1、 中考数学 （江苏专用） 8.5 数学思想方法 1.(2020福建,10,4分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2-2ax上的点,下列命题正确的是( ) A.若|x1-1|x2-1|,则y1y2 B.若|x1-1|x2-1|,则y10时,如图所示: 若|x1-1|x2-1|,则x1到1的距离大于x2到1的距离. 由图知y1y2, 若|x1-1|x2-1|,则x1到1的距离小于x2到1的距离. 由图知y1|x2-1|,则x1到1的距离大于x2到1的距离. 由图知y1y2, 若|x1-1|y2. 综上所述,A、B不正确. 由图可知,D不正确. 若|x1-1|=|x2-1|
2、,则x1,x2到1的距离相等,所以y1=y2,故选C. 方法指导方法指导 解决二次函数中a不确定的问题时,一定要分a0和a0两种情况讨论,并且能结合图象分析 题意.(画草图时,需画出开口方向,对称轴等) 当a0,x0)图象上的位置如图所示,分别过这三个 点作x轴、y轴的平行线.图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1,S2,S3.若OE=ED=DC,S1+S3=27,则S 2的值为 . k x 答案答案 27 5 解析解析 设CD=DE=OE=a(a0). 则P,Q,R, CP=,DQ=,ER=,ER=2DQ=3CP. OA=ER,OG=DQ,OF=CP, OG=AG,OF=2FG,OF=A
3、G, S1=S3=2S2. S1+S3=27,S3=,S1=,S2=. 故答案为. ,3 3 k a a ,2 2 k a a , k a a 3 k a2 k a k a 2 3 2 3 81 5 54 5 27 5 27 5 思路分析思路分析 设DE=OE=CD=a(a0),利用函数解析式分别表示P,Q,R的坐标,可得CP,DQ,ER的长.据此可 以推出OG=AG,OF=2FG,OF=AG,然后根据S1+S3=27可以求出S1,S2,S3的值. 2 3 解题关键解题关键 本题考查反比例函数,利用反比例函数图象上点的坐标特征进行图形面积的转化,利用代数 关系找出OG,AG,OF之间的数量关系
4、是解题的关键. 4.(2019常州,26,10分)【阅读】 数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立 相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称作富比尼原理,是一种重要的数学思想. 【理解】 (1)如图1,两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形, 用两种不同的方法计算梯形的面积,并写出你发现的结论; (2)如图2,n行n列的棋子排成一个正方形,用两种不同的方法计算棋子的个数,可得算式:n2= ; 【运用】 (3)n边形有n个顶点,在它的内部再画m个点,以(m+n)个点为顶点,把n边形剪成
5、若干个三角形,设最多可以 剪得y个这样的三角形.当n=3,m=3时,如图3,最多可以剪得7个这样的三角形,所以y=7. 当n=4,m=2时,如图4,y= ;当n=5,m= 时,y=9; 对于一般的图形,在n边形内画m个点,通过归纳猜想, 可得y= (用含m、n的代数式表示).请对 同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立. 解析解析 (1)三个直角三角形的面积分别为ab,ab和c2.直角梯形的面积为(a+b)(a+b). 由图形可知(a+b)(a+b)=ab+ab+c2, 整理得(a+b)2=2ab+c2,a2+b2+2ab=2ab+c2, a2+b2=c2. 故结论为:直角边长分别为a、b,斜
6、边长为c的直角三角形中,a2+b2=c2. (2)n行n列的棋子排成一个正方形,棋子个数为n2. 每层棋子分别为1,3,5,7,2n-1. 由图形可知:n2=1+3+5+7+2n-1. 故答案为1+3+5+7+2n-1. (3)如图,当n=4,m=2时,y=6. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 如图,当n=5,m=3时,y=9. 方法1,对于一般的情形,在n边形内画m个点,第一个点将多边形分成了n个三角形,以后三角形内部每 增加一个点.分割部分增加2部分.故可得y=n+2(m-1). 方法2,以ABC的三个顶点和它内部的m个点,共(m+3)个点为顶点,可把ABC
7、分割成3+2(m-1)个互不 重叠的小三角形,以四边形的4个顶点和它内部的m个点,共(m+4)个点为顶点,可把四边形分割成4+2(m- 1)个互不重叠的小三角形,故以n边形的n个顶点和它内部的m个点,共(m+n)个点为顶点,可把原n边 形分割成n+2(m-1)个互不重叠的小三角形.故可得y=n+2(m-1). 5.(2017山东泰安)如图,正方形ABCD中,G为BC边上一点,BEAG于E,DFAG于F,连接DE. (1)求证:ABEDAF; (2)若AF=1,四边形ABED的面积为6,求EF的长. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是正方形,BAE+DAF=90,AB=AD, DFAG,BE
8、AG, DAF+ADF=90, BAE=ADF, 在ABE和DAF中, ABEDAF(AAS). (2)设EF=x,则AE=DF=x+1, 由题意得2(x+1)1+x(x+1)=6, 解得x=2或-5(舍弃),EF=2. , , , AEBDFA BAEADF ABDA 1 2 1 2 思路分析思路分析 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是正确 寻找全等三角形,利用参数构建方程,属于中考常考题型. 6.(2018南京,25,9分)小明从家出发,沿一条直道跑步,经过一段时间原路返回,刚好在第16 min回到家中, 设小明出发第t min时的速度为v m/mi
9、n,离家的距离为s m,v与t之间的函数关系如图所示(图中的空心圈 表示不包含这一点). (1)小明出发第2 min时离家的距离为 m; (2)当2t5时,求s与t之间的函数表达式; (3)画出s与t之间的函数图象. 解析解析 (1)1002=200(m). 故小明出发第2 min时离家的距离为200 m.(2分) (2)当2t5时,s=1002+160(t-2)=160t-120. 故s与t之间的函数表达式为s=160t-120(2t5).(4分) (3)根据题意可知,smax= =780, 又+5=6.25(min), 故小明在第6.25 min开始返回. 故s与t之间的函数表达式为s= s与t之间的函数图象如图所示. 1002160 380 11 2 780-1002-160 3 80 100 (02), 160 -120(25), 80280(56.25), 1 280-80 (6.2516). tt tt tt tt (9分)
