1、 中考数学 （福建专用） 4.5 特殊的平行四边形 20162020年全国中考题组 考点一 矩形 1.(2020内蒙古呼和浩特,10,3分)如图,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边 上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A,D点的对称点为D,若FPG=90,SAEP=8,SDPH =2,则矩形ABCD的长为( ) A.6+10 B.6+5 C.3+10 D.3+5 5102 5102 答案答案 D 由折叠可得,APF=B=90,DPG=C=90, FPG=90,APD=90, APE+DPH=APE+AEP=90, AEP=DPH, 又
2、A=D=90, AEPDPH, 四边形ABCD是矩形, AB=CD,AD=BC,设AB=CD=x(x0), 由折叠可知PA=AB=x,PD=CD=x, AEP的面积为8,DPH的面积为2,且AEPDPH, APDH=2,PA=x, DH=x, SDPH= xx=2, 1 2 1 2 1 2 x=2(舍去负根). AB=CD=2,AE=4,DH=,PE=2,PH=, AD=4+2+=5+3. 2 222 22 (2 2)(4 2)10 22 ( 2)(2 2)10 210102210 方法指导方法指导 在翻折过程中,注意等量关系,运用多种性质、定理,从等量关系中寻找相似或全等,利用参数 解决问题
3、. 2.(2019重庆A卷,5,4分)下列命题正确的是( ) A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 答案答案 A 有一个角是直角的平行四边形是矩形, A选项正确; 四条边相等的四边形是菱形, B选项错误; 有一组邻边相等的平行四边形是菱形, C选项错误; 对角线相等的平行四边形是矩形, D选项错误.故选A. 3.(2017四川绵阳,9,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC 于E,F两点.若AC=2,AEO=120,则FC的长度为( ) A.1 B.
4、2 C. D. 3 23 答案答案 A 四边形ABCD是矩形, OA=OB=OC=AC=. ADBC,OFC=AEO=120, BFO=60. EFBD,BOF=90, OBF=OCB=30, COF=BFO-OCB=30,OF=FC. OF=OB tan 30=1, FC=1, 故选A. 1 2 3 4.(2020江西,12,3分)矩形纸片ABCD,长AD=8 cm,宽AB=4 cm,折叠纸片,使折痕经过点B,交AD边于点E,点 A落在点A处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA,EA,不再添加其他线段.当图中存在30角时,AE的长 为 cm. 答案答案 或4或(8-4) 4 3 3 33
5、解析解析 分三种情况:当ABE=30时,在RtABE中,tan 30=,可得AE=;当AEB=30时, 在RtABE中,tan 30=,可得AE=4;当AED=30时,如图,由折叠性质可得ABEABE, AEB=AEB=75,ABE=15,在RtABE中,作FEB=FBE并交AB于点F,则AFE=30,BF= EF=2AE,AF=4-2AE,在RtAFE中,AE2+AF2=EF2,即AE2+(4-2AE)2=(2AE)2,化简得AE2-16AE+16=0,可求 得AE=8-4或8+4(舍),AE的长为 cm或4 cm或(8-4)cm. AE AB 3 3 4 3 3 AB AE 3 3 3 3
6、34 3 3 3 3 难点突破难点突破 第种情况的突破口是构造等腰三角形EFB,从而应用勾股定理得到关于AE的一元二次方 程. 5.(2019河南,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=a.连接AE,将ABE沿AE折 叠,若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为 . 3 5 答案答案 或 5 3 5 3 解析解析 在矩形ABCD中,AB=CD=1,AD=BC=a,B=C=D=90,由折叠得BE=BE=a,ABE=90. 当点B落在边AD上时,易证四边形ABEB是正方形,BE=AB,即a=1,a=; 当点B落在边CD上时,如图. 3 5 3 5
7、 5 3 1+2=2+3=90, 1=3,又D=C=90,BCEADB, =. 在RtADB中,由勾股定理得BD=,=,a=. 综上所述,满足条件的a的值为或. EC EB B D AB 22 B AAD 2 1a 2 3 2 1a 5 3 5 3 5 3 解题关键解题关键 本题是以矩形为背景的折叠型题目,由于未指明折叠后点B的具体位置,所以分情况讨论是 解决本题的关键.根据题意得,当点B在矩形边上时,有两种可能:当点B在AD上时,由四边形ABEB是正 方形可求a的值;当点B在边CD上时,由“K字模型”中的相似三角形性质结合勾股定理可求a的值. 6.(2018四川成都,14,4分)如图,在矩形
8、ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于AC的 长为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为 . 1 2 答案答案 30 解析解析 如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC,EA=EC=3. 在RtADE中,AD=. 在RtADC中,AC=. 22 AEDE 22 325 22 ADDC 22 ( 5)530 思路分析思路分析 连接AE,根据题中的作图方法,可得MN垂直平分AC,则EA=EC=3,用勾股定理先计算出AD,再 计算出AC. 解题关键解题关键 本题考查了矩形的性质、基本作图(作已知线段的垂直平分线)、勾
9、股定理,识别基本作图并 熟练应用勾股定理计算是解题的关键. 7.(2020湖南长沙,23,9分)在矩形ABCD中,E为DC边上一点,把ADE沿AE翻折,使点D恰好落在BC边上的 点F处. (1)求证:ABFFCE; (2)若AB=2,AD=4,求EC的长; (3)若AE-DE=2EC,记BAF=,FAE=.求tan +tan 的值. 3 解析解析 (1)证明:由题意得AFE=D=90, AFB+EFC=90, EFC+FEC=90, AFB=FEC, 又B=C, ABFFCE. (2)AB=2,AF=AD=4, BF=2且BAF=30, 又ABFFCE, CFE=BAF=30, 设CE=x,则
10、EF=2x, x+2x=CD=AB=2,CE=. (3)tan +tan =+=+, 3 3 2 3 3 BF AB EF AF CE CF EF AF 设CE=1,DE=x, 则AE=x+2,AF=AD=,AB=CD=x+1, BF=, ABFFCE, =,即=, =, =x=2x2-4x+4=0,x=2, CF=,EF=2,AF=2, tan +tan =+=. 22 AEDE44x 22 AFAB 2 23xx AB AF CF EF 1 44 x x 2 1x x 2 (1) 21 x x 11xx x 1 2 1x x 1x 33 1 3 2 2 3 2 3 3 8.(2019云南,
11、20,8分)如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且AOB=2 OAD. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若AOBODC=43,求ADO的度数. 解析解析 (1)证明:AO=OC,BO=OD, 四边形ABCD是平行四边形.(1分) 又AOB=2OAD,AOB是AOD的外角, AOB=OAD+ADO. OAD=ADO.(2分) AO=OD.(3分) 又AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD, AC=BD. 四边形ABCD是矩形.(4分) (2)设AOB=4x,ODC=3x,则OCD=ODC=3x.(5分) 在ODC中,DOC+OCD+C
12、DO=180. 4x+3x+3x=180,解得x=18.(6分) ODC=318=54.(7分) ADO=90-ODC=90-54=36.(8分) 名师点拨名师点拨 (1)对角线相等的平行四边形为矩形. (2)三角形的内角和为180;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和. 9.(2016福州,26,13分)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将ADM沿直线AM折叠,得到 ANM. (1)当AN平分MAB时,求DM的长; (2)连接BN,当DM=1时,求ABN的面积; (3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值. 解析解析 (1)由折叠可知ANMADM,
13、MAN=DAM. AN平分MAB, MAN=NAB, DAM=MAN=NAB. 四边形ABCD是矩形, DAB=90, DAM=30, DM=AD tanDAM=3=. (2)如图,延长MN交AB的延长线于点Q. 3 3 3 四边形ABCD是矩形, ABDC, DMA=MAQ. 由折叠可知ANMADM, DMA=AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1. MAQ=AMQ, MQ=AQ. 设NQ=x,则AQ=MQ=1+x. 在RtANQ中,AQ2=AN2+NQ2, (x+1)2=32+x2,解得x=4. NQ=4,AQ=5. AB=4,AQ=5, SNAB=SNAQ=AN NQ=. (3)如图,过
14、点A作AHBF于点H,则ABHBFC. =. AHAN=3,AB=4, 当点N,H重合(即AH=AN)时,DF最大. 4 5 4 5 1 2 24 5 BH AH CF BC (AH最大,BH最小,CF最小,DF最大) 此时点M,F重合,B,N,M三点共线,ABHBFC(如图). CF=BH=, DF的最大值为4-. 22 ABAH 22 437 7 10.(2016南平,25,14分)已知在矩形ABCD中,ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E,点P是线段 DE上一定点(共中EPPD). (1)如图1,若点F在CD边上(不与D重合),将DPF绕点P逆时针旋转90后,角的两边PD、 PF
15、分别交射线 DA于点H、G. 求证:PG=PF; 探究:DF、DG、DP之间有怎样的数量关系,并证明你的结论. (2)拓展:如图2,若点F在CD的延长线上(不与D重合),过点P作PGPF,交射线DA于点G.你认为(1)中 DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立?若成立,给出证明:若不成立,请写出它们所满足的数量关 系式,并说明理由. 解析解析 (1)证法一:如图1,GPF=HPD=90,ADC=90, GPH=FPD.(1分) DE平分ADC, PDF=ADP=45, HPD为等腰直角三角形,(2分) DHP=PDF=45且PH=PD.(3分) HPGDPF,(4分) PG=PF.(5分)
16、 证法二:如图2,过点P分别作PM、PN垂直于AD、 DC.垂足为M、N,(1分) 则PMG=PNF=90,DE平分ADC,PM=PN.(2分) 在矩形ABCD中,ADC=90, 四边形PNDM为正方形, MPN=90, 由旋转可知GPF=HPD=90, MPG+MPF=MPF+NPF=90, GPM=NPF,(3分) RtPMGRtPNF.(4分) PG=PF.(5分) 结论:DG+DF= DP. 证法一:由已证HPD为等腰直角三角形,HPGDPF, 2 HD=DP,HG=DF.(7分) HD=HG+DG=DF+DG,DG+DF=DP.(8分) 证法二:HPD=GPF=90, GPH=FPD
17、, 由已证PMGPNF, PGM=PFN,PG=PF, PGH=PFD,HPGDPF,(6分) HG=DF, PH=PD, HPD为等腰直角三角形, HD=DP.(7分) HD=HG+DG=DF+DG, DG+DF=DP.(8分) (2)(1)中的结论不成立,数量关系式应为DG-DF=DP.(9分) 证法一:如图3,过点P作PHPD交射线DA于点H, 2 2 2 2 2 PFPG,GPF=HPD=90,GPH=FPD.(10分) DE平分ADC且在矩形ABCD中,ADC=90, HDP=EDC=45,即HPD为等腰直角三角形.(11分) DHP=EDC=45,且PH=PD,HD=DP,(12分
18、) GHP=FDP=180-45=135, HPGDPF,HG=DF.(13分) DH=DG-HG=DG-DF,DG-DF=DP.(14分) 证法二:如图4,过点P作PHPD交射线DA于点H,过点P分别作PM、PN垂直于AD、DC,垂足为M、N. 2 2 (10分) DE平分ADC, HDP=EDC=45,即HPD为等腰直角三角形.(11分) HD=DP.(12分) 由(1)已证得PMGPNF,G=F,PG=PF, 又GPF=HPD=90, GPH=FPD, HPGDPF,HG=DF,(13分) 2 DH=DG-HG=DG-DF, DG-DF=DP.(14分) 2 考点二 菱形 1.(2016
19、宁德,8,4分)如图,已知ABC,AB=AC,将ABC沿边BC翻转,得到的DBC与原ABC拼成四边形 ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是( ) A.四条边相等的四边形是菱形 B.一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 答案答案 A 由轴对称性质可知,AB=BD,AC=CD, 又AB=AC,AB=AC=CD=BD, 四边形ABDC是菱形. 2.(2019天津,8,3分)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形 ABCD的周长等于( ) A. B.4 C.
20、4 D.20 535 答案答案 C 由点A,B的坐标可得OA=2,OB=1,根据勾股定理可得AB=,由菱形的性质可得 AB=AD=CD=CB=, 所以菱形ABCD的周长等于4,故选C. 22 OAOB 5 5 5 3.(2019贵州贵阳,4,3分)如图,菱形ABCD的周长是4 cm,ABC=60,那么这个菱形的对角线AC的长是 ( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 答案答案 A 由已知及菱形四条边都相等可知AB=BC=1 cm,因为ABC=60,所以三角形ABC为等边三角 形,所以AC=AB=1 cm,故选A. 4.(2017河北,9,3分)求证:菱形的两条对角线互相
21、垂直. 已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O. 求证:ACBD. 以下是排乱的证明过程: 又BO=DO, AOBD,即ACBD. 四边形ABCD是菱形, AB=AD. 证明步骤正确的顺序是( ) A. B. C. D. 答案答案 B 证明:四边形ABCD是菱形,AB=AD, 又BO=DO,AOBD,即ACBD. 所以证明步骤正确的顺序是,故选B. 5.(2020陕西,14,3分)如图,在菱形 ABCD中,AB=6,B=60,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该 菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为 . 答案答案 2 7 解析解析 过A作
22、AGBC于G,过E作EHBC于H, 则四边形AGHE为矩形,AE=GH=2. 在菱形ABCD中,AB=6,B=60, AG=ABsin B=6=3=EH,BG=ABcos B=6=3. HC=BC-BG-GH=6-3-2=1. EF平分菱形ABCD的面积, AE=FC=2. FH=FC-CH=2-1=1. 3 2 3 1 2 在RtEFH中,由勾股定理可得EF=2. 22 EHFH 22 (3 3)1 7 6.(2016漳州,16,4分)如图,正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上,BC是菱形BDCE的对角线,若D =60,BC=2,则点D的坐标是 . 答案答案 (2+,1) 3 解析解
23、析 过点D作DGBC于点G, 四边形BDCE是菱形,BD=CD.又BDC=60,BCD是等边三角形,BD=BC=CD=2, CG=1,GD=CD sin 60=2=,D(2+,1). 3 2 33 7.(2019北京,14,2分)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼 成如图2,图3所示的正方形,则图1中菱形的面积为 . 答案答案 12 解析解析 设题图1中一个小直角三角形的两条直角边长分别为a,b,则由题图2,题图3可列方程组 解得所以题图1中菱形的面积为46=12. 5, 1, ab ab 3, 2. a b 1 2 解题关键解题关键 解决本题的关键是要分
24、析题目中已知的“5”和“1”是由哪些线段构成的. 8.(2020广东广州,23,12分)如图,ABD中,ABD=ADB. (1)作点A关于BD的对称点C;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)所作的图中,连接BC,DC,连接AC,交BD于点O. 求证:四边形ABCD是菱形; 取BC的中点E,连接OE,若OE=,BD=10.求点E到AD的距离. 13 2 解析解析 (1)如图即为所求作的对称点C. (2)证明:ABD=ADB,AB=AD. C点与A点关于直线BD对称,AC与BD交于点O, AOBD,AO=OC,BO=OD. 四边形ABCD是平行四边形. 又AB=AD,四边形A
25、BCD是菱形. 过点E作EFAD,交AD的延长线于点F. 四边形ABCD为菱形,BO=OD=BD=5,AB=2OE=13. 在RtAOB中,AO=12, AC=2AO=24. S菱形ABCD=AC BD=AD EF, 2410=13EF, 1 2 22 ABBO 22 135 1 2 1 2 EF=. 点E到AD的距离为. 120 13 120 13 9.(2020山东青岛,21,8分)如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线 上,且DE=BF,连接AE,CF. (1)求证:ADECBF; (2)连接AF,CE.当BD平分ABC时,四边形AFCE是什么特
26、殊四边形?请说明理由. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AD=CB,ADCB, ADB=CBD, ADE=CBF. 在ADE和CBF中, ADECBF(SAS). (2)四边形AFCE是菱形.理由如下:如图所示. 四边形ABCD是平行四边形, , , , ADCB ADECBF DEBF ADCB, ADB=CBD. BD平分ABC, ABD=CBD, ABD=ADB, AB=AD, 四边形ABCD是菱形, ACBD. 由(1)知ADECBF, AE=CF,AED=CFB, AECF, 四边形AFCE是平行四边形. 又ACEF, 四边形AFCE是菱形. 一题多解一题多解 (2
27、)同(1)可证ABFCDE, CE=AF,AFB=CED, AFCE,四边形AFCE是平行四边形. 当BD平分ABC时,ABD=CBD. 又ADCB,ADB=DBC,ADB=ABD, AB=AD,即AD=AB=BC, ABC为等腰三角形. 由等腰三角形三线合一的性质可知ACEF, 平行四边形AFCE是菱形. 思路分析思路分析 (1)由四边形ABCD是平行四边形,可以得到AD=CB,ADCB,从而可以得到ADE=CBF, 然后根据“SAS”即可证出三角形全等. (2)根据BD平分ABC和平行四边形的性质,可以证明四边形ABCD是菱形,从而可以得到ACBD,然后 即可得到ACEF,再根据题目中的条
28、件,可以证明四边形AFCE是平行四边形,然后结合ACEF,即可得 到四边形AFCE是菱形;还有一种思路是在证得四边形AFCE是平行四边形后,利用等腰三角形的三线合 一得对角线垂直. 10.(2019甘肃兰州,22,7分)如图,AC=8,分别以A,C为圆心,以长度5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D, 依次连接A,B,C,D,连接BD交AC于点O. (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由; (2)求BD的长. 解析解析 (1)由题意可知,BD垂直平分AC,且AB=BC=CD=AD=5, 四边形ABCD为菱形. (2)AC=8,BDAC且BD平分AC, OA=OC=4, 在RtAOB中,OB=
29、3, BD=2OB=23=6, BD的长为6. 22 ABOA 22 54 11.(2016三明,20,8分)如图,在ABC中,ACB=90,D,E分别为AC,AB的中点,BFCE交DE的延长线于点 F. (1)求证:四边形ECBF是平行四边形; (2)当A=30时,求证:四边形ECBF是菱形. 证明证明 (1)D,E分别为边AC,AB的中点, DEBC,即EFBC. 又BFCE,四边形ECBF是平行四边形. (2)证法一:ACB=90,A=30,E为AB的中点, CB=AB,CE=AB.CB=CE. 由(1)知,四边形ECBF是平行四边形, 四边形ECBF是菱形. 证法二:ACB=90,A=
30、30,E为AB的中点, BC=AB=BE,ABC=60. BCE是等边三角形.CB=CE. 由(1)知,四边形ECBF是平行四边形, 四边形ECBF是菱形. 证法三:E为AB的中点,ACB=90,A=30, 1 2 1 2 1 2 CE=AB=BE,ABC=60. BCE是等边三角形.CB=CE. 由(1)知,四边形ECBF是平行四边形, 四边形ECBF是菱形. 1 2 12.(2018北京,21,5分)如图,在四边形ABCD中,ABDC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分BAD,过 点C作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若AB=
31、,BD=2,求OE的长. 5 解析解析 (1)证明:ABCD,OAB=DCA. AC平分BAD,OAB=DAC, DCA=DAC,CD=AD. 又AB=AD,AB=CD,四边形ABCD为平行四边形. 又CD=AD=AB,四边形ABCD为菱形. (2)四边形ABCD为菱形,OA=OC,BDAC. CEAE,OE=AO=OC.BD=2,OB=BD=1. 在RtAOB中,AB=,OB=1, OA=2,OE=2. 1 2 5 22 ABOB 考点三 正方形 1.(2017河北,11,2分)如图是边长为10 cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁 剪线长度所标的数据(单位:cm)
32、的是( ) 不正确 答案答案 A 由勾股定理得正方形的对角线的长是10,因为1015,所以正方形内部的每一个点到正 方形的顶点的距离都小于15,故选A. 22 2.(2019安徽,10,4分)如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12.点P在正方形的边上,则 满足PE+PF=9的点P的个数是( ) A.0 B.4 C.6 D.8 答案答案 D 如图,作E,F关于AD的对称点E1,F1,连接E1F,EF1,交AD于H点,连接EE1,FF1,过点F作FOEE1,交 E1E的延长线于点O,当P点在H点时,PE+PF取得最小值,由已知得AE=EF=CF=4, 四边形ABCD是正
33、方形, 易求OE=EM=ME1=2,OF=OE=2,OE1=6,由勾股定理可得EF1=E1F=9, 在AH和HD上各存在一点P,使得PE+PF=9,同理在AB、BC、CD上各存在2个这样的P点, 一共有8个这样的P点,故选D. 222 22 (2 2)(6 2)80 思路分析思路分析 因为正方形具有对称性,所以只需找出正方形一条边上满足条件的个数,然后乘4即可,由E,F 为定点且为AC的三等分点,分别作E,F关于AD的对称点,这样可求出PE+PF的最小值为0),则DP=2x, 22 1 3 在RtDPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2, 即(2x)2=(3)2+(3-x)2, 解得x=-
34、(舍去负值),即AP=-; 点P在AB上时,PAD=90,PD=2AP,ADP=30, AP=ADtan 30=6=2. 综上所述,AP的长为2,-或2. 22 142142 3 3 3 1423 解题关键解题关键 熟记正方形的性质,分析符合题意的情况,并准确画出图形是解题的关键. 易错警示易错警示 此题没有给出图形,需将点P的位置分类讨论,做题时,往往会因只画出点P在正方形边上而致 错. 6.(2016南平,15,4分)如图,正方形ABCD中,点E、F分别为AB、CD上的点,且AE=CF=AB,点O为线段EF 的中点,过点O作直线与正方形的一组对边分别交于P、Q两点,并且满足PQ=EF,则这
35、样的直线PQ(不同 于EF)有 条. 1 3 答案答案 3 解析解析 这样的直线PQ(不同于EF)有3条. 如图1,过O作PQEF,交AD于P,交BC于Q,则PQ=EF; 如图2,以A为圆心,AE长为半径画弧,交AD于P,连接PO并延长交BC于Q,则PQ=EF; 如图3,以B为圆心,AE长为半径画弧,交AB于Q,连接QO并延长交DC于点P,则PQ=EF. 7.(2020山西,22,12分)综合与实践 问题情境: 如图,点E为正方形ABCD内一点,AEB=90,将RtABE绕点B按顺时针方向旋转90,得到CBE(点A 的对应点为点C).延长AE交CE于点F,连接DE. 猜想证明: (1)试判断四
36、边形BEFE的形状,并说明理由; (2)如图,若DA=DE,请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明; 解决问题: (3)如图,若AB=15,CF=3,请直接写出DE的长. 解析解析 (1)四边形BEFE是正方形.(1分) 理由:由旋转可知E=AEB=90,(2分) EBE=90.(3分) 又AEB+FEB=180,AEB=90, FEB=90. 四边形BEFE是矩形.(4分) 由旋转可知,BE=BE.四边形BEFE是正方形.(5分) (2)CF=FE. 证明:如图,过点D作DHAE,垂足为H,(6分) 则DHA=90,1+3=90, DA=DE,AH=AE.(7分) 四边形ABCD是正方形,
37、AB=DA,DAB=90. 1+2=90.2=3. AEB=DHA=90,AEBDHA.(8分) AH=BE. 由(1)知四边形BEFE是正方形, 1 2 BE=EF.AH=EF.(9分) 由旋转可得CE=AE,FE=CE.CF=FE.(10分) (3)3.(12分) 详解:由(1)知四边形BEFE是正方形,FE=BE,由旋转得CE=AE,CF=3,BE=FE=AE-3,在RtABE中, AE2+BE2=AB2,即AE2+(AE-3)2=152,解得AE=12或-9(舍), 作DHAE于H点,DAH+ADH=DAH+EAB=90, ADH=EAB,又AHD=AEB=90,DAHABE,=1,D
38、H=AE=12,AH= =9,HE=3, DE=3 . 1 2 17 DH AE AD AB 22 ADDH 22 1512 22 HEDH 22 31217 思路分析思路分析 (1)根据旋转先证四边形BEFE是矩形,再由旋转得BE=BE,问题得解;(2)作DHAE于点H,由 等腰三角形“三线合一”可得点H为AE的中点,根据四边形ABCD是正方形可证AEBDHA,可得 AH=BE,再根据(1)的结论及旋转可证;(3)由(1)可知BE=AE-3,在RtABE中,AE2+BE2=AB2,解得AE=12,再 作DHAE于H点,易证DAHABE,从而求出DH、AH,最后在RtDHE中求出DE. 8.(
39、2017上海,23,12分)已知:如图,四边形ABCD中,ADBC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)如果BE=BC,且CBEBCE=23,求证:四边形ABCD是正方形. , , , ADCD DEDE EAEC 证明证明 (1)在ADE和CDE中, ADECDE(SSS). ADE=CDE. ADBC, ADE=CBD, CBD=CDE,BC=CD, AD=BC, 四边形ABCD为平行四边形. 又AD=CD, 四边形ABCD为菱形. (2)CBEBCE=23, 设CBE=2x,则BCE=3x, BE=BC,BEC=BCE=3x, 2x
40、+3x+3x=180, x=22.5,CBE=45. ADB=CDB=CBE, ADC=90. 四边形ABCD为菱形, 四边形ABCD为正方形. 思路分析思路分析 (1)先证四边形ABCD为平行四边形,再由一组邻边相等,便可证得四边形ABCD为菱形. (2)证菱形ABCD的一角为直角,便可证得菱形ABCD为正方形. 9.(2018北京,27,7分)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直 线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交DG的延长线于点H,连接BH. (1)求证:GF=GC; (2)用等式表示线段BH与
41、AE的数量关系,并证明. 解析解析 (1)证明:如图,连接DF. 四边形ABCD为正方形, DA=DC=AB,A=C=ADC=90. 又点A关于直线DE的对称点为F, ADEFDE, DA=DF=DC,DFE=A=90, DFG=90. 在RtDFG和RtDCG中, RtDFGRtDCG(HL), GF=GC. (2)线段BH与AE的数量关系:BH=AE. 证明:在线段AD上截取AM,使AM=AE,连接ME. , , DGDG DFDC 2 AD=AB, DM=BE. 由(1)得1=2,3=4, ADC=90, 1+2+3+4=90, 22+23=90, 2+3=45, EDH=45. EHD
42、E, DE=EH, DEH=90,A=90, 1+AED=90,5+AED=90, 1=5. 在DME和EBH中, DMEEBH(SAS),ME=BH. A=90,AM=AE, ME=AE, BH=AE. , 15, , DMEB DEEH 2 2 思路分析思路分析 本题第(1)问需要通过正方形的性质和轴对称的性质解决;本题第(2)问需要通过构造全等三 角形,利用等腰直角三角形的性质解决. 解题关键解题关键 解决本题第(2)问的关键是要通过截取得到等腰直角三角形,并借助SAS证明三角形全等,从 而将BH和AE转化到AME中证明数量关系. 10.(2016宁德,24,13分)已知正方形ABCD,
43、点E在直线CD上. (1)若F是直线BC上一点,且AFAE,求证:AF=AE;(请利用图中所给的图形加以证明) (2)写出(1)中命题的逆命题,并画出一个图形说明该逆命题是假命题; (3)若点G在直线BC上,且AG平分BAE,探索线段BG、DE、AE之间的数量关系,并说明理由. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是正方形, AB=AD,ADC=ABF=BAD=90. AEAF, EAF=90=BAD. BAF=DAE. ABFADE(SAS). AF=AE.(4分) (2)逆命题一:已知正方形ABCD中,E为直线CD上一点,F为直线BC上一点,且AF=AE.求证:AEAF.(6 分) (若写
44、为“若AF=AE,则AEAF”也得2分) 如图, 逆命题二:已知正方形ABCD中,E为直线CD上一点,AFAE,AF=AE.求证:F在直线BC上.(6分) (若写为“若AF=AE,且AEAF,则F在直线BC上”也得2分) 如图, (8分) 逆命题三:已知正方形ABCD中,E为直线CD上一点,AF=AE.求证:F在直线BC上,且AEAF.(6分) 图略.(8分) (3)如图1,当E在线段CD上时,AE=DE+BG. 证明:过A点作AFAE交BC的延长线于F点. 由(1)得ABFADE, 1=2,AF=AE,BF=DE. AG平分BAE, 3=4. 1+3=2+4, 即FAG=DAG. 四边形AB
45、CD是正方形, ADBC, AGF=DAG=FAG. AF=FG. AE=AF=FG=BG+BF. AE=BG+DE.(11分) 如图2,当点E在CD的延长线上时,AE=BG-DE. 证明:过点A作AFAE交BC于F点. 同理可证得AF=FG=AE,BF=DE. AE=AF=FG=BG-BF=BG-DE.(12分) 如图3,当点E在DC延长线上时,AE=DE+BG,证明同. 综上所述,线段BG、DE、AE之间的数量关系是AE=DE+BG或AE=BG-DE.(13分) 教师专用题组 考点一 矩形 1.(2017甘肃兰州,8,4分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ADB=30,AB
46、=4,则OC=( ) A.5 B.4 C.3.5 D.3 答案答案 B 因为四边形ABCD为矩形,所以AC=BD,OC=AC. 已知ADB=30,故在直角三角形ABD中,BD=2AB=8, 所以AC=8,所以OC=AC=4,故选B. 1 2 1 2 2.(2017新疆乌鲁木齐,9,4分)如图,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折叠后,使点 D恰好落在BC边上的G点处,若矩形面积为4且AFG=60,GE=2BG,则折痕EF的长为( ) 3 A.1 B. C.2 D.2 33 答案答案 C 四边形ABCD是矩形, ADBC,H=D=FGH=C=90. 由折叠知GFE=D
47、FE,FD=FG. GFD=180-AFG=120, GFE=DFE=60. ADBC, FGE=AFG=60,FEG=DFE=60, GEF是等边三角形, FG=GE=FE. 设BG=x,则GF=GE=EF=FD=2x. 作GMAD,交AD于点M,则四边形ABGM是矩形,GM=GF sin 60=x,MF=GF cos 60=x, AD=AM+MF+FD=BG+MF+FD=4x, AD GM=4, 4xx=4, 解得x=1或x=-1(不符合题意,舍去), EF=2x=2,故选C. 3 3 3 3 3.(2019贵州贵阳,15,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,DCA=30,点F是对角线
48、AC上的一个动点,连接 DF,以DF为斜边作DFE=30的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程 中,点E的运动路径长是 . 答案答案 4 3 3 解析解析 连接BD,交AC于点O, 矩形ABCD中,DCA=30, 三角形AOD为等边三角形. AB=4, AD=OD=ABtan 30=. 当点F与点A重合时,点E在OD的中点E1处,DE1=OD=;当点F与点C重合时,点E(即E2)在DC的上方. 连接E1E2,易知E1DE2=ADC=90,DE1E2=60. DFE=DAE1=30, =,又FDE=ADE1=60,FDA=EDE1,ADFE1DE,DAF=DE1E=60,由 此可知点E的运动轨迹为线段E1E2,E1DE2=90,DE1E=60,E1E2=2DE1=. 4 3 3 1
