1、 中考数学 第六章 空间与图形 6.1 图形的轴对称、平移与旋转 考点一 图形的轴对称 1.(2020山西,2,3分)自新冠肺炎疫情发生以来,全国人民共同抗疫,各地积极普及科学防控知识.下面是科 学防控知识的图片,图片上有图案和文字说明,其中的图案是轴对称图形的是( ) 答案答案 D 根据轴对称图形的定义知只有D选项正确,故选D. 2.(2019湖北武汉,4,3分)现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性,下列美术字 是轴对称图形的是( ) 诚诚 信信 友友 善善 A B C D 答案答案 D 选项A、B、C中的图形都不是轴对称图形,选项D中的图形是轴对称图形.故选D. 3
2、.(2020内蒙古呼和浩特,10,3分)如图,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边 上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A,D点的对称点为D,若FPG=90,SAEP=8,SD PH=2,则矩形ABCD的长为( ) A.6+10 B.6+5 C.3+10 D.3+5 5102 5102 答案答案 D 由折叠可得,APF=B=90,DPG=C=90, FPG=90,APD=90, APE+DPH=APE+AEP=90, AEP=DPH, 又A=D=90, AEPDPH, 四边形ABCD是矩形, AB=CD,AD=BC,设AB=CD=x(x
3、0), 由折叠可知PA=AB=x,PD=CD=x, AEP的面积为8,DPH的面积为2,且AEPDPH, APDH=2,PA=x, DH=x, SDPH= xx=2, 1 2 1 2 1 2 x=2(舍去负根). AB=CD=2,AE=4,DH=,PE=2,PH=, AD=4+2+=5+3. 2 222 22 (2 2)(4 2)10 22 ( 2)(2 2)10 210102210 方法指导方法指导 在翻折过程中,注意等量关系,运用多种性质、定理,从等量关系中寻找相似或全等,利用参数 解决问题. 4.(2020重庆A卷,11,4分)如图,三角形纸片ABC,点D是BC边上一点,连接AD,把AB
4、D沿着AD翻折,得到 AED,DE与AC交于点G,连接BE交AD于点F.若DG=GE,AF=3,BF=2,ADG的面积为2,则点F到BC的距离 为( ) A. B. C. D. 5 5 2 5 5 4 5 5 4 3 3 答案答案 B 由翻折得BF=EF=2,AFB=AFE=90,因为ADG的面积为2,DG=GE,所以AGE的面积为 2,所以ADE的面积为4,所以AD EF=4,所以AD=4,所以DF=AD-AF=4-3=1,所以BD= =,设点F到BC的距离是h,则SBDF=DF BF=BD h,即12=h,所以h=,即点F到BC的距 离为. 1 2 22 BFDF 22 215 1 2 1
5、 2 5 2 5 5 2 5 5 方法总结方法总结 求点到直线的距离时,等面积法是一个常用方法.特别是求直角三角形斜边上的高. 5.(2019吉林,12,3分)如图,在四边形ABCD中,AB=10,BDAD.若将BCD沿BD折叠,点C与边AB的中点E 恰好重合,则四边形BCDE的周长为 . 答案答案 20 解析解析 根据折叠的性质和E为AB的中点可知,BC=BE=5,CD=DE.BDAD,CD=DE=5.四边形 BCDE的周长为20. 6.(2020四川成都,27,10分)在矩形ABCD的CD边上取一点E,将BCE沿BE翻折,使点C恰好落在AD边上 点F处. (1)如图1,若BC=2BA,求C
6、BE的度数; (2)如图2,当AB=5,且AF FD=10时,求BC的长; (3)如图3,延长EF,与ABF的角平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AN+FD时,求的值. AB BC 解析解析 (1)由翻折可知BC=BF,EBC=EBF, BC=2BA,BF=2AB,又A=90, AFB=30, ADBC, FBC=AFB=30, CBE=FBC=15. (2)由翻折可知BC=BF,BFE=C=90, 易知ABFDFE,=, AF DF=AB DE. AF DF=10,AB=5, DE=2,FE=CE=3, DF=, AF=2. 1 2 AF DE AB DF 22 3 -25 5 BC
7、=AD=AF+DF=3. (3)过点N作NGBF于点G, BN平分ABF,NABA,AN=NG. NGF=A=90,AFB=GFN, NFGBFA,NF=AN+FD, NF=AD=BC=BF, =,NG=AN=AB, 在RtABF中,AB2+AF2=BF2, AB2+=BC2,化简得5AB2+2AB BC-3BC2=0,解得=. 5 1 2 1 2 1 2 NG AB FG FA NF BF 1 2 1 2 2 11 22 ABBC AB BC 3 5 -1 AB BC 舍去 方法总结方法总结 解决矩形的折叠问题,要注意折叠前后图形间的全等关系及平行线间的内错角相等.求 长度或比值问题,要注意
8、寻找与所求线段或已知线段有关的相似三角形.几何证明题中要先注意 “K”“X”“A”型的相似三角形的相似比,再进行线段的等量代换. 7.(2019山西,22,11分)动手操作: 第一步:如图1,正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠,展开铺平.再沿过点C的直线折叠,使点B, 点D都落在对角线AC上.此时,点B与点D重合,记为点N,且点E,点N,点F三点在同一条直线上,折痕分别为 CE,CF,如图2. 第二步:再沿AC所在的直线折叠,ACE与ACF重合,得到图3. 第三步:在图3的基础上继续折叠,使点C与点F重合,如图4,展开铺平,连接EF,FG,GM,ME,如图5.图中的虚 线为折痕. 问
9、题解决: (1)在图5中,BEC的度数是 ,的值是 ; (2)在图5中,请判断四边形EMGF的形状,并说明理由; (3)在不增加字母的条件下,请你以图5中的字母表示的点为顶点,动手画出一个菱形(正方形除外),并写 出这个菱形: . AE BE 解析解析 (1)67.5;.(4分) (2)四边形EMGF是矩形.(5分) 理由如下:四边形ABCD是正方形, B=BCD=D=90. 由折叠可知,1=2=3=4,CM=CG, BEC=NEC=NFC=DFC, 1=2=3=4=22.5. BEC=NEC=NFC=DFC=67.5. 由折叠可知,MH,GH分别垂直平分EC,FC, MC=ME,GC=GF.
10、 5=1=22.5,6=4=22.5, MEF=GFE=90.(7分) MCG=90,CM=CG, CMG=45. 2 90? 4 又BME=1+5=45, EMG=180-CMG-BME=90.(8分) 四边形EMGF是矩形.(9分) (3)答案不唯一,画出正确图形(一个即可).(10分) 菱形FGCH(或菱形EMCH).(11分) 解后反思解后反思 折叠的性质:位于折痕两侧的图形关于折痕对称;折叠前后的两部分图形全等,对应边、 角、线段、周长、面积等均相等;折叠之后,对应点的连线被折痕垂直平分. 考点二 图形的平移 1.(2020河南,9,3分)如图,在ABC中,ACB=90,边BC在x轴
11、上,顶点A,B的坐标分别为(-2,6)和(7,0).将正 方形OCDE沿x轴向右平移,当点E落在AB边上时,点D的坐标为( ) A. B.(2,2) C. D.(4,2) 3 ,2 2 11,2 4 答案答案 B A(-2,6),OC=2,AC=6, 正方形OCDE的边长为2, B(7,0),OB=7,BC=9, 如图,当点E在AB边上时,易证RtEOBRtACB,=,OB=2=3, OC=OB-OB-OC=7-3-2=2, 点D的坐标为(2,2). 即当点E落在AB边上时,点D的坐标为(2,2). 故选B. AC BC EO OB 9 6 思路分析思路分析 根据题意作出平移后的正方形OCDE
12、,依据条件证得RtEOBRtACB,由相似的性质 得OB的长,进而求出D的坐标,即平移后点D的坐标. 2.(2020广东广州,14,3分)如图,点A的坐标为(1,3),点B在x轴上,把OAB沿x轴向右平移到ECD,若四边 形ABDC的面积为9,则点C的坐标为 . 答案答案 (4,3) 解析解析 CED由AOB向右平移所得,点A的坐标为(1,3), 点C的纵坐标为3. 易知四边形ABDC为平行四边形,S四边形ABDC=3BD=9, BD=3,AC=BD=3. 点C的坐标为(4,3). 解题关键解题关键 能根据已知条件求出AC的长度是解题的关键. 考点三 图形的旋转 1.(2019辽宁大连,6,3
13、分)下列所述图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.菱形 D.平行四边形 答案答案 C 根据轴对称图形的定义可得等腰三角形、等边三角形、菱形是轴对称图形,根据中心对称图 形的定义可得菱形、平行四边形是中心对称图形,所以既是轴对称图形又是中心对称图形的只有菱形. 故选C. 2.(2020海南,7,3分)如图,在RtABC中,C=90,ABC=30,AC=1 cm,将RtABC绕点A逆时针旋转得到 RtABC,使点C落在AB边上,连接BB,则BB的长度是( ) A.1 cm B.2 cm C. cm D.2 cm 33 答案答案 B C=90,ABC=
14、30,AC=1 cm,BAC=60,AB=2 cm.由旋转的性质可得BAC=BAB= 60,AB=AB.所以ABB是等边三角形.BB=AB=2 cm.故选B. 解题关键解题关键 解决本题的关键在于根据旋转的性质得出ABB是等边三角形. 3.(2020宁夏,13,3分)如图,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,把AOB绕点B逆时针旋转90后 得到A1O1B,则点A1的坐标是 . 5 2 答案答案 12 4, 5 解析解析 对于y=x+4,令x=0,得y=4,则OB=4;令y=0,得x=-,则OA=.延长O1A1交x轴于点C.AOB绕点B 逆时针旋转90后得到A1O1B,ABA1=90,
15、ABO=A1BO1,AOB=A1O1B=90,OBO1=90, 四边形OBO1C是矩形.BO1x轴,O1A1y轴,由旋转的性质得BO1=OB=4,O1A1=OA=,A1C=OB-A1O1=4 -=,A1. 5 2 8 5 8 5 8 5 8 5 12 5 12 4, 5 4.(2019湖北武汉,16,3分)问题背景:如图1,将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE,DE与BC交于点P, 可推出结论:PA+PC=PE. 问题解决:如图2,在MNG中,MN=6,M=75,MG=4.点O是MNG内一点,则点O到MNG三个顶点 的距离和的最小值是 . 图1 图2 2 答案答案 2 29 解析解析 连接M
16、O、NO、GO,将MOG绕点M逆时针旋转60得到MOG,连接OO,NG,易得MOO为等 边三角形,OM=OO,则当N,O,O,G四点共线时,NO+MO+GO取到最小值,且最小值为NG的长度.过点G 作GAMN,垂足为A,可得AMG=45.MA=GA=4.NA=10.由勾股定理可得NG=2. 29 5.(2019山西,15,3分)如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC=10 cm,点D为ABC内一点,BAD=15,AD=6 cm,连接BD,将ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于 点F,则CF的长为 cm. 答案答案 (10-2) 6 解析
17、解析 过点A作AGDE于点G. 由旋转的性质知AD=AE,DAE=90,CAE=BAD=15, AED=45, AFD=AED+CAE=60, 在RtADG中,AG=DG=3, 在RtAFG中,GF=,AF=2FG=2, 2 AD 2 3 AG 66 CF=AC-AF=10-2.故CF的长为(10-2)cm. 66 6.(2020内蒙古包头,25,12分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=4,BC=2,RtABC绕点C按顺时针方向 旋转得到RtABC,AC与AB交于点D. (1)如图1,当ABAC时,过点B作BEAC,垂足为E,连接AE. 求证:AD=BD; 求的值; (2)如图2,当
18、ACAB时,过点D作DMAB,交BC于点N,交AC的延长线于点M,求的值. 图1 图2 ACE ABE S S DN NM 解析解析 (1)证明:ABAC,BAC=ACA. BAC=BAC,ACA=BAC,AD=CD. ACA+BCD=90,BAC+ABC=90, BCD=ABC,CD=BD,AD=BD.(3分) 在RtABC中,BC=2,AC=4,AB=2. BEAC,BEC=90, 在RtBEC和RtACB中,BCE=ABC, tanBCE=tanABC, =2,BE=2CE. 在RtBEC中,BE2+CE2=BC2,(2CE)2+CE2=4, CE=. CD=AB,CD=,DE=CD-C
19、E=, 5 BE CE AC BC 2 5 5 1 2 5 3 5 5 =.AD=BD,SADE=SBDE, SABE=2SADE,=.(8分) (2)ACAB,NCD=BDC=90. DMAB,DNC=ABC=ABC. DC=CD,NCDBDC, NC=BD,DN=CB=2. BCD+ABC=90,BAC+ABC=90, BCD=BAC. 在RtCDB和RtACB中,tanBCD=tanBAC, =. SABC=AB CD=AC BC,CD=, ACE ADE S S CE DE 2 3 ACE ABE S S2 ACE ADE S S 1 3 BD CD BC AC 1 2 1 2 4 5
20、 5 BD=, CN=,AD=.NCD=BDC=90, CNAB, NCM=BAC.NMC=DMA, MNCMDA, =,=,MN=,=3.(12分) 2 5 5 2 5 5 8 5 5 MN MD CN AD2 MN MN 1 4 2 3 DN NM 考点一 图形的轴对称 教师专用题组 1.(2020重庆A卷,2,4分)下列图形是轴对称图形的是( ) 答案答案 A 根据轴对称图形的概念,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个 图形叫做轴对称图形,可知选项A中的图形是轴对称图形.故选A. 2.(2020湖北武汉,4,3分)现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也
21、具有对称性.下列汉字是 轴对称图形的是( ) 答案答案 C 只有C能找到对称轴,是轴对称图形.故选C. 3.(2019天津,4,3分)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的 是( ) 答案答案 A 根据轴对称图形的概念可得选项B、C、D都不是轴对称图形,“美”可以看作轴对称图形. 故选A. 4.(2019北京,2,2分)下列倡导节约的图案中,是轴对称图形的是( ) 答案答案 C 选项A、B、D不是轴对称图形,选项C是轴对称图形.故选C. 5.(2020湖北武汉,16,3分)如图,折叠矩形纸片ABCD,使点D落在AB边的点M处,EF为折痕,AB=1,AD=2
22、.设 AM的长为t,用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是 . 答案答案 t2-t+1 1 4 1 4 解析解析 如图,设MN与BC的交点为P,AE=x,由折叠性质可得CF=FN,CD=MN=1,EMN=90,DE=EM=2-x, 再由矩形ABCD可得AME=MPB,AM=t,MB=1-t,在RtAEM中,AE2+AM2=EM2,即x2+t2=(2-x)2,解得 x=,则DE=2-x=,sinAME=,tanAME=,在RtMPB中,MP= =,NP=1-MP=,FPN=MPB,MPB=AME,FN=NPtanAME= ,CF=, 四边形CDEF的面积为CD=t2-t+1. 2 4- 4 t
23、 2 4 4 t 2- x x 2 2 4- 4 t t x t 2 4- 4 t tsin MB MPB sin MB AME 2 2 (1- )(4) 4- tt t 32 2 -24 4- ttt t 2-2 4 4 tt 2-2 4 4 tt 2 CFDE1 2 22 -244 44 ttt 1 4 1 4 难点突破难点突破 设MN与BC的交点为P,求出AE,并利用AME=MPB=FPN及锐角三角函数求出NF是解 答本题的突破口. 6.(2020新疆,15,5分)如图,在ABC中,A=90,B=60,AB=2,若D是BC边上的动点,则2AD+DC的最小 值为 . 答案答案 6 解析解析
24、 作ABC关于BC对称的EBC,则ACB=ECB=30,过A作AFCE于F,交BC于D,则DC=DF. 此时AD+DC最小,即为AF的长度. 易求得AC=2,因此AF=3, 2AD+DC的最小值为23=6. 1 2 1 2 3 解后反思解后反思 此题主要考查了利用特殊角的三角函数求线段长以及线段和的最值问题,难度较大.如何将 DC转化为DF的长是难点,充分利用含30角的直角三角形的性质,将AD+DC转化为AD+DF,然后利 用“垂线段最短”的性质巧妙解决. 1 2 1 2 一题多解一题多解 如图所示,作点A关于BC的对称点A,连接AA交BC于点H,连接AD,过D作DEAC于E. 在RtABH中
25、,B=60,AB=2, AH=,AA=2, 在RtCDE中,DE=CD,即2DE=DC, 2AD+DC=2(AD+DE). A与A关于BC对称, AD=AD,AD+DE=AD+DE, 当A,D,E在同一直线上时,AD+DE的最小值等于AE的长, 在RtAAE中,AE=sin 60 AA=2=3, AD+DE的最小值为3,即2AD+DC的最小值为6, 故答案为6. 33 1 2 3 2 3 7.(2019河南,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=a.连接AE,将ABE沿AE折 叠,若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为 . 3 5 答案答案
26、 或 5 3 5 3 解析解析 在矩形ABCD中,AB=CD=1,AD=BC=a,B=C=D=90,由折叠得BE=BE=a,ABE=90. 当点B落在边AD上时,易证四边形ABEB是正方形, BE=AB,即a=1,a=; 当点B落在边CD上时,如图. 3 5 3 5 5 3 1+2=2+3=90, 1=3,又D=C=90,BCEADB, =. 在RtADB中,由勾股定理得BD=, =,a=(负值舍去). 综上所述,满足条件的a的值为或. EC EB BD AB 22 -BA AD 2 1-a 2 3 2 1-a 5 3 5 3 5 3 解题关键解题关键 本题是以矩形为背景的折叠型题目,由于未指
27、明折叠后点B的具体位置,所以分情况讨论是 解决本题的关键.根据题意得,当点B在矩形边上时,有两种可能:当点B在AD上时,由四边形ABEB是正 方形可求a的值;当点B在边CD上时,由“K字模型”中的相似三角形性质结合勾股定理可求a的值. 8.(2019山东潍坊,16,3分)如图,在矩形ABCD中,AD=2.将A向内翻折,点A落在BC上,记为A,折痕为DE.若 将B沿EA向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B,则AB= . 答案答案 3 解析解析 在矩形ABCD中,AD=2,A=B=90.由翻折性质得AE=AE,1=2,2=3,1+2+3=18 0,1=2=3=60.在RtAED中,AE=,AE=,
28、在RtAEB中,EB=AE cos 3=cos 60=,AB=AE+BE=. tan 1 AD 2 tan60? 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 9.(2019广东广州,24,14分)如图,等边ABC中,AB=6,点D在BC上,BD=4.点E为边AC上一动点(不与点C重 合),CDE关于DE对称的图形为FDE. (1)当点F在AC上时,求证:DFAB; (2)设ACD的面积为S1,ABF的面积为S2,记S=S1-S2,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值;若不存 在,请说明理由; (3)当B,F,E三点共线时,求AE的长. 解析解析 (1)证明:ABC是等边三角形, A=B
29、=C=60, 由CDE关于DE对称的图形为FDE可知DF=DC,又点F在AC上, DFC=C=60, DFC=A,DFAB. (2)存在. 如图,过点D作DMAB,交AB于点M. BC=AB=6,BD=4,CD=2, DF=2, 点F在以D为圆心,DF为半径的圆上, 当点F在DM上时,S2最小, BD=4,DMAB,ABC=60,MD=2, S2的最小值=6(2-2)=6-6, S1=23=3, S最大值=3-(6-6)=6-3. 3 1 2 33 1 2 33 333 (3)如图,过点D作DGEF于点G,过点E作EHCD于点H. CDE关于DE对称的图形为FDE, DF=DC=2,EFD=C
30、=60, GDEF,FG=1,DG=. BD2=BG2+DG2,16=BG2+3, 3 BG=, EHBC,C=60,CH=,EH=EC, GBD=EBH,BGD=BHE=90, BGDBHE,=,=, EC=-1,AE=AC-EC=7-. 13 2 EC3 2 DG BG EH BH 3 13 3 2 6- 2 EC EC 1313 思路分析思路分析 (1)由对称的性质和等边三角形的性质可得DFC=A,可证DFAB. (2)过点D作DMAB,交AB于点M,由题意可得点F在以D为圆心,DF为半径的圆上,由ACD的面积S1的 值是定值,可得当点F在DM上时,SABF最小,S最大. (3)过点D作
31、DGEF于点G,过点E作EHCD于点H,由勾股定理可求BG的长,通过证明BGDBHE, 可求EC的长,即可求AE的长. 考点二 图形的平移 1.(2019江苏苏州,9,3分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16.将ABO沿点A到点C的 方向平移,得到ABO.当点A与点C重合时,点A与点B之间的距离为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 答案答案 C 由菱形及平移的性质得AO=OC=CO=2,BO=OD=BO=8,AOB=AOB=90, AOB为直角三角形. AB=10,即点A与点B之间的距离为10.故选C. 22 AOBO 22 68 解后反思解后反思 本题
32、考查了菱形的对角线互相垂直平分及图形平移的性质,可通过构造直角三角形,运用勾 股定理求得AB的长. 2.(2019安徽,16,8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的1212网格中,给出了以格点(网格线 的交点)为端点的线段AB. (1)将线段AB向右平移5个单位,再向上平移3个单位得到线段CD,请画出线段CD; (2)以线段CD为一边,作一个菱形CDEF,且点E,F也为格点.(作出一个菱形即可) 解析解析 (1)如图,线段CD即为所求作的图形.(4分) (2)如图,菱形CDEF即为所求作的图形(答案不唯一).(8分) 考点三 图形的旋转 1.(2020广西北部湾经济区,2,3分)下列
33、图形是中心对称图形的是 ( ) 答案答案 D 根据中心对称图形的定义,可知A、B、C不是中心对称图形,D是中心对称图形.故选D. 2.(2019吉林,4,2分)把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,则这个旋转角度 至少为( ) A.30 B.90 C.120 D.180 答案答案 C 图形中有三个箭头,所以与自身重合的旋转角度至少为3603=120.故选C. 3.(2019黑龙江齐齐哈尔,2,3分)下面四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 答案答案 D A和B中图形均是中心对称图形,不是轴对称图形.C中图形是轴对称图形,不是中心对称图形. D中图形既是轴对称
34、图形,又是中心对称图形.故选D. 4.(2020黑龙江齐齐哈尔,9,3分)有两个直角三角形纸板,一个含45角,另一个含30角,如图所示叠放,先 将含30角的纸板固定不动,再将含45角的纸板绕顶点A顺时针旋转,使BCDE,如图所示,则旋转角 BAD的度数为( ) A.15 B.30 C.45 D.60 答案答案 B 如图所示,由题意得B=60,D=90,由BCDE可得D=CFA=90,所以BAD=CFA- B=90-60=30.故选B. 5.(2020天津,11,3分)如图,在ABC中,ACB=90,将ABC绕点C顺时针旋转得到DEC,使点B的对应 点E恰好落在边AC上,点A的对应点为D,延长D
35、E交AB于点F,则下列结论一定正确的是( ) A.AC=DE B.BC=EF C.AEF=D D.ABDF 答案答案 D 由旋转的性质得ACD=ACB=90,A=D,AC=DC,BC=CE,故A,B,C中结论不正确.Rt ABC中,A+B=90,又A=D,B+D=90,BDF为直角三角形,BFD=90,ABDF,故 选D. 6.(2019广东广州,14,3分)一副三角板如图放置,将三角板ADE绕点A逆时针旋转(090),使得三角板 ADE的一边所在的直线与BC垂直,则的度数为 . 答案答案 15或60 解析解析 由于是三角板ADE的一条边所在的直线与BC垂直,所以需要分情况讨论. 当DEBC时
36、,如图,AFE=CFD=90-C=90-30=60, FAE=180-AFE-E=180-60-45=75, DAC=DAE-FAE=90-75=15, =15. 当ADBC时,如图,C=30,ADBC, DAC=90-C=60, =60. 综上所述,的度数为15或60. 思路分析思路分析 由于题目没有说明三角板ADE的哪一条边所在的直线与BC垂直,所以本题需进行分类讨论: DEBC;ADBC.再结合图形分别求出相应的即可. 7.(2020重庆A卷,26,8分)如图1,在RtABC中,BAC=90,AB=AC,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD绕 点A逆时针旋转90,得到AE,连接CE,D
37、E.点F是DE的中点,连接CF. (1)求证:CF=AD; (2)如图2所示,在点D运动的过程中,当BD=2CD时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在的数量 关系,并证明你猜想的结论; (3)在点D运动的过程中,在线段AD上存在一点P,使PA+PB+PC的值最小.当PA+PB+PC的值取得最小值 时,AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的长. 2 2 解析解析 (1)证明:BAC=DAE=90, BAD=CAE. 在ABD和ACE中, ABDACE,ABD=ACE. AB=AC,BAC=90,ABD=ACB=45, ECD=ACB+ACE=90. F是DE的中点,CF=DE
38、. AD=AE,DAE=90, DE=AD. CF=AD.(3分) , , , ABAC BADCAE ADAE 1 2 2 2 2 图1 (2)=3.理由如下: BC AG 2 如图1所示,连接AF,DG,DG交AC于点M. 由(1)知,AF=CF=DF=DE. FAC=FCA. GAC=90,FAG=FGA. AF=GF.GF=DF=CF. FGD=FDG,FDC=FCD. FDG+FDC=90.GDC=90. B=45,ACD=45, BD=GD,CD=MD,AMG=45. CAG=90.MG=AG. BD=2CD,BD=DG=2CD=2MG. BC=3MG=3AG. 即=3.(6分)
39、1 2 2 2 BC AG 2 (3)当ADBC时,在AD上存在点P,满足条件.此时,CE的长为m.(8分) 详解:如图2,将BPC绕点B顺时针旋转60得到BNM,连接PN, 图2 BP=BN,PC=NM,PBN=60, BPN是等边三角形,BP=PN, PA+PB+PC=AP+PN+MN, 33 2 当点A,P,N,M共线时,PA+PB+PC的值最小,如图3,连接MC, 图3 将BPC绕点B顺时针旋转60得到BNM, BP=BN,BC=BM,PBN=60=CBM, BPN是等边三角形,CBM是等边三角形, BPN=BNP=60,BM=CM. 又AB=AC,AM垂直平分BC. ADBC,BPD
40、=60,BD=PD, AB=AC,BAC=90,AD=BD, PD=PD+AP,PD=m, BD=PD=m, 由(1)可知CE=BD=m. 3 3 31 2 3 33 2 33 2 A组 20182020年模拟基础题组 时间:50分钟 分值:60分 一、选择题一、选择题(每小题3分,共15分) 1.(2020广西崇左江州一模,2)下列图形是我国国产品牌汽车的标识,在这些汽车标识中,是中心对称图形 的是( ) 答案答案 D A、B选项中的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形;C选项中的图形既不是轴对称图形, 也不是中心对称图形;D选项中的图形是中心对称图形.故选D. 2.(2020湖北武汉4月调
41、考,4)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 答案答案 D A选项中的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形;B选项中的图形是轴对称图形,但不是中 心对称图形;C选项中的图形不是轴对称图形,是中心对称图形;D选项中的图形既是轴对称图形,也是中 心对称图形.故选D. 3.(2019重庆第二外国语学校模拟,2)剪纸是我国传统的民间艺术,下列剪纸作品中,是轴对称图形的为 ( ) 答案答案 D A、B中的图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故A、B错误;C中的图形是中心对称 图形,不是轴对称图形,C错误;D中的图形是轴对称图形,D正确.故选D. 4.(2020云南曲靖马龙一模,6)
42、如图,在矩形ABCD中,AB=3,将ABD沿对角线BD对折,得到EBD,DE与 BC交于点F,若ADB=30,则FC=( ) A. B. C.2 D.3 3 3 333 答案答案 B 由翻折的性质可得,ADB=BDE=30, 四边形ABCD是矩形,ADC=90,CD=AB=3, CDF=30. 在RtCDF中,tanCDF=tan 30=, 解得FC=.故选B. FC CD3 FC3 3 3 5.(2018天津河东结课考试,12)如图,已知ABCD中,AEBC于点E,以点B为中心,取旋转角等于ABC, 把BAE顺时针旋转,得到BAE,连接DA.若ADC=60,ADA=50,则DAE的大小为(
43、) A.130 B.150 C.160 D.170 答案答案 C 四边形ABCD是平行四边形,ADC=60, ABC=60,ADBC. ADA=50, DAB=130, AEBC于点E, BAE=30, 由旋转的性质知,BAE=BAE=30, DAE=DAB+BAE=160. 故选C. 二、填空题二、填空题(每小题3分,共15分) 6.(2020辽宁鞍山铁东一模,11)如图,在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=4,把ABC绕点C顺时针 旋转45得到ABC,边AC、AB分别交AB于E、F,则AE的长为 . 答案答案 4-2 2 解析解析 把ABC绕点C顺时针旋转45得到ABC, ACE
44、=45,A=A=45,AC=AC=4,A=ACE=45,AEC=90, AE=CE=2, AE=AC-CE=4-2. 2 2 7.(2020上海奉贤二模,18)如图,在RtABC中,ACB=90,B=35,CD是斜边AB上的中线,如果将BCD 沿CD所在直线翻折,使点B落在点E处,连接AE,那么CAE的度数是 度. 答案答案 125 解析解析 如图所示,CD是斜边AB上的中线, CD=BD=AD,BCD=B=35,BDC=110, 由折叠可得,CDE=CDB=110,DE=DB=AD, BDE=360-2CDB=140, DAE=BDE=70, 又RtABC中,BAC=90-B=55, CAE
45、=BAC+DAE=125. 1 2 8.(2019黑龙江齐齐哈尔一模,13)如图,在RtABC中,C=90,AC=8,BC=6,按图中所示方法将BCD沿 BD折叠,使点C落在边AB上的点C处,则折痕BD的长为 . 答案答案 3 5 解析解析 C=90,AC=8,BC=6,AB=10. 根据折叠的性质得BC=BC,CD=DC,C=BCD=90. AC=10-6=4. 在RtACD中,设DC=x,则AD=8-x,根据勾股定理得(8-x)2=x2+42.解得x=3. CD=3.BD=3. 22 CDBC 22 365 9.(2019陕西西安工大附中一模,13)如图,将ABC沿BC边上的中线AD平移到
46、ABC的位置,已知 ABC的面积为18,阴影部分三角形的面积为8,若AA=1,则AD的值为 . 答案答案 2 解析解析 如图,设AB交BC于点E,AC交BC于点F.由平移及已知得AD为AEF中EF边的中线. SABC=18,SAEF=8,且BD=CD,ED=FD, SADE=SAEF=4,SABD=SABC=9. 将ABC沿BC边上的中线AD平移得到ABC, AEAB,DAEDAB, 则=,即=, 1 2 1 2 2 AD AD ADE ABD S S 2 1 AD AD 4 9 解得AD=2(负值舍去). 10.(2019新疆乌鲁木齐高新区一模,15)如图,在RtABC中,ACB=90,BC
47、=3,AC=4,点D为边AB上一点. 将BCD沿直线CD翻折,点B落在点E处,连接AE,BE.如果AECD,那么BE= . 答案答案 24 5 解析解析 设BE与CD交于点F,由折叠可得,CD垂直平分BE,CDAE,AEB=DFB=90,D是AB的中 点. RtABC中,ACB=90,BC=3,AC=4, AB=5, CD=AB=. 易知SABC=2SBCD,即ACBC=2CDBF, BF=,BE=2BF=. 22 ACBC 1 2 5 2 1 2 1 2 12 5 24 5 三、解答题三、解答题(共30分) 11.(2020湖北武汉4月调考,20)在网格纸上,横、纵坐标均为整数的点称为格点.如图,ABC的三个顶点A (2,1),B(6,3),C(3,3)均为格点,AB上的点D(4,2)也为格点.用无刻度的直尺作图: (1)将线段AD绕点A顺时针旋转90,得到线段AE,写出格点E的坐标; (2)将线段AE平移至线段CM,使点A与点C重合,直接写出
