1、 中考数学 （北京专用） 3. 4 二次函数 1.(2018北京,7,2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线 的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a 0).下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后 飞行到最高点时,水平距离为( ) A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m 北京中考题组 答案答案 B 由题图中给出的点可知,抛物线的最高点的横坐标在0到20之间.若最高点的横坐标为10,由对 称性可知,(0,54.0)关
2、于对称轴的对称点为(20,54.0),而54.00)与x轴的交点为A,B. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 当m=1时,求线段AB上整点的个数; 若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求 m的取值范围. 解析解析 (1)y=mx2-2mx+m-1=m(x-1)2-1. 抛物线的顶点坐标为(1,-1). (2)当m=1时,抛物线的表达式为y=x2-2x. 令y=0,解得x1=0,x2=2.线段AB上整点的个数为3. 当抛物线经过点(-1,0)时,m=. 当抛物线经过点(-2,0)时,m=. 结合函数的图象
3、可知,m的取值范围为|x2-1|,则y1y2 B.若|x1-1|x2-1|,则y10时,如图所示: 若|x1-1|x2-1|,则x1到1的距离大于x2到1的距离. 由图知y1y2, 若|x1-1|x2-1|,则x1到1的距离小于x2到1的距离. 由图知y1y2. 当a|x2-1|,则x1到1的距离大于x2到1的距离.由图知y1y2,若|x1-1|y2.综上所述,A、B不正确.由图可知,D不正确.若|x1-1|=|x2-1|,则x1,x2到1的距离相等,所以y1=y2,故选C. 方法指导方法指导 解决二次函数中a不确定的问题时,一定要分a0和a0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+
4、bx+c+n=0(0n0)有两个根,其中一个根是3, 当y=-m时,关于x的方程ax2+bx+c=-m(m0)有两个根,其中一个根是3. 则函数y=ax2+bx+c的图象开口向下, 设直线y=-m(m0)与函数y=ax2+bx+c的图象交于A,B两点,点B的横坐标是3, 由对称性得点A的横坐标是-5,如图所示.设直线y=-n(0nm)与函数y=ax2+bx+c的图象交于C、D,点C的横坐 标为x1,点D的横坐标为x2,a0,-5 x1-3,1x23, 关于x的方程ax2+bx+c=-n(0nm)有两个整数根,这两个整数根是-4或2,故选B. 3.(2020河北,15,2分)如图,现要在抛物线y
5、=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的 说法如下, 甲:若b=5,则点P的个数为0; 乙:若b=4,则点P的个数为1; 丙:若b=3,则点P的个数为1. 下列判断正确的是( ) A.乙错,丙对 B.甲和乙都错 C.乙对,丙错 D.甲错,丙对 答案答案 C y=x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,抛物线的顶点坐标为(2,4),若b=5,则点P的个数为0,甲正确;若b=4,则 点P的个数为1(只能是顶点),乙正确;若b=3,根据二次函数图象的对称性,可知点P的个数为2,丙错误,故选C. 解题关键解题关键 从抛物线的对称性入手,结合图象探究直线y=b与
6、抛物线的交点情况是解题关键. 4.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是( ) A.c0 B.b2-4ac0 C.a-b+c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1时,y=a-b+ c,由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x=3,选项D正确,故选D. 15 2 5.(2019辽宁大连,10,3分)如图,抛物线y=-x2+x+2与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,点D在抛物线 上,且CDAB.AD与y轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x轴,与抛物线交于P,
7、Q两点,则线段PQ的长为 ( ) A.3 B.1+ C.4 D.2 1 4 1 2 55 答案答案 D 在y=-x2+x+2中,令x=0,则y=2, C(0,2);令y=0,则-x2+x+2=0, 解得x=-2或4,A(-2,0). CDAB,点D的纵坐标和点C的纵坐标相同,为2, 令y=2,则-x2+x+2=2, 解得x=0或2,D(2,2). 设直线AD的解析式为y=kx+b(k0), 将(-2,0),(2,2)代入y=kx+b中,得解得 直线AD的解析式为y=x+1, 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 20, 22, kb kb 1 , 2 1, k b 1 2 令y=x+
8、1中的x=0,则y=1,E(0,1). 令-x2+x+2=1, 即x2-2x-4=0,解得x=1, 所以PQ=(1+)-(1-)=2,故选D. 1 2 1 4 1 2 5 555 思路分析思路分析 根据抛物线的解析式求出其与x轴的交点A,与y轴的交点C的坐标,因为CDAB,所以点D的 纵坐标和点C的纵坐标相同,将点D的纵坐标代入抛物线解析式中,从而求出点D的坐标.利用待定系数法 求直线AD的解析式,并进一步求出点E的坐标,将点E的纵坐标代入抛物线的解析式中,求出点P、Q的横 坐标,进而可求出PQ的长. 6.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点
9、,则n的值为( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4 答案答案 B 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点, 解得故选B. 424, 1644, nb nb 2, 4. b n 一题多解一题多解 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,抛物线的对称轴为直线x=1,即=1,b=2,n=-(- 2)2+2(-2)+4=-4. 24 2 2 b 7.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y0,则这条抛物线的顶点一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 C 当x=1时,y=a+2a-1+a-30,解得a1,又根据抛
10、物线顶点坐标公式可得-=-0,= =0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C. 2 b a 21 2 a a 2 4 4 acb a 2 4 (3)(21) 4 a aa a 81 4 a a 8.(2018贵州贵阳,10,3分)已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x 轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示).当直线y=-x+m与新图象有4个交点 时,m的取值范围是 ( ) A.-m3 B.-m-2 C.-2m3 D.-6m-2 25 4 25 4 答案答案 D 易知抛物线y=-x2+x+6与x轴交于点(-2,0),
11、(3,0), 依题意知,新图象对应的函数解析式为y= 如图,当直线y=-x+m经过点(-2,0)时,直线与新图象有3个交点,此时,m=-2. 由方程组得x2-m-6=0, 当该一元二次方程有两个相等的实数根时,=02-41(-m-6)=4m+24=0,解得m=-6, 将m=-6代入方程组,解得方程组的解是 故当直线y=-x+m经过点(0,-6)时,直线与新图象有3个交点,此时,m=-6.所以当-6m-2时,直线y=-x+m与新 图象有4个交点,故选D. 2 2 6(23), 6( 23). xxxx xxx 或 2 , 6 yxm yxx 0, 6. x y 思路分析思路分析 画出直线y=-x
12、,然后平移,判断直线y=-x+m与新图象有4个交点的临界位置:一是直线经过点(- 2,0),求得m=-2;二是直线与抛物线y=x2-x-6(-2x3)相切,这时,方程组只有一组解,即方程x2 -m-6=0有两个相等的实数根,令根的判别式等于0,可以求得m=-6.结合图象可知,当-6m8 B.b-8 C.b8 D.b-8 答案答案 D 由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象.将代入 得,x2-8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以=(-8)2-4(8-b)=4b+320,所以b-8,故选D. 2 (3)1, 2, yx yxb 10.(2017陕西,10
13、,3分)已知抛物线y=x2-2mx-4(m0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M.若点M在这条 抛物线上,则点M的坐标为( ) A.(1,-5) B.(3,-13) C.(2,-8) D.(4,-20) 答案答案 C y=x2-2mx-4=(x-m)2-m2-4,则顶点M的坐标为(m,-m2-4),M的坐标为(-m,m2+4),点M在抛物线上, m2+2m2-4=m2+4,m2=4.m0,m=2,M(2,-8),故选C. 思路分析思路分析 先配方求出抛物线的顶点M的坐标,根据对称性表示出点M的对称点M的坐标,由点M在抛 物线上,可将M的坐标代入解析式求出m的值,进而求得点M的坐标. 11.(2
14、019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交 于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 . 答案答案 a1或a-1 解析解析 解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0), 与y轴的交点为(0,1-a). 分两种情况:当a2a,可得a0时,如图(2),要满足题意,则需a-10,可得a1. 综上,实数a的取值范围是a1或a-1. 解法二:直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且
15、都在x轴的下方, 令y=x-a+10,解得xa-1. 令y=x2-2ax0时,解得0x2a;当a0时,解得2ax0时,若有解,则a-10,解得a1; 当a0时,若有解,则2aa-1,解得a1或a-1. 1, 02 xa xa 1, 20 xa ax 思路分析思路分析 考虑到二次函数图象的对称轴方程是x=a,故分a0两种情况,解法一:由于二次函数的 图象过原点,结合图象知只需满足直线y=x-a+1与二次函数图象相交的最左边交点在x轴的下方即可,从 而得出关于a的不等式;解法二:分别在a0两种情况下满足有解,解之即可. 2 10, 20 xa xax 难点突破难点突破 根据二次函数图象的特点分a0
16、两种情况考虑是解答本题的突破口. 12.(2019湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b -bx的解是 . 答案答案 x1=-2,x2=5 解析解析 解法一:将方程整理可得a(x-1)2+b(x-1)+c=0,它的解是函数y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象与x轴交点的 横坐标,而y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象可以看作由函数y=ax2+bx+c的图象向右平移一个单位长度得到,所以 将函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点也向右平移一个单位长度,为(-2,0)和(5,0).所以方程的
17、解为x1=-2,x2 =5. 解法二:依题意,得解得 所以关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx可化为a(x-1)2-12a=-a+ax,即(x-1)2-12=-1+x, 化简得x2-3x-10=0, 解得x1=-2,x2=5. 930, 1640, abc abc , 12 . ba ca 考点二 二次函数的实际应用 1.(2019山西,9,3分)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛 物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象抛 物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为
18、78米(即最高点O到AB的距离为78 米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系.则 此抛物线型钢拱的函数表达式为( ) 图1 图2 A.y=x2 B.y=-x2 C.y=x2 D.y=-x2 26 675 26 675 13 1 350 13 1 350 答案答案 B 设抛物线型钢拱的函数表达式为y=ax2, 将B(45,-78)代入得-78=a 452,a=-, 抛物线型钢拱的函数表达式为y=-x2,故选B. 26 675 26 675 思路分析思路分析 根据题意先确定点B的坐标,然后利用待定系数法求出函数表达式. 方法指导方法指
19、导 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤如下: 步骤一:设出含待定系数的函数表达式;步骤二:把已知条件(自变量x与函数的对应值y)代入表达式,得到 关于待定系数的方程或方程组;步骤三:解方程或方程组,求出待定系数;步骤四:将求得的待定系数的值 代入所设表达式,写出表达式. 2.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t- t2.在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是 m. 3 2 答案答案 24 解析解析 y=60t-t2=-(t-20)2+600,即t=20时,y取得最大值,即滑行距离达到最大,此时滑行距离是600
20、 m.当t =16时,y=6016-162=576,所以最后4 s滑行的距离为600-576=24 m. 3 2 3 2 3 2 3.(2018辽宁沈阳,15,3分)如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开. 已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB= m时,矩形土地ABCD的面积最大. 答案答案 150 解析解析 四边形ABCD是矩形,ABCD,AB=CD,ADBC,AD=BC,又EFCD,四边形CDEF是平行 四边形,EF=CD, 设AB=x,则EF=CD=x,篱笆总长为900 m,AD=BC=(0x300), S矩形ABCD=AB AD=
21、x=-x2+450 x,当x=-=150 m时,矩形土地ABCD的面积最大. 9003 2 x 9003 2 x3 2 450 3 2 2 疑难突破疑难突破 当篱笆总长一定时,AD长随着AB的变化而变化,因此矩形面积与AB长之间存在着二次函数 关系,问题即转化为求二次函数的最大值问题. 思路分析思路分析 篱笆由AB、EF、CD、AD、BC五段构成,由矩形性质可得,AB=EF=CD,AD=BC,设AB=x,则 AD可用含x的式子表示,从而矩形的面积也可用含x的式子表示,则利用矩形面积与x之间存在的函数关 系可求面积最大值. 解后反思解后反思 本题中,二次函数的最大值可以用配方法,也可以直接由顶点
22、公式得到.但要注意,还需要考虑 最大值点能否落在自变量的取值范围内. 4.(2020贵州贵阳,24,12分)2020年体育中考增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了 解学生错峰进入考点进行体温检测的情况,调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与 时间x(分钟)的变化情况,数据如下表:(表中915表示9x15) 时间x (分钟) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 915 人数y (人) 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810 (1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律,利用初中所学函数知识求出y与x之
23、间 的函数关系式; (2)如果考生一进考点就开始测量体温,体温检测点有2个,每个检测点每分钟检测20人,考生排队测量体 温,求排队人数最多时有多少人,全部考生都完成体温检测需要多少时间; (3)在(2)的条件下,如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测,从一开始就应该至少增加几个检测点? 解析解析 (1)根据表中数据的变化趋势可知: 当0 x9时,y是x的二次函数. 当x=0时,y=0, 二次函数的关系式可设为y=ax2+bx(a0). 当x=1时,y=170;当x=3时,y=450, 将它们分别代入关系式得解得 二次函数的关系式为y=-10 x2+180 x. 将表格内的其他各组对应值代入此
24、关系式,均满足. 当9x15时,y=810. y与x的关系式为y= (2)设第x分钟时的排队人数是W,根据题意,得 170, 45093 . ab ab 10, 180. a b 2 10180 ,09, 810,915. xxx x W=y-40 x= 当0 x9时,W=-10 x2+140 x=-10(x-7)2+490. 当x=7时,W最大=490. 当9x15时,W=810-40 x,W随x的增大而减小, 210W450. 排队人数最多时有490人. 要使全部考生都完成体温检测,根据题意,得 810-40 x=0,解得x=20.25. 排队人数最多时有490人,全部考生都完成体温检测需
25、要20.25分钟. (3)设从一开始就应该增加m个检测点,根据题意,得 1220(m+2)810,解得m1. m是整数, m的最小整数值是2. 2 1018040 ,09, 81040 ,915. xxxx xx 3 8 一开始就应该至少增加2个检测点. 5.(2019内蒙古包头,23,10分)某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租,每辆货车的日租金实行淡 季、旺季两种价格标准,旺季每辆货车的日租金比淡季上涨.据统计,淡季该公司平均每天有10辆货车 未租出,日租金总收入为1 500元;旺季所有的货车每天能全部租出,日租金总收入为4 000元. (1)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆?淡
26、季每辆货车的日租金是多少元? (2)经市场调查发现,在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元,每天租出去的货车就会减少1辆,不考虑 其他因素,每辆货车的日租金上涨多少元时,该出租公司的日租金总收入最高? 1 3 解析解析 (1)设该出租公司这批对外出租的货车共有x辆. 根据题意,得=, 解得x=20. 经检验,x=20是所列方程的解. 1 500(20-10)=150(元). 答:该出租公司这批对外出租的货车共有20辆,淡季每辆货车的日租金是150元.(5分) (2)设当旺季每辆货车的日租金上涨a元时,该出租公司的日租金总收入为w元. 根据题意,得w=, w=-a2+10a+4 000,w=-(
27、a-100)2+4 500. -7.5. 【注:下面是(3)的一种解法:把y=1.8代入y=-5t2+18,得t2=3.24,t=1.8(舍去负值).从而x=10. 甲为(10,1.8),恰好落在滑道y=上,此时乙为(1+1.8v乙,1.8).由题意,得1+1.8v乙-(1+51.8)4.5,v乙7.5】 81 25 即 18 x 思路分析思路分析 (1)把点A的坐标代入y=得出k值,设h=at2(a0),利用待定系数法即可求解;(2)根据题意分别 用t表示x、y,再把t=(x-1)代入消去t得y与x之间的关系式,令13=-(x-1)2+18,解得x=6(舍去负值),进一步 把x=6代入y=求
28、出y=3,最后求得运动员与正下方滑道的竖直距离;(3)求出甲距x轴1.8米时的横坐标及 用v乙表示的乙距x轴1.8米时的横坐标,根据题意列出不等式求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙的范围. k x 1 5 1 5 18 x 解题关键解题关键 本题是函数的综合题,准确理解题意,梳理所涉及的变量,并熟练掌握待定系数法求函数解析 式是解题的关键. 方法指导方法指导 利用二次函数解决实际问题:(1)根据题目中直接给出或间接给出的变量关系得到符合题意 的二次函数解析式;(2)二次函数的应用题往往最终转化为计算函数值或自变量的值来解答. 7.(2018河南,21,10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现
29、,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之 间满足一次函数关系.关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如下表: 销售单价x(元) 85 95 105 115 日销售量y(个) 175 125 75 m 日销售利润w(元) 875 1 875 1 875 875 (注:日销售利润=日销售量(销售单价-成本单价) (1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值; (2)根据以上信息,填空: 该产品的成本单价是 元.当销售单价x= 元时,日销售利润w最大,最大值是 元; (3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本.预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1) 中
30、的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3 750元的销售目标,该产品的成本单价应不超 过多少元? 解析解析 (1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,k0, 由题意得解得 y关于x的函数解析式为y=-5x+600.(3分) 当x=115时,m=-5115+600=25.(4分) (2)80;100;2 000.(7分) (3)设该产品的成本单价为a元, 由题意得(-590+600) (90-a)3 750. 解得a65. 答:该产品的成本单价应不超过65元.(10分) 85175, 95125. kb kb 5, 600. k b 思路分析思路分析 (1)在表格中任选两对x,y
31、的值,由待定系数法求得y关于x的函数解析式,把x=115代入求得m的 值;(2)由85-875175=80,得成本单价,根据题意可求得w关于x的函数解析式,配方得解;(3)列出以a为未知 数的一元一次不等式,解不等式即可. 易错警示易错警示 解答第(2)问时,容易从表格中选取数值直接填空,造成错解,正确解法为:求出w关于x的解析 式w=y(x-80)=-5(x-100)2+2 000,根据实际意义得,当x=100时,得出w的最大值2 000. 8.(2018湖北黄冈,23,9分)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月销售量y(万件) 与月份x(月)的关系式为y=每件产品的利润
32、z(元)与月份x(月)的关系如下表: 4(18,), 20(912,), xxx xxx 为整数 为整数 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10 (1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式; (2)若月利润w(万元)=当月销售量y(元件)当月每件产品的利润z(元),求月利润w(万元)与月份x(月)的关 系式; (3)当x为何值时,月利润w有最大值?最大值为多少? 解析解析 (1)根据表格可知,当1x10且x为整数时,z=-x+20; 当11x12且x为整数时,z=10. z与x的
33、关系式为z= 或z= (2)当1x8且x为整数时,w=(-x+20)(x+4)=-x2+16x+80;当9x10且x为整数时,w=(-x+20)(-x+20)=x2-40 x +400; 当11x12且x为整数时,w=10(-x+20)=-10 x+200, w与x的关系式为 w= 20(110,), 10(1112,). xxx xx 为整数 为整数 20(19,), 10(1012,) xxx xx 为整数 为整数 2 2 1680(18,), 40400(910,), 10200(1112,). xxxx xxxx xxx 为整数 为整数 为整数 或w= (3)当1x8且x为整数时,w=
34、-x2+16x+80=-(x-8)2+144, 当x=8时,w有最大值,为144; 当9x10且x为整数时,w=x2-40 x+400=(x-20)2, 当x=9时,w有最大值,为121; 当11x12且x为整数时,w=-10 x+200, 当x=11时,w有最大值,为90. 90121144,x=8时,w有最大值,为144. (或当1x8且x为整数时,w有最大值144;当x=9时,w=121;当x=10时,w=100;当x=11时,w=90;当x=12时,w =80) 2 2 1680(18,), 40400121(9), 10200(1012,) xxxx xxx xxx 为整数 为整数
35、9.(2018内蒙古呼和浩特,25,10分)某市计划在十二年内通过公租房建设,解决低收入人群的住房问题.已 知前7年,每年竣工投入使用的公租房面积y(单位:百万平方米)与时间x(第x年)的关系构成一次函数(1x 7且x为整数),且第一和第三年竣工投入使用的公租房面积分别为和百万平方米;后5年每年竣工 投入使用的公租房面积y(单位:百万平方米)与时间x(第x年)的关系是y=-x+(7143. 当x=3时,年租金最大,Wmax=1.47亿元. 当x=3时,m=23+36=42. 5842=2 436元. 老张这一年应交租金2 436元. 2 2 11 (236)4(3)147(17), 63 11
36、51 (236)(6)144(712), 844 xxxx xxxx A组 20182020年模拟基础题组 考点一 二次函数的图象和性质 1.(2020北京海淀一模,5)将抛物线y=2x2向下平移3个单位长度得到的抛物线是( ) A.y=2x2+3 B.y=2x2-3 C.y=2(x-3)2 D.y=2(x+3)2 答案答案 B 依题意,得平移后抛物线顶点坐标为(0,-3),因为平移不改变二次项系数,故得到的抛物线解析 式为y=2x2-3.故选B. 2.(2020北京东城二模,4)若点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=a(x+1)2+2(ay1y2 B.2y2y1 C.y1y22 D.
37、y2y12 答案答案 A 由抛物线表达式可知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点为(-1,2),所以越靠近对称轴,y 值越大,因为-11y1y2.故选A. 一题多解一题多解 本题还可以将x=1,x=2分别代入抛物线表达式中,得y1=4a+2,y2=9a+2,因为a4a+29 a+2. 3.(2018北京东城一模,2)当函数y=(x-1)2-2的函数值y随着x的增大而减小时,x的取值范围是( ) A.x0 B.x1 D.x为任意实数 答案答案 B 因为二次项系数为1,所以抛物线开口向上,因为y随着x的增大而减小,且抛物线的对称轴为直 线x=1,所以x0, m2.5. (2)m2.5,m可
38、取的最大整数为2. 当m=2时,抛物线方程为y=x2-4x+2m-1=x2-4x+3. 令y=0,得x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3. A(1,0),B(3,0). 10.(2018北京顺义一模,26)在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y=x2+bx+c的顶点A的横坐标是-1,且与y轴 交于点B(0,-1),点P为抛物线上一点. (1)求抛物线的表达式; (2)若将抛物线y=x2+bx+c向下平移4个单位长度,点P平移后对应的点为Q.如果OP=OQ,求点Q的坐标. 解析解析 (1)依题意得-=-1,b=2, 由抛物线过点B(0,-1),得c=-1, 抛物线的表达式是y=x2+2x-1
39、. (2)向下平移4个单位长度得到抛物线y=x2+2x-5, 由OP=OQ及平移的性质可知,P、Q两点横坐标相同,纵坐标互为相反数. 令x2+2x-1+x2+2x-5=0, 得x1=-3,x2=1. 把x1=-3,x2=1分别代入y=x2+2x-5, 得y1=-2,y2=-2, 点Q的坐标为(-3,-2)或(1,-2). 2 b 考点二 二次函数的实际应用 1.(2019北京丰台一模,7)使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位:m3)与旋钮的旋转角度x(单 位:度)(0x90)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋 钮角度x与燃气量y的三
40、组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的 旋钮角度约为( ) A.18 B.36 C.41 D.58 答案答案 C 根据坐标系中的点,可以发现此二次函数的对称轴横坐标x应该在1854之间,且更接近54,18 与54的平均数为36,所以36x54.选项C符合题意. 2.(2019北京房山一模,7)加工爆米花时,爆开且不煳的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可 食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根 据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( ) A.3.50分钟 B.3.
41、75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 答案答案 B 根据题目中的三个点可以求出抛物线表达式为p=-0.2t2+1.5t-2.由题意可知最佳加工时间与 抛物线对称轴有关,则当t=-=3.75分钟时,即为最佳加工时间.故选B. 1.5 2( 0.2) 一题多解一题多解 本题也可以通过观察三个点的位置大致估计抛物线顶点的位置,借助抛物线对称性可知,若 对称轴为直线x=4,则图象应过(5,0.7),而实际上经过的点的坐标是(5,0.5),所以对称轴在直线x=4左侧;若 对称轴为直线x=3.5,则图象应过点(4,0.7),而实际上经过的点的坐标是(4,0.8),所以对称轴在直线x=3.5右 侧.
42、故选B. 3.(2019北京石景山二模,15)如图,在喷水池的中心A处竖直安装一根水管AB,水管的顶端安有一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1 m处达到最高点C,高度为3 m,水柱落地点D离池 中心A处3 m,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线的表达式为y=- (x-1)2+3(0 x3),则选取点D为坐标原点时的抛物线表达式为 ,水管AB的长为 m. 3 4 答案答案 y=-(x+2)2+3(-3x0); 3 4 9 4 解析解析 改变坐标原点,即改变了抛物线顶点, 但没有改变抛物线形状及方向,即a不变,原来点C的坐标为(1,3),因
43、为AD=3,改变后点C的坐标为(-2,3), 所以以点D为坐标原点时的抛物线表达式为y=-(x+2)2+3(-3x0); 当x=-3时,y=,即水管AB的长为 m. 3 4 9 4 9 4 思路分析思路分析 改变了坐标系的原点,即改变了每一个点的坐标,但是抛物线的形状及方向没有变化. 解题关键解题关键 解决本题的关键是发现顶点坐标的变化,进而借助抛物线顶点式写出函数表达式. 一、选择题(每小题2分,共6分) 1.(2020北京通州一模,7)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,2),B(2,3),y=ax2的图象如图所示,则a的值可以为 ( ) A.0.7 B.0.9 C.2 D.2.1 答案
44、答案 B x=-1时,y2,即a3,即4a3,解得a,所以a2.故选B. 3 4 3 4 B组 20182020年模拟提升题组 时间:50分钟 分值:50分 2.(2020北京房山一模,8)已知关于n的函数s=an2+bn(n为自然数),当n=9时,s0.则n取 时,s的值最小.( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案答案 C 函数s=an2+bn(n为自然数),当n=9时,s0,a0,该函数图象开口向上.当s=0 时,n=0或9n10,该函数的对称轴n的值在4.55之间,结合各个选项,当n=5时,s取得的值最小.故选C. 解题关键解题关键 解决本题的关键是通过s0找到s=0时n的范围,进
45、而确定对称轴的位置. 3.(2019北京平谷一模,8)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点A,B,C.现有下面四个推断: 抛物线开口向下; 当x=-2时,y取最大值; 当max2+bx+c时,x的取值范围是-4xax2+bx+c时,x的取值范围是x0.所以正确的序号 是.故选B. 3 8 5 4 5 3 二、填空题(每小题2分,共8分) 4.(2020北京丰台一模,15)已知函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数), (1)对于任意实数k,函数图象一定经过点(-2,-1)和点 ; (2)对于任意正实数k,当xm时,y随着x的增大而增大,写出一个满足题意的m的值为 . 答
46、案答案 (0,1);0(答案不唯一,m-1即可) 解析解析 (1)y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数). 当x=-2时,y=4k+(2k+1)(-2)+1=-1, 当x=0时,y=0+0+1=1, 对于任意实数k,函数图象一定经过点(-2,-1)和点(0,1), 故答案为(0,1). (2)k为任意正实数,k0. 函数图象开口向上. 函数y=kx2+(2k+1)x+1图象的对称轴为直线x=-=-1-1,在对称轴右侧,y随x的增大而增大, m-1-.故m=0时符合题意,答案不唯一,m-1即可. 21 2 k k 1 2k 1 2k 5.(2020北京海淀二模,16)如图,在平面直角坐标系x
47、Oy中,有五个点A(2,0),B(0,-2),C(-2,4),D(4,-2),E(7,0),将 二次函数y=a(x-2)2+m(m0)的图象记为W.下列的判断中: 点A一定不在W上; 点B,C,D可以同时在W上; 点C,E不可能同时在W上. 所有正确结论的序号是 . 答案答案 解析解析 根据题意可知抛物线的对称轴为直线x=2,可知抛物线经过点(2,m),因为m0,所以一定不经过点 A,正确;若点B,C,D同时在W上,可解得a=,m=-4,正确;将点C,E代入表达式,可解得a=-,m=,错 误.所以正确结论的序号是. 1 2 4 9 100 9 6.(2020北京石景山一模,16)在平面直角坐标系xOy中,函数y1=x(xm)的图象与函数y2=x2(xm)的图象组 成图形G.对于任意实数n,过点P(0,n)且与x轴平行的直线总与图形G有公共点,写出一个满足条件的实数 m的值为 (写出一个即可). 答案答案 答案不唯一,如:1 解析解析 由解得或函数y1=x的图象与函数y2=x2的图象的交点为(0,0)和(1,1),函数y1 =x(x0时,如图. b a b a 当抛物线过点(2
