1、 中考数学 （安徽专用） 第八章 热点题型探究 8.2 观察归纳型 题型一 数式的规律探索题 1.(2020安徽志诚教育十校联盟二模,18)观察下列等式,探究其中的规律:+-1=,+-=, +-=,+-=,. (1)按以上规律写出第个等式: ; (2)猜想并写出第个等式: ; (3)请证明猜想的正确性. 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4 1 2 1 12 1 5 1 6 1 3 1 30 1 7 1 8 1 4 1 56 解析解析 (1)+-=. (2)+-=. (3)证明:左边=, 右边=, 左边=右边, 所以+-=. 1 15 1 16 1 8 1 240 1 2 -1n 1 2n
2、1 n 1 2 (2 -1)nn 22 -1-2(2 -1) 2 (2 -1) nnn nn 1 2 (2 -1)nn 1 2 (2 -1)nn 1 2 -1n 1 2n 1 n 1 2 (2 -1)nn 2.(2020安徽亳州利辛中学二模,18)观察下列等式: 第1个等式:a1= 第2个等式:a2= 第3个等式:a3= 请解答下列问题: (1)按以上规律列出第6个等式:a6= = ; (2)用含有m的代数式表示第m个等式:am= = (m为正整数); (3)求a1+a2+a3+a2 019的值. 1 1 3 1 2 1 1- 3 1 3 5 1 2 1 1 - 3 5 1 5 7 1 2 1
3、 1 - 5 7 解析解析 (1);. (2)am=. (3)原式= = =. 1 11 13 1 2 11 - 11 13 1 (2 -1)(21)mm 1 2 11 - 2 -1 21mm 1 2 11 11111 1-?- 33 54 035 4 0374 037 4 039 1 2 1 1- 4 039 2 019 4 039 3.(2019安徽合肥庐阳二模,18)观察下列不等式: ;. 根据上述规律,解决下列问题: (1)写出第5个不等式: ; (2)写出你猜想的第n个不等式: (用含n的不等式表示); (3)利用上面的猜想,比较和的大小. 2 1 2 1 1 2 2 1 3 1 2
4、 3 2 1 4 1 3 4 2 2 (1) n n 1 n 解析解析 (1).(2分) (2).(5分) (3)解法一:=-, -. 则+,即.(8分) 解法二:=+ =+=, .(8分) 2 1 6 1 5 6 2 1 (1)n 1 (1)nn 1 (1)nn (1)- (1) nn nn 1 n 1 1n 2 1 (1)n 1 n 1 1n 2 1 (1)n 1 1n 1 n 2 2 (1) n n 1 n 2 2 (1) n n 2 1 1 (1) n n 2 1 (1) n n 2 1 (1)n 1 1n 2 1 (1)n 1 1n 1 (1)n n 1 (1) n n n 1 n
5、2 2 (1) n n 1 n 题型二 几何图形中的规律探索题 1.(2020重庆A卷,4,4分)把黑色三角形按如图所示的规律拼图案,其中第个图案中有1个黑色三角形,第 个图案中有3个黑色三角形,第个图案中有6个黑色三角形,按此规律排列下去,则第个图案中 黑色三角形的个数为( ) A.10 B.15 C.18 D.21 答案答案 B 根据规律可知,第个图案中有1个黑色三角形,第个图案中有1+2=3个黑色三角形,第个 图案中有1+2+3=6个黑色三角形,第个图案中有1+2+3+4=10个黑色三角形,第个图案中有1+2+3+4+ 5=15个黑色三角形,故选B. 2.(2020黑龙江齐齐哈尔,17,
6、3分)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形沿x轴正半轴滚动并且按 一定规律变换,每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点A1(0,2)变换到点A2(6,0),得 到等腰直角三角形;第二次滚动后点A2变换到点A3(6,0),得到等腰直角三角形;第三次滚动后点A3变 换到点A4(10,4),得到等腰直角三角形;第四次滚动后点A4变换到点A5(10+12,0),得到等腰直角三 角形;依此规律,则第2 020个等腰直角三角形的面积是 . 22 答案答案 22 020 解析解析 可令等腰直角三角形的直角边长为a1,等腰直角三角形的直角边长为a2,依此类推. 由A1(0,2),A2(6,
7、0),A3(6,0),A4(10,4)推出a1=2,a2=(6-2)=2,a3=10-6=4,a4=4, 解法一:由此可发现从a1=2开始,后一个等腰直角三角形的直角边长是前一个的倍,因此a2 020=2()2 019 =()2 021, 设第2 020个等腰直角三角形的面积为S2 020. S2 020= =()2 0212=22 021=22 020. 解法二:令第n个等腰直角三角形的面积为Sn, 则S1=22=2, S2=(2)2=8=4=22, S3=42=16=8=23, 2 2 2 22 22 2 1 2 2 2 020 a 1 2 2 1 2 1 2 2 1 a 1 2 1 2
8、2 2 a 1 2 2 1 2 1 2 2 3 a 1 2 1 2 S2 020=22 020. 解题关键解题关键 本题考查等腰直角三角形的性质及面积表示,属于几何图形的规律探究类型问题,解决本题 的关键在于根据A点经过滚动、变换后的坐标确定出对应的等腰直角三角形的直角边长,由特殊得出一 般规律,从而根据等腰直角三角形的面积公式:S=a2(其中a为直角边长)求得面积.熟练掌握等腰直角三 角形直角边长与斜边长之比为1,可以快速确定直角边长,事半功倍. 1 2 2 3.(2020安徽无为三模,19)下图中每个小正方形的边长均为1,观察图中正方形的面积与等式关系,完成后 面的问题: (1)根据你发现
9、的规律,在(nn)图的后面的横线上填上所对应的等式,并证明等式成立; (2)利用上述规律,求1+2+3+(n-1); (3)利用(2)的结论求10+11+12+13+99的值. 解析解析 (1)n2-(n-1)2=1+2(n-1).(2分) 证明:左边=n2-(n2-2n+1)=n2-n2+2n-1=2n-1, 右边=1+2n-2=2n-1,左边=右边, 等式成立.(4分) (2)把所有的等式相加得(22-12)+(32-22)+(42-32)+n2-(n-1)2 =(1+21)+(1+22)+(1+23)+1+2(n-1), n2-1=n-1+21+2+3+(n-1), 1+2+3+(n-1
10、)=.(8分) (3)10+11+12+13+99 =(1+2+3+99)-(1+2+3+9) =- =4 950-45=4 905.(10分) 2- 2 n n 2 100 -100 2 2 10 -10 2 4.(2020安徽安庆二模,18)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的,请根据排列规律完成下 列问题: (1)填写下表: 图形序号 菱形个数(个) 3 7 (2)根据表中规律猜想,图中菱形的个数为 (用含n的式子表示); (3)是否存在一个图形恰好由111个菱形组成?若存在,求出图的序号;若不存在,请说明理由. 解析解析 (1)13;21. (2)图中菱形的个数为n2+n+1
11、. (3)存在. n2+n+1=111, 解得n1=10,n2=-11(舍去). 故存在,图的序号为. 5.(2018安徽名校大联考,16)如图,下列每个图案均由若干个边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成, 探究规律,解答问题. (1)请根据你的探究直接写出:第10个图案中共有 个小正方形,第n个图案中共有 个小 正方形; (2)是否存在有37个小正方形的图案?若存在,请求出是第几个图案;若不存在,请说明理由. 解析解析 (1)56;+1. 详解:观察发现:第1个图案有1+1=2个小正方形; 第2个图案有1+2+1=4个小正方形; 第3个图案有1+2+3+1=7个小正方形; 第4个图案有1+
12、2+3+4+1=11个小正方形; 第10个图案有1+2+3+4+10+1=56个小正方形; 第n个图案有1+2+3+4+n+1=+1个小正方形. (2)存在.理由如下: 令+1=37, 解得n=-9(舍去)或n=8, 存在有37个小正方形的图案,是第8个图案. (1) 2 n n 2 2 2 nn 或 (1) 2 n n (1) 2 n n 6.(2018安徽合肥包河一模,19)如图,每个图形都可以看成由上下左右4个等腰梯形组成,而每个等腰梯形 又由若干个更小的全等正方形和全等等腰直角三角形组成,且等腰直角三角形的面积正好是小正方形 面积的一半,设小正方形的面积为1,则第1个图形的面积为4=1
13、6,第2个图形的面积为4 =30,第3个图形的面积为4=48,. 1 2 14 2 1 5 15 2 1 9 16 2 根据上述规律,解答下列问题: (1)第4个图形的面积为4= , 第5个图形的面积为4= ; (2)第n个图形的面积为4 1+ (用含n的式子填空); (3)上面的图形还可以看成是一个大正方形减去正中间1个小正方形(阴影部分),则第1个图形的面积为(3 )2-2,第2个图形的面积为(4)2-2,第3个图形的面积为(5)2-2,. 根据这个规律,完成下列问题: 第n个图形的面积为 -2(用含n的式子填空); 比较两个猜想,写出你发现的结论并验证. 1 1 2 1 1 2 1 2
14、22 2 解析解析 (1)14;7;70;20;8;96. (2)2+3+4+(n+1);(n+3). (3)(n+2)2. 4=(n+2)2-2. 证明:右边=2n2+8n+6, 左边=2(1+2+3+n)+(n+n-1+n-2+1)+2n+2(n+3)=2n(n+1)+2n+2(n+3)=2n2+8n+6, 左边=右边, 即4 =(n+2)2-2. 2 1 (234?1) 1(3) 2 nnn 2 1 (234?1) 1(3) 2 nnn 2 1.(2020湖北武汉,10,3分)下列图中所有小正方形都是全等的.图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形 纸片,图(2)是一张由6个小正方形组
15、成的32方格纸片. 把“L”形纸片放置在图(2)中,使它恰好盖住其中的4个小正方形,共有如图(3)中的4种不同放置方法.图 (4)是一张由36个小正方形组成的66方格纸片,将“L”形纸片放置在图(4)中,使它恰好盖住其中的4个 小正方形,共有n种不同放置方法,则n的值是( ) 题型三 阅读理解类规律探索题 A.160 B.128 C.80 D.48 答案答案 A 把4个小正方形组成的“L”形纸片放到32方格纸片上,使它恰好盖住其中的4个小正方形 有4种放置方法,放到42方格纸片上,使它恰好盖住其中的4个小正方形有24种放置方法,放到52方格 纸片上,使它恰好盖住其中的4个小正方形有34种放置方
16、法,放到62方格纸片上,使它恰好盖住其中的4 个小正方形有(6-2)4种放置方法,而将62方格纸片放到66方格纸片上,使它恰好盖住其中的12个小正 方形有5+5=10种放置方法,故把4个小正方形组成的“L”形纸片放到66方格纸片上,使它恰好盖住其 中的4个小正方形有(6-2)410=160种放置方法,故选A. 规律总结规律总结 对于图形变化类的规律题,首先应找出图形哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的;其 次,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解,在探寻规律时要认真观察、仔细思考,同时要 善用联想帮助解决这类问题. 2.(2018山东青岛,23,10分)问题提出:用若干相同的一个
17、单位长度的细直木棒,按照下图方式搭建一个长 方体框架,探究所用木棒条数的规律. 问题探究: 我们先从简单的问题开始探究,从中找出解决问题的方法. 探究一 用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n的矩形框架(m、n是正整数),需要木棒的条数. 如图,当m=1,n=1时,横放木棒为1(1+1)条,纵放木棒为(1+1)1条,共需4条; 如图,当m=2,n=1时,横放木棒为2(1+1)条,纵放木棒为(2+1)1条,共需7条; 如图,当m=2,n=2时,横放木棒为2(2+1)条,纵放木棒为(2+1)2条,共需12条; 如图,当m=3,n=1时,横放木棒为3(1+1)条,纵放木棒为(3+1)1条,共需10条;
18、如图,当m=3,n=2时,横放木棒为3(2+1)条,纵放木棒为(3+1)2条,共需17条. 问题(一):当m=4,n=2时,共需木棒 条. 问题(二):当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为 条,纵放的木棒为 条. 探究二 用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n,高是s的长方体框架(m、n、s是正整数),需要木棒的条数. 如图,当m=3,n=2,s=1时,横放与纵放木棒之和为3(2+1)+(3+1)2(1+1)=34条,竖放木棒为(3+1)(2+ 1)1=12条,共需46条; 如图,当m=3,n=2,s=2时,横放与纵放木棒之和为3(2+1)+(3+1)2(2+1)=51条,竖放木棒为(3+
19、1)(2+ 1)2=24条,共需75条; 如图,当m=3,n=2,s=3时,横放与纵放木棒之和为3(2+1)+(3+1)2(3+1)=68条,竖放木棒为(3+1)(2+ 1)3=36条,共需104条. 问题(三):当长方体框架的横长是m,纵长是n,高是s时,横放与纵放木棒条数之和为 条,竖放木棒条数为 条. 实际应用:现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,则 这个长方体框架的横长是 . 拓展应用:若按照下图方式搭建一个底面边长是10,高是5的正三棱柱框架,需要木棒 条. 解析解析 问题(一):当m=4,n=2时,共需木棒4(2+1)+(4+1)2=
20、12+10=22条. 问题(二):当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为m(n+1)条,纵放的木棒为n(m+1)条. 问题(三):由题图探索发现:横放与纵放木棒条数之和为m(n+1)+(m+1)n(s+1)条,竖放木棒条数为 s(m+1)(n+1)条. 实际应用:按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,设这个 长方体框架的横长是x,根据规律可得2(x+1)+x(2+1)(4+1)+4(2+1)(x+1)=170,解得x=4, 所以这个长方体框架的横长是4. 拓展应用:若按照如题图方式搭建一个底面边长是10,高是5的正三棱柱框架,每层三角形从左到右的个 数=1+2+3+4+5+10,有两个腰,腰的总个数=2(1+2+3+4+5+10),共有6层,则需要横放与纵放木棒 条数之和=6(1+2)(1+2+3+4+5+10)=990条,竖放木棒条数=5(1+2+3+4+5+10+11)=330条,故总 共需要木棒990+330=1 320条.
