1、 中考数学 （山东专用） 第八章 专题拓展 8.2 新定义问题 1.(2020枣庄,9,3分)对于实数a、b,定义一种新运算“”为ab=,这里等式右边是实数运算.例如:1 3=-.则方程x(-2)=-1的解是( ) A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=7 2 1 -a b 2 1 1-3 1 8 2 -4x 答案答案 B 根据题意,得=-1,整理得1=2-(x-4),解得x=5. 经检验x=5是分式方程的解.故选B. 2 1 -(-2)x 2 -4x 2.(2019临沂平邑一模,19)对于两个实数,规定maxa,b表示a、b中的较大值,当ab时,maxa,b=a,当a-x2-1,函数y
2、=maxx2+2x+2,-x2-1的最小值是1. 3.(2018湖南娄底,12,3分)已知:x表示不超过x的最大整数.例:3.9=3,-1.8=-2.令关于k的函数f(k)=- (k是正整数).例:f(3)=-=1.则下列结论错误的是( ) A.f(1)=0 B.f(k+4)=f(k) C.f(k+1)f(k) D.f(k)=0或1 1 4 k 4 k 3 1 4 3 4 答案答案 C f(1)=-=0-0=0,故选项A正确; f(k+4)=-=-=-=f(k),故选项B正确; 当k=3时,f(3+1)=-=1-1=0,而f(3)=1,故选项C错误; 当k=3+4n(n为自然数)时,f(k)=
3、1,当k为其他的正整数时,f(k)=0,故选项D正确.故选C. 1 1 4 1 4 41 4 k 4 4 k 1 1 4 k 1 4 k 1 4 k 4 k 41 4 4 4 4.(2020江西,9,3分)公元前2000年左右,古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号(如图所示),一个钉头形 代表1,一个尖头形代表10.在古巴比伦的记数系统中,人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同,最 右边的数字代表个位,然后是十位,百位.根据符号记数的方法,图中符号表示一个两位数,则这个两位数是 . 答案答案 25 解析解析 两个尖头形表示20,5个钉头形表示5,所以这个两位数为25. 5.(2020枣庄,
4、18,4分)各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交点)上的多边形称为格点多边形,它的面积S 可用公式S=a+b-1(a是多边形内的格点数,b是多边形边界上的格点数)计算,这个公式称为“皮克(Pick)定 理”.如图给出了一个格点五边形,则该五边形的面积S= . 1 2 答案答案 6 解析解析 a表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,a=4,b=6,该五边形的面积S=4+ 6-1=6. 1 2 思路分析思路分析 分别统计出多边形内部的格点数a和边界上的格点数b,代入公式S=a+b-1中,即可得出格点多 边形的面积. 1 2 6.(2020临沂,19,3分)我们知道,两点之间线段最短
5、,因此,连接两点间线段的长度叫做两点间的距离;同理,连 接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,因此,直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做 点到直线的距离.类似地,连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中,最短线段的长度,叫做点到曲线的距 离.依此定义,如图,在平面直角坐标系中,点A(2,1)到以原点为圆心,以1为半径的圆的距离为 . 答案答案 -1 5 解析解析 连接AO交O于B, 则线段AB的长度即为点A(2,1)到以原点为圆心,以1为半径的圆的距离, 根据点A坐标及勾股定理易知OA=, OB=1,AB=-1,即点A(2,1)到以原点为圆心,以1为半径的圆的距离为-1. 22
6、215 55 7.(2019甘肃定西,17,4分)定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的 “特征值”.若等腰ABC中,A=80,则它的特征值k= . 答案答案 或 8 5 1 4 解析解析 当A为顶角时,等腰三角形两底角的度数为=50, 特征值k=. 当A为底角时,顶角的度数为180-80-80=20, 特征值k=. 综上所述,特征值k为或. 180?-80? 2 80? 50? 8 5 20? 80? 1 4 8 5 1 4 8.(2019德州,16,3分)x表示不超过x的最大整数,例:4.8=4,-0.8=-1.现定义:x=x-x,例:1.5=1.5-1.5=
7、 0.5,则3.9+-1.8-1= . 答案答案 1.1 解析解析 根据题意得3.9+-1.8-1=3.9-3-1.8+2-1+1=1.1. 9.(2020内蒙古呼和浩特,22,7分)“通过等价变换,化陌生为熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决问题的 基本思维方式.例如:解方程x-=0,就可以利用该思维方式,设=y,将原方程转化为:y2-y=0这个熟悉的关 于y的一元二次方程,解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解决下面的问 题. 已知实数x,y满足求x2+y2的值. xx 22 22 522133, 251, 4 x yxy xy x y 解析解析 令xy=a,
8、x+y=b,则原方程组可化为 整理得 -得11a2=275, 解得a2=25,代入可得b=4, 方程组的解为或 x2+y2=(x+y)2-2xy=b2-2a, 当a=5时,x2+y2=6, 当a=-5时,x2+y2=26,因此x2+y2的值为6或26. 2 2 52133, 251, 4 ab b a 2 2 52133, 162408, ab ab 5, 4 a b -5, 4, a b 思路分析思路分析 本题是一道阅读理解题,须先理解并掌握材料所给的方法,结合所学知识推导,求解. 10.(2019济宁,21,8分)阅读下面的材料: 如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x
9、1,x2, (1)若x1x2,都有f(x1)f(x2),则称f(x)是增函数; (2)若x1f(x2),则称f(x)是减函数. 例题:证明函数f(x)=(x0)是减函数. 证明:设0x1x2, f(x1)-f(x2)=-=. 0x10,x1x20. 6 x 1 6 x 2 6 x 21 12 6-6xx x x 21 12 6(- )x x x x 0,即f(x1)-f(x2)0. f(x1)f(x2). 函数f(x)=(x0)是减函数. 根据以上材料,解答下面的问题: 已知函数f(x)=+x(x0),f(-1)=+(-1)=0, f(-2)=+(-2)=-. (1)计算:f(-3)= , f
10、(-4)= ; (2)猜想:函数f(x)=+x(x0)是 函数(填“增”或“减”); (3)请仿照例题证明你的猜想. 21 12 6(- )x x x x 6 x 2 1 x 2 1 (-1) 2 1 (-2) 7 4 2 1 x 解析解析 (1)f(x)=+x(x0), f(-3)=-3=-, f(-4)=-4=-. 故答案为-,-. (2)增. (3)证明:设x1x20, f(x1)-f(x2)=+x1-x2=(x1-x2). x1x20,x1-x20, x1+x20, 2 1 x 2 1 (-3) 26 9 2 1 (-4) 63 16 26 9 63 16 2 1 1 x 2 2 1 x 12 22 12 1- xx x x f(x1)-f(x2)0, f(x1)f(x2), 函数f(x)=+x(x0)是增函数. 2 1 x 2 1 x 2 2 x
