1、 中考数学 （广东专用） 第六章 空间与图形 6.1 图形的轴对称、平移和旋转 考点一 图形的轴对称 A组 20162020年广东中考题组 1.(2020深圳,2,3分)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 答案答案 B 根据轴对称图形和中心对称图形的定义,可知A选项中图形不是轴对称图形也不是中心对称 图形,B选项中图形既是轴对称图形又是中心对称图形,C选项中图形是轴对称图形但不是中心对称图 形,D选项中图形不是轴对称图形是中心对称图形.故选B. 2.(2019深圳,2,3分)下列图形中是轴对称图形的是( ) 答案答案 A 根据轴对称图形的概念可得A选项中的图形是轴对称图形,故选A
2、. 3.(2019广东,5,3分)下列四个银行标志中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( ) 答案答案 C A选项是轴对称图形,但不是中心对称图形;B选项是轴对称图形,但不是中心对称图形;C选项 既是轴对称图形,又是中心对称图形;D选项是轴对称图形,但不是中心对称图形.故选C. 4.(2018广州,2,3分)如图所示的五角星是轴对称图形,它的对称轴共有( ) A.1条 B.3条 C.5条 D.无数条 答案答案 C 如图所示,五角星的对称轴共有5条. 方法总结方法总结 轴对称图形和中心对称图形是经常考查的考点.考生需要正确理解其概念:轴对称图形是沿 直线翻折后直线两旁的部分能够互相重合,中心
3、对称图形是在平面内一个图形绕某个点旋转180后能 够与原图形重合. 思路分析思路分析 根据轴对称图形的定义:“如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这 个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴”分析、理解题目. 5.(2018广东,5,3分)下列所述图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) A.圆 B.菱形 C.平行四边形 D.等腰三角形 答案答案 D 圆和菱形都是轴对称图形,也都是中心对称图形,所以A、B都不符合题意;平行四边形是中心 对称图形但不一定是轴对称图形,所以C不符合题意;等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形,故 选D. 方法总结方法总结 本题考查了轴
4、对称图形和中心对称图形的概念.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分 完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.如果一个图形绕某一点旋转180后能够与 自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心. 易错警示易错警示 此类问题容易混淆平行四边形的对称性和特殊平行四边形的对称性.等边三角形的对称性 是最容易弄错的,一不小心就会看成中心对称图形. 考点二 图形的平移 1.(2020广州,14,3分)如图,点A的坐标为(1,3),点B在x轴上,把OAB沿x轴向右平移到ECD,若四边形 ABDC的面积为9,则点C的坐标为 . 答案答案 (4,3) 解析解析 CED由AOB向
5、右平移所得,点A的坐标为(1,3), 点C的纵坐标为3. 易知四边形ABDC为平行四边形,S四边形ABDC=3BD=9, BD=3,AC=BD=3. 点C的坐标为(4,3). 解题关键解题关键 能根据已知条件求出AC的长度是解题的关键. 2.(2016广州,13,3分)如图,ABC中,AB=AC,BC=12 cm,点D在AC上,DC=4 cm.将线段DC沿CB方向平移7 cm得到线段EF,点E,F分别落在边AB,BC上,则EBF的周长为 cm. 答案答案 13 解析解析 由题可得FC=7 cm,EF=DC=4 cm,EFDC, EFB=DCF.AB=AC,DCF=ABC, EFB=ABC,EB
6、=EF=4 cm. BC=12 cm,BF=BC-FC=5 cm. EBF的周长为EB+BF+EF=4+5+4=13(cm). 考点三 图形的旋转 1.(2019广州,14,3分)一副三角板如图放置,将三角板ADE绕点A逆时针旋转(090),使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC垂直,则的度数为 . 答案答案 15或60 解析解析 当DEBC时,如图,设DE与AC交于点F, AFE=CFD=90-C=90-30=60, FAE=180-AFE-E=180-60-45=75, DAC=DAE-FAE=90-75=15, =15. 当ADBC时,如图,设DE与AC交于点F, C=30,ADBC,
7、 DAC=90-C=60, =60. 综上所述,的度数为15或60. 思路分析思路分析 由于题目没有说明三角板ADE的哪一条边所在的直线与BC垂直,所以本题需进行分类讨论: DEBC;ADBC.再结合图形分别求出相应的即可. 2.(2020深圳,22,9分)背景:一次小组合作探究课上,小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点E、A、 D在同一条直线上),发现BE=DG且BEDG. 小组讨论后,提出了下列三个问题,请你帮助解答. (1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1),还能得到BE=DG吗?若能,请给出证明;若不能,请说 明理由; (2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形
8、ABCD,将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2), 试问当EAG与BAD的大小满足怎样的关系时,背景中的结论BE=DG仍成立?请说明理由; (3)把背景中的正方形分别改成矩形AEFG和矩形ABCD,且=,AE=4,AB=8,将矩形AEFG绕点A AE AG AB AD 2 3 按顺时针方向旋转(如图3),连接DE,BG.小组发现:在旋转过程中,DE2+BG2的值是定值,请求出这个定值. 图1 图2 图3 解析解析 (1)能.证明如下:四边形AEFG为正方形, AE=AG,EAG=90. 四边形ABCD为正方形, AB=AD,BAD=90, EAB=GAD. AEBAGD(SAS), B
9、E=DG. (2)当EAG=BAD时,BE=DG. 理由如下: EAG=BAD,EAB=GAD. 四边形AEFG和ABCD均为菱形, AE=AG,AB=AD. AEBAGD(SAS), BE=DG. (3)解法一:过E作EMDA的延长线于点M, 过G作GNAB于N. =,AE=4,AB=8,AG=6,AD=12. EAG=MAN=90,MAE=NAG. 又AME=ANG, AMEANG,=. 设EM=2a,AM=2b,则GN=3a,AN=3b,4a2+4b2=16, BN=8-3b,a2+b2=4, ED2=(2a)2+(12+2b)2=4a2+144+48b+4b2,GB2=(3a)2+(8
10、-3b)2=9a2+64-48b+9b2, ED2+GB2=13(a2+b2)+208=134+208=260. AE AG AB AD 2 3 ME GN AM AN AE AG 2 3 解法二:四边形AEFG和ABCD均为矩形, EAG=BAD,EAB=GAD. 又=,EABGAD, BEA=AGD. 设BE与DG交于点Q,则GQE=GAE=90, GDEB. EA AG AB AD 连接EG,BD. 由=,AE=4,AB=8,可得AG=6,AD=12. ED2+GB2=EQ2+QD2+GQ2+QB2=EG2+BD2, ED2+GB2=42+62+82+122=260. AE AG AB
11、AD 2 3 3.(2018广东,25,9分)已知RtOAB,OAB=90,ABO=30,斜边OB=4,将RtOAB绕点O顺时针旋转60, 如图1,连接BC. (1)填空:OBC= ; (2)如图1,连接AC,作OPAC,垂足为P,求OP的长度; (3)如图2,点M、N同时从点O出发,在OCB边上运动,M沿OCB路径匀速运动,N沿OBC路径匀 速运动,当两点相遇时停止运动.已知点M的运动速度为1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒.设运动时 间为x秒,OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值,最大值为多少?(结果分母可保留根号) 解析解析 (1)60. (2)根据题意,得OB=OC,
12、又BOC=60, OBC为等边三角形,BC=OB=4. 在RtOAB中,ABO=30, OA=OB=2,AB=OB=2, 在RtABC中,AC=2. sinACB=, sinPAO=sinACB=, sinPAO=, 1 2 3 2 3 22 ABBC 7 AB AC 3 7 3 7 OP OA 3 7 OP=OA=. (3)当0x时,点M在边OC上,点N在边OB上, ON边上的高为OMsinMON, y=ON OMsinMON=xxsin 60=x2. 当x=时,y取得最大值. 当x4时,如图1,点M在边BC上,点N在边OB上,BM=8-x. 3 7 2 3 7 2 21 7 或 8 3 1
13、 2 1 2 3 2 3 3 8 8 3 8 3 3 8 3 3 2 图1 ON边上的高为BMsinMBN, y=xsin 60=x(16-3x) =-+. 当x=时,y取得最大值. 1 2 3 8- 2 x 3 8 3 3 8 2 8 - 3 x 8 3 3 8 3 8 3 3 当4x时,如图2,点M、N均在边BC上, 图2 MN=12-x, 又MN边上的高等于AB的长, y=MN AB= 2=(24-5x). 24 5 5 2 1 2 1 2 5 12- 2 x 3 3 2 当x=4时,y取得最大值2. 综上所述,当x=时,y取得最大值. 3 8 3 8 3 3 思路分析思路分析 (1)根
14、据旋转的性质知OB=OC,BOC等于60,从而OBC是等边三角形,可得OBC=60. (2)分别求出AO,AB,BC,AC的长,利用ACB=PAO,且其三角函数值也相等求解. (3)首先按点M、N所在的边分三类进行讨论,然后可根据三角形面积公式去求三角形OMN的面积y与时 间x的函数关系式,最后求一次函数与二次函数的最值即可. 解后反思解后反思 本题是代数与几何的综合应用,主要考查了旋转的性质、勾股定理、锐角三角函数、一次 函数与二次函数的最值等知识,也考查了分类讨论等解题思想.在解决动态几何问题时,我们通常根据题 意确定一个分类标准,例如,根据几何图形的形状、运动对象的相对位置、数量关系的变
15、化趋势等的不 同进行分类讨论.难点在于如何“化动为静”,因此画出各个分类的图形对解决问题有着很大的帮助,当 图形画出来后,动态几何问题也就转化为静态几何问题了. 4.(2018广州,25,14分)如图,在四边形ABCD中,B=60,D=30,AB=BC. (1)求A+C的度数; (2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由; (3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度. 解析解析 (1)在四边形ABCD中,B=60,D=30, A+C=360-B-D=270. (2)AD2+CD2=BD2. 理由:如图,将BCD绕点
16、B逆时针旋转60,得BAD,连接DD. BD=BD,CD=AD,DBD=60,BAD=C. BDD是等边三角形.DD=BD. BAD+C=270, BAD+BAD=270. DAD=90. AD2+AD2=DD2, 即AD2+CD2=BD2. (3)如图,将BEC绕点B逆时针旋转60得BEA,连接EE. BE=BE,CE=AE,EBE=60,BEC=BEA. BEE是等边三角形. BEE=60. AE2=BE2+CE2,BE=EE,CE=AE, AE2=EE2+AE2. AEE=90. BEA=150. BEC=150. 点E在以BC为弦,劣弧BC所对的圆心角为60的圆上. 以BC为边在BC下
17、方作等边BCO,则O为圆心,半径BO=1. 点E的运动路径为(不包含点B,C), l=. BC BC 60 1 180 3 思路分析思路分析 (1)由四边形的内角和很容易求出答案. (2)由于AD,BD,CD三者之间比较分散,比较难联系,所以想到把它们转移到一起,由于有AB=BC这个条件, 结合“等腰思旋转”,想到通过旋转构造全等,将BCD绕点B逆时针旋转60,得BAD,转移相等的线 段和角,得到BD=BD=DD,CD=AD,DAD=90,从而有AD2+CD2=BD2. (3)要求点E运动路径的长度,就要确定点E的运动路径,由AE2=BE2+CE2,可顺着(2)的思路同样通过旋转构 造全等,将
18、BEC绕点B逆时针旋转60,得BEA,转移相等的线段和角,从而易得BEE=60和AE2=EE2 +AE2,可得AEE=90,从而BEC=150,所以点E在以BC为弦,劣弧BC所对的圆心角为60的圆上,问题 即可解决. 解题关键解题关键 本题考查四边形内角和、等边三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理、弧长公式等知 识.解题的关键是会添加常用辅助线:“旋转出等腰,等腰思旋转”,当出现“共顶点,等线段”结构时,可 考虑“造旋转,出全等”,构造全等三角形将分散条件集中在同一个三角形中解决问题. B组 20162020年全国中考题组 考点一 图形的轴对称 1.(2020内蒙古呼和浩特,1,3分)下面四
19、幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案,其中不是轴对称 图形的是( ) 答案答案 D 根据轴对称图形的概念,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够相互重合,那么 这个图形叫做轴对称图形,可知D选项不是轴对称图形,故选D. 2.(2019北京,2,2分)下列倡导节约的图案中,是轴对称图形的是( ) 答案答案 C 选项A、B、D不是轴对称图形,选项C是轴对称图形.故选C. 考点二 图形的平移 1.(2020山东青岛,5,3分)如图,将ABC先向上平移1个单位,再绕点P按逆时针方向旋转90,得到ABC, 则点A的对应点A的坐标是( ) A.(0,4) B.(2,-2) C.(3,-2) D
20、.(-1,4) 答案答案 D 由题图可知点A的坐标为(4,2),向上平移一个单位后对应点的坐标为(4,3),再绕点P按逆时针 方向旋转90后对应点的坐标为(-1,4),如图所示. 2.(2019江苏苏州,9,3分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16.将ABO沿点A到点C的 方向平移,得到ABO.当点A与点C重合时,点A与点B之间的距离为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 答案答案 C 由菱形及平移的性质得AO=OC=CO=2,BO=OD=BO=8,AOB=AOB=90,AOB为直 角三角形. AB=10,即点A与点B之间的距离为10.故选C. 22 AO
21、BO 22 68 解后反思解后反思 本题考查了菱形的对角线互相垂直平分及图形平移的性质,可通过构造直角三角形,运用勾 股定理求得AB的长. 3.(2017安徽,18,8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点ABC和DEF (顶点为网格线的交点),以及过格点的直线l. (1)将ABC向右平移两个单位长度,再向下平移两个单位长度,画出平移后的三角形; (2)画出DEF关于直线l对称的三角形; (3)填空:C+E= . 解析解析 (1)如图所示,A1B1C1即为所求. (2)如图所示,D1E1F1即为所求. (3)45. 提示:A1C1F1=C+E,连接A1F1,易证三角形
22、A1F1C1是等腰直角三角形且A1C1F1=45. 考点三 图形的旋转 1.(2016天津,3,3分)下列图形中,可以看作是中心对称图形的是( ) 答案答案 B 根据中心对称图形的定义,一个图形如果绕着某个点旋转180,可以和原图形重合,则这个图 形为中心对称图形,可知只有B符合,故选B. 2.(2019吉林,4,2分)把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,则这个旋转角度 至少为( ) A.30 B.90 C.120 D.180 答案答案 C 图形中有三个箭头,所以与自身重合的旋转角度至少为3603=120.故选C. 3.(2019内蒙古包头,17,3分)如图,在ABC中,
23、CAB=55,ABC=25.在同一平面内,将ABC绕点A逆时 针旋转70得到ADE,连接EC,则tanDEC的值是 . 答案答案 1 解题关键解题关键 抓住旋转的性质得出AEC是等腰三角形且CAE=70是解答本题的关键. 解析解析 在ACB中,ACB=180-55-25=100.由旋转的性质可得AED=ACB =100,CAE=70,AE=AC, AEC=55,DEC=100-55=45,tanDEC=1. 4.(2020江西,16,6分)如图,在正方形网格中,ABC的顶点在格点上,请仅用无刻度直尺完成以下作图(保 留作图痕迹). (1)在图1中,作ABC关于点O对称的ABC; (2)在图2中
24、,作ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的ABC. 解析解析 (1)如图1,ABC即为所求. (2)如图2,ABC即为所求. 5.(2018福建,21,8分)如图,在RtABC中,C=90,AB=10,AC=8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋 转90得到,EFG由ABC沿CB方向平移得到,且直线EF过点D. (1)求BDF的大小; (2)求CG的长. 解析解析 (1)线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90得到, DAB=90,AD=AB=10. ABD=45. EFG由ABC沿CB方向平移得到,ABEF, BDF=ABD=45. (2)由平移的性质可得AECG,ABE
25、F,且AE=CG, DEA=DFC=ABC,ADE+DAB=180, 又DAB=90,ADE=ACB=90. ADEACB,=. AC=8,AB=AD=10,AE=,CG=AE=. AD AC AE AB 25 2 25 2 解后反思解后反思 本题考查图形的平移与旋转、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角 形、相似三角形的判定与性质等基础知识,考查运算能力、推理能力、数形结合思想、化归与转化思 想. C组 教师专用题组 考点一 图形的轴对称 1.(2020山西,2,3分)自新冠肺炎疫情发生以来,全国人民共同抗疫,各地积极普及科学防控知识.下面是科 学防控知识的图片,图片上有图案
26、和文字说明,其中的图案是轴对称图形的是( ) 答案答案 D 根据轴对称图形的定义知只有D选项正确,故选D. 2.(2020重庆A卷,2,4分)下列图形是轴对称图形的是( ) 答案答案 A 根据轴对称图形的概念,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个 图形叫做轴对称图形,可知选项A中的图形是轴对称图形.故选A. 3.(2019湖北武汉,4,3分)现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性,下列美术字 是轴对称图形的是 ( ) 答案答案 D 选项A、B、C中的图形都不是轴对称图形,选项D中的图形是轴对称图形.故选D. 4.(2019甘肃兰州,4,4分)剪纸是
27、中国特有的民间艺术,在如图所示的四个剪纸图案中,既是轴对称图形又 是中心对称图形的是( ) 答案答案 C A、B既不是轴对称图形也不是中心对称图形;C既是轴对称图形也是中心对称图形;D是轴 对称图形但不是中心对称图形.故选C. 5.(2018黑龙江齐齐哈尔,1,3分)下列“数字图形”中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案答案 A 是中心对称图形，不是轴对称图形 既是轴对称图形，又是中心对称图形， 符合题意的图形有3个，故选C. 6.(2018辽宁沈阳,4,2分)在平面直角坐标系中,点B的坐标是(4,-1),点A与点B关于x轴对称,则点A的坐
28、标是 ( ) A.(4,1) B.(-1,4) C.(-4,-1) D.(-1,-4) 答案答案 A 关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数. 7.(2016四川南充,3,3分)如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,点P是直线MN上的点,下列判断错误的是 ( ) A.AM=BM B.AP=BN C.MAP=MBP D.ANM=BNM 答案答案 B 根据轴对称的性质,可知AM=BM,MAPMBP,AMNBMN,MAP=MBP, ANM=BNM,A、C、D正确.故选B. 8.(2016吉林,14,3分)在三角形纸片ABC中,C=90,B=30,点D(不与B,C重合)是BC上任意一点.将此
29、三 角形纸片按下列方式折叠.若EF的长度为a,则DEF的周长为 (用含a的式子表示). 答案答案 3a 解析解析 易知FDC=C=90,FDB=90. B=30,在RtBDF中,BFD=60. EDB=B=30,DEF=60. DEF是等边三角形.DEF的周长是3a. 评析评析 本题考查折叠的性质,等边三角形的判定和性质,属容易题. 考点二 图形的平移 1.(2019北京,4,2分)在数轴上,点A,B在原点O的两侧,分别表示数a,2,将点A向右平移1个单位长度,得到点 C.若CO=BO,则a的值为( ) A.-3 B.-2 C.-1 D.1 答案答案 A 因为CO=BO,且点B表示的数为2,所
30、以点C表示的数为2,所以点A表示的数为-3或1.又因为点 A,B在原点O的两侧,所以a=1不合题意,舍去,所以a=-3.故选A. 2.(2018河北,15,2分)如图,点I为ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将ACB平移使其顶点与I重合,则图中 阴影部分的周长为( ) A.4.5 B.4 C.3 D.2 答案答案 B 如图,连接AI,BI,点I为ABC的内心,AI平分BAC,BI平分ABC,又ACIE,CAI= AIE,EAI=AIE,AE=EI.同理,BF=FI.阴影部分的周长=EI+FI+EF=AE+BF+EF=AB.AB=4, 阴影部分的周长为4,故选B. 3.(2017吉林,
31、23,8分)如图,BD是矩形ABCD的对角线,ABD=30,AD=1.将BCD沿射线BD方向平移 到BCD的位置,使B为BD中点,连接AB,CD,AD,BC,如图. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)四边形ABCD的周长为 ; (3)将四边形ABCD沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形,直接写出所 有可能拼成的矩形周长. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形, ADBC,AD=BC. 易知ADBC,AD=BC, 四边形ABCD为平行四边形. DAB=90,ABD=30,AD=BD. B为BD中点, AB=BD.AD=AB.四边形ABCD为菱形. (2)4
32、. 提示:在RtABD中,ABD=30,AD=1, BD=2,AB=. 易证四边形ABCD是菱形, 则四边形ABCD的周长是4. (3)如图. 1 2 1 2 3 3 3 周长为23+=6+. 如图. 周长为2=3+2. 3 2 3 3 3 2 3 考点三 图形的旋转 1.(2017四川成都,5,3分)下列图标中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) 答案答案 D 根据图形特点知,A中图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形;B中图形仅是中心对称图 形;C中图形仅是轴对称图形;D中图形既是轴对称图形,又是中心对称图形.故选D. 2.(2019山东青岛,6,3分)如图,将线段AB先向右平移
33、5个单位,再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90, 得到线段AB,则点B的对应点B的坐标是( ) A.(-4,1) B.(-1,2) C.(4,-1) D.(1,-2) 方法规律方法规律 在平面直角坐标系内,把一个图形的各点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,对应的新图形 就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把一个图形的各个点的纵坐标都加上(或减去)一个 正数b,对应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移b个单位长度;图形或点旋转之后,要结合旋转的角 度和图形的特殊性质来求旋转后的对应点的坐标. 答案答案 D 将线段AB先向右平移5个单位,此时点B的对应点坐标为(2,1),再将所得
34、线段绕原点顺时针旋 转90,得线段AB,则B的坐标为(1,-2). 3.(2017天津,9,3分)如图,将ABC绕点B顺时针旋转60得DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线 上,连接AD.下列结论一定正确的是 ( ) A.ABD=E B.CBE=C C.ADBC D.AD=BC 答案答案 C ABC绕点B顺时针旋转60得到DBE, ABD=CBE=60,AB=BD, ABD是等边三角形,DAB=60, DAB=CBE,ADBC,故选C. 解题关键解题关键 熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 4.(2016河南,8,3分)如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时
35、针旋转,每秒旋转45,则 第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为( ) A.(1,-1) B.(-1,-1) C.(,0) D.(0,-) 22 答案答案 B 由题意知菱形每8秒旋转一周,60秒旋转7周余4秒,4秒旋转180,即旋转60秒后得到的图形与 原图形关于原点成中心对称.因为B(2,2),所以D(1,1),D关于原点对称的点的坐标为(-1,-1).故选B. 5.(2019天津,11,3分)如图,将ABC绕点C顺时针旋转得到DEC,使点A的对应点D恰好落在边AB上,点B 的对应点为E,连接BE,下列结论一定正确的是( ) A.AC=AD B.ABEB C.BC=DE D.A=EBC 答案
36、答案 D 由旋转的性质可知,AC=CD,但AC不一定等于AD,选项A不符合题意.由旋转的性质可知,BC =EC,但BC不一定等于DE,选项C不符合题意.根据旋转的性质可得,ACD=ECB,AC=CD,BC=CE, A=CDA=(180-ACD),EBC=CEB=(180-ECB),A=EBC,选项D符合题意.根据题意 无法得到ABE=90,选项B不符合题意.故选D. 1 2 1 2 6.(2020宁夏,13,3分) 如图,直线y= 4与x轴、y轴分别交于A、B两点,把AOB绕点B逆时针旋转90后得到A1O1B,则点A1 5 2 的坐标是 . 答案答案 12 4, 5 解解析 对于y=x+4,令
37、x=0,得y=4,则OB=4;令y=0,得x=-,则OA=.延长O1A1交x轴于点C.AOB绕点B 逆时针旋转90后得到A1O1B,ABA1=90,ABO=A1BO1,AOB=A1O1B=90,OBO1=90, 四边形OBO1C是矩形.BO1x轴,O1A1y轴,由旋转的性质得BO1=OB=4,O1A1=OA=,A1C=OB-A1O1=4 -=,A1. 5 2 8 5 8 5 8 5 8 5 12 5 12 4, 5 7.(2019湖北武汉,16,3分)问题背景:如图1,将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE,DE与BC交于点P, 可推出结论:PA+PC=PE. 问题解决:如图2,在MNG中,M
38、N=6,M=75,MG=4.点O是MNG内一点,则点O到MNG三个顶点 的距离和的最小值是 . 图1 图2 2 答案答案 2 29 解析解析 连接MO、NO、GO,将MOG绕点M逆时针旋转60得到MOG,连接OO,NG.易得MOO为等 边三角形,OM=OO,则当N,O,O,G四点共线时,NO+MO+GO取到最小值,且最小值为NG的长度.过点G 作GHMN,垂足为H,可得HMG=45,MH=GH=4,NH=10.由勾股定理可得NG=2. 29 8.(2017内蒙古包头,25,12分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转 角,得到矩形ABCD,BC与AD
39、交于点E,AD的延长线与AD交于点F. (1)如图,当=60时,连接DD,求DD和AF的长; (2)如图,当矩形ABCD的顶点A落在CD的延长线上时,求EF的长; (3)如图,当AE=EF时,连接AC,CF,求AC CF的值. 解析解析 (1)矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转角得到矩形ABCD,AD=AD=BC=BC=4,CD=CD= AB=AB=3,ADC=ADC=90. =60,DCD=60. CDD是等边三角形,DD=CD=3. 如图,连接CF. 在RtCDF和RtCDF中, RtCDFRtCDF. DCF=DCF=DCD=30. , , CFCF CDCD 1 2 在RtCDF中,t
40、anDCF=,FD=. AF=AD-FD=4-. (2)在RtACD中,D=90, AC2=AD2+CD2.AC=5,AD=2. DAF=DAC,ADF=D,ADFADC. =,即=.DF=. 同理,可证CDECBA, =,即=.ED=.EF=ED+DF=. (3)如图,过点F作FGCE于点G. FD CD 3 3 3 3 AD AD DF DC 2 43 DF3 2 CD CB ED AB 3 43 ED9 4 15 4 四边形ABCD是矩形, GF=CD=CD=3. SECF=EF CD=CE GF, EF=CE. 又AE=EF,AE=EC=EF, 1 2 1 2 EAC=ECA,ECF=
41、EFC. 2ECA+2ECF=180. ACF=90,ADC=ACF=90. 又CAD=FAC,CADFAC. =.AC2=AD AF. 在RtABC中,AC=5.AF=. SACF=AC CF=AF CD, AC CF=AF CD=. AC AF AD AC 22 ABBC 2 AC AD 25 4 1 2 1 2 75 4 方法规律方法规律 图形的旋转变换是全等变换,变换过程中不改变图形的形状和大小,要紧紧抓住图形变换前 后不变的量来解决问题. 9.(2016北京,28,7分)在等边ABC中, (1)如图1,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,BAP=20,求AQB的度数; (2)点P,Q是
42、BC边上的两个动点(不与B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为 M,连接AM,PM. 依题意将图2补全; 小茹通过观察、实验,提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们进行 交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法: 想法1:要证PA=PM,只需证APM是等边三角形. 想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证PA=PM,只需证ANPPCM. 想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK. 请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM.(一种方法即可) 解析解析 (1)A
43、BC为等边三角形,B=60. APC=BAP+B=80. AP=AQ,AQB=APC=80. (2)补全的图形如图所示. 证法一:过点A作AHBC于点H,如图. 由ABC为等边三角形,AP=AQ, 可得PAB=QAC. 点Q,M关于直线AC对称,QAC=MAC,AQ=AM. PAB=MAC,AM=AP. PAM=BAC=60. APM为等边三角形.PA=PM. 证法二:在BA上取一点N,使BN=BP,连接PN,CM,如图. 由ABC为等边三角形, 可得BNP为等边三角形. AN=PC,ANP=120. 由AP=AQ,可得APB=AQC. 又B=ACB=60, ABPACQ.BP=CQ. 点Q,
44、M关于直线AC对称, ACM=ACQ=60,CM=CQ. NP=BP=CQ=CM. PCM=ACM+ACQ=120, ANPPCM.PA=PM. 证法三:将线段BP绕点B顺时针旋转60, 得到BK,连接KP,CK,MC,如图. BPK为等边三角形. KB=BP=PK,KPB=KBP=60. KPC=120. 又由ABC为等边三角形, 可得ABPCBK.AP=CK. 由AP=AQ,可得APB=AQC. 又AB=AC,ABC=ACB=60, ABPACQ.BP=CQ. 点Q,M关于直线AC对称, BCM=2ACQ=120,CQ=CM=PK. MCPK.四边形PKCM为平行四边形. CK=PM,PA
45、=PM. A组 20182020年模拟基础题组 时间:35分钟 分值:40分 一、选择题(每小题3分,共18分) 1.(2019中山模拟,2)下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 答案答案 C A.不是轴对称图形,是中心对称图形,故A选项不符合题意; B.不是轴对称图形,是中心对称图形,故B选项不符合题意; C.既是轴对称图形,也是中心对称图形,故C选项符合题意; D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故D选项不符合题意. 故选C. 2.(2020珠海紫荆中学一模,6)如图,将ABC绕点C顺时针旋转35,得ABC,若ACAB,则BAC= ( ) A.65 B.75 C.55 D
46、.35 答案答案 C 将ABC绕点C顺时针旋转35,得ABC,ACA=35,A=A. ACAB,A+ACA=90, A=90-35=55, A=55.故选C. 思路分析思路分析 根据旋转的性质得ACA=35,A=A,再利用ACAB得到A+ACA=90,则可计算 出A=55,所以A=55. 3.(2020广州天河一模,7)如图,将ABC沿过边上两点D,E的直线折叠后,使得点B与点A重合.若已知BE=4 cm,DE=3 cm,则ABC的周长与ADC的周长的差为( ) A.4 cm B.5 cm C.8 cm D.10 cm 答案答案 C 将ABC沿直线DE折叠后,点B与点A重合,AD=BD,AE=
47、BE=4 cm, AB=BE+AE=4+4=8(cm), ABC的周长-ADC的周长=AB+BC+AC-AC-CD-AD=AB+BD-AD=AB=8 cm,故选C. 解题关键解题关键 本题考查了折叠的性质、三角形周长的计算等知识.熟练掌握折叠的性质是解题的关键. 4.(2020惠州四校联考,5)已知点A(m-1,3)与点B(2,n+1)关于x轴对称,则m+n的值为( ) A.-1 B.-7 C.1 D.7 答案答案 A 点A(m-1,3)与点B(2,n+1)关于x轴对称, 解得 m+n=3+(-4)=-1.故选A. -12, 130, m n 3, -4, m n 方法总结方法总结 对称点的坐标规律:(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;(2)关于y轴对称的 点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数. 5.(2019深圳罗湖一模,7)如图,点E是矩形ABCD的边DC上的点,将AED沿着AE翻折,点D刚好落在对角 线AC的中点D处,则AED的度数为( ) A.50 B.60 C.70 D.80 答案答案 B 将AED沿着AE翻折,点D刚好落在对角线AC的中点D处, AD=AD=AC,D=ADE=90
