1、 中考数学 （湖南专用） 8.4 阅读理解型 1.(2018湖南娄底,12,3分)已知:x表示不超过x的最大整数.例:3.9=3,-1.8=-2.令关于k的函数f(k)= -(k是正整数).例:f(3)=-=1.则下列结论错误的是( ) A.f(1)=0 B.f(k+4)=f(k) C.f(k+1)f(k) D.f(k)=0或1 1 4 k 4 k 3 1 4 3 4 答案答案 C f(1)=-=0-0=0,故选项A正确; f(k+4)=-=-=-=f(k),故选项B正确; 当k=3时, f(3+1)=-=1-1=0,而f(3)=1,故选项C错误; 当k=3+4n(n为自然数)时, f(k)=
2、1,当k为其他的正整数时, f(k)=0,所以选项D正确. 故选C. 1 1 4 1 4 41 4 k 4 4 k 1 1 4 k 1 4 k 1 4 k 4 k 41 4 4 4 2.(2017湖南岳阳,8,3分)已知点A在函数y1=-(x0)的图象上,点B在直线y2=kx+1+k(k为常数,且k0)上.若 A、B两点关于原点对称,则称点A、B为函数y1、y2图象上的一对“友好点”.则这两个函数图象上的 “友好点”对数的情况为( ) A.有1对或2对 B.只有1对 C.只有2对 D.有2对或3对 1 x 答案答案 A 设A, 由题意知,点A关于原点的对称点B在直线y2=kx+1+k上, 则=
3、-ak+1+k, 整理得ka2-(k+1)a+1=0, 即(a-1)(ka-1)=0, a-1=0或ka-1=0, 1 ,-a a 1 - , a a 1 a 则a=1或ka-1=0, 若k=0,则此时方程只有1个实数根,即两个函数图象上的“友好点”只有1对; 若k0,则a=,当k=1时,方程有1个实数根,此时两个函数图象上的“友好点”只有1对.当k1时,方程 有2个实数根,即两个函数图象上的“友好点”有2对, 综上,这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为有1对或2对, 1 k 故选A. 思路分析思路分析 根据“友好点”的定义知,函数y1图象上点A关于原点的对称点B一定位于直线 y2上,即方
4、程ka2-(k+1)a+1=0有解,整理方程得(a-1)(ka-1)=0,据此分析可得答案. 1 ,-a a 1 - , a a 3.(2020湖南张家界,20,8分)阅读下面材料: 对于实数a,b,我们定义符号mina,b的意义为:当ab时,mina,b=a;当ab时,mina,b=b,如:min4,-2= -2,min5,5=5. 根据上面的材料回答下列问题: (1)min-1,3= ; (2)当min=时,求x的取值范围. 2 -32 , 23 xx 2 3 x 解析解析 (1)由题意得min-1,3=-1. (2)由题意得, 3(2x-3)2(x+2), 6x-92x+4, 4x13,
5、 x. x的取值范围为x. 2 -3 2 x2 3 x 13 4 13 4 思路分析思路分析 (1)比较-1与3的大小,即可得出答案; (2)根据题意判断出,解不等式即可得到x的取值范围. 2 -3 2 x2 3 x 4.(2018湖南张家界,19,6分)阅读理解题 在平面直角坐标系xOy中,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A2+B20)的距离公式为d=. 例如,求点P(1,3)到直线4x+3y-3=0的距离. 解:由直线4x+3y-3=0知:A=4,B=3,C=-3, 所以P(1,3)到直线4x+3y-3=0的距离为d=2. 根据以上材料,解决下列问题: (1)求点P1(0,0)
6、到直线3x-4y-5=0的距离; (2)若点P2(1,0)到直线x+y+C=0的距离为,求实数C的值. 00 22 |AxByC AB 22 |4 13 3-3| 43 2 解析解析 (1)由直线3x-4y-5=0知A=3,B=-4,C=-5, 点P1(0,0)到直线3x-4y-5=0的距离为d=1. (2)由点到直线的距离公式得=, |C+1|=2, C+1=2, C1=1,C2=-3. 22 |3 0-40-5| 3(-4) |1 1 1 0| 2 C 2 思路分析思路分析 (1)根据点到直线的距离公式求解即可; (2)根据点到直线的距离公式,列出方程即可解决问题. 解题关键解题关键 本题
7、考查点到直线的距离公式的运用,解题的关键是理解题意,学会把直线的解析式转化为 Ax+By+C=0的形式,学会构建方程解决问题. 5.(2019湖南张家界,19,6分)阅读下面的材料: 按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第 一项,记为a1,排在第二位的数称为第二项,记为a2,依此类推,排在第n位的数称为第n项,记为an.所以,数列 的一般形式可以写成:a1,a2,a3,an,. 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示.如:数列1,3,5,7,
8、为等差数列,其中a1=1,a2=3,公差d=2. 根据以上材料,解答下列问题: (1)等差数列5,10,15,的公差d为 ,第5项是 . (2)如果一个数列a1,a2,a3,an是等差数列,且公差为d,那么根据定义可得到:a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,an -an-1=d,. 所以 a2=a1+d, a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d, 由此,请你填空完成等差数列的通项公式:an=a1+( )d. (3)-4 041是不是等差数列-5,-7,-9,的项?如果是,是第几项? 解析解析 (1)根据题意得,d=10-5=5
9、. a3=15, a4=a3+d=15+5=20, a5=a4+d=20+5=25. 故答案为5,25. (2)a2=a1+d, a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d, an=a1+(n-1)d. 故答案为n-1. (3)根据题意得, 等差数列-5,-7,-9,的通项公式为an=-5-2(n-1), 令-5-2(n-1)=-4 041, 解得n=2 019. -4 041是等差数列-5,-7,-9,的项,它是此数列的第2 019项. 6.(2020湖南长沙,24,10分)我们不妨约定:若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称,则把该
10、函 数称之为“H函数”,其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”.根据该约定,完成下列各题. (1)在下列关于x的函数中,是“H函数”的,请在相应题目后面的括号中打“”,不是“H函数”的打 “”; y=2x( ) y=(m0)( ) y=3x-1( ) (2)若点A(1,m)与点B(n,-4)是关于x的“H函数”y=ax2+bx+c(a0)的一对“H点”,且该函数图象的对称 轴始终位于直线x=2的右侧,求a,b,c的值或取值范围; (3)若关于x的“H函数”y=ax2+2bx+3c(a,b,c是常数)同时满足下列两个条件:a+b+c=0,(2c+b-a)(2c+b +3a)2,-2,-1a0
11、, a+c=0,0c1. 综上,-1a0,b=4,0c0,a,c异号,ac0, a+b+c=0,b=-a-c, (2c+b-a)(2c+b+3a)0,(2c-a-c-a)(2c-a-c+3a)0, (c-2a)(c+2a)0, c24a2,4,-22, 又ac0,-20, 设t=,则-2t0, 设函数y=ax2+2bx+3c的图象与x轴的交点为(x1,0),(x2,0), 则x1, x2是方程ax2+2bx+3c=0的两根, 2 2 23, -23- , apbpcq apbpcq 2 2 c a c a c a c a |x1-x2|= = = = =2 =2, -2t0, 2|x1-x2|
12、2. 即该“H函数”的图象截x轴得到的线段长度的取值范围为2|x1-x2|0,右交点D的坐标为(b,0). 点(x0,0)与点D间的距离为b-=.(10分) (4)4 040;1 010.(12分) 详解:如图,a与L的交点坐标满足x-b=-x2+bx,得交点D(b,0),E(-1,-1-b). 1 - 2 b 1 2 当b为整数时,而x也是整数, 对应的y=-x2+bx和y=x-b均为整数. 当x=-1和x=b时,对应的“美点”各只有一个. 从x=0到x=b-1共有b个整数,每个整数x都对应两个“美点”, 此时“美点”个数为2b+2. 把b=2 019代入,求得“美点”个数为4 040. 当
13、b不是整数时,但x是整数,x-b不是整数,即边界y=x-b(-1xb)上没有“美点”;而在边界y=-x2+bx (-1xb)上,满足bx是整数的点才是“美点”.对于b=2 019.5,x应是从0到2 018的偶数,此时“美点” 的个数为2 0182+1=1 010. 思路分析思路分析 (1)由题意得OA=OB,AB=8,b=4,可得L的方程为y=-x2+4x,进而得出L的对称轴为直线x=2, 把x=2代入y=x-4得出交点坐标;(2)将二次函数解析式配方得出顶点坐标为,根据点C在l下方得出 点C与l的距离为b-=-(b-2)2+11,进而得出最大值;(3)由y3是y1,y2的平均数,可得y3=
14、,即y1+y2=2y 3,得b+x0-b=2(-+bx0),求出x0的值,令y=-x 2+bx=0,求出点D的坐标,两者横坐标相减得出结果;(4)易得点D (b,0),点E(-1,-1-b),分两种情况,当b为整数,而x也是整数时,求得“美点”的个数;当b不是整数,但x是 整数时,求得“美点”的个数. 2 , 2 4 b b 2 4 b1 4 12 2 yy 2 0 x 8.(2017湖南益阳,21,12分)在平面直角坐标系中,将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换 后得到的点叫这一点的“互换点”,如(-3,5)与(5,-3)是一对“互换点”. (1)任意一对“互换点”能否都在一个
15、反比例函数的图象上?为什么? (2)M、N是一对“互换点”,若点M的坐标为(m,n),求直线MN的表达式(用含m、n的代数式表示); (3)在抛物线y=x2+bx+c上有一对“互换点”A、B,其中点A在反比例函数y=-的图象上,直线AB经过点P ,求此抛物线的表达式. 2 x 1 1 , 2 2 解析解析 (1)不一定. 设这一对“互换点”的坐标为(a1,b1)和(b1,a1)且a1b1. 当a1b1=0时,它们不可能在反比例函数的图象上, 当a1b10时,由b1=可得a1=, 即(a1,b1)和(b1,a1)都在反比例函数y=(k0)的图象上. (2)由M(m,n)得N(n,m),设直线MN
16、的表达式为y=c1x+d1(c10). 则有 解得 直线MN的表达式为y=-x+m+n. (3)设点A(p,q),则q=-, 1 k a 1 k b k x 11 11 , , mcdn ncdm 1 1 -1, , c dmn 2 p 直线AB经过点P, 由(2)得=-+p+q, p+q=1, p-=1, 解方程并检验得p=2或p=-1, q=-1或q=2, 这一对“互换点”是(2,-1)与(-1,2), 将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c, 得 解得 1 1 , 2 2 1 2 1 2 2 p 1-2, 42-1, bc bc -2, -1, b c 此抛物线的表达式为y=x2-2x
17、-1. 9.(2020湖南益阳,26,12分)定义:若四边形有一组对角互补,一组邻边相等,且相等邻边的夹角为直角,像这 样的图形称为“直角等邻对补”四边形,简称“直等补”四边形,根据以上定义,解决下列问题: (1)如图1,正方形ABCD中,E是CD上的点,将BCE绕B点旋转,使BC与BA重合,此时点E的对应点F在DA 的延长线上,则四边形BEDF为“直等补”四边形,为什么? (2)如图2,已知四边形ABCD是“直等补”四边形,AB=BC=5,CD=1,ADAB,点B到直线AD的距离为BE. 求BE的长; 若M、N分别是AB、AD边上的动点,求MNC周长的最小值. 解析解析 (1)由旋转的性质得
18、F=BEC,ABF=CBE,BF=BE. BEC+BED=180,CBE+ABE=90, F+BED=180, ABF+ABE=90, 即FBE=90, 故满足“直等补”四边形的定义, 四边形BEDF为“直等补”四边形. (2)四边形ABCD是“直等补”四边形,AB=BC, A+BCD=180,ABC=D=90. 如图,将ABE绕点B顺时针旋转90得到CBF, 则F=AEB=90,BCF+BCD=180,BF=BE, D、C、F共线, 四边形EBFD是正方形, BE=FD. 设BE=x,则CF=x-1, 在RtBFC中,BC=5, 由勾股定理得x2+(x-1)2=25,即x2-x-12=0,
19、解得x=4或x=-3(舍去), BE=4. 如图,延长CD到P,使DP=CD=1,延长CB到T,使TB=BC=5,连接MT,NP,PT, 则NP=NC,MT=MC, MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NPPT, 当T、M、N、P共线时,MNC的周长取得最小值PT. 过P作PHBC,交BC延长线于H, F=PHC=90,BCF=PCH, BCFPCH,=, 即=,解得CH=,PH=, 在RtPHT中,TH=5+5+=, PT=8, MNC周长的最小值为8. BC PC BF PH CF CH 5 2 4 PH 3 CH 6 5 8 5 6 5 56 5 22 PHHT2 2 10.(2
20、018湖南长沙,26,10分)我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”. (1)在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有 ; 在凸四边形ABCD中,AB=AD且CBCD,则该四边形 “十字形”;(填“是”或“不是”) (2)如图1,A,B,C,D是半径为1的O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,ADB-CDB= ABD-CBD,当6AC2+BD27时,求OE的取值范围; (3)如图2,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0,c0)与x轴交于A,C两点(点A在点 C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(
21、0,-ac).记“十字形”ABCD的面积为S,记AOB,COD, AOD,BOC的面积分别为S1,S2,S3,S4.求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式: =+;=+;“十字形”ABCD的周长为12. S 1 S 2 SS 3 S 4 S10 解析解析 (1)菱形,正方形;不是.(3分) (2)由题意可得ADB+CDB+ABD+CBD=180, 又ADB-CDB=ABD-CBD, ADB+CBD=ABD+CDB=90, 又ADB=ACB, ACB+CBD=90, CEB=90, ACBD,即四边形ABCD为“十字形”. 过圆心O分别作AC,BD的垂线,垂足依次为G,H.连接OA,OD. 由垂
22、径定理和勾股定理可得: OE2=2-(AC2+BD2). 6AC2+BD27, OE2,OE.(6分) (3)由题图可得=,所以S3S4=S1S2. 将=+两边平方,可得S=S1+S2+S3+S4=S1+S2+2. 22 22 222 1 1, 4 1 1, 4 , ACOG BDOH OEOGOH 1 4 1 4 1 2 1 2 2 2 4 2 S S BO DO 1 3 S S S 1 S 2 S 12 S S 所以S3+S4=2=2,即(-)2=0,则S3=S4. 同理,S1=S2,S1+S4=S2+S3,即SABC=SADC. 又ACBD, OB=OD.同理可证OA=OC. “十字形”
23、ABCD是菱形. B(0,c),D(0,-ac), -c=-ac. 又c0, a=1, BD=-2c, OA=OC, 点B即为抛物线的顶点,同时又在y轴上, b=0,抛物线的解析式为y=x2+c. 令y=0,得x=, 12 S S 34 S S 3 S 4 S -c A(-,0),C(,0). “十字形”ABCD的周长为12, 4=12,c2-c-90=0. 解得c1=-9,c2=10(不合题意,舍去). 该抛物线的解析式为y=x2-9.(10分) -c-c 10 2- c c10 思路分析思路分析 (1)根据“十字形”的定义及特殊四边形的对角线性质可解. (2)先判断ACBD,再利用垂径定理及勾股定理列式,用AC2+BD2表示OE2,从而确定OE的取值范围. (3)由题图中三角形的特点,确定S3S4=S1S2,结合条件得四边形ABCD为菱形,再由A、D点坐标及条件 确定c的值,即可得抛物线的解析式. 解后反思解后反思 本题为新定义问题,考查了特殊平行四边形的性质、勾股定理等内容,较为综合.特别是第(3) 问,先利用同底三角形面积的比等于高之比,确定面积间的联系,再根据抛物线特点得其解析式,综合性 强,属于难题.
