1、 中考数学 （北京专用） 1.2 整 式 北京中考题组 1.(2016北京,12,3分)下图中的四边形均为矩形.根据图形,写出一个正确的等式: . 答案答案 答案不唯一.如:m(a+b+c)=ma+mb+mc 解析解析 如图,S矩形ABEF=m(a+b+c),S矩形ABCH=ma,S矩形HCDG=mb,S矩形GDEF=mc,S矩形ABEF=S矩形ABCH+S矩形HCDG+S矩形GDEF, m(a+b+c)=ma+mb+mc. 2.(2020北京,19,5分)已知5x2-x-1=0,求代数式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值. 解析解析 (3x+2)(3x-2)+x(x-2)=9x2-4
2、+x2-2x =10 x2-2x-4.(3分) 5x2-x-1=0,5x2-x=1. 原式=2(5x2-x)-4=-2.(5分) 教师专用题组 考点一 整式及其运算法则 1.(2020河北,2,3分)墨迹覆盖了等式“x3x=x2(x0)”中的运算符号,则覆盖的是( ) A.+ B.- C. D. 答案答案 D 因为x3x=x2(x0),所以覆盖的运算符号为,故选D. 2.(2019黑龙江齐齐哈尔,3,3分)下列计算不正确的是( ) A.=3 B.2ab+3ba=5ab C.(-1)0=1 D.(3ab2)2=6a2b4 9 2 答案答案 D (3ab2)2=32a2b4=9a2b4,故D中的运
3、算错误. 3.(2019四川成都,6,3分)下列计算正确的是( ) A.5ab-3a=2b B.(-3a2b)2=6a4b2 C.(a-1)2=a2-1 D.2a2bb=2a2 答案答案 D 5ab与3a不能合并,(-3a2b)2=9a4b2,(a-1)2=a2-2a+1,所以选项A,B,C错误.2a2bb=2a2,选项D正确, 故选D. 4.(2019河北,6,3分)小明总结了以下结论: a(b+c)=ab+ac;a(b-c)=ab-ac; (b-c)a=ba-ca(a0); a(b+c)=ab+ac(a0). 其中一定成立的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案答案 C 根据去
4、括号法则得a(b+c)=ab+ac,a(b-c)=ab-ac,故一定成立;根据整式的除法可得(b-c)a =ba-ca(a0),故一定成立;运算错误.一定成立的个数为3,故选C. 5.(2019黑龙江齐齐哈尔,8,3分)学校计划购买A和B两种品牌的足球,已知一个A品牌足球60元,一个B品 牌足球75元.学校准备将1 500元钱全部用于购买这两种足球(两种足球都买),该学校的购买方案共有 ( ) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 答案答案 B 设恰好用完1 500元,可购买a个A品牌足球和b个B品牌足球. 由题意,得60a+75b=1 500, 整理得a=25-b,a,b为正整数, b=4
5、时,a=20;b=8时,a=15; b=12时,a=10;b=16时,a=5. 有4种方案,故选B. 5 4 6.(2018河北,13,2分)若2n+2n+2n+2n=2,则n=( ) A.-1 B.-2 C.0 D. 1 4 答案答案 A 2n+2n+2n+2n=2,42n=2,2n=,n=-1,故选A. 1 2 7.(2018内蒙古包头,5,3分)如果2xa+1y与x2yb-1是同类项,那么的值是( ) A. B. C.1 D.3 a b 1 2 3 2 答案答案 A 2xa+1y与x2yb-1是同类项,解得=.故选A. 12, 1 1, a b 1, 2, a b a b 1 2 8.(
6、2018重庆,4,4分)把三角形按如图所示的规律拼图案,其中第个图案中有4个三角形,第个图案中有6个 三角形,第个图案中有8个三角形,按此规律排列下去,则第个图案中三角形的个数为( ) A.12 B.14 C.16 D.18 答案答案 C 第个图案中,三角形的个数为2+2=22=4;第个图案中,三角形的个数为2+2+2=23=6;第 个图案中,三角形的个数为2+2+2+2=24=8;以此类推,第个图案中,三角形的个数为2+2+2+2+2 +2+2+2=28=16.故选C. 方法总结方法总结 解图形规律探索题的步骤: 第一步:写序号,记每个图案的序号为1,2,3,n; 第二步:数图形个数,在图形
7、数量变化时,写出每个图案中图形的个数; 第三步:寻找图形个数与序号n的关系,探索第n个图案中图形的个数时,先将后一个图案中图形的个数与 前一个图案中图形的个数进行比对,通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化,然后按照定量变化推导 出第n个图案中图形的个数. 9.(2018云南,10,4分)按一定规律排列的单项式:a,-a2,a3,-a4,a5,-a6,第n个单项式是( ) A.an B.-an C.(-1)n+1an D.(-1)nan 答案答案 C 从两方面思考:符号,各单项式的符号正、负交替出现,故应为(-1)n或(-1)n+1,可举例验证,n=1 时为正号,故应为(-1)n+1.除符号外
8、的部分为an.故第n个单项式为(-1)n+1an. 考点二 乘法公式 1.(2019安徽,9,4分)已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0,a+2b+c0,b2-ac0 B.b0,b2-ac0 D.b0,b2-ac0 答案答案 D a-2b+c=0,b=,a+2b+c=4b0,b0,则n的值是 . 答案答案 1 解析解析 因为(x+n)2=x2+2nx+n2=x2+mx+1, 所以所以m0,n0,n=1. 2 1, 2 , n mn 1, 2, n m 6.(2020重庆A卷,19,10分)计算:(1)(x+y)2+x(x-2y); (2). 1 3 m m 2 2 9 69 m mm 解
9、析解析 (1)原式=x2+2xy+y2+x2-2xy =2x2+y2.(5分) (2)原式= = =.(10分) 3 33 mm mm 2 (3) (3)(3) m mm 3 3m 3 3 m m 3 3m 易错警示易错警示 注意记清公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,(ab)2=a22ab+b2. 7.(2019吉林,15,5分)先化简,再求值:(a-1)2+a(a+2),其中a=. 2 解析解析 原式=a2-2a+1+a2+2a(2分) =2a2+1.(3分) 当a=时, 原式=2()2+1=5.(5分) 2 2 8.(2018贵州贵阳,17,8分)如图,将边长为m的正方形纸板沿虚线剪
10、成两个小正方形和两个矩形.拿掉边长 为n的小正方形纸板后,再将剩下的三块拼成一个新矩形. (1)用含m或n的代数式表示拼成的矩形周长; (2)当m=7,n=4时,求拼成的矩形面积. 解析解析 设新矩形的周长为C,面积为S, 由题图,得新矩形的一边长为m-n,其邻边长为m+n. (1)C=2(m-n)+2(m+n)=4m. (2)S=(m-n)(m+n)=m2-n2, 当m=7,n=4时,S=72-42=49-16=33. 9.(2017河南,16,8分)先化简,再求值: (2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),其中x=+1,y=-1. 22 解析解析 原式=4x2+4xy+y2+
11、x2-y2-5x2+5xy(3分) =9xy.(5分) 当x=+1,y=-1时,原式=9xy=9(+1)(-1)=9.(8分) 2222 考点三 因式分解 1.(2020河北,3,3分)对于x-3xy=x(1-3y),(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是( ) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.是因式分解,是乘法运算 D.是乘法运算,是因式分解 答案答案 C 因式分解是把一个多项式化成几个最简整式的积的形式,是一种化和为积的变形.是提公 因式法因式分解;是用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,从左到 右的变形是乘法运算,故选C.
12、2.(2019内蒙古呼和浩特,11,3分)因式分解:x2y-4y3= . 答案答案 y(x+2y)(x-2y) 解析解析 原式=y(x2-4y2)=y(x+2y)(x-2y). 3.(2019湖北黄冈,11,3分)分解因式:3x2-27y2= . 答案答案 3(x+3y)(x-3y) 解析解析 3x2-27y2=3(x2-9y2)=3(x+3y)(x-3y). 易错警示易错警示 本题易分解不彻底得到3(x2-9y2)而出错. 4.(2018湖北黄冈,8,3分)因式分解:x3-9x= . 答案答案 x(x+3)(x-3) 解析解析 x3-9x=x(x2-9)=x(x+3)(x-3). 5.(20
13、18辽宁沈阳,11,3分)因式分解:3x3-12x= . 答案答案 3x(x+2)(x-2) 解析解析 3x3-12x=3x(x2-4)=3x(x+2)(x-2). 思路分析思路分析 先提出公因式,再用平方差公式分解. 易错分析易错分析 提公因式要注意数字因数和字母因式,要提取完整.提完公因式,要看括号内还能不能分解. 6.(2017安徽,12,5分)因式分解:a2b-4ab+4b= . 答案答案 b(a-2)2 解析解析 a2b-4ab+4b=b(a2-4a+4)=b(a-2)2. 7.(2017黑龙江哈尔滨,13,3分)把多项式4ax2-9ay2分解因式的结果是 . 答案答案 a(2x+3
14、y)(2x-3y) 解析解析 原式=a(4x2-9y2)=a(2x)2-(3y)2=a(2x+3y) (2x-3y). 8.(2020河北,21,8分)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a, 且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和-16,如图所示. 如,第一次按键后,A,B两区分别显示: (1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果; (2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和是不是负数,说明理由. 解析解析 (1)A区:25+a2+a2=25+2a2, B区:-16-3a-3a=-16-6a. (2
15、)不能.理由如下:25+4a2+(-16-12a)=4a2-12a+9. 4a2-12a+9=(2a-3)20,不能是负数. A组 20182020年模拟基础题组 考点一 整式及其运算法则 1.(2020北京西城二模,4)下列运算中,正确的是( ) A.a a2=a3 B.a6a2=a3 C.2a2-a2=2 D.(3a2)2=6a4 答案答案 A a a2=a3;a6a2=a4;2a2-a2=a2;(3a2)2=9a4.故选A. 2.(2020北京密云一模,3)下列各式计算正确的是( ) A.a3 a2=a6 B.a5+a5=a10 C.(-2a3)3=-8a9 D.(a-1)2=a2-1
16、答案答案 C a3 a2=a5,所以A错;a5+a5=2a5,所以B错;(a-1)2=a2-2a+1,所以D错.故选C. 3.(2019北京门头沟二模,3)在下列运算中,正确的是( ) A.a2 a3=a5 B.=a5 C.a6a2=a3 D.a5+a5=2a10 2 3 ()a 答案答案 A a2 a3=a5,选项A正确;=a6,选项B错误;a6a2=a4,选项C错误;a5+a5=2a5,选项D错误.故选A. 2 3 ()a 4.(2020北京通州一模,11)若(4m+1)(4n+1)=4K+1,则K可以用含m,n的代数式表示为 . 答案答案 4mn+m+n 解析解析 (4m+1)(4n+1
17、)=4K+1,16mn+4m+4n+1=4K+1,4K=16mn+4m+4n,K=4mn+m+n. 解题关键解题关键 解决本题的关键是找到等号两边的对应关系,等号左右两边都有1,那么等号左右两边“剩 下”的部分相等. 5.(2018北京朝阳一模,9)赋予式子“ab”一个实际意义: . 答案答案 长、宽分别为a、b的矩形的面积(答案不唯一) 解析解析 两数相乘在生活中的实际意义有很多,例如总价=单价数量,矩形面积=长宽等. 6.(2018北京平谷一模,11)计算:+ = . 2 222 m 个3 3 33 n 个 答案答案 2m+3n 解析解析 由乘法和乘方的意义可知m个2的和为2m,n个3的积
18、为3n,所以原式=2m+3n. 考点二 乘法公式 1.(2020北京大兴一模,7)如果x2-4=0,那么代数式x(x+1)2-x(x2+x)-x-7的值为( ) A.-3 B.3 C.-11 D.11 答案答案 A x2-4=0,x(x+1)2-x(x2+x)-x-7=x3+2x2+x-x3-x2-x-7=x2-7=x2-4-3=0-3=-3.故选A. 易错警示易错警示 本题属于容易题,在计算过程中除了正确使用公式,还要关注每一项的正负. 2.(2020北京东城一模,11)若x2+x-3=0,则代数式2(x-2)(x+2)-x(x-1)的值是 . 答案答案 -5 解析解析 原式=2(x2-4)
19、-x2+x=2x2-8-x2+x=x2+x-8. x2+x-3=0,x2+x=3.则原式=3-8=-5. 3.(2019北京平谷一模,14)如图,从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b(ab)的正方形,则剩 余(阴影)部分正好能够表示一个乘法公式,则这个乘法公式是 (用含a,b的等式表示). 答案答案 a2-b2=(a+b)(a-b) 解析解析 阴影面积可以用大正方形的面积减小正方形的面积得到,即a2-b2;也可以用中正方形和两个长方 形拼接成一个长、宽分别为(a+b),(a-b)的长方形,面积为(a+b)(a-b).所以这个乘法公式是a2-b2=(a+b)(a -b). 4.(201
20、9北京门头沟一模,12)如果在多项式4a2+1中添加一个单项式,可使其成为一个完全平方式,那么添 加的单项式为 .(写出一个即可) 答案答案 4a,答案不唯一 解析解析 完全平方式是A22A B+B2,所以若4a2=A2,则A=2a(或-2a).2A B=4a(或-4a).所以可写出一个完全 平方式4a2+4a+1,添加的单项式为4a,答案不唯一. 考点三 因式分解 1.(2020北京朝阳一模,10)分解因式:2x2+8x+8= . 答案答案 2(x+2)2 解析解析 2x2+8x+8=2(x2+4x+4)=2(x+2)2. 2.(2020北京大兴一模,10)分解因式:m3-mn2= . 答案
21、答案 m(m+n)(m-n) 解析解析 m3-mn2=m(m2-n2)=m(m+n)(m-n). 3.(2020北京房山一模,10)分解因式:m3-4m= . 答案答案 m(m-2)(m+2) 解析解析 m3-4m=m(m2-4)=m(m-2)(m+2). 4.(2019北京西城一模,11)分解因式:ab2-25a= . 答案答案 a(b+5)(b-5) 解析解析 ab2-25a=a(b2-25)=a(b+5)(b-5). 5.(2019北京门头沟一模,9)分解因式:ab2-2ab+a= . 答案答案 a(b-1)2 解析解析 ab2-2ab+a=a(b2-2b+1)=a(b-1)2. 6.(
22、2018北京东城一模,10)因式分解:m2n-4n= . 答案答案 n(m+2)(m-2) 解析解析 m2n-4n=n(m2-4)=n(m+2)(m-2). B组 20182020年模拟 提升题组 时间:30分钟 分值:40分 一、选择题(每小题2分,共4分) B组 20182020年模拟提升题组 时间:30分钟 分值:40分 1.(2020北京东城一模,7)将4张长为a、宽为b(ab)的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的 正方形,图中空白部分的面积之和为S1,阴影部分的面积之和为S2.若S1=S2,则a,b满足( ) A.2a=5b B.2a=3b C.a=3b D.a=2b
23、5 3 答案答案 C 由题意得S2=ab4=2ab,S1=(a+b)2-2ab=a2+b2,S1=S2,3S1=5S2.3a2+3b2=52ab.3a2-10 ab+3b2=0.(3a-b)(a-3b)=0.3a=b(舍)或a=3b.故选C. 1 2 5 3 思路分析思路分析 本题需要先用含有a、b的代数式分别表示出S1和S2,再根据S1=S2得到关于a、b的等式,整理即可. 5 3 解题关键解题关键 解决本题的关键是借助图形的面积关系得到等式,进而借助完全平方公式及因式分解得 到结果. 2.(2019北京石景山二模,2)下列各式计算正确的是( ) A.x2 x3=x5 B.x2+3x2=4x
24、4 C.x8x2=x4 D.=6x4y2 22 (3)x y 答案答案 A x2 x3=x5,选项A正确;x2+3x2=4x2,选项B错误;x8x2=x6,选项C错误;=9x4y2,选项D错误.故 选A. 22 (3)x y 二、填空题(每小题2分,共8分) 3.(2020北京丰台一模,13)如图1,小长方形纸片的长为2,宽为1,将4张这样的小长方形纸片按图2所示的方 式不重叠地放在大长方形内,未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形和,设长方形和的周长 分别为C1和C2,则C1 C2(填“”“=”或“”). 答案答案 = 解析解析 设题图2中大长方形长为x,宽为y,则长方形的长为x-1,宽为y-
25、3,周长C1=2(x-1+y-3)=2x+2y-8,长方 形的长为x-2,宽为y-2,周长C2=2(x-2+y-2)=2x+2y-8,则C1=C2. 解题关键解题关键 解决本题的关键是通过设出大长方形长和宽,将两个小长方形的边长和周长列代数式表示. 4.(2019北京通州一模,12)若多项式x2+ax+b可以写成(x+m)2的形式,且ab0,则a的值可以是 ,b的值 可以是 . 答案答案 答案不唯一,如-4;4 解析解析 依题意可得多项式x2+ax+b是完全平方式,根据配方法可得b=,答案不唯一,如a=-4,b=4. 2 2 a 一题多解一题多解 本题也可以指定一个m的值,展开后即可得到一组a
26、,b. 5.(2019北京顺义一模,16)利用二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统,图1是某个学生 的识别图案,黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0,将第一行数字从左到右依次记为a,b,c,d,那么可以 转换为该生所在班级序号,其序号为a23+b22+c21+d20.图1中的第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,序 号即为023+122+021+120=5,表示该生为5班学生.若想在图2中表示4班学生的识别图案,应该把标号 为、的正方形中的 (只填序号)涂成黑色. 答案答案 解析解析 根据题意有a23+b22+c21+d20=4,a8+b4+c2+d1=4.a,b,c,d只能
27、为0或1,只有当a,c,d= 0,b=1时才能满足a23+b22+c21+d20=4. 需要把标号为的正方形涂成黑色. 6.(2018北京平谷二模,16)如图,在平面直角坐标系xOy中,OA1B1绕点O逆时针旋转90,得OA2B2;OA2 B2绕点O逆时针旋转90,得OA3B3;OA3B3绕点O逆时针旋转90,得OA4B4;若点A1(1,0),B1(1,1),则 点B4的坐标是 ,点B2 018的坐标是 . 答案答案 (1,-1);(-1,1) 解析解析 由题图可知点B2(-1,1),B3(-1,-1),B4(1,-1),B5(1,1),每4个点一循环,2 0184=5042,所以点B2 01
28、8的坐 标与点B2坐标一致,为(-1,1). 三、解答题(共28分) 7.(2020北京燕山一模,21)抗击新冠肺炎期间,某小区为方便管理,为居民设计了一个身份识别图案系统: 在44的正方形网格中,白色正方形表示数字1,黑色正方形表示数字0,将第i行第j列表示的数记为ai,j(其 中i,j都是不大于4的正整数),例如,图1中,a1,2=0.对第i行使用公式Ai=ai,123+ai,222+ai,321+ai,420进行计算, 所得结果A1,A2,A3,A4分别表示居民楼号,单元号,楼层和房间号.例如,图1中,A3=a3,123+a3,222+a3,321+a3,420 =18+04+02+11
29、=9,A4=08+04+12+11=3,说明该居民住在9层,3号房间,即903号. (1)图1中,a1,3= ; (2)图1代表的居民居住在 号楼 单元; (3)请仿照图1,在图2中画出8号楼4单元602号居民的身份识别图案. 解析解析 (1)根据题意a1,3表示第一行,第三格,为白色,白色表示1,从而图1中,a1,3=1. (2)A1=a1,123+a1,222+a1,321+a1,420=18+04+12+1=11,A2=a2,123+a2,222+a2,321+a2,420=08+04+12+0 =2,图1代表的居民居住在11号楼2单元. (3)8号楼4单元602号房间居民的身份识别图案
30、如图: 8.(2020北京海淀一模,25)某校举办球赛,分为若干组,其中第一组有A,B,C,D,E五个队.这五个队要进行单 循环赛,即每两个队之间要进行一场比赛,每场比赛采用三局两胜制,即三局中胜两局就获胜.每场比赛胜 负双方根据比分会获得相应的积分(每场比赛的小分会影响积分),积分均为正整数.这五个队完成所有 比赛后得到如下的积分表. 根据上表回答下列问题: (1)第一组一共进行了 场比赛,A队的获胜场数x为 ; (2)当B队的总积分y=6时,上表中m处应填 ,n处应填 ; (3)写出C队总积分p的所有可能值 . 解析解析 (1)=10(场),第一组一共进行了10场比赛.每场比赛采用三局两胜
31、制,A、B队的结 果为21,A、C队的结果为20,A、E队的结果为20,A队的获胜场数x为3. (2)由题可知每场比赛的结果有四种:02,12,21,20. 根据题意可知每种结果都会得到一个正整数积分,设以上四种结果获得的积分分别为a,b,c,d,且abc d,根据E的总积分可得a+c+b+c=9,a=1,b=2,c=3. 根据A的总积分可得c+d+b+d=13, d=(13-c-b)2=(13-3-2)2=4. 设m对应的积分为t,当y=6时,b+t+a+b=6,即2+t+1+2=6,t=1.m处应填02. BC=02.CB=20.n处应填20; (3)C队胜2场,分两种情况:当C、B的结果
32、为20时,p=1+4+2+3=10; 当C、B的结果为21时,p=1+3+2+3=9.C队总积分p的所有可能值为9和10. 5 (5 1) 2 易错警示易错警示 本题需要关注到每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分,即每种结果获得的积分均 不相同. 9.(2019北京石景山二模,19)已知y2-2xy-1=0,求代数式(x-2y)2-(x-y)(x+y)-3y2的值. 解析解析 原式=x2-4xy+4y2-(x2-y2)-3y2 =2y2-4xy.(3分) y2-2xy-1=0, y2-2xy=1.(4分) 原式=2(y2-2xy)=2.(5分) 10.(2018北京燕山一模,19)文艺复兴时期,意大利艺术大师达 芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积 问题.已知正方形的边长是2,A、D分别为所在边的中点,求图3中阴影部分的面积. 图1 图2 图3 解:S矩形ABCD=S1+S2+S3=2,S4= ,S5= , S6= + , S阴影=S1+S6=S1+S2+S3= . 答案答案 S2;S3;S4;S5;2. 思路分析思路分析 要从图形中发现相等关系. 解题关键解题关键 解决本题的关键是要通过阅读和观察发现图中的等量关系,将所求不规则图形的面积转化 为规则图形的面积.
