1、 中考数学 （广东专用） 5.2 与圆有关的计算 考点 弧长、扇形面积的计算 A组 20162020年广东中考题组 1.(2020广东,16,4分)如图,从一块半径为1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120的扇形ABC,如果将剪 下来的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆的半径为 m. 答案答案 1 3 解析解析 连接OA,OB,根据已知得BAO=BAC=120=60. 又OA=OB,AOB是等边三角形, AB=OA=1 m. BAC=120, 弧BOC的长为=(m). 设圆锥的底面圆的半径为r m,根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可得2r=,r=. 1 2 1 2 120 180 A
2、B2 3 2 3 1 3 思路分析思路分析 连接OA,OB,首先证明AOB是等边三角形,进而求得AB的长,然后利用弧长公式可以计算弧 BOC的长,最后根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径. 2.(2019广州,15,3分)如图放置的一个圆锥,它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形,则该圆锥侧面 展开扇形的弧长为 .(结果保留) 答案答案 2 2 解析解析 主视图是直角边长为2的等腰直角三角形, 此等腰直角三角形的斜边长为=2, 此圆锥的底面圆的直径为2, 圆锥的底面圆的周长为2. 圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长, 该圆锥侧面展开扇形的弧长为2. 22 222
3、 2 2 2 解题关键解题关键 本题考查了圆锥,三视图,勾股定理等相关知识,其解题关键是熟知圆锥侧面展开扇形的弧长 等于圆锥底面圆的周长. 3.(2016广州,15,3分)如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,AB=12 , OP=6,则劣弧的长为 (结果保留). 3 AB 答案答案 8 解析解析 连接AO,由于弦AB为小圆的切线,点P为切点,故OPAB,AP=BP=AB=6.在RtAOP中,tan AOP=,OA=12,AOP=60. 连接OB,则AOB=120,l=8. 1 2 3 AP OP 3 22 APOP AB 120 12 180 思路分析思路分
4、析 连接AO,BO,利用直角三角形的边、角关系求出大圆的半径OA和AOP的度数,然后利用圆 的性质求出AOB,进而求出弧长. 解题关键解题关键 求出大圆的半径及劣弧所对圆心角的度数. AB 4.(2018广东,15,4分)如图,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连接BD,则阴 影部分的面积为 .(结果保留) 答案答案 解析解析 连接OE.阴影部分的面积=SBCD-(S正方形OECD-S扇形OED)=24-=. 1 2 2 1 22-2 4 一题多解一题多解 如图,连接OE,交BD于点H,则SBEH=SOHD,所以阴影部分的面积=S扇形OED=22=. 1
5、 4 5.(2019广东,22,7分)在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫格点,ABC 的三个顶点均在格点上,以点A为圆心的与BC相切于点D,分别交AB、AC于点E、F. (1)求ABC三边的长; (2)求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积. EF FE 解析解析 (1)由题图可知AB2=22+62=40, AB=2.(1分) AC2=22+62=40, AC=2.(2分) BC2=42+82=80, BC=4.(3分) (2)连接AD,由(1)知AB2+AC2=BC2,AB=AC, ABC是等腰直角三角形,BAC=90.(4分) 10 10 5 以
6、点A为圆心的与BC相切于点D, ADBC, AD=BC=2.(5分) SABC=BC AD=42=20, 又S扇形EAF=(2)2=5, S阴影=20-5.(7分) EF 1 2 5 1 2 1 2 5 5 1 4 5 思路分析思路分析 (1)在网格中,求端点在格点上的线段的长度,常用的方法是构造直角三角形,利用勾股定理求 出线段的长度;(2)求不规则图形的面积常用的方法是割补法,本题需用ABC的面积减去扇形EAF的面 积,利用勾股定理的逆定理求得圆心角,由过切点的半径垂直切线,可知ADBC,由ABC是等腰直角三 角形,可知半径AD等于BC长的一半,进而求得扇形EAF的面积. B组 20162
7、020年全国中考题组 考点一 弧长、扇形面积的计算 1.(2020云南,13,4分)如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE(阴影 部分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是 ( ) A. B.1 C. D. 2 2 2 1 2 答案答案 D 在正方形ABCD中,AD=4,DAE=45,S扇形DAE=2.设以扇形DAE为侧面展开图的圆 锥底面圆的半径为r,则4r=2,r=.故选D. 2 454 360 1 2 2.(2019云南,11,4分)一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆,则该圆锥的全面积是( )
8、A.48 B.45 C.36 D.32 答案答案 A 设半圆的半径为R,则S侧=R2=82=32. 设圆锥的底面圆半径为r,则2r=2R, r=R=8=4, S底=r2=42=16. S全=S侧+S底=32+16=48.故选A. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3.(2017甘肃兰州,12,4分)如图,正方形ABCD内接于半径为2的O,则图中阴影部分的面积为( ) A.+1 B.+2 C.-1 D.-2 答案答案 D 连接AC,OD, 则AC=4,所以正方形ABCD的边长为2,所以正方形ABCD的面积为8.由题意可知,O的面积为4.根据 图形的对称性,知S阴影=S扇形OAD-SOAD=
9、-2,故选D. 2 方法规律方法规律 求阴影部分的面积,特别是不规则几何图形的面积时,常通过平移、旋转、割补等方法,把不 规则图形面积转化为规则图形面积的和或差来求解. 思路分析思路分析 把阴影部分的面积转化成一个扇形的面积减去一个三角形的面积进行解答. 4.(2020吉林,14,3分)如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫 做“筝形”.筝形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,以点B为圆心,BO长为半径画弧,分别交AB,BC于点E, F.若ABD=ACD=30,AD=1,则的长为 (结果保留). EF 答案答案 2 解析解析 AB=CB,AD=
10、CD,BD=BD, CAD=ACD,ABDCBD, ABD=CBD,ACBD. ABD=ACD=30,AD=1, OD=AD=,OA=OD=, OB=OA=. ABD=30,EBF=60, 的长=. 1 2 1 2 3 3 2 3 3 2 EF 3 60 2 180 2 解题关键解题关键 本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质和弧长计算公式,熟练掌握等腰三角形的性质 和弧长公式是解题的关键. 5.(2018云南,22,9分)如图,已知AB是O的直径,C是O上的点,点D在AB的延长线上,BCD=BAC. (1)求证:CD是O的切线; (2)若D=30,BD=2,求图中阴影部分的面积. 解析解析
11、(1)证明:连接OC. AB是O的直径,C是O上的点, ACB=90,即ACO+OCB=90. OA=OC,ACO=BAC. 又BCD=BAC, ACO=BCD. BCD+OCB=90, OCD=90,OCCD. 又OC是O的半径,CD是O的切线. (2)D=30,OCD=90, BOC=60,OD=2OC, AOC=120,BAC=30. 设O的半径为x,则OB=OC=x, x+2=2x,解得x=2. 过点O作OEAC,垂足为点E, 在RtOEA中,OE=OA=1,AE=, AC=2. S阴影=S扇形AOC-SAOC=-21 =-. 1 2 22 -AO OE 22 2 -13 3 2 12
12、02 360 1 2 3 4 3 3 考点二 圆内接正多边形 1.(2019贵州贵阳,6,3分)如图,正六边形ABCDEF内接于O,连接BD,则CBD的度数是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 思路分析思路分析 根据正六边形的内角和求得BCD的度数,然后根据等腰三角形的性质即可得到结果. 答案答案 A 在正六边形ABCDEF中,BCD=120,BC=CD,CBD=(180-120)=30, 故选A. 1 2 2.(2019四川成都,9,3分)如图,正五边形ABCDE内接于O,P为上的一点(点P不与点D重合),则CPD 的度数为( ) A.30 B.36 C.60 D.72 DE 答
13、案答案 B 连接CO,DO, 五边形ABCDE为正五边形, COD=360=72, CPD=COD=36, 故选B. 1 5 1 2 3.(2018辽宁沈阳,10,2分)如图,正方形ABCD内接于O,AB=2,则的长是( ) A. B. C.2 D. 2 AB 3 2 1 2 答案答案 A 连接AC、BD交于点O, 四边形ABCD是正方形, BAD=ABC=BCD=CDA=90, AC、BD是直径, 点O与点O重合, AOB=90,AO=BO, 又AB=2,AO=2, 的长为=. 2 AB 90 2 180 方法总结方法总结 求弧长一般需要两个条件,一个是圆心角度数,一个是圆半径.常用连接半径
14、的方法,构造等腰 三角形,或加上弦心距,构造直角三角形求解. 思路分析思路分析 由正方形的性质可得,AOB=90,又AO=BO,由勾股定理可得圆的半径,将所得到的结果代 入弧长公式即可. 4.(2020内蒙古呼和浩特,23,10分)某同学在学习了正多边形和圆之后,对正五边形的边及相关线段进行 研究,发现多处出现著名的黄金分割比0.618.如图,圆内接正五边形ABCDE,圆心为O,OA与BE交 于点H,AC,AD与BE分别交于点M、N.根据圆与正五边形的对称性,只对部分图形进行研究.(其他可同理 得出) (1)求证:ABM是等腰三角形且底角等于36,并直接说出BAN的形状; (2)求证:=,且其
15、比值k=; (3)由对称性知AOBE,由(1)(2)可知也是一个黄金分割数,据此求sin 18的值. 5-1 2 BM BN BN BE 5-1 2 MN BM 解析解析 (1)连接圆心O与正五边形除A外的各顶点, 在正五边形中,AOE=3605=72, ABE=AOE=36,同理BAC=72=36, AM=BM, ABM是等腰三角形且底角等于36. BOD=BOC+COD=72+72=144, BAD=BOD=72, BNA=180-BAD-ABE=72, AB=NB,即ABN为等腰三角形. 1 2 1 2 1 2 (2)证明:ABM=ABE,AEB=AOB=36=BAM, BAMBEA,
16、=,而AB=BN, =,设BM=y,AB=x,则AM=AN=y,AE=BN=x, AMN=MAB+MBA=72=BAN,ANM=ANB, AMNBAN, 1 2 BM AB AB BE BM BN BN BE =,即=,则y2=x2-xy, 两边同除以x2,得=1-,设=t, 则t2+t-1=0,解得t=或(舍), =. (3)MAN=36,根据对称性可知:MAH=NAH=MAN=18,而AOBE,=, sin 18=sinMAH=. AM AB MN AN y x -x y y 2 y x y x y x 5-1 2 -1- 5 2 BM BN BN BE y x 5-1 2 1 2 MN
17、BM 5-1 2 MH AM 1 2 MN AM2 MN BM 5-1 4 C组 教师专用题组 考点一 弧长、扇形面积的计算 1.(2020湖南常德,6,3分)一个圆锥的底面半径r=10,高h=20,则这个圆锥的侧面积是( ) A.100 B.200 C.100 D.200 33 55 答案答案 C 这个圆锥的母线长=10, 则这个圆锥的侧面积=21010=100. 故选C. 22 1020 5 1 2 55 思路分析思路分析 先利用勾股定理计算出圆锥的母线长,然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积. 2.(2016山东青岛,7,3分)如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB和AC的夹角
18、为120,AB长为25 cm, 贴纸部分的宽BD为15 cm,若纸扇两面贴纸,则贴纸的面积为( ) A.175 cm2 B.350 cm2 C. cm2 D.150 cm2 800 3 答案答案 B AB=25 cm,BD=15 cm, AD=25-15=10(cm). S扇形BAC=(cm2), S扇形DAE=(cm2), 贴纸的面积为2=350(cm2),故选B. 2 12025 360 625 3 2 120 10 360 100 3 625 100 - 33 3.(2016重庆,9,4分)如图,以AB为直径,点O为圆心的半圆经过点C,若AC=BC=,则图中阴影部分的面积 是( ) A.
19、 B.+ C. D.+ 2 4 1 2 4 2 1 2 2 答案答案 A AB为直径,ACB=90. 又AC=BC=, ACB为等腰直角三角形, OCAB,AOC和BOC都是等腰直角三角形, SAOC=SBOC,OA=1, S阴影部分=S扇形AOC=.故选A. 2 2 90 1 360 4 4.(2019湖北武汉,9,3分)如图,AB是O的直径,M,N是(异于A,B)上两点,C是上一动点,ACB的平 分线交O于点D,BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,C,E两点的运动路径长的比是 ( ) A. B. C. D. AB MN 2 2 3 2 5 2 答案答案 A 如图,由题意可
20、知1=2,3=4.连接AD,可得2=6=1.5=1+3,EAD=4+ 6=3+1,DE=DA,即点E在以点D为圆心,AD为半径的圆上运动.6=2=45,AD=AO.设 O的半径为r,劣弧MN所对的圆心角为n,则C,E两点的运动路径长的比是=.故选A. 2 180 2 2 180 n r n r 2 5.(2020新疆,14,5分)如图,O的半径是2,扇形BAC的圆心角为60,若将扇形BAC剪下围成一个圆锥,则此 圆锥的底面圆的半径为 . 答案答案 3 3 解析解析 连接OA,作ODAC于点D. 在直角OAD中,OA=2,OAD=BAC=30, 则AD=OA cos 30=, 则AC=2AD=2
21、, 则扇形的弧长是=. 设此圆锥的底面圆的半径是r,则2r=, 解得r=. 故此圆锥的底面圆的半径为. 1 2 3 3 602 3 180 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 6.(2019重庆A卷,16,4分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,ABC=60,AB=2.分别以点A、点 C为圆心,以AO的长为半径画弧,分别与菱形的边相交,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留) 答案答案 2- 3 2 3 解析解析 四边形ABCD为菱形, ACBD,BD平分ABC,OA=OC,OB=OD,ADBC. ABO=ABC=60=30. 在RtAOB中,OA=AB=2=1,OB=, O
22、C=OA=1,AC=2OA=2,BD=2OB=2. S菱形ABCD=AC BD=22=2. ADBC, BAD=180-ABC=120, S阴影=S菱形ABCD-212=2-. 1 2 1 2 1 2 1 2 22 -AB OA 22 2 -13 3 1 2 1 2 33 120 360 3 2 3 7.(2020河北,22,9分)如图,点O为AB中点,分别延长OA到点C,OB到点D,使OC=OD.以点O为圆心,分别以 OA,OC为半径在CD上方作两个半圆.点P为小半圆上任一点(不与点A,B重合),连接OP并延长交大半圆于 点E,连接AE,CP. (1)求证:AOEPOC; 写出1,2和C三者
23、间的数量关系,并说明理由; (2)若OC=2OA=2,当C最大时,直接指出CP与小半圆的位置关系,并求此时S扇形EOD(答案保留). 备用图 解析解析 (1)证明:OA=OP,OE=OC,AOE=POC,AOEPOC. 1+C=2. 理由如下:AOEPOC,E=C. 又1+E=2, 1+C=2. (2)相切. 如图,CP与小半圆相切,CPOP. 在RtOPC中,OP=1,OC=2, cosCOP=.COP=60. DOE=120. S扇形EOD=. 1 2 2 1202 360 4 3 思路分析思路分析 (1)根据SAS可证明AOEPOC;由得出C=E,因为1+E=2,所以1+ C=2.(2)
24、易知当C最大时,CP与小半圆相切,根据OP=1,OC=2得出COP=60,故DOE=120,根据扇 形面积公式得解. 8.(2018黑龙江齐齐哈尔,20,8分)如图,以ABC的边AB为直径画O,交AC于点D,半径OEBD,连接BE, DE,BD,设BE交AC于点F,若DEB=DBC. (1)求证:BC是O的切线; (2)若BF=BC=2,求图中阴影部分的面积. 解析解析 (1)证明:AB是O的直径, ADB=90,A+ABD=90, 又A=DEB,DEB=DBC, A=DBC,DBC+ABD=90, 又OB是O的半径,BC是O的切线. (2)BF=BC=2且ADB=90,CBD=FBD, 又O
25、EBD,FBD=OEB, 又OE=OB,OEB=OBE, CBD=FBD=OBE=ABC=90=30. C=60, 在RtABC中,AB=BC=2, O的半径为. 如图,连接OD, 1 3 1 3 33 3 则阴影部分面积为S扇形OBD-SOBD=()2-=-. 1 6 3 1 2 3 3 2 2 3 3 4 考点二 圆内接正多边形 (2019山东青岛,12,3分)如图,五边形ABCDE是O的内接正五边形,AF是O的直径,则BDF的度数是 . 答案答案 54 解析解析 连接AD,AF是O的直径, ADF=90. 五边形ABCDE是O的内接正五边形, ABC=C=108, CBD=BDC=(18
26、0-108)=36, ABD=72, F=ABD=72, FAD=90-72=18, CDF=DAF=18, 1 2 BDF=BDC+CDF=36+18=54. 一题多解一题多解 连接OC、OD,易知COD=72,则COF=36,CDF=18,由C=108,CB=CD,得BDC=36,则 BDF=BDC+CDF=36+18=54. 思路分析思路分析 连接AD,根据直径所对的圆周角为90得到ADF=90,根据正五边形的内角和得ABC = C=108,求得ABD=72,由同弧所对的圆周角相等,得F=ABD=72,求得CDF=FAD=18,即可得 BDF. A组 20182020年模拟基础题组 时间
27、:40分钟 分值:45分 一、选择题(每小题3分,共9分) 1.(2020湛江模拟,8)如图,已知O的直径为4,ACB=45,则AB的长为( ) A.4 B.2 C.4 D.2 22 答案答案 D 连接OA、OB,如图. ACB=45, AOB=2ACB=245=90, AOB为等腰直角三角形, AB=OA=2. 22 思路分析思路分析 连接OA、OB,根据圆周角定理得到AOB=2ACB=90,则可判断AOB为等腰直角三角 形,然后根据等腰直角三角形的性质得到AB的长. 2.(2019深圳龙华模拟,10)如图,正六边形ABCDEF内接于O,O的半径为4,则这个正六边形的边心距 OM和的长分别为
28、( ) A.2, B., C.2, D.2, BC 4 3 3 3 8 3 3 4 3 答案答案 D 如图所示,连接OC、OB. 多边形ABCDEF是正六边形, BOC=60, 又OC=OB,BOC是等边三角形, OBM=60, OM=OBsinOBM=4=2, 的长=. 故选D. 3 2 3 BC 604 180 4 3 3.(2020深圳罗湖一模,11)如图,已知O的半径是2,点A、B、C在O上,若四边形OABC为菱形,则图中 阴影部分的面积为( ) A.-2 B.- C.-2 D.- 2 3 3 2 3 3 4 3 3 4 3 3 答案答案 C 连接OB和AC,交于点D,如图所示. 圆O
29、的半径为2, OB=OA=OC=2. 又四边形OABC是菱形, OBAC,AD=CD,OD=OB=1,AOB=BOC, 在RtCOD中,CD=, AC=2CD=2. 1 2 22 2 -13 3 sinCOD=, COD=60,AOC=2COD=120, S菱形ABCO=OB AC=22=2, S扇形AOC=, 则图中阴影部分的面积为S扇形AOC-S菱形ABCO=-2. CD OC 3 2 1 2 1 2 33 2 120 2 360 4 3 4 3 3 解题关键解题关键 本题考查扇形及菱形面积的计算,解题关键是熟练掌握菱形的面积=a b(a、b是两条对角 线的长度)及扇形的面积=(n是弧所对
30、的圆心角的度数,r为圆的半径). 1 2 2 360 n r 二、填空题(每小题3分,共9分) 4.(2019茂名电白一模,14)如图,在33的方格中(共有9个小格),每个小方格都是边长为1的正方形,O、B、 C是格点,则扇形BOC的面积等于 (结果保留). 答案答案 5 4 解析解析 BO=,BOC=90, S扇形BOC=. 22 21 5 905 360 5 4 5.(2020广州一模,15)如图,圆锥的底面半径为6 cm,高为8 cm,那么这个圆锥的侧面积是 cm2. 答案答案 60 解析解析 圆锥的底面半径为6 cm,高为8 cm,则由勾股定理得母线长=10 cm,故圆锥的侧面积=61
31、0=60 (cm2). 6.(2020广州天河一模,15)如图,ABC内接于O,若O的半径为6,A=60,则的长为 . BC 答案答案 4 解析解析 如图,连接OB,OC. A=60,BOC=120, 则的长=4. BC 1206 180 解题关键解题关键 本题考查弧长的计算,解题的关键是求出圆心角的度数,要求同学们熟练掌握弧长的计算公 式. 三、解答题(共27分) 7.(2018惠州惠城模拟,19)如图,正方形ABCD内接于O,若正方形的边长等于4,求图中阴影部分的面积. 解析解析 连接OA、OB. 四边形ABCD是O的内接正方形, AOB=90,OA=OB,OAB=45, OA=ABcos
32、 45=4=2. 阴影部分的面积=S扇形AOB-SOAB =-22 2 2 2 2 90 (2 2) 360 1 2 22 =2-4. 8.(2020佛山顺德三模,21)如图,AB=4 cm,ACB=45. (1)尺规作图:作ABC的外接圆(不要求写作法,保留作图痕迹); (2)在(1)的条件下,若弦AB和其所对的劣弧所围成图形的面积为S,求S的值. 解析解析 (1)如图,O即为所求作的ABC的外接圆. (2)连接OA,OB. ACB=45,AOB=2ACB=90. AB=4 cm,AO=OB=2cm, S=S扇形OAB-SAOB=-22=(2-4)cm2. 2 2 90 (2 2) 360
33、1 2 22 思路分析思路分析 (1)作线段BC的垂直平分线MN,作线段AB的垂直平分线EF,直线MN交EF于点O,以O为圆心, OA的长为半径作O即可; (2)连接OA,OB,证明AOB=90,利用S=S扇形OAB-SAOB计算即可. 9.(2020深圳龙岗二模,22)如图,已知AB,CD为O的直径,过点A作弦AE垂直CD于F,交O于点E,点B恰 好为的中点,连接BC,BE. (1)求证:AE=BC; (2)若AE=2,求O的半径; (3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积. DE 3 解析解析 (1)证明:连接BD. AB,CD为O的直径, CBD=AEB=90. 点B恰好为的中点, =,
34、A=C. ABE=90-A,CDB=90-C, ABE=CDB, =,AE=BC. (2)AECD,=. 又=,=, A=ABC=CBE,A=30. 在RtABE中,cos A=, DE BD EB AE BC AC EC AE BC AC BE CE AE AB AB=4, O的半径为2. (3)连接OE,A=30,EOB=60, EOB是等边三角形. OB=OE=2, SEOB=22=, S阴影=S扇形EOB-SEOB=-=-. 2 3 3 2 1 2 3 2 3 2 602 360 3 2 3 3 思路分析思路分析 (1)连接BD,根据圆周角定理的推论得出CBD=AEB=90,A=C,进
35、而求得ABE= CDB,得出=,即可证得结论; (2)根据垂径定理和圆周角定理的推论得A=ABC=CBE,得到A=30,解直角三角形求得AB的长 度,即可求得O的半径; (3)连接OE,根据S阴影=S扇形EOB-SEOB求得即可. AE BC B组 20182020年模拟提升题组 时间:50分钟 分值:45分 一、选择题(每小题3分,共6分) 1.(2020深圳光明一模,10)如图,两个三角形纸板ABC,MNP能完全重合,A=M=50,ABC=N= 60,BC=4,将MNP绕点C(P)从重合位置开始,按逆时针方向旋转,边MN,MP分别与BC,AB交于点H,Q(点Q 不与点A,B重合),点O是B
36、CQ的内心,若BOC=130,点N运动的路径为,则图中阴影部分的面积为 ( ) A.-2 B.2-4 C.-2 D.-2 NB 2 3 1 3 3 4 3 3 答案答案 D 设旋转角为,则BCN=ACM=. A=M=50,ABC=N=60, ACB=MPN=70, BCM=70-. 点O是BCQ的内心, BCO=BCM=35-,CBO=ABC=30. BOC=130, 35-+30+130=180,解得=30, BCN=30. N=60,CHN=90, NH=CN=4=2,CH=CN=4=2,SCNH=NH CH=2, 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 1 2
37、 3 解题关键解题关键 本题考查了旋转的性质,三角形的内切圆和内心,扇形的面积等,求得旋转角的度数是解题的 关键. S阴影=S扇形BCN-SCHN=-2=-2. 2 304 360 3 4 3 3 2.(2018中山模拟,10)如图,在RtAOB中,AOB=90,OA=3,OB=2,将RtAOB绕点O顺时针旋转90后得 RtFOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA、ED长为半径画弧AF和弧 DF,连接AD,则图中阴影部分的面积是( ) A.8- B. C.3+ D. 5 4 答案答案 A 作DHAE于H. AOB=90,OA=3,OB=2, AB=. 由旋转
38、的性质可知,OE=OB=2,DE=EF=AB=, 又HED+FEO=90,OFE+FEO=90, HED=OFE=OAB, DHEBOA, DH=BO=2. 22 OAOB13 13 阴影部分的面积=ADE的面积+EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积=52+23+ -=8-. 故选A. 1 2 1 2 2 903 360 2 90( 13) 360 二、填空题(每小题3分,共15分) 3.(2020广州荔湾一模,15)如图,一个无底的圆锥铁片,它的高AO=8米,母线AB与底面半径OB的夹角为, tan =,则制作这样一个无底圆锥需要铁片 平方米(结果保留). 4 3 答案答案 60
39、 解析 AO=8米,母线AB与底面半径OB的夹角为,tan =,tan =, BO=6米,AB=10米, 圆锥的侧面积为610=60(平方米), 即制作这样一个无底圆锥需要铁片60平方米. 4 3 4 3 AO BO 8 BO 22 AOBO 思路分析思路分析 由圆锥的高为8米,母线AB与底面半径OB的夹角为,tan =,可利用解直角三角形得出BO 的长,再由勾股定理求得圆锥的母线长,最后利用圆锥的侧面积公式计算. 4 3 4.(2019汕头龙湖一模,15)如图,在平行四边形ABCD中,ABASB,即ASBBC,ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DEAC,DF BC,垂足分别为E,F,则
40、图1中与线段CE相等的线段是 ; 问题探究 (2)如图2,AB是半圆O的直径,AB=8.P是上一点,且=2,连接AP,BP.APB的平分线交AB于点C,过 点C分别作CEAP,CFBP,垂足分别为E,F,求线段CF的长; 问题解决 (3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知O的直径AB=70 m,点C在O上,且CA=CB. P为AB上一点,连接CP并延长,交O于点D,连接AD,BD.过点P分别作PEAD,PFBD,垂足分别为E,F. 按设计要求,四边形PEDF内部为室内活动区,阴影部分是户外活动区,圆内其余部分为绿化区.设AP的长 为x(m),阴影部分的面积为y(m2). AB
41、 PB PA 图1 图2 图3 求y与x之间的函数关系式; 按照“少儿活动中心”的设计要求,发现当AP的长度为30 m时,整体布局比较合理.试求当AP=30 m 时,室内活动区(四边形PEDF)的面积. 解析解析 (1)CF,FD,DE.(3分) 详解:ACB=90,DEAC,DFBC, 四边形DFCE是矩形. 又CD是ACB的平分线, DE=DF,四边形DFCE是正方形. CE=CF=DF=DE. (2)如图,连接OP. AB是直径,=2,AOP=60.B=30. PB PA 由题意知,矩形PECF为正方形.(5分) 在RtAPB中,PB=AB cos 30=4. 在RtCBF中,BF=CF
42、. PF=CF,CF+CF=4. CF=6-2.(7分) (3)如图.AB为直径, ACB=ADB=90. AC=BC,ADC=BDC.PE=PF. 四边形PEDF为正方形. APE+BPF=90,PEA=PFB=90. 将APE绕点P逆时针旋转90,得到APF,PA=PA, 则A、F、B三点共线,PAB为直角三角形,APB=90. SPAE+SPBF=SPAB=PA PB=x(70-x).(9分) 3 3 3 3 3 1 2 1 2 tan30? CF 在RtABC中,AC=BC=35, SABC=AC2=1 225. y=SPAB+SABC=x(70-x)+1 225=-x2+35x+1 225.(10分) 当x=30时,PA=30,PB=40. 在RtPAB中,AB=50. SPAB=AB PF=PB PA, 2 1 2 1 2 1 2 22 3040 1 2 1 2 50PF=3040.PF=24. S四边形PEDF=PF2=242=576(m2). 当AP=30 m时,室内活动区(四边形PEDF)的面积为576 m2.(12分) 1 2 1 2
