1、 中考数学 （山东专用） 第五章 圆 5.2 与圆有关的位置关系 A组 20162020年山东中考题组 考点一 点和圆、直线和圆的位置关系 1.(2017枣庄,10,3分)如图,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点),如果 以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为( ) A.2r B.r3 C.r5 D.5r 217172 1729 答案答案 B 根据图形易知, AB=2,AC=AD=,AE=3,AF=,AG=AM=AN=5, 0, DH=5x=9,x=, DF=,HF=, C=FDH,DFH=CFD, DFHCFD, H
2、F DF 3 4 9 5 36 5 27 5 =,CF=,AF=CF=, 设OA=OD=r,OF=r-, 在RtAOF中,AF2+OF2=OA2, +=r2,解得r=10, OA=10, 直径AB的长为20. DF CF FH DF 3636 55 27 5 48 5 48 5 36 5 2 48 5 2 36 - 5 r B组 20162020年全国中考题组 考点一 点和圆、直线和圆的位置关系 1.(2018浙江舟山,6,3分)用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是 ( ) A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆心上 D.点在圆上或圆内 答案答案 D 点与圆的
3、位置关系有点在圆上,点在圆内,点在圆外三种,故“点在圆外”不成立,即“点在圆内 或圆上”,故选D. 2.(2017宁夏,15,3分)如图,点 A,B,C均在66的正方形网格格点上,过A,B,C三点的外接圆除经过A,B,C三点外 还能经过的格点数为 . 答案答案 5 解析解析 如图,分别作AB、BC的垂直平分线,两直线的交点为O, 以O为圆心、OA长为半径作圆,则O即为过A,B,C三点的外接圆, 由图可知,O还经过点D、E、F、G、H这5个格点. 思路分析思路分析 先作出过A,B,C三点的外接圆,观察图形从而得出答案. 考点二 切线的判定与性质 1.(2019湖南益阳,9,4分)如图,PA、PB
4、为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于 点D,下列结论不一定成立的是( ) A.PA=PB B.BPD=APD C.ABPD D.AB平分PD 答案答案 D PA,PB是O的切线, PA=PB,A中结论成立; BPD=APD,B中结论成立; ABPD,C中结论成立; PA,PB是O的切线,A,B为切点, ABPD,且AC=BC, 只有当ADPB,BDPA时,AB平分PD, D中结论不一定成立.故选D. 思路分析思路分析 根据切线长定理得到PA=PB,APD=BPD,根据等腰三角形的性质得OPAB,根据平行四边 形的性质,知只有当ADPB,BDPA时,AB平分PD
5、,由此可判断D中结论不一定成立. 2.(2019江苏苏州,5,3分)如图,AB为O的切线,切点为A.连接AO,BO,BO与O交于点C.延长BO与O交于 点D,连接AD.若ABO=36,则ADC的度数为( ) A.54 B.36 C.32 D.27 答案答案 D AB为O的切线,BAO=90, AOB=90-36=54. OD=OA,OAD=ODA. AOB=DAO+ADO=54, ADO=27,即ADC=27.故选D. 3.(2019广西河池,16,3分)如图,PA,PB是O的切线,A,B为切点,OAB=38,则P= . 答案答案 76 解析解析 连接OB. PA,PB是O的切线,A,B为切点
6、, OAAP,OBBP, OAP=OBP=90. 又OA=OB,OAB=OBA=38, AOB=180-38-38=104, 在四边形OAPB中,P=360-104-90-90=76. 一题多解一题多解 连接OB.PA,PB与O相切,A,B为切点, PA=PB,OAP=OBP=90. 又OAB=38,BAP=ABP=90-38=52. P=180-BAP-ABP=180-52-52=76. 4.(2019江苏南京,14,2分)如图,PA、PB是O的切线,A、B为切点,点C、D在O上.若P=102,则A+ C= . 答案答案 219 解析解析 连接AB, PA、PB是O的切线, PA=PB, P
7、=102, PAB=PBA=(180-102)=39, DAB+C=180, PAD+C=PAB+DAB+C=39+180=219. 1 2 5.(2020新疆,22,11分)如图,在O中,AB为O的直径,C为O上一点,P是的中点,过点P作AC的垂线,交 AC的延长线于点D. (1)求证:DP是O的切线; (2)若AC=5,sinAPC=,求AP的长. BC 5 13 解析解析 (1)证明:连接OP. P是的中点,=, DAP=BAP, 又OA=OP,BAP=APO, DAP=APO, OPAD,D+OPD=180, 又PDAD,D=90,OPD=90, 又OP为O的半径, DP是O的切线.
8、BC CP BP (2)连接PB,过点P作PHAB,垂足为点H, 过点C作CGAP,垂足为点G. 在CGP中,sinAPC=,设CG=5x,则CP=13x, DAP=PAB,PDAD,PHAB, PH=PD,D=PHB=90, P是的中点,CP=BP, CG CP 5 13 BC 在RtPDC和RtPHB中, RtPDCRtPHB(HL),DPC=HPB, AC=5,CG=5x, sinDAP=x, DAP=PAB, , , CPBP PDPH CG AC 5 5 x sinPAB=x, AB=13,OP=, DPO=APB=90, DPC+APC+APO=BPH+OPH+APO, 又DPC=
9、BPH,OPH=APC, sinOPH=sinAPC=,OH=,PH=6,AH=9, 根据勾股定理得,AP=3. PB AB 13x AB 13 2 5 13 5 2 22 PHAH13 6.(2020陕西,23,8分)如图,ABC是O的内接三角形,BAC=75,ABC=45.连接AO并延长,交O于 点D,连接BD.过点C作O的切线,与BA的延长线相交于点E. (1)求证:ADEC; (2)若AB=12,求线段EC的长. 解析解析 (1)证明:如图,连接OC. CE与O相切于点C,OCE=90.(1分) 又ABC=45,AOC=90. ADEC.(3分) (2)如图,过点A作AFEC,垂足为F
10、. OA=OC,四边形AOCF为正方形. ABC=45,BAC=75, ACB=60.D=60. AD是直径, ABD=90,BAD=30. 在RtABD中,AD=8.(6分) AF=CF=OA=4. ADEC,E=BAD=30. 在RtAEF中,EF=12. EC=EF+FC=12+4.(8分) cos30? AB 3 3 tan30? AF 3 C组 教师专用题组 考点一 点和圆、直线和圆的位置关系 1.(2016湖北宜昌,13,3分)在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树,位置如图所示(图中小正方形的边长均 相等).现计划修建一座以O为圆心,OA为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则E、
11、F、G、H四棵树中需 要被移除的是( ) A.E、F、G B.F、G、H C.G、H、E D.H、E、F 答案答案 A 设小正方形的边长为1, OA=,OE=2OA,点E在O内, OF=2OA,点F在O内, OG=1OA,点H在O外. 故E,F,G三棵树需要被移除. 22 125 22 222 2.(2018四川宜宾,8,3分)在ABC中,若O为BC边的中点,则必有AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论,解 决如下问题:如图,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则PF2+PG2的最小值 为( ) A. B. C.34 D.10 10 19 2
12、 答案答案 D 设点M为DE的中点,点N为FG的中点,连接MN交半圆于点P,此时PN取最小值. DE=4,四边形DEFG为矩形, GF=DE,MN=EF, MP=FN=DE=2, NP=MN-MP=EF-MP=1, PF2+PG2=2PN2+2FN2=212+222=10,即PF2+PG2的最小值为10. 1 2 考点二 切线的判定与性质 1.(2018江苏常州,7,2分)如图,AB是O的直径,MN是O的切线,切点为N,如果MNB=52,则NOA的度数 为( ) A.76 B.56 C.54 D.52 答案答案 A N为切点,MNON,则MNO=90, MNB=52,BNO=38, ON=OB
13、,BNO=B, NOA=2BNO=76.故选A. 2.(2019广西玉林,11,3分)如图,在RtABC中,C=90,AC=4,BC=3,点O是AB的三等分点,半圆O与AC相切, M,N分别是BC与半圆弧上的动点,则MN的最小值和最大值之和是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案答案 B 设O与AC相切于点D,连接OD,过点O作OPBC于点P,交O于点F,此时垂线段OP最短,PF的 最小值为OP-OF. AC=4,BC=3,C=90,AB=5. OPB=90,C=90, OPAC. 点O是AB的三等分点(靠近点A), OB=AB=. =,OP=. O与AC相切于点D, ODAC.ODBC
14、. =,OD=1.OF=1. MN的最小值为OP-OF=-1=. 当N在AB边上靠近A点,M与B重合时,MN经过圆心,经过圆心的弦最长,此时MN的值最大,为+1=. 2 3 10 3 OP AC OB AB 2 3 8 3 OD BC AO AB 1 3 8 3 5 3 10 3 13 3 MN的最大值与最小值之和为+=6. 13 3 5 3 3.(2020江苏苏州,14,3分)如图,已知AB是O的直径,AC是O的切线,连接OC交O于点D,连接BD.若C =40,则B的度数是 . 答案答案 25 解析解析 AC是O的切线, OAC=90, C=40, AOD=50, B=AOD=25. 1 2
15、 4.(2019江苏宿迁,24,10分)在RtABC中,C=90. (1)如图1,点O在斜边AB上,以点O为圆心,OB长为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,与边AC相切于点F.求 证:1=2; (2)在图2中作M,使它满足以下条件:圆心在边AB上;经过点B;与边AC相切.(尺规作图,只保留作图 痕迹,不要求写出作法) 解析解析 (1)证明:如图,连接OF, AC是O的切线,OFAC, C=90,OFBC,1=OFB, OF=OB,OFB=2,1=2. (2)如图所示,M即为所求. (i)作ABC的平分线交AC于F点. (ii)作BF的垂直平分线交AB于M,以MB为半径作圆,M即为所求. 证明
16、:M在BF的垂直平分线上, MF=MB,MBF=MFB, 又BF平分ABC, MBF=CBF, CBF=MFB,MFBC, C=90,FMAC, M与边AC相切. 5.(2019枣庄,23,8分)如图,在RtABC中,ABC=90,以AB为直径作O,点D为O上一点,且CD=CB,连接 DO并延长交CB的延长线于点E. (1)判断直线CD与O的位置关系,并说明理由; (2)若BE=2,DE=4,求圆的半径及AC的长. 解析解析 (1)直线CD与O相切. 理由:连接OC. CB=CD,CO=CO,OB=OD, OCBOCD(SSS), ODC=OBC=90, ODDC, DC是O的切线. (2)设
17、O的半径为r. 在RtOBE中,OE2=EB2+OB2, (4-r)2=22+r2, r=1.5, tanE=, =, CD=BC=3, 在RtABC中,AC=3. 圆的半径为1.5,AC的长为3. OB EB CD DE 1.5 24 CD 22 ABBC 22 332 2 6.(2020威海,22,9分)如图,ABC的外角BAM的平分线与它的外接圆相交于点E,连接BE,CE,过点E作EF BC,交CM于点D. 求证:(1)BE=CE; (2)EF为O的切线. 证明证明 (1)四边形ACBE是圆内接四边形, EAM=EBC, AE平分BAM,BAE=EAM, BAE=BCE,BCE=EAM,
18、 BCE=EBC, BE=CE. (2)如图,连接EO并延长交BC于H,连接OB,OC, OB=OC,EB=EC,EO垂直平分BC, EHBC, EFBC,EHEF, OE是O的半径, EF为O的切线. 7.(2020北京,23,6分)如图,AB为O的直径,C为BA延长线上一点,CD是O的切线,D为切点,OFAD于点E, 交CD于点F. (1)求证:ADC=AOF; (2)若sin C=,BD=8,求EF的长. 1 3 解析解析 (1)证明:连接OD,如图. CD是O的切线, ODC=90, ADC+ADO=90. OFAD于点E, AEO=90,AE=DE, OAD+AOF=90. OA=O
19、D, OAD=ODA, ADC=AOF.(3分) (2)在RtCDO中,sin C=. 设OD=x, 则OC=3x,BC=4x. AB为O的直径, OD OC 1 3 ADB=90, AEO=ADB, OFBD, COFCBD, =. BD=8, OF=8=6. AE=DE,AO=BO, OE=BD=4, EF=OF-OE=2.(6分) OF BD OC BC 3 4 x x 1 2 思路分析思路分析 (1)根据CD是O的切线,推出ADC+ODA=90,根据OFAD,推出AOF+OAD=90,然 后根据OD=OA,可得ODA=OAD,即可得证; (2)需要借助正弦值得到线段的比,进而借助相似三
20、角形的性质求出OF的长,再根据中位线的性质求出OE 的长,即可解决. 解题关键解题关键 解决本题第(2)问的关键是通过三角函数值得到线段的比,借助平行得到COFCBD,由相 似三角形对应边的比相等得到OF的长. 8.(2020滨州,25,13分)如图,AB是O的直径,AM和BN是它的两条切线,过O上一点E作直线DC,分别交 AM、BN于点D、C,且DA=DE. (1)求证:直线CD是O的切线; (2)求证:OA2=DE CE. 证明证明 (1)连接OD,OE,如图, 在OAD和OED中, OADOED(SSS), OAD=OED, AM是O的切线, OAD=90,OED=90,直线CD是O的切
21、线. , , , OAOE ADED ODOD (2)过D作DFBC于点F,如图,则DFB=DFC=90, AM、BN都是O的切线,ABF=BAD=90, 四边形ABFD是矩形, DF=AB=2OA,AD=BF, CD是O的切线,CE=CB, DA=DE,CF=CB-BF=CE-DE, 在RtDFC中,DF2=CD2-CF2, 4OA2=(CE+DE)2-(CE-DE)2,即4OA2=4DE CE,OA2=DE CE. 一题多解一题多解 (2)连接OC,由(1)易知OBCOEC,于是BOC=EOC,又AOD=EOD,AB为直径,所以 DOC=90,由此易证DOEOCE,所以=,即OE2=DE
22、CE,又OE=OA, 所以OA2=DE CE. DE OE OE CE 9.(2019临沂,23,9分)如图,AB是O的直径,C是O上一点,过点O作ODAB,交BC的延长线于D,交AC于点 E,F是DE的中点,连接CF. (1)求证:CF是O的切线. (2)若A=22.5,求证:AC=DC. 证明证明 (1)AB是O的直径, ACB=ACD=90, 点F是ED的中点, CF=EF=DF, AEO=FEC=FCE, OA=OC, OCA=OAC, ODAB, OAC+AEO=90, OCA+FCE=90,即OCFC, CF与O相切. (2)连接AD,ODAB,ACBD, AOE=ACD=90,
23、AEO=DEC, OAE=CDE=22.5, AO=BO, AD=BD, ADO=BDO=22.5, ADB=45, CAD=ADC=45, AC=CD. A组 20182020年模拟基础题组 时间:25分钟 分值:35分 一、选择题(每小题3分,共9分) 1.(2020济南槐荫模拟,6)如图,从O外一点A引圆的切线AB,切点为B,连接AO并延长交圆于点C,连接BC.若 A=28,则ACB的度数是( ) A.28 B.30 C.31 D.32 答案答案 C 连接OB,如图, AB为O的切线,OBAB, ABO=90, AOB=90-A=90-28=62, ACB=AOB=31. 1 2 思路分
24、析思路分析 连接OB,根据切线的性质得到ABO=90,可计算出AOB=62,然后根据圆周角定理得到 ACB的度数. 2.(2019聊城东阿二中模拟,6)已知O的半径为3,圆心O到直线l的距离为2,则直线l与O的位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 答案答案 A 因为O的半径为3,圆心O到直线l的距离为2,所以直线l与O的位置关系是相交. 3.(2018济宁任城一模,9)如图,PA,PB是O的切线,切点分别是A,B,如果P=60,那么弦AB所对的圆周角等 于( ) A.60 B.120 C.30或120 D.60或120 答案答案 D 由题意可知,ABP是等边三角形,连
25、接OA,OB,则OAB=OBA=30,AOB=120,又弦AB所 对的圆周角包含优弧所对的圆周角和劣弧所对的圆周角,故弦AB所对的圆周角为60或120. AB AB 易错警示易错警示 本题易认为弦AB所对的圆周角只有一种情况. 二、填空题(每小题3分,共6分) 4.(2020菏泽郓城一模,14)如图,若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,则C= 度. 答案答案 45 解析解析 连接OD.由CD是O的切线,得ODCD, 四边形ABCD是平行四边形, ABCD,ABOD,AOD=90, OA=OD,A=ADO=45,C=A=45. 5.(2020滨州一模,15)直角三角形的两条
26、直角边的长分别是5和12,则它的内切圆半径为 . 答案答案 2 解析解析 直角三角形的斜边长=13, 易得它的内切圆半径=2. 22 512 512-13 2 思路分析思路分析 利用勾股定理计算出斜边的长,然后利用直角三角形的内切圆半径为(其中a、b为直角 边长,c为斜边长)求解. - 2 ab c 一题多解一题多解 本题也可以用面积法,即用不同的方法表示三角形的面积.连接内切圆的圆心与三个顶点,则利 用(a+b+c)r=ab可计算直角三角形内切圆的半径r. 1 2 1 2 三、解答题(共20分) 6.(2019济南天桥一模,24)如图,点A是O的直径BD延长线上的点,AC与O相切于点C,AC
27、=BC,BEAC,交 AC延长线于点E. (1)求A的度数; (2)若O的半径为2,求BE的长. 解析解析 (1)连接OC,AC与O相切于点C, ACD+DCO=90,又BD是O的直径, DCO+OCB=90,ACD=OCB, 又OC=OB,ACD=OCB=DBC, AC=BC,A=DBC,A=ACD, CDB=A+ACD=2A, 又CDB+DBC=90,2A+A=90,A=30. (2)DBC=A=30,DB=2CD=4, A=ACD,AD=CD,AB=3CD=6, BEAC,A=30,BE=AB=3. 1 2 7.(2020济南平阴一模,23)如图,AB是O的直径,PA与O相切于点A,BP
28、与O相交于点D,C为O上的一 点,分别连接CB、CD,BCD=60. (1)求ABD的度数; (2)若AB=6,求PD的长度. 解析解析 (1)如图,连接AD. BA是O的直径, BDA=90. BCD=60, BAD=BCD=60, ABD=90-BAD=90-60=30. (2)AP是O的切线, BAP=90. 在RtBAD中,ABD=30, DA=BA=6=3. BD=3. 在RtBAP中,cosABD=cos 30=, BP=4. PD=BP-BD=4-3=. 1 2 1 2 22 -AB AD3 AB PB 3 2 3 333 思路分析思路分析 (1)由同弧所对的圆周角相等和直角三角
29、形的性质可得结果; (2)根据切线的性质可得BAP=90,根据含30角的直角三角形的性质可计算AD的长,由勾股定理计算DB 的长,由三角函数可得PB的长,从而得PD的长. B组 20182020年模拟提升题组 时间:30分钟 分值:40分 一、选择题(每小题3分,共6分) 1.(2020泰安新泰一模,12)将直尺、有60角的直角三角板和光盘如图摆放,A为60角与直尺的交点,B为光 盘与直尺的切点,AB=4,则光盘表示的圆的直径是( ) A.4 B.8 C.6 D. 33 答案答案 B 设光盘表示的圆的圆心为O,三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,由切线长定理知,AB=AC=4, AO平分BA
30、C, OAB=60, 在RtABO中,OB=ABtanOAB=4, 光盘表示的圆的直径为8. 3 3 思路分析思路分析 设光盘表示的圆的圆心为O,三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,由切线长定理得出AB=AC= 4,易得OAB=60,根据OB=ABtanOAB可得答案. 2.(2019济宁嘉祥一模,6)如图,在RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,O为ABC的内切圆,点D是斜边AB的 中点,则tanODA=( ) A. B. C. D.2 3 2 3 3 3 答案答案 D 设O与AB,AC,BC分别相切于点E,F,G,连接OE,OF,OG,则OGC=OFC=OED=90, C=90,A
31、C=6,BC=8, AB=10, O为ABC的内切圆, AF=AE,CF=CG (切线长相等), C=90, 四边形OFCG是正方形, 设OF=x,则CF=CG=OF=x,AF=AE=6-x,BE=BG=8-x, 6-x+8-x=10,解得x=2, OF=2,AE=4, 点D是斜边AB的中点, AD=5, DE=AD-AE=1, 又OE=OF=2, tanODA=2. 故选D. OE DE 二、填空题(共3分) 3.(2019菏泽曹县一模,14)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为 圆心,PM长为半径作P.当P与正方形ABCD的边相切时,BP的
32、长为 . 答案答案 3或4 3 解析解析 M为AB的中点,正方形ABCD的边长为8, BM=AM=4. 设BP=x,则CP=8-x,由勾股定理可知,MP2=x2+16, P与正方形的边相切分两种情况: 当P与CD相切于点C时, CP=PM,即(8-x)2=x2+16,解得x=3. 当P与AD相切时,设切点为E,连接PE,则PM=PE=8,x2+16=82,解得x1=4,x2=-4(不合题意,舍去). 综上所述,BP的长为3或4. 33 3 思路分析思路分析 分两种情形求解:当P与直线CD相切时,由CP=PM建立方程求解;当P与直线AD相切时,设 切点为E,连接PE,则PE=PM=8,列方程即可
33、求解. 解后反思解后反思 本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思 想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题. 三、解答题(共31分) 4.(2019临沂沂水二模,23)如图,已知AB是O的直径,C,D是O上两点,CDB=45,过点C作CEAB交DB 的延长线于点E. (1)求证:CE是O的切线; (2)若cosCED=,BD=6,求O的直径. 1 3 解析解析 (1)证明:连接CO, CDB=45, COB=2CDB=90, CEAB, COB+OCE=180, OCE=90,CE是O的切线. (2)连接AD, CEAB,CED=ABD, cosCED
34、=,BD=6,AB是O的直径, cosABD=,ADB=90, =,AB=18, 即O的直径是18. 1 3 1 3 BD AB 1 3 5.(2020临沂平邑一模,23)如图,ABC内接于O,AB为直径,作ODAB交AC于点D,延长BC,OD交于点F, 过点C作O的切线CE,交OF于点E. (1)求证:EC=ED; (2)如果OA=4,EF=3,求弦AC的长. 解析解析 (1)证明:连接OC, CE与O相切,OC是O的半径, OCCE, OCA+ACE=90, OA=OC, A=OCA, ACE+A=90, ODAB, ODA+A=90, ODA=CDE, CDE+A=90, CDE=ACE
35、, EC=ED. (2)AB为O的直径, ACB=90, 在RtDCF中,DCE+ECF=90,DCE=CDE, CDE+ECF=90, CDE+F=90, ECF=F,EC=EF, EF=3,EC=DE=3, OE=5, OD=OE-DE=2, 在RtOAD中,AD=2, 在RtAOD和RtACB中,A=A,AOD=ACB, RtAODRtACB, =,即=, 22 OCEC 22 43 22 OAOD 22 425 OA AC AD AB 4 AC 2 5 8 AC=. 16 5 5 6.(2020济宁嘉祥一模,20)如图,AB为O的直径,弦CDAB,E是AB延长线上一点,CDB=ADE. (1)DE是O的切线吗?请说明理由; (2)求证:AC2=CD BE. 解析解析 (1)DE是O的切线. 理由:连接OD. CDB=ADE,ADC=EDB, CDAB,CDA=DAB, OA=OD, OAD=ODA, ADO=EDB, AB是O的直径, ADB=90, ADB=ODE=90, DEOD, DE是O的切线. (2)证明:CDAB,ADC=DAB,CDB=DBE, =,AC=BD, DCB=DAB,EDB=ADC=DAB, EDB=DCB, AC BD CDBDBE, =,BD2=CD BE, AC2=CD BE. CD BD DB BE
