1、 中考数学 （湖南专用） 3.4 二次函数 A组 20162020年湖南中考题组 考点一 二次函数的图象与性质 1.(2020湖南常德,7,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论: b2-4ac0;abc0.其中正确结论的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案答案 B 由题中图象知,抛物线与x轴有两个交点, 方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根, b2-4ac0,故正确; 由图象知,抛物线的开口向下,a0, 又抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,c0, abc0,故正确; 由图象知,抛物线的对称轴为直线x=2, -=2,4a+b=0,故正
2、确; 由图象知,当x=-2时,y0, 4a-2b+c0,故错误. 正确的结论有3个,故选B. 2 b a 2.(2020湖南娄底,12,3分)二次函数y=(x-a)(x-b)-2,(ab)的图象与x轴交点的横坐标为m,n,且mn,则a,b,m,n 的大小关系是( ) A.amnb B.ambn C.mabn D.manb 答案答案 C 二次函数y=(x-a)(x-b)的图象与x轴交点的横坐标为a、b,向下平移2个单位长度得到二次函数 y=(x-a)(x-b)-2的图象,如图所示. 观察图象,可知mab0;b-2a0;a+bn(an+b),n1;2c3b.正确的是( ) A. B. C. D.
3、答案答案 D 抛物线开口向下,a0, 抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上,c0, abc0,错误; 由图象可得当x=-1时,y=a-b+can2+bn+c, 即a+bn(an+b),n1,正确; 由对称性易知当x=3时,函数值小于0, y=9a+3b+c0,由b=-2a得a=-, 代入9a+3b+c0,得9+3b+c0, 2 b a 2 b - 2 b 整理得2c3b,正确.故选D. 4.(2020湖南株洲,10,4分)二次函数y=ax2+bx+c,若ab0,点A(x1,y1),B(x2,y2)在该二次函数的图象上,其 中x1y2 C.y10,b20,a0. 又ab0,b0. x1x2,x1+x
4、2=0,x2=-x1,x10,y1y2.故选B. 2 1 x 2 2 x 2 1 x 5.(2017湖南长沙,8,3分)抛物线y=2(x-3)2+4的顶点坐标是( ) A.(3,4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(2,4) 答案答案 A 根据抛物线y=a(x-h)2+k(a0)的顶点坐标为(h,k),可知该抛物线的顶点坐标为(3,4). 易错警示易错警示 容易把顶点的横坐标写成-h. 6.(2016湖南益阳,7,5分)关于抛物线y=x2-2x+1,下列说法的是( ) A.开口向上 B.与x轴有两个重合的交点 C.对称轴是直线x=1 D.当x1时,y随x的增大而减小 错误 答案答案
5、D a=10,抛物线的开口向上,故A正确;当y=0时,x2-2x+1=0,易得=(-2)2-411=0,故该抛物 线与x轴有两个重合的交点,故B正确;-=-=1,该抛物线的对称轴是直线x=1,故C正确;抛物线 的开口向上,且抛物线的对称轴为直线x=1,当x1时,y随x的增大而增大,故D错误.故选D. 2 b a -2 2 1 思路分析思路分析 结合二次函数的图象及性质逐项分析. 评析评析 本题考查了二次函数的图象及性质. 7.(2018湖南岳阳,8,3分)在同一直角坐标系中,二次函数y=x2与反比例函数y=(x0)的图象如图所示,若 两个函数图象上有三个不同的点A(x1,m),B(x2,m),
6、C(x3,m),其中m为常数,令=x1+x2+x3,则的值为( ) A.1 B.m C.m2 D. 1 x 1 m 答案答案 D 设点A、B在二次函数y=x2的图象上,点C在反比例函数y=(x0)的图象上.因为A,B两点纵坐 标相同,则A、B关于y轴对称,故x1+x2=0,因为点C(x3,m)在反比例函数y=(x0)的图象上,则x3=,所以= x1+x2+x3=x3=.故选D. 1 x 1 x 1 m 1 m 8.(2018湖南永州,9,4分)在同一平面直角坐标系中,反比例函数y=(b0)与二次函数y=ax2+bx(a0)的 图象大致是( ) b x 答案答案 D A.抛物线y=ax2+bx开
7、口方向向上,则a0,对称轴位于y轴的右侧,则a、b异号,即b0,对称轴位于y轴的左侧,则a、b同号,即b0,所以反比例函数y= 的图象位于第一、三象限,故本选项错误; C.抛物线y=ax2+bx开口方向向下,则a0,所以反比例函数y= 的图象位于第一、三象限,故本选项错误. D项正确.故选D. b x b x b x 解题关键解题关键 此题主要考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象,熟练掌握二次函数,反比例函数中 系数与图象位置之间的关系是解决本题的关键. 9.(2019湖南株洲,11,3分)若二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,则a 0(填“=”或“”或“”). 答案答案 解析解析 二
8、次函数y=ax2+bx的图象开口向下, a0时,抛物线开口向上;当a0时,抛物线开口 向下.|a|越大,开口就越小,|a|越小,开口就越大. 考点二 二次函数与一元二次方程的联系 1.(2020湖南岳阳,8,3分)对于一个函数,自变量x取c时,函数值y等于0,则称c为这个函数的零点.若关于x的 二次函数y=-x2-10 x+m(m0)有两个不相等的零点x1,x2(x1x2),关于x的方程x2+10 x-m-2=0有两个不相等的 非零实数根x3,x4(x3x4),则下列关系式一定正确的是( ) A.01 C.01 1 3 x x 1 3 x x 2 4 x x 2 4 x x 答案答案 A y=
9、-x2-10 x+m=-(x+5)2+25+m, 抛物线开口向下,对称轴为直线x=-5. 方程x2+10 x-m-2=0可化为-x2-10 x+m=-2, 方程x2+10 x-m-2=0的两根可看作是抛物线y=-x2-10 x+m与直线y=-2的交点的横坐标. 二次函数y=-x2-10 x+m的图象,以及它与直线y=-2的交点情况可能如下图. 由图可知,x10,x3|x1|, x2,x4的符号不确定. 01一定不成立; 0可能成立, 01可能不成立. 故选A. 1 3 x x 1 3 x x 2 4 x x 2 4 x x 2 4 x x 2.(2019湖南岳阳,8,3分)对于一个函数,自变量
10、x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如 果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x11x2,则c的取值范围是( ) A.c-3 B.c-2 C.c D.c1 1 4 答案答案 B 由题意知两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个不相等实数根, 整理得x2+x+c=0,又x11x2, 解得c-2. 故选B. 1-40, 1 10. c c 3.(2018湖南衡阳,12,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0, 2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论: 3a+b0;-1
11、a-;对于任意实数m,a+bam2+bm总成立;关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不 相等的实数根.其中结论正确的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2 3 答案答案 D 抛物线的对称轴为直线x=-=1, b=-2a(i), 3a+b=3a-2a=a,由抛物线开口向下知a0, 正确; 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0), x=-1时,y=0,即a-b+c=0(ii), 结合(i)(ii)知3a+c=0, 由题意知2c3, 2-3a3, -1a-, 正确; 抛物线的顶点坐标为(1,n), x=1时,二次函数有最大值n, 2 b a 2 3 对于任意实数
12、m,a+b+cam2+bm+c, 即a+bam2+bm,正确; 抛物线的顶点坐标为(1,n), 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点, 关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根, 正确. 思路分析思路分析 根据抛物线的对称轴和开口方向即可判断正确,根据抛物线与x轴交于点A得到a,b,c的关 系式,再结合抛物线的对称轴方程得关于a、c的关系式,再结合c的取值范围可判断正确,根据抛物线 的顶点坐标可判断正确,根据抛物线与直线的交点个数判断正确. 解后反思解后反思 判断多个结论是否正确的题目较为复杂,计算量较大,由图象可得-=1,2c3等多个结 论,再进一步转化,确定
13、所给结论是否正确. 2 b a 考点三 二次函数的应用 1.(2020湖南长沙,12,3分)“闻起来臭,吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃.臭豆腐虽小,但制作流程却 比较复杂,其中在进行加工煎炸臭豆腐时,我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用 率”.在特定条件下,“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位:分钟)近似满足的函数关系为:p=at2+bt+c(a 0,a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数关系和实验数据,可以得到加工煎炸臭豆腐的 最佳时间为( ) A.3.50分钟 B.4.05分钟 C.3.75分钟 D.4.25分钟 答案答案 C 由题图可知函数图象经过点(
14、3,0.8),(4,0.9),(5,0.6), 则解得 故p=-0.2t2+1.5t-1.9,其图象的对称轴为直线t=-=3.75, 所以加工煎炸臭豆腐的最佳时间为3.75分钟.故选C. 930.8, 1640.9, 2550.6, abc abc abc -0.2, 1.5, -1.9, a b c 2 b a 2.(2016湖南郴州,21,8分)某商店原来平均每天可销售某种水果200千克,每千克可盈利6元,为减少库存, 经市场调查,如果这种水果每千克降价1元,则每天可多售出20千克. (1)设每千克水果降价x元,平均每天盈利y元,试写出y关于x的函数表达式; (2)若要平均每天盈利960元
15、,则每千克应降价多少元? 解析解析 (1)y=(200+20 x)(6-x),即y=-20 x2-80 x+1 200.(4分) (2)令y=960,得-20 x2-80 x+1 200=960,(6分) 即x2+4x-12=0,解得x=2或x=-6(舍去).(7分) 答:要平均每天盈利960元,则每千克应降价2元.(8分) 思路分析思路分析 (1)根据数量关系列出函数关系式;(2)把y=960代入函数关系式得出关于x的一元二次方程,解 方程即可. 解题关键解题关键 本题属于基础题,难度不大,解答该题时利用等量关系列出函数关系式是关键. 3.(2020湖南衡阳,25,10分)在平面直角坐标系x
16、Oy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(-1,0),(2,0). (1)求这个二次函数的表达式; (2)求当-2x1时,y的最大值与最小值的差; (3)一次函数y=(2-m)x+2-m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且a30, 化简得m2-10m+250,即(m-5)20,解得m5. a33,m1. m的取值范围为m0,解不等式,并由a3b得 到a,b的值,进而得出m的取值范围. 1 2 1 2 4.(2020湖南娄底,26,10分)如图,抛物线经过点A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3). (1)求抛物线的解析式; (2)点P(m,n)是抛
17、物线上的动点,当-3m0时,试确定m的值,使得PAC的面积最大; (3)抛物线上是否存在不同于点B的点D,满足DA2-DC2=6?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理 由. 解析解析 (1)据题意,可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),a0, 将点C(0,3)代入,可得a=-1. 抛物线的解析式为y=-x2-2x+3. (2)设直线AC的解析式为y=kx+b,k0, 将A(-3,0)、C(0,3)代入得解得 直线AC的解析式为y=x+3. 当-3m0时,点P(m,n)在直线AC上方, 过点P作x轴的垂线与线段AC相交于点Q. 0-3, 3, kb b 1, 3. k b 将x
18、=m分别代入y=-x2-2x+3和y=x+3,得P(m,-m2-2m+3),Q(m,m+3), PQ=-m2-2m+3-(m+3) =-m2-3m =-+, 2 3 2 m 9 4 -3m0,当且仅当m=-时,PQ取得最大值, 此时SPAC=PQAO=PQ最大,m=-. (3)由A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)得AB=4,OB=1,CO=3,AO=3, BC2=10,CAO=45,BA2-BC2=6. 连接BC,过点B作AC的垂线交抛物线于点D,交AC于点H, 3 2 1 2 3 2 3 2 则AHB=90,DBA=CAO=45, DA2-DC2=DH2+HA2-(DH2+HC2)=
19、HA2-HC2=(BA2-BH2)-(BC2-BH2)=BA2-BC2=6, CAO=DBA, BD与AC关于线段AB的垂直平分线对称,即关于抛物线的对称轴直线x=-1对称, 点D与点C关于抛物线的对称轴直线x=-1对称, C(0,3),点D的坐标为(-2,3). 5.(2020湖南湘潭,26,10分)如图,抛物线y=-x2+bx+5与x轴交于A,B两点. (1)若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴. 求抛物线的解析式; 对称轴上是否存在一点P,使点B关于直线OP的对称点B恰好落在对称轴上?若存在,请求出点P的坐 标.若不存在,请说明理由; (2)当b4,0 x2时,函数值y的最大值满足3y1
20、5,求b的取值范围. 解析解析 (1)抛物线y=-x2+bx+5的对称轴为直线x=-=, 若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴, 则=2,解得b=4,y=-x2+4x+5. 存在. 如图,若点P在x轴上方,点B关于OP对称的点B在对称轴上,连接OB、PB, 2(-1) b 2 b 2 b 则OB=OB,PB=PB, 对于y=-x2+4x+5,令y=0,则-x2+4x+5=0, 解得x1=-1,x2=5, A(-1,0),B(5,0),OB=OB=5, CB=,B(2,). 设点P(2,m), 由PB=PB可得-m=, 解得m=, P. 同理,当点P在x轴下方时,P. 22 -OBOC25-42
21、121 21 22 (5-2)m 2 21 7 2 21 2, 7 2 21 2,- 7 综上所述,点P的坐标为或. (2)抛物线y=-x2+bx+5的对称轴为直线x=-=, 当b4时,x=2, 抛物线开口向下,在对称轴左边,y随x的增大而增大, 当0 x2时,取x=2,y有最大值, 最大值为-4+2b+5=2b+1,32b+115,解得1b7, 又b4,4b7. 2 21 2, 7 2 21 2,- 7 2(-1) b 2 b 2 b 思路分析思路分析 (1)根据抛物线的对称轴方程即可求出解析式; 若点P在x轴上方,点B关于OP对称的点B在对称轴上,连接OB、PB,根据轴对称得到OB=OB,
22、PB=PB, 求出点B的坐标,利用勾股定理得到B(2,),再根据PB=PB,列方程解答,同理得到点P在x轴下方时的坐 标; (2)当b4时,确定对称轴的位置,再结合开口方向,确定当0 x2时,y随x的增大而增大,从而得到当x=2 时,函数取最大值,结合函数值y的最大值的范围即可解答. 21 6.(2019湖南常德,25,10分)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4),与坐标轴交于B、C、D三点,且B 点的坐标为(-1,0). (1)求二次函数的解析式; (2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧,过M、N作x轴的垂线交x轴 于点G、H两点,当四边形MNHG
23、为矩形时,求该矩形周长的最大值; (3)当矩形MNHG的周长最大时,能否在二次函数图象上找到一点P,使PNC的面积是矩形MNHG面积的 ?若存在,求出该点的横坐标;若不存在,请说明理由. 9 16 解析解析 (1)设二次函数表达式为y=a(x-1)2+4(a0), 将B点的坐标代入得0=4a+4,解得a=-1, 故二次函数的解析式为y=-x2+2x+3. (2)设点M的坐标为(x,-x2+2x+3), 则点N的坐标为(2-x,-x2+2x+3), 则MN=x-2+x=2x-2,GM=-x2+2x+3, 矩形MNHG的周长C=2MN+2GM=2(2x-2)+2(-x2+2x+3)=-2x2+8x
24、+2,-20, 当x=-=2时,C取得最大值,最大值为10, 故矩形周长的最大值为10. (3)存在. 当矩形周长取得最大值时,x=2,则N(0,3),与D(0,3)重合. PNC的面积是矩形MNHG面积的, 2 b a 9 16 SPNC=MNGM=23=. 连接DC,在CD的上下方等距离处作CD的平行线m、n, 过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G,即PH=GH, 过点P作PKCD于点K, 设直线CD的解析式为y=kx+b(k0). 9 16 9 16 27 8 将C(3,0)、D(0,3)代入并解得k=-1,b=3. 直线CD的表达式为y=-x+3, OC=OD,COD=90,
25、OCD=ODC=45=PHK,CD=3, 设点P(x,-x2+2x+3),则点H(x,-x+3), SPNC=PKCD=PHsin 453, 解得PH=,GH=. 则PH=-x2+2x+3+x-3=,解得x=,故点P, 直线n的表达式为y=-x+3-=-x+, 联立解得x=, 2 27 8 1 2 1 2 2 9 4 9 4 9 4 3 2 3 15 , 2 4 9 4 3 4 2 -23, 3 -, 4 yxx yx 33 2 2 即点P、P的坐标分别为,、,.故点P坐标为,或, 或. 3-3 2 2 -36 2 4 33 2 2 -3-6 2 4 3 2 15 4 33 2 2 -3-6
26、2 4 3-3 2 -36 2 , 24 7.(2019湖南衡阳,25,10分)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N, 以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E. (1)求该抛物线的函数关系表达式; (2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值?并求出这个最大值; (3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB.请问:MBN的面积是否存在最大值?若存在,求出 此时点M的坐标;若不存在,请说明理由. 解析解析 (1)抛物线y=x2+bx
27、+c经过A(-1,0),B(3,0), 把A、B两点坐标代入上式,得解得 故抛物线的函数关系表达式为y=x2-2x-3. (2)A(-1,0),B(3,0),AB=OA+OB=1+3=4. 正方形ABCD中,ABC=90,PCPE, OPE+CPB=90,CPB+PCB=90, OPE=PCB, 又EOP=PBC=90,POECBP,=. 设OP=x(0x3),则PB=3-x, =,OE=(-x2+3x)=-+, -0,0x3, 1-0, 930, bc bc -2, -3, b c BC PB OP OE 4 3-x x OE 1 4 1 4 2 3 - 2 x 9 16 1 4 当x=时,
28、线段OE的长取最大值,最大值为. (3)存在. 如图,过点M作MHy轴交BN于点H, 抛物线的解析式为y=x2-2x-3,x=0时,y=-3, N点坐标为(0,-3). 3 2 9 16 设直线BN的解析式为y=kx+b1, 直线BN的解析式为y=x-3. 设M(a,a2-2a-3)(0a3),则H(a,a-3), MH=a-3-(a2-2a-3)=-a2+3a, SMNB=SBMH+SMNH=MH OB=(-a2+3a)3=-+, -0,0a3,当a=时,MBN的面积取最大值,最大值是,此时M点的坐标为. 1 30, -3, kb b 1 1, -3, k b 1 2 1 2 3 2 2 3
29、 - 2 a 27 8 3 2 3 2 27 8 3 15 ,- 24 思路分析思路分析 (1)将点A、B的坐标代入二次函数表达式,解方程组即可求解; (2)设OP=x(0xy1y2 B.2y2y1 C.y1y22 D.y2y12 答案答案 A 由y=-(x+1)2+2知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,y的最大值为2,在对称轴右侧y随x的增 大而减小,又1y1y2,故选A. 2.(2020四川成都,10,3分)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是( ) A.图象的对称轴在y轴的右侧 B.图象与y轴的交点坐标为(0,8) C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0) D
30、.y的最小值为-9 答案答案 D 图象的对称轴为直线x=-=-1,在y轴的左侧,故A错; 当x=0时,y=-8, 图象与y轴的交点坐标为(0,-8),故B错; y=x2+2x-8=(x+4)(x-2), 图象与x轴的交点坐标为(-4,0)和(2,0),故C错; y=x2+2x-8=(x+1)2-9,(x+1)20,(x+1)2-9-9, y的最小值为-9,故D正确. 2 2 3.(2019内蒙古呼和浩特,3,3分)二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是 ( ) 答案答案 D 直线y=ax+a=a(x+1)恒过点(-1,0),选项C,D可能正确,选项C中,抛物线y
31、=ax2开口向下,则a0,矛盾,选项C错.故选D. 解题关键解题关键 得到直线y=ax+a恒过点(-1,0)是解本题的关键. 4.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是( ) A.c0 B.b2-4ac0 C.a-b+c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1时,y=a-b+ c,由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x=3,选项D正确,故选D. 15 2 5.(2020山东青岛,8,3分)已知在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=的图象如图
32、所示, 则一次函数y=x-b的图象可能是( ) c x c a 答案答案 B 由二次函数的图象可知a0,由反比例函数的图象可知c0,0,-b0,一次函数y=x- b的图象与y轴负半轴相交且y随x的增大而减小.故选B. c a c a 6.(2020浙江杭州,8,3分)设函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是实数,a0),当x=1时,y=1;当x=8时,y=8,( ) A.若h=4,则a0 C.若h=6,则a0 答案答案 C 当x=1时,y=1;当x=8时,y=8, 代入得 -,得a(8-h)2-a(1-h)2=7,整理得a(9-2h)=1. A.若h=4,则a=1,故A错误; B.若h=5,
33、则a=-1,故B错误; C.若h=6,则a=-,故C正确; D.若h=7,则a=-,故D错误.故选C. 2 2 1(1- ), 8(8- ), ahk ahk 1 3 1 5 考点二 二次函数与一元二次方程的联系 1.(2017江苏苏州,8,3分)若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为 ( ) A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6 C.x1=,x2= D.x1=-4,x2=0 3 2 5 2 答案答案 A 把(-2,0)代入二次函数解析式y=ax2+1中,解得a=-,把a=-代入a(x-2)2+1=0,解得x1=0,x2=4
34、. 1 4 1 4 2.(2017甘肃兰州,5,4分)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值: x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是( ) A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3 答案答案 C 由表格中的数据可以看出最接近于0的y值是0.04,它对应的x的值是1.2,故方程x2+3x-5=0的一 个近似根是1.2,故选C. 3.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有 下列
35、结论: 抛物线经过点(1,0); 方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根; -3a+b0.a0.把点(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,a=b-3.-3 a0,0b3.-3a+b0;3a+c0;当x0时,y随x的增大而增大;一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-,x2=; 0;若m,n(mn)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根,则m2. 其中正确的结论有( ) 1 2 1 3 1 2 2-4 4 bac a A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案答案 C 抛物线开口向下,a0, 对称轴为直线x=-,-=-, b=a
36、0,abc0,正确. 抛物线经过点(-3,0),9a-3b+c=0, 又b=a,c=-6a,3a+c=3a-6a=-3a0,正确. 抛物线开口向下,对称轴为直线x=-, 当x-时,y随x的增大而减小,错误. b=a,c=-6a,一元二次方程cx2+bx+a=0可化为一元二次方程-6ax2+ax+a=0, 即6x2-x-1=0,解得x1=-,x2=,正确. 1 22 b a 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 抛物线与x轴有2个交点, b2-4ac0,0,正确. 点(-3,0)关于直线x=-的对称点为(2,0), y=a(x+3)(x-2), 方程a(x+3)(x-2)+3=0的两根
37、即为直线y=-3与抛物线交点的横坐标,结合题图可知m2, 正确.故选C. 2-4 4 bac a 1 2 解后反思解后反思 本题考查了二次函数图象与系数的关系,解题的关键是利用数形结合的思想将二次函数解 析式与函数图象结合在一起.二次函数图象的开口方向,对称轴方程,与x轴、y轴的交点坐标以及顶点坐 标等都是解题的突破口. 5.(2020浙江杭州,10,3分)在平面直角坐标系中,已知函数y1=x2+ax+1,y2=x2+bx+2,y3=x2+cx+4,其中a,b,c是正 实数,且满足b2=ac.设函数y1,y2,y3的图象与x轴的交点个数分别为M1,M2,M3,( ) A.若M1=2,M2=2,
38、则M3=0 B.若M1=1,M2=0,则M3=0 C.若M1=0,M2=2,则M3=0 D.若M1=0,M2=0,则M3=0 答案答案 B 令y1=0,y2=0,y3=0,它们的判别式分别为1,2,3,则1=a2-4,2=b2-8,3=c2-16. b2=ac,c=,c2=(a,b,c为正实数). A.若M1=2,M2=2,则1=a2-40,2=b2-80, a24,b464,c2=与16无法比较大小, 无法判断3=c2-16与0的大小,故A错误. B.若M1=1,M2=0,则1=a2-4=0,2=b2-80, a2=4,0b464,0c2=16, 3=c2-160,M3=0,故B正确. 2
39、b a 4 2 b a 4 2 b a 4 2 b a 3=c2-160,M3=0,故B正确. C.若M1=0,M2=2,则1=a2-40, 0a264,c2=16, 3=c2-160,M3=2,故C错误. 4 2 b a D.若M1=0,M2=0,则1=a2-40,2=b2-80, 0a24,0b40时,方程有两个不相等的实数根,函数图象与x轴有两个交点; (2)b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根,函数图象与x轴有一个交点; (3)b2-4ac 0,一元二次方程2x2+2(k-1)x-k=0有两个不相等的实数根,对应的抛物线y=2x2+2(k-1)x-k(k为常数)与x轴 交点的个数
40、是2. 考点三 二次函数的应用 1.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t- t2.在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是 m. 3 2 答案答案 24 解析解析 y=60t-t2=-(t-20)2+600,即t=20时,y取得最大值,即滑行距离达到最大,此时滑行距离是600 m.当t =16时,y=6016-162=576,所以最后4 s滑行的距离为600-576=24 m. 3 2 3 2 3 2 2.(2020辽宁营口,24,12分)某超市销售一款“免洗洗手液”,这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元, 当销
41、售单价定为20元时,每天可售出80瓶.根据市场行情,现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降 低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价),若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元),每 天的销售量为y(瓶). (1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式; (2)当销售单价为多少元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为多少元? 解析解析 (1)y=80+20,(3分) y=-40 x+880(x16).(4分) (2)设每天的销售利润为w元,(5分) w=(-40 x+880)(x-16)(7分) =-40(x-19)2+360.(8分) a
42、=-400,二次函数图象开口向下,w有最大值.(10分) x=19时,w最大,此时w最大=360.(11分) 答:当销售单价为19元时,每天的销售利润最大,最大利润为360元.(12分) 20- 0.5 x 易错警示易错警示 在解决第(2)问时,要检验x的取值是否在取值范围内,如果不在,要结合函数的增减性进行判断. 3.(2019湖北黄冈,24,10分)某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召,决定成立草莓产销合作社,负 责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售,所获利润年底分红.经市场调研发现,草莓销售单价y(万 元)与产量x(吨)之间的关系如图所示(0 x100).已知草莓的产销投入总成本
43、p(万元)与产量x(吨)之间 满足p=x+1. (1)直接写出草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的函数关系式; (2)求该合作社所获利润w(万元)与产量x(吨)之间的函数关系式; (3)为提高农民种植草莓的积极性,合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户.为确保合作社 所获利润w不低于55万元,产量至少要达到多少吨? 解析解析 (1)y= (2)w=y x-p, 当0 x30时,w=2.4x-(x+1)=1.4x-1, 当30x70时,w=(-0.01x+2.7)x-(x+1)=-0.01x2+1.7x-1=-0.01(x-85)2+71.25, 当70x100时,w=2x-(
44、x+1)=x-1. 综上所述,w= (3)由题意得w= 当0 x30时,w随x的增大而增大, 当x=30时,w最大值=3255. 2.4(030), -0.012.7(3070), 2(70100). x xx x 2 1.4 -1(030), -0.01( -85)71.25(3070), -1(70100). xx xx xx 2 1.1 -1(030), -0.01( -70)48(3070), 0.7 -1(70100), xx xx xx 当30x70时,w=-0.01(x-70)2+48, 当x=70时,w最大值=4855. 当7055. 由题意得0.7x-155,解得x80.故产
45、量至少要达到80吨. 思路分析思路分析 (1)根据题图分别按0 x30,30x70(用待定系数法求解),703,E(n,n-3),D(n,0),PE=n2-3n,DE=n-3.(9分) 点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍, 以BE为底的BEP的面积是以BE为底的BED面积的5倍,即SBEP=5SBED. SBEP=PE BD,SBED=DE BD, 1 2 1 2 PE BD=5DE BD,PE=5DE.(11分) n2-3n=5(n-3),即(n-3)(n-5)=0,解得n=3或n=5. n3,n=5,y=52-25-3=12,点P的坐标为(5,12).(12分) 1 2 1
46、2 思路分析思路分析 (1)用待定系数法可求出b、c的值;(2)运用轴对称及三角形相似可求得点F的坐标;(3)求出直 线BC的解析式,设出点P,点E的坐标,再分别表示线段PE,DE的长,将题中的距离关系转化为三角形的面 积关系,可得SBEP=5SBED,进而得出PE=5DE,解方程求出点P的坐标. 5.(2019黑龙江齐齐哈尔,24,14分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,OA=2,OC= 6,连接AC和BC. (1)求抛物线的解析式; (2)点D在抛物线的对称轴上,当ACD的周长最小时,点D的坐标为 ; (3)点E是第四象限内抛物线上的动点,连接CE和BE
47、.求BCE面积的最大值及此时点E的坐标; (4)若点M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形?若存 在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 解析解析 (1)OA=2,OC=6,A(-2,0),C(0,-6),(1分) (2分) y=x2-x-6.(3分) (2)D.(5分) 详解:如图,点A关于对称轴对称的点为点B,直线BC与对称轴的交点即为点D,此时AD+CD最短,所以 ACD周长最短. 4-20, -6, bc c -1, -6. b c 1 ,-5 2 由y=x2-x-6可得B(3,0),对称轴为直线x=. 设直线BC:y=kx+m(k0),则解得 直线BC的解析式为y=2x-6, D点在对称轴x=上,xD=, 1 2 30, -6, km m 2, -6. k m 1 2 1 2 D点在直线BC上,yD=2-6=-5.D. (3)过点E作直线EGx轴于点G,交直线BC于点F, 设点E坐标为(x,x2-x-6)(0x3),则F(x,2x-6), EF=(2x-6)-(x2-x-6)=-x2+3x,(6分) SBCE=SCEF+SBEF=EF OG+EF BG, SBCE=
