,连接DE、BE,过点D作DF BE交O于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点G. 求证:(1)四边形EBFD是矩形; (2)DG=BE. AB 证明证明 (1)四边形ABCD是正方形, BAD=BCD=90, BED=BAD=90,BFD=BCD=90, 又DFBE,EDF+BED=180, EDF=90,四边形EBFD是矩形. (2)正方形ABCD内接于O, 所对圆心角AOD的度数是90, AFD=45, 又GDF=90,DGF=DFG=45,DG=DF, 又在矩形EBFD中,BE=DF, DG=BE. AD 思路分析思路
12、分析 (1)要证明四边形EBFD是矩形,需证明四边形EBFD的三个角是直角,先根据在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角相等及正方形的性质,得到BED=BFD=90,再根据两直线平行,同旁内角互 补求得第三个角是直角即可.(2)根据圆周角与它所对弧的关系求得AFD=45,则DFG为等腰直角三角 形,则DF=DG,再根据矩形的对边相等得到DF=BE,从而BE=DG. B组 20162020年全国中考题组 考点一 圆的有关概念和垂径定理 1.(2020海南,10,3分)如图,已知AB是O的直径,CD是弦,若BCD=36,则ABD等于( ) A.54 B.56 C.64 D.66 答案答案 A 根
13、据圆周角定理的推论得BCD=A, BCD=36,A=36,根据直径所对的圆周角是直角可得ADB=90,ABD=90-36=54,故选A. 2.(2019内蒙古赤峰,10,3分)如图,AB是O的弦,OCAB交O于点C,点D是O上一点,ADC=30,则 BOC的度数为( ) A.30 B.40 C.50 D.60 答案答案 D ADC=30,AOC=2ADC=60. AB是O的弦,OCAB交O于点C,=. BOC=AOC=60. AC BC 思路分析思路分析 由圆周角定理得AOC=2ADC=60,然后根据垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求得 BOC的度数. 3.(2019广西梧州,11,3分)如图,
14、在半径为的O中,弦AB与CD交于点E,DEB=75,AB=6,AE=1,则CD的 长是( ) A.2 B.2 C.2 D.4 13 610113 答案答案 C 连接OB,OD,OE,过O分别作OFAB于F, OGDC于G, AF=FB=AB=6=3,DC=2DG. 在RtOFB中,OF=2. 又EF=AF-AE=3-1=2=OF, OEF为等腰直角三角形, OEF=45,OE=2, 1 2 1 2 22 -OB FB13-9 2 OEG=75-45=30. 在RtOEG中,OG=OE=2=. 在RtOGD中,DG=, DC=2DG=2,故选C. 1 2 1 2 22 22 ( 13) -( 2
15、)11 11 思路分析思路分析 连接OB,OD,OE,过O分别作OFAB于F,OGDC于G.由垂径定理可知,FB=AB=3,CD=2DG, 根据勾股定理可求出OF=2,再得出EF=2,从而可得OEF=45,结合DEB=75可得OEG=30,进而求出 OG=OE=,再由勾股定理得出DG的长,由CD=2DG即可得解. 1 2 1 2 2 方法总结方法总结 本题考查垂径定理、勾股定理以及直角三角形中30角的性质,根据题意作出辅助线,构造出直 角三角形是解答此题的关键. 4.(2020四川成都,13,4分)如图,A,B,C是O上的三个点,AOB=50,B=55,则A的度数为 . 答案答案 30 解析解
16、析 如图所示,设AC与OB交于点D. AOB与ACB所对的弧为同弧, ACB=AOB=50=25, 又B=55,CDB=180-ACB-B=100, ODA=CDB=100, A=180-AOD-ODA=30. 1 2 1 2 5.(2019江苏苏州,17,3分)如图,扇形OAB中,AOB=90.P为上的一点,过点P作PCOA,垂足为C,PC与 AB交于点D.若PD=2,CD=1,则该扇形的半径长为 . AB 答案答案 5 解析解析 连接OP,设该扇形的半径为r. AOB=90,OA=OB, OAB=45. PCOA,PCA=90. CA=CD=1. 在RtPOC中,PCO=90, OP2-O
17、C2=PC2, 即r2-(r-1)2=32. 解得r=5. 考点二 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系 1.(2020福建,9,4分)如图,四边形ABCD内接于O,AB=CD,A为的中点,BDC=60,则ADB等于( ) A.40 B.50 C.60 D.70 BD 答案答案 A 连接OA,OB,OC, AB=CD,A为的中点, =. BDC=60,BOC=260=120, AOB=(360-120)3=80. ADB=40. BD AB CD AD 方法指导方法指导 圆中,弧所对的圆心角度数与弧的度数相同,弧所对的圆周角度数是弧的度数的一半. 2.(2020河北,14,2分)有一题目:“已知:
18、点O为ABC的外心,BOC=130,求A.”嘉嘉的解答为:画ABC 以及它的外接圆O,连接OB,OC,如图所示.由BOC=2A=130,得A=65.而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周 全,A还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是( ) A.淇淇说的对,且A的另一个值是115 B.淇淇说的不对,A就得65 C.嘉嘉求的结果不对,A应得50 D.两人都不对,A应有3个不同值 答案答案 A 若点A在弦BC的下方,此时A所对的弧所对的圆心角是360-130=230,根据圆周角定理得A =115,故选A. 3.(2019广西柳州,6,3分)如图,A,B,C,D是O上的点,则图中与A相等的角是( ) A.B B
19、.C C.DEB D.D 答案答案 D A所对的弧为,而所对的圆周角有A和D,因此A=D.故选D. BC BC 4.(2019广西贵港,9,3分)如图,AD是O的直径,=,若AOB=40,则圆周角BPC的度数是( ) A.40 B.50 C.60 D.70 AB CD 答案答案 B 在O中,=,AOB=40, AOB=COD=40. BOC=180-AOB-COD=180-40-40=100. 在O中,BPC=BOC=100=50.故选B. AB CD 1 2 1 2 5.(2018四川自贡,9,4分)如图,若ABC内接于半径为R的O,且A=60,连接OB、OC,则边BC的长为 ( ) A.R
20、 B.R C.R D.R 3 2 2 2 3 答案答案 D 作OHBC于H.BOC=2A=120, 因为OHBC,OB=OC,所以BH=HC,BOH=HOC=60, 在RtBOH中,BH=OB sin 60=R, 所以BC=2BH=R. 3 2 3 6.(2019湖南株洲,16,3分)如图所示,AB为O的直径,点C在O上,且OCAB,过点C的弦CD与线段OB相交 于点E,满足AEC=65,连接AD,则BAD= 度. 答案答案 20 解析解析 连接OD,如图. OCAB,COE=90, AEC=65,OCE=90-65=25, OC=OD,ODC=OCE=25, DOC=180-25-25=13
21、0,BOD=DOC-COE=40, BAD=BOD=20. 故答案为20. 1 2 考点三 圆内接三角形、四边形 1.(2020辽宁营口,7,3分)如图,AB为O的直径,点C,点D是O上的两点,连接CA,CD,AD,若CAB=40,则 ADC的度数是( ) A.110 B.130 C.140 D.160 答案答案 B 连接CB,AB是O的直径,ACB=90,ABC=90-CAB=50.四边形ADCB是圆内接 四边形,ADC=180-ABC=130.故选B. 2.(2020陕西,9,3分)如图,ABC内接于O,A=50.E是边BC的中点,连接OE并延长,交O于点D,连接BD, 则D的大小为( )
22、 A.55 B.65 C.60 D.75 答案答案 B 连接CD.由四边形ABDC是圆内接四边形可知,A+BDC=180.A=50,BDC=130. E为BC的中点,=,BD=CD,ODB=BDC=65.故选B. BD CD 1 2 解后反思解后反思 由点A,B,C,D都在圆上,且A=50,可联想到圆内接四边形的性质,从而可知A与BDC的 数量关系.由弦的中点可联想垂径定理,从而知ODB与BDC的数量关系. 3.(2019甘肃兰州,6,4分)如图,四边形ABCD内接于O,若A=40,则C=( ) A.110 B.120 C.135 D.140 答案答案 D 由圆的内接四边形的性质可得A+C=1
23、80,C=180-40=140,故选D. 4.(2019江苏镇江,15,3分)如图,四边形ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径,=.若C=110,则 ABC的度数为( ) A.55 B.60 C.65 D.70 DC CB 答案答案 A 连接AC,四边形ABCD是半圆的内接四边形,DAB=180-DCB=70. =, CAB=DAB=35, AB是直径,ACB=90, ABC=90-CAB=55,故选A. DC CB 1 2 5.(2018安徽,20,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2
24、)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长. BC 解析解析 (1)尺规作图如图所示. (2)连接OE交BC于M,连接OC. 因为BAE=CAE,所以=, 易得OEBC,所以EM=3.RtOMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5, 所以MC2=OC2-OM2=25-4=21. BE EC RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30,所以弦CE的长为. 30 思路分析思路分析 对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由BAE=CAE可得=,可推出OEBC,最后利 用勾股定理求出CE. BE EC 知识拓展知识拓展 (1)三角形的外心是三角形的外接圆的圆心,是三边垂
25、直平分线的交点,它到三角形三个顶点的 距离相等. (2)三角形的内心是三角形的内切圆的圆心,它是三个角的平分线的交点,它到三角形三条边的距离相等. 6.(2019辽宁大连,23,10分)如图1,四边形ABCD内接于O,AC是O的直径,过点A的切线与CD的延长线相 交于点P,且APC=BCP. (1)求证:BAC=2ACD; (2)过图1中的点D作DEAC,垂足为E(如图2).当BC=6,AE=2时,求O的半径. 解析解析 (1)证明:AC是O的直径,ABC=90, PA是O的切线,PAAC, PAC=90, APC=90-ACD, BCD=APC, BCD=90-ACD, ACB=BCD-AC
26、D=90-2ACD, BAC=90-ACB=90-(90-2ACD)=2ACD. (2)连接DO并延长,与BC交于点F,如图. AOD=2ACD,BAC=2ACD, AOD=BAC, DFAB, DFC=ABC=90,DFBC, BF=FC=3, DEAC, DEO=DFC=90, DOE=COF,OD=OC, DOECOF, DE=FC=3, 在RtDOE中,OD2=DE2+OE2,即OD2=32+(OD-2)2, 解得OD=,即O的半径为. 13 4 13 4 C组 教师专用题组 考点一 圆的有关概念和垂径定理 1.(2017四川阿坝州,7,4分)如图,将半径为2 cm的圆形纸片折叠后,圆
27、弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为 ( ) A.2 cm B. cm C.2 cm D.2 cm 353 答案答案 D 如图,过点O作ODAB,交AB于点D,连接OA, OA=2OD=2 cm, AD=(cm), ODAB,AB=2AD=2 cm. 22 -OA OD 22 2 -13 3 2.(2017四川雅安,15,3分)O的直径为10,弦AB长为6,点P是弦AB上一点,则OP的取值范围是 . 答案答案 4OP5 解析解析 如图,连接OA,作OMAB于M, O的直径为10, OA=5, OP的最大值为5, OMAB于点M,AM=BM, AB=6,AM=3, 在RtAOM中,OM=4, OM
28、的长即为OP长的最小值,4OP5. 22 -OA AM 3.(2020宁夏,12,3分)我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材 埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不 知其大小.用锯去锯这木材,锯口深ED=1寸,锯道长AB=1尺(1尺=10寸).这根圆柱形木材的直径是 寸. 答案答案 26 解析解析 由垂径定理可知OE垂直平分AB,AD=5寸,设半径OA=x寸,则OD=(x-1)寸.在RtAOD中,AD2+OD2 =OA2,52+(x-1)2=x2,解得x=13,直径为26寸. 考点二 圆心角、圆周
29、角、弧、弦之间的关系 1.(2016广西南宁,9,3分)如图,点A,B,C,P在O上,CDOA,CEOB,垂足分别为D,E,DCE=40,则P的度 数为( ) A.140 B.70 C.60 D.40 答案答案 B DCE=40,CDOA,CEOB,DOE=180-40=140,P=AOB=70.故选B. 1 2 2.(2020浙江杭州,9,3分)如图,已知BC是O的直径,半径OABC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合),BD 与OA交于点E.设AED=,AOD=,则( ) A.3+=180 B.2+=180 C.3-=90 D.2-=90 答案答案 D 如图,连接AB,则DBA=DOA=
30、,DEA=DBA+OAB=.OA=OB,BOA=90, OAB=45,=+45,2-=90,故选D. 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 连接AB,利用一条弦所对的圆周角等于圆心角的一半,可得到DBA=,利用三角形外角的性 质,可得DBA+OAB=,再证明OAB=45,进而可得和之间的关系式. 1 2 方法总结方法总结 圆中求角度的问题,优先考虑运用圆周角定理及其推论,因此先要找出图形中的圆心角或圆周 角,再看所求角与这些特殊角之间的关系.此外还应注意题干中的一些隐含条件,一般会涉及等腰三角形的 性质,三角形内角和定理,三角形外角的性质等. 3.(2018青岛,5,3分)如图,点A、B、
31、C、D在O上,AOC=140,点B是的中点,则D的度数是( ) A.70 B.55 C.35.5 D.35 AC 答案答案 D 如图,连接OB. 点B是的中点,=, AOB=AOC=140=70, D=AOB=70=35. AC AB BC 1 2 1 2 1 2 1 2 4.(2018江苏盐城,7,3分)如图,AB为O的直径,CD是O的弦,ADC=35,则CAB的度数为( ) A.35 B.45 C.55 D.65 答案答案 C 由“同弧所对的圆周角相等”得ABC=ADC=35,再由“直径所对的圆周角为直角”得 ACB=90,所以CAB=90-ABC=90-35=55. 5.(2019陕西,
32、9,3分)如图,AB是O的直径,EF、EB是O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF.若AOF =40,则F的度数是( ) A.20 B.35 C.40 D.55 答案答案 B 连接OE.EF=EB,EOF=EOB. AOF=40,BOF=180-AOF=140, EOF=EOB=(360-140)=110. OE=OF,F=OEF=(180-EOF)=35,故选B. 1 2 1 2 6.(2018福建,24,12分)已知四边形ABCD是O的内接四边形,AC是O的直径,DEAB,垂足为E. (1)延长DE交O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB; (2)过点B作B
33、GAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB=,DH=1,OHD= 80,求BDE的大小. 3 图1 图2 解析解析 (1)证明:AC是O的直径,ABC=90. 又DEAB,DEA=90. DEA=ABC,BCDF,F=PBC. 四边形BCDF是圆内接四边形, F+DCB=180, 又PCB+DCB=180, F=PCB,PBC=PCB,PC=PB. (2)连接OD,AC是O的直径,ADC=90, 又BGAD,AGB=90, ADC=AGB,BGDC. 由(1)知BCDE,四边形DHBC为平行四边形, BC=DH=1. 在RtABC中,AB=,tanACB=,
34、 ACB=60,CAB=30. 3 AB BC 3 从而BC=AC=OD,DH=OD. 在等腰DOH中,DOH=OHD=80, ODH=20. 设DE交AC于N.BCDE,ONH=ACB=60. NOH=180-(ONH+OHD)=40, DOC=DOH-NOH=40, CBD=OAD=20. BCDE,BDE=CBD=20. 1 2 一题多解一题多解 (1)证明:易证DFBC,从而CD=BF,且=1,PB=PC. (2)连接OD,设BDE=x,则EBD=90-x, 易证四边形BCDH为平行四边形, BC=DH=1,AB=,CAB=30,AC=2, ADB=ACB=60, OD=OA=1=DH
35、, ODH=180-2OHD=180-280=20, OAD=ODA=ADB-(ODH+x)=60-(20+x)=40-x. 又AOD=2ABD, 180-2(40-x)=2(90-x),解得x=20,即BDE=20. PC PB CD BF 3 7.(2019吉林长春,18,7分)如图,四边形ABCD是正方形,以边AB为直径作O,点E在BC边上,连接AE交O于 点F,连接BF并延长交CD于点G. (1)求证:ABEBCG; (2)若AEB=55,OA=3,求的长.(结果保留) BF 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是正方形,AB为直径,F为O上的一点,ABE=BCG=AFB=90, BA
36、F+ABF=90,ABF+EBF=90,EBF=BAF. 在ABE和BCG中, ABEBCG(ASA). (2)连接OF,ABE=AFB=90,AEB=55. BAE=90-55=35,BOF=2BAE=70. OA=3,的长=. , , , BAFEBF ABBC ABEBCG BF 703 180 7 6 思路分析思路分析 (1)要证ABEBCG,根据正方形的性质,已经有一组边和一组直角对应相等,再根据直径所 对的圆周角是直角,同角的余角相等得到BAF=EBF,最后利用ASA证明即可; (2)要求弧长,必须求出弧所在圆的半径和弧所对的圆心角度数,本题半径已知,通过连接OF,构造出圆心角,
37、把它转移到同弧所对的圆周角来计算即可. 考点三 圆内接三角形、四边形 1.(2019贵州铜仁,13,4分)如图,四边形ABCD为O的内接四边形,A=100,则DCE的度数为 . 答案答案 100 解析解析 四边形ABCD为O的内接四边形, A+DCB=180, 又DCB+DCE=180, DCE=A=100. 2.(2018四川内江,24,6分)已知ABC的三边a、b、c满足a+b2+|c-6|+28=4+10b,则ABC的外接圆半径 = . -1a 答案答案 25 8 解析解析 a+b2+|c-6|+28=4+10b, (a-1-4+4)+(b2-10b+25)+|c-6|=0, (-2)2
38、+(b-5)2+|c-6|=0, -2=0,b-5=0,c-6=0, 解得a=5,b=5,c=6, AC=BC=5,AB=6, 作CDAB于点D,则AD=3,CD=4, 设ABC的外接圆的半径为r,则OC=r,OD=4-r,OA=r,32+(4-r)2=r2,解得r=. -1a -1a -1a -1a 25 8 设计意图设计意图 本题巧妙地把外接圆与非负数性质结合起来,先用非负数的性质求出三边长,再用勾股定理把 外接圆的半径与三角形的边长联系起来,难度不大, 但需要一定的思维能力. 3.(2018江苏扬州,15,3分)如图,已知O的半径为2,ABC内接于O,ACB=135,则AB= . 答案答
39、案 2 2 解析解析 在优弧上任取一点D,ACB=135则ADB=45,AOB=90,OAB为等腰直角三角形, OA=OB=2,AB=2. AB 2 4.(2017安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD于BC,过点C作CEAD交ABC 的外接圆O于点E,连接AE. (1)求证:四边形AECD为平行四边形; (2)连接CO,求证:CO平分BCE. 不平行 证明证明 (1)B=D,B=E,D=E. CEAD,E+DAE=180. D+DAE=180.AEDC. 四边形AECD是平行四边形.(5分) (2)过点O作OMEC,ONBC,垂足分别为M、N. 四边形AECD
40、是平行四边形,AD=EC. 又AD=BC,EC=BC, OM=ON,CO平分BCE.(10分) 思路分析思路分析 (1)根据“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等”可推出E=B,再由D=B,CEAD 可推出AEDC,问题得证;(2)作OMCE,ONBC,垂足分别为M、N,由已知及(1)得出CE=BC,再根据“同 一个圆内等弦对应的弦心距相等”可得OM=ON,从而由角平分线的判定定理可得结论. 解题关键解题关键 抓住“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等及同圆内等弦对应的弦心距相等”是解决本 题的关键. A组 20182020年模拟基础题组 时间:30分钟 分值:40分 一、选择题(每小题3分,
41、共15分) 1.(2020临沂平邑一模,9)如图,AB是O的直径,若AOC=140,则D的度数是( ) A.20 B.30 C.40 D.70 答案答案 A AOC=140, BOC=40, D=BOC=20. 1 2 2.(2020济宁嘉祥一模,9)如图,O为圆心,AB是直径,C是半圆上的点,D是上的点.若BOC=40,则D的 大小为( ) A.110 B.120 C.130 D.140 AC 答案答案 A BOC=40,OB=OC,B=70, D=180-70=110. 3.(2020菏泽郓城一模,6)如图,AC是O的直径,弦BDAO于E,连接BC,过点O作OFBC于F,若BD=8 cm,
42、 AE=2 cm,则OF的长度是( ) A.3 cm B. cm C.2.5 cm D. cm 65 答案答案 D 连接AB,AC是O的直径,弦BDAO于E,BD=8 cm, BE=BD=4 cm, 在RtABE中,根据勾股定理得,AE2+BE2=AB2, 即AB=2 cm, OFBC,BF=FC, 又O是AC的中点,OF=AB= cm. 1 2 22 245 1 2 5 思路分析思路分析 先根据垂径定理和勾股定理得出AB的长,再利用三角形中位线定理得出OF的长即可. 方法规律方法规律 求线段的长,要把已知的线段与未知的线段联系起来,一般是用勾股定理、相似三角形或三角 函数. 4.(2019聊
43、城临清模拟,10)如图,在55正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,已知点A的坐标是(-2,3),点C 的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是( ) A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,0) D.(-1,-1) 答案答案 B 如图,线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线的交点M,即为这条圆弧所在圆的圆心. 这条圆弧所在圆的圆心坐标是(-1,1),故选B. 5.(2019聊城东阿二模,8)如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O交AC于D,交BC于E,连接AE,DE,则下 列结论中不一定正确的是( ) A.AEBC B.BE=EC C.ED=EC D.BAC=
44、EDC 答案答案 D AB为O的直径,AEBC, AB=AC,BE=CE,BAE=CAE, =,ED=EC,EDC=C=ABC,无法证得BAC=EDC,故选D. BE DE 二、填空题(每小题3分,共12分) 6.(2020菏泽东明一模,12)如图,CD是O的直径,弦ABCD于点H,若D=30,CH=1 cm,则AB= cm. 答案答案 2 3 解析解析 连接BC.易知D=B=30. CD是O的直径,弦ABCD于点H, BH=AB, 在RtCHB中,B=30,CH=1 cm, =tan 30,即BH= cm,AB=2 cm. 1 2 CH BH 33 思路分析思路分析 连接BC.利用圆周角定理
45、的推论知D=B,然后根据已知条件“CD是O的直径,弦ABCD 于点H”,利用垂径定理知BH=AB,最后再由直角三角形CHB中B的正切函数求得BH的长度,从而求得 AB的长度. 1 2 7.(2020青岛模拟,13)如图,已知AB、CD是O的直径,=,AOE=32,那么COE的度数为 度. AE AC 答案答案 64 解析解析 =,AOE=COA, 又AOE=32,COA=32, COE=AOE+COA=64. AE AC 8.(2019淄博博山一模,14)如图,AB是半圆O的直径,E是半圆上一点,且OEAB,点C为的中点,则A= . BE 答案答案 22.5 解析解析 连接OC,OEAB,EO
46、B=90, 点C为的中点,BOC=45, BAC=45=22.5. BE 1 2 9.(2020滨州惠民一模,16)如图,BD是O的直径,A是O外一点,点C在O上,CAB=90,若BD=6,AB=4, ABC=CBD,则弦BC的长为 . 答案答案 2 6 解析解析 连接CD,如图. BD是O的直径, BCD=90,CAB=DCB, 又ABC=CBD,ABCCBD, =, BC2=AB BD=46=24, BC=2. AB BC BC BD 246 三、解答题(共13分) 10.(2020临沂四模,23)如图,A、B是O上的两点,AOB=120,C是的中点,求证:四边形OACB是菱形. AB 证明证明 连接OC,如图, C是的中点,AOB=120, AB AOC=BOC=60, 又OA=OC=OB, OAC和OBC都是等边三角形, A
