1、 中考数学 （河南专用） 第六章 图形与变换 6.1 图形的轴对称、平移与旋转 考点一 图形的轴对称 1.(2020重庆A卷,11,4分)如图,三角形纸片ABC,点D是BC边上一点,连接AD,把ABD沿着AD翻折,得到 AED,DE与AC交于点G,连接BE交AD于点F.若DG=GE,AF=3,BF=2,ADG的面积为2,则点F到BC的距离 为( ) A. B. C. D. 5 5 2 5 5 4 5 5 4 3 3 答案答案 B 由翻折得BF=EF=2,AFB=AFE=90,因为ADG的面积为2,DG=GE, 所以AGE的面积为2, 所以ADE的面积为4, 所以AD EF=4, 所以AD=4,
2、 所以DF=AD-AF=4-3=1, 所以BD=, 设点F到BC的距离是h, 则SBDF=DF BF=BD h, 即12=h, 所以h=, 1 2 22 BFDF 22 215 1 2 1 2 5 2 5 5 即点F到BC的距离为. 2 5 5 方法总结方法总结 求点到直线的距离时,等面积法是一个常用方法.特别是求直角三角形斜边上的高. 2.(2019内蒙古呼和浩特,2,3分)甲骨文是我国的一种古代文字,下面是“北”“比”“鼎”“射”四个 字的甲骨文,其中不是轴对称图形的是( ) 答案答案 B 根据四个字的甲骨文的特点,“比”字的甲骨文不是轴对称图形,故选B. 3.(2019河北,9,3分)如
3、图,在小正三角形组成的网格中,已有6个小正三角形涂黑,还需涂黑n个小正三角形, 使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴,则n的最小值为( ) A.10 B.6 C.3 D.2 答案答案 C 正三角形恰有三条对称轴,所以联想把图中的三个小正三角形涂黑,而当n=1或2时,不能出现 符合题意的新图案,所以n的最小值为3,故选C. 4.(2019天津,17,3分)如图,正方形纸片ABCD的边长为12,E是边CD上一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落 在AE上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若DE=5,则GE的长为 . 答案答案 49 13 解析解析 根据题意可知D
4、AE+BAE=90,BFAE,BAE+ABF=90, DAE=ABF, 四边形ABCD是正方形, AD=AB,BAF=D=90, AFBDEA,AF=DE=5, 在RtADE中,AD=12,DE=5, 根据勾股定理得AE=13. 设AE与BF交于点H, 易知AFHAED, =, 即=, AH=, AH AD AF AE 12 AH5 13 60 13 AG=2AH=, GE=AE-AG=. 120 13 49 13 思路分析思路分析 首先根据题意确定BFAE,进而根据正方形的性质得出AFBDEA,故AF=DE=5,然后 根据两角对应相等,两三角形相似得出AFHAED,求得AH=,最后得出GE的
5、长. 60 13 解题关键解题关键 本题考查正方形的性质,相似三角形的判定与性质,解题的关键是确定BFAE. 5.(2017江西,12,3分)已知点A(0,4),B(7,0),C(7,4),连接AC,BC得到矩形AOBC,点D在边AC上,将边OA沿OD 折叠,点A的对应点为A,若点A到矩形两对边的距离之比为13,则点A的坐标为 . 较长 答案答案 (,3)或(,1)或(2,-2)(每答对一个得1分) 7153 解析解析 点A(0,4),B(7,0),C(7,4), BC=OA=4,OB=AC=7. 分两种情况进行讨论: (1)当点A在矩形AOBC的内部时,过A作OB的垂线交OB于F,交AC于E
6、,如图1所示: 图1 当AEAF=13时, AE+AF=OA=4, AE=1,AF=3,由折叠可得OA=OA=4, 在RtOAF中,OF=, A(,3). 当AEAF=31时, 同理,得A(,1). (2)当点A在矩形AOBC的外部时,此时点A在第四象限,过A作OB的垂线交OB于F,交AC于E,如图2所示: 图2 22 - OAAF 22 4 -37 7 15 AFAE=13,则AFEF=12,AF=EF=BC=2,由折叠可得OA=OA=4, 在RtOAF中,OF=2, A(2,-2). 综上,点A的坐标为(,3)或(,1)或(2,-2). 1 2 1 2 22 - OAAF 22 4 -23
7、 3 7153 易错警示易错警示 解此题时,需分类讨论点A的位置,容易忽略点A在第四象限的情况. 6.(2020四川成都,27,10分)在矩形ABCD的CD边上取一点E,将BCE沿BE翻折,使点C恰好落在AD边上 点F处. (1)如图1,若BC=2BA,求CBE的度数; (2)如图2,当AB=5,且AF FD=10时,求BC的长; (3)如图3,延长EF,与ABF的角平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AN+FD时,求的值. AB BC 解析解析 (1)由翻折可知BC=BF,EBC=EBF, BC=2BA,BF=2AB,又A=90, AFB=30, ADBC, FBC=AFB=30, C
8、BE=FBC=15. (2)由翻折可知BC=BF,BFE=C=90, 易知ABFDFE,=, AF DF=AB DE. AF DF=10,AB=5, DE=2,FE=CE=3, DF=, AF=2. 1 2 AF DE AB DF 22 3 -25 5 BC=AD=AF+DF=3. (3)过点N作NGBF于点G, BN平分ABF,NABA,AN=NG. NGF=A=90,AFB=GFN, NFGBFA, NF=AN+FD,NF=AD=BC=BF, =,NG=AN=AB, 在RtABF中,AB2+AF2=BF2, AB2+=BC2,化简得5AB2+2AB BC-3BC2=0,解得=. 5 1 2
9、 1 2 1 2 NG AB FG FA NF BF 1 2 1 2 2 11 22 ABBC AB BC 3 5 -1 AB BC 舍去 方法总结方法总结 解决矩形的折叠问题,要注意折叠前后图形间的全等关系及平行线间的内错角相等.求 长度或比值问题,要注意寻找与所求线段或已知线段有关的相似三角形.几何证明题中要先注意 “K”“X”“A”型的相似三角形的相似比,再进行线段的等量代换. 1.(2020河南,9,3分)如图,在ABC中,ACB=90,边BC在x轴上,顶点A,B的坐标分别为(-2,6)和(7,0).将正 方形OCDE沿x轴向右平移,当点E落在AB边上时,点D的坐标为( ) A. B.
10、(2,2) C. D.(4,2) 3 ,2 2 11,2 4 考点二 图形的平移 答案答案 B A(-2,6),OC=2,AC=6, 正方形OCDE的边长为2, B(7,0),OB=7,BC=9, 如图,当点E在AB边上时,易证RtEOBRtACB,=,OB=2=3, OC=OB-OB-OC=7-3-2=2, 点D的坐标为(2,2). 即当点E落在AB边上时,点D的坐标为(2,2). 故选B. AC BC EO OB 9 6 思路分析思路分析 根据题意作出平移后的正方形OCDE,依据条件证得RtEOBRtACB,由相似的性质 得OB的长,进而求出D的坐标,即平移后点D的坐标. 2.(2019辽
11、宁大连,4,3分)在平面直角坐标系中,将点P(3,1)向下平移两个单位长度,得到的点P的坐标为 ( ) A.(3,-1) B.(3,3) C.(1,1) D.(5,1) 答案答案 A 因为点P由点P向下平移2个单位长度得到,所以将点P的纵坐标减2,横坐标不变便可得到点P 的坐标,故点P的坐标为(3,-1),故选A. 3.(2018江西,5,3分)小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作,他发现平移前后的两个图形所组成 的图形可以是轴对称图形.如图所示,现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作,平移后 的正方形的顶点也在格点上,则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有( )
12、 A.3个 B.4个 C.5个 D.无数个 答案答案 C 如图所示,正方形ABCD可以向上、向下、向右以及沿射线AC或BD方向平移,平移后的两个 正方形组成轴对称图形.故选C. 4.(2020宁夏,26,10分)如图1放置两个全等的含有30角的直角三角板ABC与DEF(B=E=30).若将三 角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止),移动过程中始终保持 点B、F、C、E在同一条直线上,如图2,AB与DF、DE分别交于点P、M,AC与DE交于点Q,其中AC=DF= ,设三角板ABC移动时间为x秒. (1)在移动过程中,试用含x的代数式表示AMQ的面积; (2)计算x
13、等于多少时,两个三角板重叠部分的面积有最大值,最大值是多少. 3 图1 图2 解析解析 (1)解法一: RtABC中,B=30, A=60. E=30, EQC=AQM=60, AMQ是等边三角形.(1分) 过点M作MNAQ,垂足为点N. 在RtABC中,AC=,BC=AC tan A=3. EF=BC=3. 根据题意可知CF=x,CE=EF-CF=3-x, CQ=CE tan E=(3-x).(2分) AQ=AC-CQ=-(3-x)=x. AM=AQ=x,(3分) MN=AM sin A=x. SAMQ=AQ MN=xx=x2.(4分) 解法二:AMQ为等边三角形(推理方法同解法一). 过点
14、M作MNAQ,垂足为点N. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 3 3 1 2 3 12 根据题意可知CF=x. AMQ与DMP关于点M中心对称,MN=x.(2分) AM=x,AQ=AM=x. SAMQ=AQ MN=xx=x2.(4分) (2)由(1)知BF=CE=3-x,PF=BF tan B=(3-x). S重叠部分=SABC-SAMQ-SBPF=AC BC-AQ MN-BF PF=3-x2-(3-x)(3-x)=-x2+x=- (x-2)2+. 当x=2时,重叠部分面积最大,最大面积是.(10分) 1 2 sin MN A 1 2 3 2 x 3 3 3 3
15、1 2 1 2 3 3 1 2 3 12 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 12 1 2 3 3 3 4 3 3 4 3 3 1.(2020江苏苏州,9,3分)如图,在ABC中,BAC=108,将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到ABC.若 点B恰好落在BC边上,且AB=CB,则C的度数为( ) A.18 B.20 C.24 D.28 考点三 图形的旋转 答案答案 C 设C=x, 根据旋转的性质,得C=C=x,AC=AC,AB=AB, ABB=B, AB=CB,C=CAB=x, ABB=C+CAB=2x, B=2x, C+B+CAB=180,BAC=108, x+2x+108=18
16、0, 解得x=24, C的度数为24,故选C. 2.(2020海南,7,3分)如图,在RtABC中,C=90,ABC=30,AC=1 cm,将RtABC绕点A逆时针旋转得到 RtABC,使点C落在AB边上,连接BB,则BB的长度是( ) A.1 cm B.2 cm C. cm D.2 cm 33 答案答案 B C=90,ABC=30,AC=1 cm, BAC=60,AB=2 cm. 由旋转的性质可得BAC=BAB=60,AB=AB. 所以ABB是等边三角形. BB=AB=2 cm.故选B. 解题关键解题关键 解决本题的关键在于根据旋转的性质得出ABB是等边三角形. 3.(2019河南,10,3
17、分)如图,在OAB中,顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4).将OAB与正方形ABCD组成的图形绕 点O顺时针旋转.每次旋转90,则第70次旋转结束时,点D的坐标为( ) A.(10,3) B.(-3,10) C.(10,-3) D.(3,-10) 答案答案 D 由题意得,五边形AOBCD绕点O顺时针旋转,每次旋转90,经过4次旋转可回到初始位置,即每 4次旋转为一个循环.704=172,即第70次旋转结束时与第2次旋转结束时的位置相同.易得初始位置 时点D的坐标为(-3,10),又点D旋转2次,即顺时针旋转了180后的点D与点(-3,10)关于原点对称,所以第 70次旋转结束时,点D
18、的坐标为(3,-10),故选D. 4.(2016河南,8,3分)如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45,则 第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为( ) A.(1,-1) B.(-1,-1) C.(,0) D.(0,-) 22 答案答案 B 由题意知菱形每8秒旋转一周,60秒旋转7周余4秒,4秒旋转180,即旋转60秒后得到的图形与 原图形关于原点成中心对称,因为B(2,2),所以D(1,1),D关于原点对称的点的坐标为(-1,-1).故选B. 评析评析 本题考查旋转的概念,菱形的性质,中心对称的坐标变换,属中等难度. 5.(2017上海,
19、16,4分)一副三角尺按如图的位置摆放(顶点C与F重合,边CA与边FE叠合,顶点B、C、D在 一条直线上).将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n后(0n180),如果EFAB,那么n的值是 . 答案答案 45 解析解析 三角尺DEF绕点F顺时针旋转后,EFAB,AFE=BAC,BAC=45,AFE=45,n=4 5. 6.(2019山西,15,3分)如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC=10 cm,点D为ABC内一点,BAD=15,AD=6 cm,连接BD,将ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于 点F,则CF的长为 cm. 答案答
20、案 (10-2) 6 解析解析 过点A作AGDE于点G, 由旋转的性质知AD=AE,DAE=90,CAE=BAD=15,AED=45, AFD=AEF+EAF=60. 在RtADG中,AG=DG=3, 在RtAFG中,GF=,AF=2FG=2, 2 AD 2 3 AG 66 CF=AC-AF=10-2.故CF的长为(10-2)cm. 66 方法指导方法指导 我们经常通过观察图形将所求的角或者线段转化到直角三角形中(没有直角三角形时,设法 构造直角三角形),再利用锐角三角函数得到所求结果. 7.(2019河南,22,10分)在ABC中,CA=CB,ACB=.点P是平面内不与点A、C重合的任意一点
21、,连接AP, 将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP,连接AD,BD,CP. (1)观察猜想 如图1,当=60时,的值是 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 . (2)类比探究 如图2,当=90时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理 由. (3)解决问题 当=90时,若点E、F分别是CA、CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时 的值. BD CP BD CP AD CP 解析解析 (1)1;60.(注:若填为60,不扣分)(2分) 如图,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O. 由题意得PAD=CAB=60,
22、 CAP=BAD, CA=BA,PA=DA, CAPBAD(SAS), PC=BD,ACP=ABD, AOC=BOE, BEO=CAO=60, =1,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60. (2),直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45. (注:若没写出,但后续证明正确,不扣分)(4分) 理由如下: ACB=90,CA=CB,CAB=45,=. 同理可得:PAD=45,=. =,CAB=PAD. CAB+DAC=PAD+DAC,即DAB=PAC. DABPAC.(6分) =,DBA=PCA. BD PC 2 AB AC 2 AD AP 2 AB AC AD AP BD CP
23、AB AC 2 设BD交CP于点G,BD交CA于点H. BHA=CHG, CGH=BAH=45.(8分) (3)的值为2+或2-. 注:若把2-写为,不扣分(10分) 提示:分两种情况.如图,可设CP=a,则BD=a.设CD与AB交于点Q,则PQ=CP=a.可证DQB=DBQ= 67.5,则DQ=BD=a,易得AD=PD=2a+a,所以=2+. 如图,可设AP=DP=b,则AD=b. 由EFAB,得PEA=CAB=45, 可证ECD=EAD=22.5, CD=AD=b,CP=b+b, AD CP 22 2 2 21 2 2 2 2 AD CP 2 2 22 所以=2-. 图 图 AD CP 2
24、 思路分析思路分析 (1)当=60时,可得ABC、APD为等边三角形,由旋转证得APCADB,可得结论;(2) 当=90时,在RtPAD,RtCAB中,=,DAB=PAC,可证DABPAC,可得结论;(3)以 AC为直径作圆交直线EF于点P,则点P即为所求作的点,分情况画出图形,可求出答案. AD AP AB AC 2 8.(2017河南,22,10分)如图1,在RtABC中,A=90,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点 M,P,N分别为DE,DC,BC的中点. (1)观察猜想 图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)探究证明 把ADE绕点A
25、按逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断PMN的形状,并说明理由; (3)拓展延伸 把ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出PMN面积的最大值. 解析解析 (1)PM=PN;PMPN.(2分) 详解:点P、N分别是DC,BC的中点, PNBD,PN=BD. 点P、M分别是CD、DE的中点, PMCE,PM=CE, AB=AC,AD=AE, BD=CE. PM=PN, PNBD, DPN=ADC, PMCE, DPM=DCA. BAC=90, 1 2 1 2 ADC+ACD=90, MPN=DPM+DPN=DCA+ADC=90, PMPN. (2)等腰直
26、角三角形.(3分) 理由如下: 由旋转可得BAD=CAE.又AB=AC,AD=AE, BADCAE. BD=CE,ABD=ACE.(5分) 点P,M分别是DC,DE的中点, PM是DCE的中位线. PM=CE且PMCE. 同理可证PN=BD且PNBD. PM=PN,MPD=ECD,PNC=DBC.(6分) 1 2 1 2 MPD=ECD=ACD+ACE=ACD+ABD,DPN=PNC+PCN=DBC+PCN. MPN=MPD+DPN=ACD+ABD+DBC+PCN=ABC+ACB=90,即PMN为等腰直角 三角形.(8分) (3).(10分) 详解:同(2)可证PMN是等腰直角三角形,PM=P
27、N,PMPN. 又知PM=EC,所以SPMN=PM2=EC2, 所以当EC最大时,SPMN最大. 如图,EC的最大值为AE+AC=AD+AB=4+10=14, SPMN的最大值为. 49 2 1 2 1 2 1 8 49 2 1.(2020广东,9,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,EFD=60.若将四边形EBCF 沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为( ) A.1 B. C. D.2 23 考点一 图形的轴对称 教师专用题组 答案答案 D 四边形ABCD是正方形, CDAB, EFD=FEB=60. 由折叠的性质可知FEB=FEB=60, A
28、EB=180-FEB-FEB=60, ABE=30, BE=2AE. 设AE=x, 则BE=BE=2x, AB=AE+BE=3x=3, x=1,BE=2x=2, 故选D. 思路分析思路分析 由CDAB得到EFD=FEB=60,进而由折叠的性质得到FEB=FEB=60,则AEB=6 0,然后根据直角三角形中30角所对的直角边长等于斜边长的一半得出AE与BE的倍数关系即可求解. 2.(2018天津,10,3分)如图,将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点E处,折痕 为BD,则下列结论一定正确的是( ) A.AD=BD B.AE=AC C.ED+EB=DB D.AE+CB=
29、AB 答案答案 D 由折叠的性质知,BC=BE,AE+CB=AB.故选D. 3.(2018新疆,7,5分)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的 点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为( ) A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm 答案答案 D 由题意可知,BE=AB=6 cm,CE=BC-BE=8-6=2 cm.故选D. 4.(2019辽宁大连,9,3分)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为EF.若AB=4,BC=8,则DF的 长为( ) A.2 B.4 C.3 D.2 5 答案答案 C 四边
30、形ABCD为矩形,AB=4,BC=8, AD=BC=8,CD=AB=4,D=90, 由折叠可得AD=CD=4,D=D=90,FD=FD, 设FD=x,则FD=FD=x,AF=AD-FD=8-x, 在RtADF中,AD2+FD2=AF2, 即42+x2=(8-x)2,解得x=3. FD=3,故选C. 5.(2017安徽,10,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足SPAB=S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之 和PA+PB的最小值为( ) A. B. C.5 D. 1 3 2934 241 答案答案 D 如图,过P点作MN,使MNAB,作A点关于MN的对称点A1,连接P
31、A1,A1B,则PA1=PA,设点P到AB 的距离为h,由AB=5,AD=3,SPAB=S矩形ABCD可得h=2,则AA1=4,因为PA+PB=PA1+PBA1B,所以当P为A1B与 MN的交点时,PA+PB最小,其最小值为=,故选D. 1 3 22 4541 疑难突破疑难突破 本题的突破口是根据SPAB=S矩形ABCD推出P点是在平行于AB的线段上运动,从而想到利用轴 对称的性质将问题转化. 1 3 6.(2019吉林,12,3分)如图,在四边形ABCD中,AB=10,BDAD.若将BCD沿BD折叠,点C与边AB的中点E 恰好重合,则四边形BCDE的周长为 . 答案答案 20 解析解析 根据
32、折叠的性质和E为AB的中点可知,BC=BE=5,CD=DE.BDAD,CD=DE=5.四边形 BCDE的周长为20. 解题关键解题关键 解决本题的关键是要发现四边形BCDE是菱形. 7.(2019湖北黄冈,16,3分)如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8.点M为AB的中点.若CMD=120, 则CD的最大值为 . 答案答案 14 解析解析 如图,设点A关于CM的对称点为A,点B关于DM的对称点为B,当A,B都在CD上时,CD有最大值.连 接MA,MB,则MACMAC,MBDMBD,CA=CA=2,BD=BD=8,AMC=AMC,BMD=B MD,M为AB的中点,MA=MA
33、=MB=MB=4,CMD=120,AMC+BMD=60,AMC+B MD=60,AMB=60,AB=4,CD的最大值=CA+AB+BD=14. 难点突破难点突破 考虑到点A与点B是定点,点C与点D是动点,所以想到轴对称,当点A关于CM的对称点A与点B 关于DM的对称点B都在CD上时,CD有最大值,从而找到本题的突破口. 8.(2020安徽,14,5分)在数学探究活动中,敏敏进行了如下操作:如图,将四边形纸片ABCD沿过点A的直线 折叠,使得点B落在CD上的点Q处,折痕为AP;再将PCQ,ADQ分别沿PQ,AQ折叠,此时点C,D落在AP 上的同一点R处.请完成下列探究: (1)PAQ的大小为 ;
34、 (2)当四边形APCD是平行四边形时,的值为 . AB QR 答案答案 (1)30 (2) 3 解析解析 (1)由折叠性质可得ADQARQ,PCQPRQ,APQAPB,D=ARQ,DAQ= RAQ,DQA=RQA,C=PRQ,CQP=RQP,B=AQP,QAP=BAP,QAP=BAP= DAQ,又DQA+RQA+CQP+RQP=180,RQA+RQP=90,AQP=90,B=90, ARQ+PRQ=180,C+D=180,ADBC,DAB=90,PAQ=30. (2)当四边形APCD是平行四边形时,由(1)可得四边形ADQR、QRPC是平行四边形,且C=CPQ= QPR=60,QP=CQ,由
35、折叠可知QR=QC=PQ.在RtAQP中,tanQPA=tan 60=,由APQ APB可得AQ=AB,=. AQ PQ 3 AB QR 3 思路分析思路分析 (1)根据折叠性质可得ADQARQ,PCQPRQ,APQAPB,然后根据全等及平 角性质可证QAP=BAP=DAQ,AQP=90,进一步可证ADBC及DAB=90,问题解决;(2)当四边 形APCD是平行四边形时,画出草图,易推出C=CPQ=QPR=60,由折叠可知QR=QC=PQ,AQ=AB,最 后根据tanQPA=tan 60=即可求出结果. AQ PQ 3 解题关键解题关键 利用(1)的结论及锐角三角函数的知识是解答本题的关键.
36、9.(2020天津,24,10分)将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(2,0),点B在第 一象限,OAB=90,B=30,点P在边OB上(点P不与点O,B重合). (1)如图,当OP=1时,求点P的坐标; (2)折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点P,并与x轴的正半轴相交于点Q,且OQ=OP,点O的对应点为O, 设OP=t. 如图,若折叠后OPQ与OAB重叠部分为四边形,OP,OQ分别与边AB相交于点C,D,试用含有t的 式子表示OD的长,并直接写出t的取值范围; 若折叠后OPQ与OAB重叠部分的面积为S,当1t3时,求S的取值范围(直接写出结果即可). 解析
37、解析 (1)解法一:如图,过点P作PHx轴,垂足为H,则OHP=90. OAB=90,B=30, BOA=90-B=60. OPH=90-POH=30. 在RtOHP中,OP=1, OH=OP=,HP=. 点P的坐标为. 解法二:过点P作PHx轴,垂足为H,则OHP=90. OAB=90,B=30, 1 2 1 2 22 -OP OH 3 2 13 , 22 BOA=90-B=60. 在RtOPH中,OP=1, HP=sinBOA OP=sin 60 OP=, OH=cosBOA OP=cos 60 OP=. 点P的坐标为. (2)由折叠知,OPQOPQ, OP=OP,OQ=OQ. 又OQ=O
38、P=t, OP=OP=OQ=OQ=t. 四边形OQOP为菱形. QOOB. ADQ=B=30. 3 2 1 2 13 , 22 点A(2,0), OA=2.QA=OA-OQ=2-t. 在RtQAD中,QD=2QA=4-2t. OD=OQ-QD, OD=3t-4,其中t的取值范围是t2. S. 详解:i.O在OAB的内部(含OAB的边)时,1t.当O在AB边上时,在RtAQO中,OQ=2AQ, 4 3 3 8 4 3 7 4 3 t+=2,故t= S=SOPQ=SOPQ= tt=t2. 当1 t时,S. ii.O在OAB的外部,Q在OA上时,t2. 由(2)知,OD=3t-4, CO=-2,CD
39、=. 2 t4 3 1 2 3 2 3 4 4 3 3 4 4 3 9 4 3 3 2 t 3 3 -2 2 t 此时S=SOPQ-SCDO=t2- CO CD=t2-=-t2+3t-2=-+. 当t2时,S. iii.O在OAB的外部,Q在OA的延长线上时,2t3. 此时,OP=t,BP=4-t, 在RtPBC中,PC=BP=2-, 在RtPCD中,CD=PC=. 3 4 1 2 3 4 1 2 3 2 3 -2 2 t 7 3 8 33 7 3 8 2 12 - 7 t 4 3 7 4 3 4 3 9 4 3 7 1 22 t 332- 2 t S=SCPD= CP CD=. 当2t3时,
40、S. 综上,S的取值范围为S. 1 2 1 2 2- 2 t 32- 2 t 3 2 2 2- 2 t 3 8 3 2 3 8 4 3 7 思路分析思路分析 (1)过P点作x轴的垂线,根据特殊角的三角函数值或勾股定理即可求得P点坐标. (2)根据翻折的性质,确定四边形OQOP是菱形,根据A点坐标用t表示出AQ,在直角三角形QAD中,DQ=2 AQ,从而用t表示出DQ,进而表示出DO;画出草图,找到重合部分的面积,根据特殊角的三角函数值用t 表示出各线段长度后表示面积,最后依据t的取值范围及二次函数的性质求出S的取值范围. 难点突破难点突破 求二次函数在一个区间内的取值范围要特别注意对称轴是否在
41、自变量取值范围内,切忌直 接求边界值的函数值. 10.(2016黑龙江哈尔滨,22,7分)图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形 的边长均为1,线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上. (1)如图1,点P在小正方形的顶点上,在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q,连接AQ、QC、CP、PA,并 直接写出四边形AQCP的周长; (2)在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD,且点B和点D均在小正方形的顶点上. 解析解析 (1)如图,(2分) 四边形AQCP的周长为4.(4分) (2)如图. (7分) 10 11.(2017山东济宁,20,8分)实验探究
42、: (1)如图1,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开;再一次折叠纸片,使点A落在EF 上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN,MN.请你观察图1,猜想MBN的度数是多少,并证 明你的结论; (2)将图1中的三角形纸片BMN剪下,如图2.折叠该纸片,探究MN与BM的数量关系.写出折叠方案,并结合 方案证明你的结论. 解析解析 (1)猜想:MBN=30. 理由:如图1中,连接AN,直线EF是AB的垂直平分线, NA=NB. 由折叠可知,BN=AB, AB=BN=AN, ABN是等边三角形, ABN=60, NBM=ABM=ABN=30. (2)结论:MN
43、=BM. 折纸方案:如图2中,折叠BMN,使得点N落在BM上O处,折痕为MP,连接OP. 理由:由折叠可知MOPMNP, MN=OM,OMP=NMP=OMN=30=B, 1 2 1 2 1 2 MOP=MNP=90,BOP=MOP=90, OP=OP, MOPBOP, MO=BO=BM, MN=BM. 1 2 1 2 12.(2017甘肃兰州,26,10分)如图1,将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到点E处,BE 交AD于点F. (1)求证:BDF是等腰三角形; (2)如图2,过点D作DGBE,交BC于点G,连接FG交BD于点O. 判断四边形BFDG的形状,并说明理由; 若
44、AB=6,AD=8,求FG的长. 解析解析 (1)证明:由折叠得,BDCBDE, DBC=DBF.(1分) 又四边形ABCD是矩形, ADBC, DBC=FDB.(2分) DBF=FDB. DF=BF. BDF是等腰三角形.(3分) (2)四边形BFDG是菱形.(4分) 理由如下: 四边形ABCD是矩形, FDBG,(5分) 又DGBE, 四边形BFDG是平行四边形.(6分) 又DF=BF, 四边形BFDG是菱形.(7分) 四边形ABCD是矩形, A=90, BD=10. 四边形BFDG是菱形, GFBD,FG=2OF,OD=BD=5.(8分) FDO=BDA,FOD=A=90, OFDABD
45、.(9分) =,即=, OF=. FG=2OF=.(10分) 22 ABAD 22 68 1 2 OF AB OD AD6 OF5 8 15 4 15 2 思路分析思路分析 (1)利用折叠及矩形的性质得到角的等量关系,再用等角对等边转化成边的等量关系;(2)先判 断四边形BFDG是平行四边形,再利用一组邻边相等即可判断四边形BFDG是菱形;(3)利用相似三角形 的性质,把线段OF与矩形的边联系起来,求得线段OF的长,再利用菱形的性质求出FG的长. 1.(2020四川成都,4,3分)在平面直角坐标系中,将点P(3,2)向下平移2个单位长度得到的点的坐标是( ) A.(3,0) B.(1,2) C
46、.(5,2) D.(3,4) 考点二 图形的平移 答案答案 A 将点P(3,2)向下平移2个单位长度,横坐标不变,纵坐标减2,平移点P后得到的点的坐标为(3, 0).故选A. 方法指导方法指导 将点向左平移n个单位长度,纵坐标不变,横坐标减n;将点向右平移n个单位长度,纵坐标不变, 横坐标加n;将点向上平移n个单位长度,横坐标不变,纵坐标加n;将点向下平移n个单位长度,横坐标不变, 纵坐标减n. 2.(2016山东济宁,7,3分)如图,将ABE向右平移2 cm得到DCF,如果ABE的周长是16 cm,那么四边形 ABFD的周长是( ) A.16 cm B.18 cm C.20 cm D.21
47、cm 答案答案 C 将ABE向右平移2 cm得到DCF, EF=AD=2 cm,AE=DF, ABE的周长为16 cm, AB+BE+AE=16 cm, 四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=AB+BE+AE+EF+AD=16 cm+2 cm+2 cm=20 cm.故选C. 3.(2016山东青岛,5,3分)如图,线段AB经过平移得到线段AB,其中点A,B的对应点分别为点A,B,这四个点 都在格点上.若线段AB上有一个点P(a,b),则点P在AB上的对应点P的坐标为( ) A.(a-2,b+3) B.(a-2,b-3) C.(a+2,b+3) D.(a+2,b-3) 答案答案 A 线段AB向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到线段AB,由此可知线段AB上的 点P(a,b)的对应点P的坐标为(a-2,b+3),故选A. 评析评析 在平面直角坐标系中,点的平移与其坐标变化的关系是“上加下减,右加左减”,即点向上(或下) 平移a个单位长度,则纵坐标加a(或减a);点向右(或左)平移b个单位长度,则横坐标加b(或减b). 4.(2020广东广州,14,3分)如图,点A的坐标为(1,3),点B在x轴上,把OAB沿x轴向右平移到ECD,若四边 形ABDC的面积为9,则点C的坐标为 . 答案答案 (4,3) 解析解析 CED由AOB向右平移所得
