1、 中考数学 （浙江专用） 3.3 反比例函数 A组 20162020年浙江中考题组 考点一 反比例函数的图象与性质 1.(2020金华,7,3分)已知点(-2,a),(2,b),(3,c)在函数y=(k0)的图象上,则下列判断正确的是( ) A.abc B.bac C.acb D.cb0, 函数y=(k0)的图象分布在第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小, -202c0,a0, ac0)的图象上,点C,D在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,ACBDy轴. 已知点A,B的横坐标分别为1,2,OAC与ABD的面积之和为,则k的值为( ) A.4 B.3 C.2 D. 1 x k x
2、3 2 3 2 答案答案 B 点A,B在反比例函数y=(x0)的图象上,且点A,B的横坐标分别是1,2, A(1,1),B.ACBDy轴, 点C与点A的横坐标相同,点D与点B的横坐标相同, 点C,D在反比例函数y=(k0,x0)的图象上, C(1,k),D, 延长CA、DB分别与x轴交于点E、点F, 则SOAC=SOCE-SOAE=-. 易知SABD= (2-1)=-, SOAC+SABD=-+-=-=, 1 x 1 2, 2 k x 2, 2 k 2 k1 2 1 2 1 22 k 4 k1 4 2 k1 24 k1 4 3 4 k3 4 3 2 k=3. 考查内容考查内容 考查反比例函数k
3、的几何意义,图形面积的转化求解. 4.(2016金华,10,3分)在四边形ABCD中,B=90,AC=4,ABCD,DH垂直平分AC,点H为垂足.设AB=x,AD= y,则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( ) 答案答案 D 如图,过点D作DEAB,垂足为E.在RtABC中,BC2=AC2-AB2=16-x2.易得四边形DEBC是矩形, BE=CD,BC=DE,DE2=BC2=16-x2,又DH垂直平分AC,CD=AD=y,AE=x-y,在RtADE中,AE2+ DE2=AD2,(x-y)2+16-x2=y2,化简得xy=8,y=(0x0,x0)图象上的位置如图所示,分别过这三个点作 x
4、轴、y轴的平行线.图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1,S2,S3.若OE=ED=DC,S1+S3=27,则S2的 值为 . k x 答案答案 27 5 解析解析 设CD=DE=OE=a(a0). 则P,Q,R, CP=,DQ=,ER=,ER=2DQ=3CP. OA=ER,OG=DQ,OF=CP, OG=AG,OF=2FG,OF=AG, S1=S3=2S2. S1+S3=27, S3=,S1=,S2=. 故答案为. ,3 3 k a a ,2 2 k a a , k a a 3 k a2 k a k a 2 3 2 3 81 5 54 5 27 5 27 5 思路分析思路分析 设DE=O
5、E=CD=a(a0),利用函数解析式分别表示P,Q,R的坐标,可得CP,DQ,ER的长.据此可 以推出OG=AG,OF=2FG,OF=AG,然后根据S1+S3=27可以求出S1,S2,S3的值. 2 3 解题关键解题关键 本题考查反比例函数,利用反比例函数图象上点的坐标特征进行图形面积的转化,利用代数 关系找出OG,AG,OF之间的数量关系是解题的关键. 6.(2019湖州,15,4分)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直线y=x-1分别交x轴,y轴于点A和点B,分别交 反比例函数y1=(k0,x0),y2=(x0)的图象于点C和点D,过点C作CEx轴于点E,连接OC,OD.若 COE的面积
6、与DOB的面积相等,则k的值是 . 1 2 k x 2k x 答案答案 2 解析解析 令x=0,得y=x-1=-1, B(0,-1),OB=1, 把y= x-1代入y2=(x0)中得x-1=(x0), 解得x=1-(舍正), xD=1-, SOBD= OB |xD|=-. CEx轴, SOCE= k, SCOE=SDOB, - =k, 1 2 1 2 2k x 1 2 2k x 41k 41k 1 2 1 2 41k 1 2 1 2 1 2 41k 1 2 1 2 k=2或k=0(舍去).故答案为2. 思路分析思路分析 求出直线y=x-1与y轴的交点B的坐标和直线y=x-1与y2=(x0,x0
7、)上,若顶点D的坐标为(5,3),则 直线BD的函数表达式是 . k x 答案答案 y=x 解析 D(5,3), A,C, B, 设直线BD的解析式为y=mx+n, 把D(5,3),B代入得解得 直线BD的解析式为y=x. 3 5 ,3 3 k 5, 5 k , 3 5 k k , 3 5 k k 53, , 35 mn kk mn 3 , 5 0, m n 3 5 8.(2020宁波,16,5分)如图,经过原点O的直线与反比例函数y=(a0)的图象交于A,D两点(点A在第一象 限),点B,C,E在反比例函数y=(b0). (1)当2x3时,函数y1的最大值是a,函数y2的最小值是a-4,求a
8、和k的值; (2)设m0,且m-1,当x=m时,y1=p;当x=m+1时,y1=q.圆圆说:“p一定大于q.”你认为圆圆的说法正确吗? 为什么? k x k x 解析解析 (1)因为k0,函数图象在第一、三象限,所以y1随x的增大而减小, 所以当x=2时,y1=a,即k=2a. 又因为-k0,函数图象在第二、四象限,所以y2随x的增大而增大, 所以当x=2时,y2=a-4,即-k=2a-8. 由,得a=2,k=4. (2)圆圆的说法不正确. 取m=m0,满足-1m00,则m00.所以当x=m0时,p=y1=0.此时p00时,反比例函数的图象在第一、第三象限内, 在同一象限内,y随x的增大而减小
9、.当k 0,x0)的图象上,边CD在x轴上,点B在y轴上,已知CD=2. (1)点A是否在该反比例函数的图象上?请说明理由; (2)若该反比例函数图象与DE交于点Q,求点Q的横坐标; (3)平移正六边形ABCDEF,使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上,试描述平移过程. k x 解析解析 (1)在.理由:过点P作x轴的垂线PG,连接BP, P是正六边形ABCDEF的对称中心,CD=2, BP=2,G是CD的中点, PG=,P(2,), P在反比例函数y=的图象上, k=2, y=, 由正六边形的性质知A的坐标为(1,2), 点A在反比例函数图象上. 3 3 k x 3 2 3 x
10、3 (2)易知D(3,0),E(4,), 设DE的解析式为y=mx+b(m0), y=x-3, 3 30, 43, mb mb 3, 3 3, m b 33 联立解得x=(舍负), Q点的横坐标为. (3)连接AP.AP=BC=EF,APBCEF, 平移过程:将正六边形ABCDEF先向右平移1个单位,再向上平移个单位,或将正六边形ABCDEF向 左平移2个单位. 2 3 , 33 3, y x yx 317 2 317 2 3 1.(2019台州,9,4分)已知某函数的图象C与函数y=的图象关于直线y=2对称,下列命题:图象C与函数y =的图象交于点;点在图象C上;图象C上的点的纵坐标都小于4
11、;A(x1,y1),B(x2,y2)是图 象C上任意两点,若x1x2,则y1y2.其中真命题是( ) A. B. C. D. 3 x 3 x 3 ,2 2 1 , 2 2 考点二 反比例函数的应用 答案答案 A 图象C与函数y=的图象关于直线y=2对称,点是图象C与函数y=的图象的交点, 正确; 点关于y=2对称的点为, 在函数y=的图象上, 点在图象C上, 正确; y=中y0,x0, 取y=上任意一点(x,y),则点(x,y)关于y=2对称的点的纵坐标为4-, 3 x 3 ,2 2 3 x 1 , 2 2 1 ,6 2 1 ,6 2 3 x 1 , 2 2 3 x 3 x 3 x 错误; A
12、(x1,y1),B(x2,y2)关于y=2对称的点(x1,4-y1),(x2,4-y2)在函数y=的图象上, 4-y1=,4-y2=, 当x10 x2时,4-y14-y2,y10)的图象恰 好经过点F,M.若直尺的宽CD=3,三角板的斜边FG=8,则k= . k x 3 答案答案 40 3 解析解析 过点M作MNAD,垂足为N, 则MN=CD=3, 在RtFMN中,MFN=30, FN=MN=3, AN=MB=8-3=5, 设OA=x,则OB=x+3, F(x,8),M(x+3,5), 8x=(x+3)5. 解得x=5, F(5,8), k=58=40. 33 333 33 33 3 33 3
13、.(2020湖州,16,4分)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,RtOAB的直角顶点B在x轴的正半轴上,点A在 第一象限,反比例函数y=(x0)的图象经过OA的中点C,交AB于点D,连接CD.若ACD的面积是2,则k的 值是 . k x 答案答案 8 3 解析解析 连接OD,过C作CEAB,交x轴于E. ABO=90,反比例函数y=(x0)的图象经过OA的中点C,交AB于点D, SCOE=SBOD=k, SACD=SOCD=2, CEAB,OCEOAB, =, k x 1 2 1 4 4SOCE=SOAB, 4k=2+2+k, k=. 1 2 1 2 8 3 4.(2016宁波,18,4分)
14、如图,点A为函数y=(x0)图象上一点,连接OA,交函数y=(x0)的图象于点B,点C是 x轴上一点,且AO=AC,则ABC的面积为 . 9 x 1 x 答案答案 6 解析解析 如图,作ADOC于点D,BEOC于点E, 则BEAD,OBEOAD, =,则=,=, =,SABC=SAOC,AO=AC, OD=CD,SAOC=2SAOD=2=9, 2 OB OA 2 OB OA 1 2 9 2 1 9 OB OA 1 3 AB OA 2 3 2 3 9 2 SABC=SAOC=9=6. 2 3 2 3 关键提示关键提示 本题涉及反比例函数中k的几何意义,相似三角形的面积关系.解题的关键是找到OB和
15、OA的 比例关系. 5. (2017金华,15,4分)如图,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y=的图象上,作射线AB,再将射线AB 绕点A按逆时针方向旋转45,交反比例函数图象于点C,则点C的坐标为 . k x 答案答案 (-1,-6) 解析解析 如图所示,设AC与x轴交于点D,过A作AEx轴于E,以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG,交射线 AB于P, 根据点A(2,3)和点B(0,2),可得直线AB的解析式为y=x+2,由A(2,3)知k=23=6, 反比例函数的解析式为y=. 易得OF=1,F(-1,0), 对于y=x+2,当x=-1时,y=-+2=, 即P,PF=
16、, 设将AGP绕点A逆时针旋转90得AEH,则EH=PG=,易得ADPADH,PD=HD, 设DE=x,则DH=DP=x+,FD=3-x, 在RtPDF中,有PF2+DF2=PD2, 1 2 6 x 1 2 1 2 3 2 3 1, 2 3 2 3 2 3 2 即+(3-x)2=,解得x=1, OD=2-1=1,即D(1,0), 根据点A(2,3)和点D(1,0),可得直线AD的解析式为y=3x-3, 解方程组可得或C(-1,-6). 故答案为(-1,-6). 2 3 2 2 3 2 x 33, 6 , yx y x 2, 3 x y 1, 6, x y 关键提示关键提示 本题主要考查了反比例
17、函数与一次函数图象交点问题,以及反比例函数图象上点的坐标特 征的运用,解决问题的关键是作辅助线构造正方形以及全等三角形,进而依据勾股定理列方程求解. 6.(2020台州,20,8分)小明同学训练某种运算技能,每次训练完成相同数量的题目,各次训练题目难度相 当.当训练次数不超过15次时,完成一次训练所需要的时间y(单位:秒)与训练次数x(单位:次)之间满足如 图所示的反比例函数关系,完成第3次训练所需时间为400秒. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)当x的值为6,8,10时,对应的函数值分别为y1,y2,y3,比较(y1-y2)与(y2-y3)的大小:y1-y2 y2-y3. 解析解析
18、(1)设y与x之间的函数关系式为y=. 把(3,400)代入y=得,400=. 解得k=1 200. y与x之间的函数关系式为y=. (2)把x=6,8,10分别代入y=得, y1=200,y2=150, y3=120, y1-y2=200-150=50,y2-y3=150-120=30,且5030, y1-y2y2-y3, k x k x3 k 1 200 x 1 200 x 1 200 6 1 200 8 1 200 10 故答案为. 7.(2019杭州,20,10分)方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为480千米,设小汽车的行驶时 间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千
19、米/小时),且全程速度限定为不超过120千米/小时. (1)求v关于t的函数表达式; (2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发. 方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地,求小汽车行驶速度v的范围; 方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由. 解析解析 (1)根据题意,得vt=480,所以v=. 因为4800,所以当v120时,t4,所以v=(t4). (2)根据题意,得4.8t6. 因为4800,所以v,所以80v100. 方方不能在11点30分前到达B地,理由如下: 若方方在11点30分前到达B地,则t120,所以方方不能在11点30分前到达B地. 480
20、t 480 t 480 6 480 4.8 480 3.5 8.(2017杭州,20,10分)在面积都相等的所有矩形中,当其中一个矩形的一边长为1时,与该边相邻的边长为3. (1)设矩形的相邻两边长分别为x,y. 求y关于x的函数表达式; 当y3时,求x的取值范围; (2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6,方方说有一个矩形的周长为10.你认为圆圆和方方的说法对吗?为 什么? 解析解析 (1)由题意知xy=3,所以y=, 即y关于x的函数表达式为y=(x0). 当y=3时,x=1, 由函数图象可知当y3时,x的取值范围是0x1. (2)圆圆的说法不对,方方的说法对,理由如下: 设矩形的周长为l,相
21、邻两边长分别为x,l-x, 则x=3,即2x2-lx+6=0,则=l2-48,当l=6时,=-120, 3 x 3 x 1 2 1 2 lx 此时,矩形的相邻两边长分别为,. 所以存在面积为3,周长为10的矩形, 所以方方的说法对. 513 2 513 2 关键提示关键提示 第(2)问可以通过列方程,检验方程的解是否存在来解决. 9.(2018湖州,24,12分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知ABC,ABC=90,顶点A在第一象限,B,C在x 轴的正半轴上(C在B的右侧),BC=2,AB=2,ADC与ABC关于AC所在的直线对称. (1)当OB=2时,求点D的坐标; (2)若点A和点D
22、在同一个反比例函数的图象上,求OB的长; (3)如图2,将第(2)题中的四边形ABCD向右平移,记平移后的四边形为A1B1C1D1,过点D1的反比例函数y= (k0)的图象与BA的延长线交于点P.问:在平移过程中,是否存在这样的k,使得以点P,A1,D为顶点的三角 形是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的k的值;若不存在,请说明理由. 3 k x 解析解析 (1)如图,过点D作DEx轴于点E. ABC=90,tanACB=,ACB=60, 易知DC=BC=2,ACD=ACB=60, DCE=60, CDE=90-60=30,(2分) CE=1,DE=,OE=OB+BC+CE=5, 点D
23、的坐标是(5,).(4分) (2)设OB=a,则点A的坐标是(a,2), AB BC 3 3 3 3 由题意,得CE=1,DE=, 点D的坐标是(3+a,).(6分) 点A和点D在同一个反比例函数的图象上, 2a=(3+a), 解得a=3,即OB的长为3.(8分) (3)存在,k的值为10或12.(12分) 3 3 33 33 B组 20162020年全国中考题组 考点一 反比例函数的图象与性质 1.(2017甘肃兰州,11,4分) 如图,反比例函数y=(x0)与一次函数y=x+4的图象交于A,B两点,A,B两点的横坐标分别为-3,-1,则关于x k x 的不等式x+4(x0)的解集为( )
24、A.x-3 B.-3x-1 C.-1x0 D.x-3或-1x0 k x 答案答案 B 由题意知A,B两点既在一次函数y=x+4的图象上,又在反比例函数y=(x0)的图象上,当x-3 时,反比例函数y=(x0)的图象在一次函数y=x+4图象的上方;当-3x-1时,反比例函数y=(x0)的图象 在一次函数y=x+4图象的下方;当-1x0时,反比例函数y=(x0)的图象与(1)求得的函数的图象交于A,B两点,O为坐标原点且SAOB=30,求反比 例函数解析式;已知a0,点(a,y2)与(a,y1)分别在反比例函数与(1)求得的函数的图象上,直接写出y2与y1的 大小关系. k x 解析解析 (1)根
25、据题表中的数据发现:y1和x的和为10,y1=10-x, 且当x=0时,y1=10,令y1=0,得x=10, M(10,0),N(0,10). (2)设A(m,10-m),B(n,10-n), 分别过A和B作x轴的垂线,垂足为C和D,如图, SAOB=SAOM-SOBM =10(10-m)-10(10-n)=30, 化简得n-m=6, 令y1=y2,得x2-10 x+k=0, m+n=10,mn=k,n-m=6, 则=6,解得k=16,反比例函数解析式为y2=, 解x2-10 x+16=0,得x=2或x=8,A(2,8),B(8,2), 1 2 1 2 2 ()4mnmn 2 104k 16
26、x (a,y2)在反比例函数y2=的图象上,(a,y1)在一次函数y1=10-x的图象上,当0a8时,y2y1,当2a 8或a0时,y20)个单位后,点C和点M平移后的对 应点同时落在另一个反比例函数y=的图象上时,求k的值. k x 解析解析 (1)令-2x+8=,得x2-4x+4=0(x0),解得x1=x2=2,则y=4,切点C的坐标为(2,4).故填(2,4). (2)由(1)可知C(2,4), 直线y=-2x+8与x轴交于点B,B(4,0), 线段BC的中点M(3,2). 直线AB向左平移m(m0)个单位, 点C平移后的对应点的坐标为(2-m,4), 点M平移后的对应点的坐标为(3-m
27、,2), 平移后的对应点同时落在反比例函数y=的图象上,解得k的值是4. 8 x k x 2(3), 4(2), mk mk 1, 4. m k 思路分析思路分析 (1)联立两个解析式求出点C的坐标;(2)首先求出平移后点C和点M对应点的坐标(用含m的代 数式表示横坐标),然后根据两点落在另一反比例函数图象上列出二元一次方程组,求出m和k的值. 方法指导方法指导 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题 的关键. 6.(2019辽宁大连,22,9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,2)在反比例函数y=(x0)的图象上,点B在 OA的延长线上,
28、BCx轴,垂足为C,BC与反比例函数的图象相交于点D,连接AC,AD. (1)求该反比例函数的解析式; (2)若SACD=,设点C的坐标为(a,0),求线段BD的长. k x 3 2 解析解析 (1)将(3,2)代入y=中,得2=,解得k=6,所以该反比例函数的解析式为y=(x0). (2)过A作AEBC于点E,延长EA交y轴于点F, 点A的坐标为(3,2),AF=3, BCx轴,点C的坐标为(a,0), 点D的坐标为,AE=a-3. SACD=CD AE= (a-3)=, a=6,经检验,a=6是上述分式方程的解. 点D的坐标为(6,1). 设OA所在直线的解析式为y=mx(m0), 将(3
29、,2)代入,得2=3m,解得m=, k x3 k6 x 6 , a a 1 2 1 2 6 a 3 2 2 3 OA所在直线的解析式为y=x, 当x=6时,y=6=4. 点B的坐标为(6,4).BD=3. 2 3 2 3 1.(2020安徽,13,5分)如图,一次函数y=x+k(k0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B,与反比例函数y= 的图象在第一象限内交于点C,CDx轴,CEy轴,垂足分别为点D,E.当矩形ODCE与OAB的面积相等 时,k的值为 . k x 考点二 反比例函数的应用 答案答案 2 解析解析 由一次函数表达式易得A(-k,0),B(0,k),OAB的面积S1=k2.CDx
30、轴,CEy轴,矩形ODCE 的面积S2=xCyC=k,S1=S2,k2=k,k=2(k=0舍去). 1 2 1 2 2.(2019湖北黄冈,15,3分)如图,一直线经过原点O,且与反比例函数y=(k0)相交于点A,点B,过点A作AC y轴,垂足为C.连接BC.若ABC的面积为8,则k= . k x 答案答案 8 解析解析 设点A(a,b)(a0,b0),则点B(-a,-b),所以AC=a,点B到直线AC的距离是2b,则SABC=a2b=ab=8,将 点A的坐标代入反比例函数表达式可得k=ab=8. 1 2 思路分析思路分析 由反比例函数的性质易知点A与点B关于原点对称,可设点A(a,b),则点
31、B(-a,-b),然后根据ABC的 面积为8可求ab,将点A的坐标代入反比例函数表达式可得k=ab,问题解决. 3.(2018内蒙古包头,19,3分) 以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点,以平行于两边的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角 坐标系,BEAC,垂足为E.若双曲线y=(x0)经过点D,则OB BE的值为 . 3 2x 答案答案 3 解析解析 根据题意得,矩形ABCD的顶点B在双曲线y=上,顶点A,C在双曲线y=-上.设AB与x轴交于 点M,BC与y轴交于点N,则SAMO=SCNO=,S矩形BMON=,SABC=3.OB=BD=AC,BEAC,SABC=BE AC=BE 2O
32、B=3,即OB BE=3. 3 2x 3 2x 3 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 根据图形的对称性可得点A、C在双曲线y=-上,点B在双曲线y=上,由反比例函数y= 中k的几何意义得SABC=2|k|=3,即SABC=BE AC=BE 2OB=BE OB=3. 3 2x 3 2x k x 1 2 1 2 解后反思解后反思 本题主要考查矩形的性质,反比例函数中比例系数k的几何意义.要根据k的几何意义求得 SABC,SABC可以表示为BE AC,又由OB=AC,进而求得OB BE的值. 1 2 1 2 4.(2018四川成都,25,4分) 设双曲线y=(k0)与直线
33、y=x交于A,B两点(点A在第三象限),将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方 向平移,使其经过点A,将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移,使其经过点B,平移后的两条曲 线相交于P,Q两点,此时我们称平移后的两条曲线所围部分(如图中阴影部分)为双曲线的“眸”,PQ为 双曲线的“眸径”,当双曲线y=(k0)的眸径为6时,k的值为 . k x k x 答案答案 3 2 如图所示,以PQ为边,作矩形PQQP交双曲线在第一象限的一支于点P,点Q,联立得得x2=k, x=,B点坐标为(,),A点坐标为(-,-). PQ=6,OP=3, 由双曲线的对称性,得P的坐标为. A点平移到B点与P点平移到
34、P的距离相同,A点向右平移 2个单位,向上平移2个单位得到B,P 的坐标为 , 点P在反比例函数y=的图象上, xy=k,代入得 =k,解得k=. , , k y x yx kk k kk 3 2 3 2 , 22 kk 3 23 2 2,2 22 kk k x 3 2 2 2 k 3 2 2 2 k 3 2 解析解析 思路分析思路分析 以PQ为边,作矩形PQQP交双曲线在第一象限的一支于点P,点Q,联立直线AB及双曲线解 析式得方程组,即可求出点A,点B的坐标,由PQ的长度以及对称性可得点P的坐标,根据平移的性质得AB= PP,求出点P的坐标,代入y=,得出关于k的方程,解之得k值. k x
35、 疑难突破疑难突破 本题考查了反比例函数与一次函数的图象交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩 形的性质,难点是P点的坐标的确定,关键是根据平移的性质判断AB=PP,由A,B两点的坐标确定平移方 向和距离是突破点,再把点P进行相同的平移可以求出点P的坐标. 5.(2020云南昆明,19,8分)为了做好校园疫情防控工作,校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒 消毒,她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19 min,完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11 min. (1)校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间? (2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度y(单位:mg/m3)与
36、时间x(单位:min)的函数关系如图所示.校医进 行药物喷洒时y与x的函数关系式为y=2x,药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系,两个函数图象的交点 为A(m,n).当教室空气中的药物浓度不高于1 mg/m3时,对人体健康无危害.校医依次对一班至十一班教室 (共11间)进行药物喷洒消毒,当她把最后一间教室药物喷洒完成后,一班学生能否进入教室?请通过计算 说明. 解析解析 (1)设校医完成一间办公室的药物喷洒要a min,一间教室的药物喷洒要b min.(1分) 根据题意得(3分) 解得(4分) 答:校医完成一间办公室的药物喷洒要3 min,一间教室的药物喷洒要5 min.(5分) (2)由(1
37、)得,m=5,则n=25=10, A(5,10), 设药物喷洒完成后y与x的函数解析式为y=(k0), 则10=,解得k=50,y=(x5),(7分) 3219, 211, ab ab 3, 5. a b k x 5 k50 x 当y1时,即1,解得x50, 115=55 min50 min, 当校医把最后一间教室药物喷洒完成后,一班学生能进入教室.(8分) 50 x 6.(2019甘肃兰州,23,7分)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=(k0)的图象过等边三角形BOC 的顶点B,OC=2,点A在反比例函数图象上,连接AC,AO. (1)求反比例函数y=(k0)的表达式; (2)若
38、四边形ACBO的面积是3,求点A的坐标. k x k x 3 解析解析 (1)OC=2,且BOC为等边三角形, B(-1,-),k=(-1)(-)=, 反比例函数表达式为y=. (2)S四边形ACBO=SBOC+SAOC,过点A作ANx轴于点N. SBOC=OC2=,+SAOC=3, SAOC=2,即OC AN=2, 又OC=2,AN=2, 设A(t,2),2t=,t=, 即点A的坐标为. 333 3 x 3 4 33 3 3 1 2 3 3 333 1 2 1 ,2 3 2 思路分析思路分析 (1)根据等边三角形的性质及OC=2可求点B的坐标,再代入反比例函数的表达式即可求k;(2) 由四边
39、形ACBO的面积等于三角形BOC与三角形AOC的面积之和,可得三角形AOC的面积,利用OC=2,可 求点A到x轴的距离,即点A的纵坐标,设出点A的坐标,代入反比例函数的表达式求出点A的横坐标,问题得 到解决. C组 教师专用题组 考点一 反比例函数的图象与性质 1.(2018辽宁沈阳,9,2分)点A(-3,2)在反比例函数y=(k0)的图象上,则k的值是( ) A.-6 B.- C.-1 D.6 k x 3 2 答案答案 A 把代入y=,得2=,k=-6. 3, 2 x y k x3 k 2.(2020江苏苏州,10,3分)如图,平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,点D(3,2)在对角
40、线OB上,反比 例函数y=(k0,x0)的图象经过C、D两点.已知平行四边形OABC的面积是,则点B的坐标为( ) A. B. C. D. k x 15 2 8 4, 3 9 ,3 2 10 5, 3 24 16 , 55 答案答案 B 如图,分别过点D、B作DEx轴于点E,BFx轴于点F,延长BC交y轴于点H, 反比例函数y=(k0,x0)的图象经过D(3,2), k=23=6,即反比例函数解析式为y=. DEBF, ODEOBF, k x 6 x =,=, 2OF=3BF,设B(3a,2a)(a0), 平行四边形OABC的面积是, OA 2a=, OA=BC, 点C的坐标为, 则2a=6,
41、 解得a1=,a2=-(舍去), DE OE BF OF BF OF 2 3 15 2 15 2 15 4a 15 3,2 4 aa a 15 3 4 a a 3 2 3 2 点B的坐标为,故选B. 9 ,3 2 3.(2020广西北部湾经济区,12,3分)如图,点A,B是直线y=x上的两点,过A,B两点分别作x轴的平行线交双曲 线y=(x0)于点C,D,若AC=BD,则3OD2-OC2的值为( ) A.5 B.3 C.4 D.2 1 x 3 23 答案答案 C 延长BD交y轴于E,延长CA交y轴于F, 设C,D,则FC=n,DE=m, 点A,B在直线y=x上,OF=AF=,OE=BE=, 故
42、BD=BE-DE=-m, AC=FC-AF=n-, 1 , n n 1 ,m m 1 n 1 m 1 m 1 n BD=AC,=n-, 3=,整理得3-=4, 又3OD2=3(OE2+DE2)=3, OC2=FC2+OF2=n2+, 3OD2-OC2=3-=4.故选C. 33 1 m m 1 n 2 1 m m 2 1 n n 2 2 1 m m 2 2 1 n n 2 2 1 m m 2 1 n 2 2 1 m m 2 2 1 n n 4.(2020重庆A卷,12,4分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合,点E 是x轴上一点,连接AE.若AD平分OAE,反
43、比例函数y=(k0,x0)的图象经过AE上的两点A,F,且AF=EF, ABE的面积为18,则k的值为( ) A.6 B.12 C.18 D.24 k x 答案答案 B 连接BD,AD平分OAE,OAD=EAD,四边形ABCD是矩形,OA=OD,ODA= OAD,ODA=EAD,BDAE,AOE与ABE的面积相等,为18,又AF=EF,OEF的面积为 9,设F,F为AE的中点且A点在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,A,过A作AMx轴交 于M,过F作FNx轴交于N,则OM=,MN=,又AF=EF,MN=NE,OFN的面积为OEF面积的, 为6,k=2SOFN=12. , k a a k x
44、 2 , 2 ak a 2 a 2 a2 3 5.(2018宁波,10,4分)如图,平行于x轴的直线与函数y=(k10,x0),y=(k20,x0)的图象分别相交于A,B 两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点.若ABC的面积为4,则k1-k2的值为( ) A.8 B.-8 C.4 D.-4 1 k x 2 k x 答案答案 A 设点A的坐标为(x1,y1),则点B的坐标为. SABC= y1 AB= y1=4,x1y1-k2=8. 又x1y1=k1,k1-k2=8.故选A. 2 1 1 , k y y 1 2 1 2 2 1 1 k x y 6.(2018安徽,13,5分)如图,正比例
45、函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2,m),ABx轴于点B.平 移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是 . 6 x 答案答案 y=x-3 3 2 解析解析 将点A的坐标代入y=,可得m=3,将A(2,3)代入y=kx,可得k=,因为ABx轴,所以点B(2,0),由平移 可得直线l对应的函数表达式为y=(x-2)=x-3. 6 x 3 2 3 2 3 2 7.(2019陕西,13,3分)如图,D是矩形AOBC的对称中心,A(0,4),B(6,0).若一个反比例函数的图象经过点D,交 AC于点M,则点M的坐标为 . 答案答案 3 ,4 2 解析解析 点D
46、是矩形AOBC的对称中心,A(0,4),B(6,0),点D是AB的中点,点D的坐标为(3,2),设反比例 函数解析式为y=(k0),把(3,2)代入得k=6.点M的纵坐标与点A的纵坐标相同,为4,令4=,得x=,点M 的坐标为. k x 6 x 3 2 3 ,4 2 思路分析思路分析 首先根据矩形的对称性求出点D的坐标,进而求出反比例函数解析式,最后根据点M的纵坐 标与点A的纵坐标相同,求出点M的坐标. 方法指导方法指导 解答反比例函数与几何图形相结合问题的常用方法是由点的坐标求相关线段的长度,根据 相关线段的长度求点的坐标. 8.(2019福建,16,4分)如图,菱形ABCD的顶点A在函数y=(x0)的图象上,函数y=(k3,x0)的图象关于直 线AC对称,且过B,D两点.若AB=2,BAD=30,则k= . 3 x k x 答案答案 6+2 3 解析解析 连接AC,过B作BFx轴于F,过A作AMBF于M.如图. 由双曲线的对称性可知,点A,C是第一象限角平分线上的点,即xA=yA,=3,即xA=,A(,). 根据题意可得CAM=45, BAC=BAD=30=15, BAM=30,BM=AB=2=1. AM=. B(2,1+). 2 A x 3 33 1 2 1 2 1 2 1 2 22 ABBM 2 213 33 k=2(
