1、 中考数学 （安徽专用） 第三章 函数与图象 3.3 反比例函数 考点一 反比例函数的图象与性质 20162020年全国中考题组 1.(2020海南,9,3分)下列各点中,在反比例函数y=图象上的点是( ) A.(-1,8) B.(-2,4) C.(1,7) D.(2,4) 8 x 答案答案 D 横、纵坐标之积是8的点在反比例函数y=的图象上,故选D. 8 x 2.(2020河南,6,3分)若点A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( ) A.y1y2y3 B.y2y3y1 C.y1y3y2 D.y3y2y1 6 x 答案答
2、案 C 把A、B、C各点的横坐标分别代入y=-,得y1=6,y2=-3,y3=-2,所以y1y3y2,故选C. 6 x 3.(2019安徽,5,4分)已知点A(1,-3)关于x轴的对称点A在反比例函数y=的图象上,则实数k的值为( ) A.3 B. C.-3 D.- k x 1 3 1 3 答案答案 A 点A关于x轴的对称点A(1,3)在反比例函数y=的图象上,则3=,k=3,故选A. k x1 k 4.(2019河北,12,2分)如图,函数y=的图象所在坐标系的原点是( ) A.点M B.点N C.点P D.点Q 1 (0), 1 -(0) x x x x 答案答案 A 当x0时,y=0,y
3、=(x0)的图象在第一象限,当x0,y=-(x0)的图象在第二象限, 所以坐标系的原点应为点M,故选A. 1 x 1 x 1 x 1 x 5.(2018天津,9,3分)若点A(x1,-6),B(x2,-2),C(x3,2)在反比例函数y=的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是( ) A.x1x2x3 B.x2x1x3 C.x2x3x1 D.x3x20,此函数的图象在第一、三象限,在每一象限内y随x的增大而 减小.-6-202,x2x1x3.故选B. 12 x 6.(2019天津,10,3分)若点A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3
4、的大小关系是 ( ) A.y2y1y3 B.y3y1y2 C.y1y2y3 D.y3y2y1 12 x 答案答案 B 将A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)分别代入反比例函数y=-中,得y1=-=4,y2=-=6,y3=-=-12,所以 y3y1-1时,y8.其中错误的结论有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 8 x 答案答案 B 把(-2,4)代入y=-成立,故正确;k=-80,所以反比例函数的图象在二、四象限内,故正确; 双曲线在每一象限内y随x的增大而增大,故错误;当-1x8,而当x0时,y0)相交于点A,点B,过点A作AC y轴,垂足为C.连接BC.若ABC的
5、面积为8,则k= . k x 答案答案 8 解析解析 设点A(a,b)(a0,b0),则点B(-a,-b),所以AC=a,点B到直线AC的距离是2b,则SABC=a2b=ab=8,将 点A的坐标代入反比例函数表达式可得k=ab=8. 1 2 思路分析思路分析 由反比例函数的性质易知点A与点B关于原点对称,可设点A(a,b),则点B(-a,-b),然后根据 ABC的面积为8可求ab,将点A的坐标代入反比例函数表达式可得k=ab,问题解决. 9.(2019山西,14,3分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上,点 A的坐标为(-4,0),点D的坐标为(-1
6、,4),反比例函数y=(x0)的图象恰好经过点C,则k的值为 . k x 答案答案 16 解析解析 过点D作DEAB于点E, 则AD=5, 四边形ABCD为菱形, CD=5, C(4,4),将C点坐标代入y=得4=, k=16. k x4 k 10.(2019内蒙古包头,19,3分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(0,2),将ABO沿直线AB翻折后得 到ABC,若反比例函数y=(x0)的图象过格点(网格线的交点)P. (1)求反比例函数的解析式; (2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件: 四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是
7、点O,点P; 矩形的面积等于k的值. k x 解析解析 (1)点P(2,2)在反比例函数y=(x0)的图象上, =2,即k=4.反比例函数的解析式为y=.(3分) (2)(答案不唯一,正确画出两个矩形即可)(9分) 举例:如图,矩形OAPB,矩形OPCD. k x 2 k4 x 考点二 反比例函数与一次函数的综合应用 1.(2019江西,5,3分)已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4),下列说法正确的是 ( ) A.反比例函数y2的解析式是y2=- B.两个函数图象的另一交点坐标为(2,-4) C.当x-2或0x2时,y1y2 D.正比例函数y1与反比例函数y2都随
8、x的增大而增大 8 x 答案答案 C 设反比例函数的解析式为y2=,k0,将点A(2,4)代入,得4=,k=8,所以反比例函数的解析式为 y2=,故A选项错误;易知反比例函数图象和正比例函数图象的交点关于原点中心对称,所以另一个交点 坐标为(-2,-4),故B选项错误;y1和y2的大致图象如图: 结合函数图象,可知当x-2或0x2时,y10,a0,且公共点的坐标为 (1,b),代入抛物线方程可得b=a+b+c,所以c=-a,所以一次函数为y=bx-a2,其图象过第一、三、四象限,故选 B. 思路分析思路分析 由抛物线与反比例函数的图象在第一象限有一个公共点可判断b0,a0,由公共点的横坐 标为
9、1可得公共点坐标为(1,b),代入抛物线方程可得a,c的关系,从而判断一次函数的图象. 解题关键解题关键 通过公共点坐标(1,b)得出c=-a是解题的关键. 3.(2020内蒙古包头,11,3分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B,C是 线段AB上一点,过点C作CDx轴,垂足为D,CEy轴,垂足为E,SBECSCDA=41,若双曲线y=(x0)经过 点C,则k的值为 ( ) A. B. C. D. 3 2 k x 4 3 3 4 2 5 5 2 答案答案 A 由题意知四边形EODC是矩形.已知y=-x+3,令x=0,得y=3,B(0,3),OB=3, 令y
10、=0,则-x+3=0,解得x=2,A(2,0), CDx轴,CDy轴,ACD=CBE,又CDA=BEC, BECCDA, SBECSCDA=41, BECD=21,又OB=3, CD=1, 将y=1代入y=-x+3,得-x+3=1,解得x=, C, 将C代入y=(x0)得,1=,解得k=. 3 2 3 2 3 2 3 2 4 3 4 ,1 3 4 ,1 3 k x 4 3 k 4 3 4.(2020安徽,13,5分)如图,一次函数y=x+k(k0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B,与反比例函数y= 的图象在第一象限内交于点C,CDx轴,CEy轴,垂足分别为点D,E.当矩形ODCE与OAB的
11、面积相等 时,k的值为 . k x 答案答案 2 解析解析 由一次函数表达式易得A(-k,0),B(0,k), OAB的面积S1=k2.CDx轴,CEy轴,矩形ODCE的面积S2=xCyC=k,S1=S2,k2=k,k=2(k=0 舍去). 1 2 1 2 5.(2020北京,13,2分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与双曲线y=交于A,B两点.若点A,B的纵坐标分别 为y1,y2,则y1+y2的值为 . m x 答案答案 0 解析解析 根据题意可知直线y=x和双曲线y=的交点为(-,-), (,),所以y1+y2=-+=0. m x mmmmmm 一题多解一题多解 已知直线y=x和双曲
12、线y=都关于原点对称,所以它们的交点也关于原点对称,所以两交点的 纵坐标互为相反数,所以y1+y2=0. m x 6.(2018安徽,13,5分)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2,m),ABx轴于点B.平 移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是 . 6 x 答案答案 y=x-3 3 2 解析解析 将点A的坐标代入y=,可得m=3,将A(2,3)代入y=kx,可得k=,因为ABx轴,所以点B(2,0),由平移 可得直线l对应的函数表达式为y=(x-2)=x-3. 6 x 3 2 3 2 3 2 思路分析思路分析 先把点A的坐标代入y=得
13、m的值,然后求k的值,由ABx轴得点B的坐标,从而由平移及直线l 过点B得直线l对应的函数表达式. 6 x 7.(2016安徽,20,10分)如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4, 3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB. (1)求函数y=kx+b和y=的表达式; (2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC.求此时点M的坐标. a x a x 解析解析 (1)将A(4,3)代入y=,得3=,则a=12.(2分) OA=5. 由于OA=OB且B在y轴负半轴上,所以B(0,-5), 将A(4,3)、B(0,-5)代入y=
14、kx+b,得解得 故所求函数表达式分别为y=2x-5和 y=.(6分) (2)因为MB=MC,所以点M在线段BC的中垂线上,即x轴上.又因为点M在一次函数的图象上,所以M为一次 函数图象与x轴的交点.令2x-5=0,解得x=. 所以点M的坐标为.(10分) a x4 a 22 43 34, -5, kb b 2, -5. k b 12 x 5 2 5 ,0 2 难点突破难点突破 由(1)及已知可知点B、C关于原点对称,所以第(2)问的突破口是x轴 恰好是线段BC的垂直平分线,要满足点M在一次函数的图象上,则点M必为一次 函数图象与x轴的交点. 8.(2019贵州贵阳,22,10分)如图,已知一
15、次函数y=-2x+8的图象与坐标轴交于A,B两点,并与反比例函数y= 的图象相切于点C. (1)切点C的坐标是 ; (2)若点M为线段BC的中点,将一次函数y=-2x+8的图象向左平移m(m0)个单位后,点C和点M平移后的对 应点同时落在另一个反比例函数y=的图象上时,求k的值. 8 x k x 解析解析 (1)令-2x+8=,得x2-4x+4=0(x0),解得x1=x2=2,则y=4,切点C的坐标为(2,4).故填(2,4). (2)由(1)可知C(2,4), 直线y=-2x+8与x轴交于点B, B(4,0), 线段BC的中点M(3,2). 直线AB向左平移m(m0)个单位, 点C平移后的对
16、应点的坐标为(2-m,4), 点M平移后的对应点的坐标为(3-m,2), 平移后的对应点同时落在反比例函数y=的图象上, 解得 k的值是4. 8 x k x 2(3- ), 4(2- ), mk mk 1, 4. m k 思路分析思路分析 (1)联立两个解析式求出点C的坐标;(2)首先求出平移后点C和点M对应点的坐标(用含m的代 数式表示横坐标),然后根据两点落在另一反比例函数图象上列出二元一次方程组,求出m和k的值. 方法指导方法指导 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题 的关键. 9.(2019辽宁大连,22,9分)如图,在平面直角坐标系xOy
17、中,点A(3,2)在反比例函数y=(x0)的图象上,点B在 OA的延长线上,BCx轴,垂足为C,BC与反比例函数的图象相交于点D,连接AC,AD. (1)求该反比例函数的解析式; (2)若SACD=,设点C的坐标为(a,0),求线段BD的长. k x 3 2 解析解析 (1)将(3,2)代入y=中,得2=,解得k=6,所以该反比例函数的解析式为y=(x0). (2)过A作AEBC于点E,延长EA交y轴于点F, 点A的坐标为(3,2), AF=3, BCx轴,点C的坐标为(a,0), 点D的坐标为,AE=a-3. SACD=CD AE= (a-3)=, a=6,经检验,a=6是上述分式方程的解.
18、 点D的坐标为(6,1). 设OA所在直线的解析式为y=mx(m0), 将(3,2)代入,得2=3m,解得m=, k x3 k6 x 6 , a a 1 2 1 2 6 a 3 2 2 3 OA所在直线的解析式为y=x, 当x=6时,y=6=4. 点B的坐标为(6,4). BD=3. 2 3 2 3 10.(2018四川成都,19,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0),与反比 例函数y=(x0)的图象交于B(a,4). (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)设M是直线AB上一点,过M作MNx轴,交反比例函数y=(x0)的图象于点N,若以A
19、,O,M,N为顶点的四 边形为平行四边形,求点M的坐标. k x k x 解析解析 (1)一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0), -2+b=0,b=2, 一次函数的表达式为y=x+2, 一次函数的图象与反比例函数y=(x0)的图象交于B(a,4), a+2=4,a=2,B(2,4), 反比例函数的表达式为y=. (2)设M(m-2,m),N,m0. 当MNAO且MN=AO时,以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形. 故=2且m0, 解得m=2或m=2+2, M的坐标为(2-2,2)或(2,2+2). k x 8 x 8 ,m m 8 -( -2)m m 23 2233 考点三 反比
20、例函数的实际应用 1.(2019浙江温州,6,4分)验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)的对应数据如下表. 根据表中数据,可得y关于x的函数表达式为( ) 近视眼镜的度 数y(度) 200 250 400 500 1 000 镜片焦距x(米) 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 A.y= B.y= C.y= D.y= 100 x100 x400 x400 x 答案答案 A 由题表中的数据可以发现,y随x的增大而减小,且x与y的乘积是常量,即k=xy=2000.5=100,故 由反比例函数的定义可知,y是关于x的反比例函数,表达式为y=.故选A. 100 x
21、2.(2020云南昆明,19,8分)为了做好校园疫情防控工作,校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒 消毒,她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19 min,完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11 min. (1)校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间? (2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度y(单位:mg/m3)与时间x(单位:min)的函数关系如图所示.校医进 行药物喷洒时y与x的函数关系式为y=2x,药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系,两个函数图象的交点 为A(m,n).当教室空气中的药物浓度不高于1 mg/m3时,对人体健康无危害.校医依次对一班至十一班教室 (共
22、11间)进行药物喷洒消毒,当她把最后一间教室药物喷洒完成后,一班学生能否进入教室?请通过计算 说明. 解析解析 (1)设校医完成一间办公室的药物喷洒要a min,一间教室的药物喷洒要b min.(1分) 根据题意得(3分) 解得(4分) 答:校医完成一间办公室的药物喷洒要3 min,一间教室的药物喷洒要5 min.(5分) (2)由(1)得,m=5,则n=25=10, A(5,10), 设药物喷洒完成后y与x的函数解析式为y=(k0), 则10=,解得k=50, y=(x5),(7分) 3219, 211, ab ab 3, 5. a b k x 5 k 50 x 当y1时,即1,解得x50,
23、 115=55 min50 min, 当校医把最后一间教室药物喷洒完成后,一班学生能进入教室.(8分) 50 x 3.(2018河北,26,11分)下图是轮滑场地的截面示意图,平台AB距x轴(水平)18米,与y轴交于点B,与滑道y= (x1)交于点A,且AB=1米.运动员(看成点)在BA方向获得速度v米/秒后,从A处向右下飞向滑道,点M是下 落路线的某位置.忽略空气阻力,实验表明:M,A的竖直距离h(米)与飞出时间t(秒)的平方成正比,且t=1时h =5;M,A的水平距离是vt米. (1)求k,并用t表示h; (2)设v=5.用t表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求y与x的关系式(不写x的取值范
24、围),及y=13时运动员与正 下方滑道的竖直距离; (3)若运动员甲、乙同时从A处飞出,速度分别是5米/秒、v乙米/秒.当甲距x轴1.8米,且乙位于甲右侧超过4. 5米的位置时,直接写出t的值及v乙的范围. k x 解析解析 (1)由题意,得点A的坐标为(1,18),代入y=,得18=, k=18; 设h=at2(a0),把t=1,h=5代入,得a=5, h=5t2. (2)v=5,AB=1,x=5t+1; h=5t2,OB=18,y=-5t2+18; 由x=5t+1,得t=(x-1). y=-(x-1)2+18或y=-x2+x+; 当y=13时,13=-(x-1)2+18,解得x=6或-4.
25、 x1,只取x=6. 把x=6代入y=,得y=3. k x1 k 1 5 1 5 1 5 2 5 89 5 1 5 18 x 运动员与正下方滑道的竖直距离是13-3=10(米). (3)t=1.8;v乙7.5. 【注:下面是(3)的一种解法: 把y=1.8代入y=-5t2+18,得t2=3.24, t=1.8(舍去负值).从而x=10. 甲的坐标为(10,1.8),恰好落在滑道y=上, 此时乙的坐标为(1+1.8v乙,1.8). 由题意,得1+1.8v乙-(1+51.8)4.5,v乙7.5】 81 25 即 18 x 思路分析思路分析 (1)把点A的坐标代入y=得出k值,设h=at2(a0),
26、利用待定系数法即可求解;(2)根据题意分别 用t表示x、y,再把t=(x-1)代入消去t得y与x之间的关系式,令13=-(x-1)2+18,解得x=6(舍去负值),进一步 把x=6代入y=求出y=3,最后求得运动员与正下方滑道的竖直距离;(3)求出甲距x轴1.8米时的横坐标及 用v乙表示的乙距x轴1.8米时的横坐标,根据题意列出不等式求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙的范围. k x 1 5 1 5 18 x 解题关键解题关键 本题是函数的综合题,准确理解题意,梳理所涉及的变量,并熟练掌握待定系数法求函数解析 式是解题的关键. 方法指导方法指导 利用二次函数解决实际问题:1.根据题目中直接给出
27、或间接给出的变量关系得到符合题意 的二次函数解析式;2.二次函数的应用题往往最终转化为计算函数值或自变量的值来解答. 考点一 反比例函数的图象与性质 教师专用题组 1.(2018辽宁沈阳,9,2分)点A(-3,2)在反比例函数y=(k0)的图象上,则k的值是( ) A.-6 B.- C.-1 D.6 k x 3 2 答案答案 A 把代入y=,得2=,k=-6. -3, 2 x y k x-3 k 2.(2019吉林长春,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,RtABC的顶点A、C的坐标分别为(0,3),(3,0),ACB =90,AC=2BC,函数y=(k0,x0)的图象经过点B,则k的值为(
28、) A. B.9 C. D. k x 9 2 27 8 27 4 答案答案 D 过点B作BDx轴于点D,易得AOCCDB.AC=2BC,相似比为21,于是可得BD=CD =.OD=3+=,B,k=. 3 2 3 2 9 2 9 3 , 2 2 9 2 3 2 27 4 思路分析思路分析 过点B作x轴的垂线,构造两个相似的三角形,利用相似比求出边长,进而求出点B的坐标,最后 可得k的值. 解后反思解后反思 直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质和判定以及反比例函数图象上点的坐标 特征是解决问题的必备知识,恰当地将线段的长与坐标互相转化,使问题得以解决. 3.(2020山西,7,3分)已知点
29、A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数y=(k0)的图象上,且x1x20y1y3 B.y3y2y1 C.y1y2y3 D.y3y1y2 k x 答案答案 A k0,当x0,当x0时,y随x的增大而增大且y0,又x1x2y10,x30,y3y1y3,故选A. 思路分析思路分析 根据k0得反比例函数y=的图象在第二、四象限,并在各自象限内y随x的增大而增大,然后 根据x1x20分别得出y2y10和y30,问题解决. k x 4.(2020天津,10,3分)若点A(x1,-5),B(x2,2),C(x3,5)都在反比例函数y=的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是 (
30、) A.x1x2x3 B.x2x3x1 C.x1x3x2 D.x3x1x2 10 x 答案答案 C 点A(x1,-5),B(x2,2),C(x3,5)在反比例函数y=的图象上,x1=-2,x2=5,x3=2,又-2 25,x1x30,x0)的图象经过AE上的两点A,F,且AF=EF, ABE的面积为18,则k的值为( ) A.6 B.12 C.18 D.24 k x 答案答案 B 连接BD,AD平分OAE,OAD=EAD, 四边形ABCD是矩形,OA=OD,ODA=OAD, ODA=EAD,BDAE, AOE与ABE的面积相等,为18, 又AF=EF,OEF的面积为9,设F, F为AE的中点且
31、A点在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,A,过A作AMx轴交于M,过F作 FNx轴交于N,则OM=,MN=, 又AF=EF,MN=NE, OFN的面积为OEF面积的,为6, k=2SOFN=12. , k a a k x 2 , 2 ak a 2 a 2 a 2 3 6.(2019重庆A卷,9,4分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上,对角线BD x轴,反比例函数y=(k0,x0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0),D(0,4), 则k的值为( ) A.16 B.20 C.32 D.40 k x 答案答案 B 点D(0,4),DBx轴, 点B的
32、纵坐标为4,设点B的坐标为(a,4). 由点A(2,0),点D(0,4)可知OA=2,OD=4, AD=,AB=,DB=a. 四边形ABCD是矩形, DAB=90. 在RtDAB中,DA2+AB2=DB2, ()2+2=a2, 解得a=10. 点B的坐标为(10,4).四边形ABCD是矩形,点E为DB的中点.点E的坐标为(5,4). 22 2420 22 ( -2)4a 20 22 ( -2)4a 将点E(5,4)代入y=中,得k=20,故选B. k x 思路分析思路分析 由DBx轴,可得点B的纵坐标和点D的纵坐标相同,故可设点B(a,4).在RtDAB中,可用勾股 定理列出关于a的方程,解得
33、a的值.由于点E为DB的中点,故可求出点E的坐标,将点E的坐标代入y=中, 便可求出k的值. k x 7.(2018重庆A卷,11,4分)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B在反比例函数y=(k0,x0)的 图象上,横坐标分别为1,4,对角线BDx轴.若菱形ABCD的面积为,则k的值为( ) A. B. C.4 D.5 k x 45 2 5 4 15 4 答案答案 D 连接AC,设AC与BD、x轴分别交于点E、F. 已知A、B的横坐标分别为1,4, BE=3,BD=6. 四边形ABCD为菱形, S菱形ABCD=AC BD=,即AC6=, AC=,AE=. 1 2 45 2 1 2
34、 45 2 15 2 15 4 设点B的坐标为(4,m),则A点坐标为. 点A、B都在函数y=的图象上, 4m=1,m=. B点坐标为,k=5,故选D. 15 1, 4 m k x 15 4 m 5 4 5 4, 4 8.(2019云南,4,3分)若点(3,5)在反比例函数y=(k0)的图象上,则k= . k x 答案答案 15 解析解析 把点(3,5)代入y=中,得5=,k=15. k x3 k 9.(2019陕西,13,3分)如图,D是矩形AOBC的对称中心,A(0,4),B(6,0).若一个反比例函数的图象经过点D,交 AC于点M,则点M的坐标为 . 答案答案 3 ,4 2 解析解析 点
35、D是矩形AOBC的对称中心,A(0,4),B(6,0),点D是AB的中点,点D的坐标为(3,2),设反比例 函数解析式为y=(k0),把(3,2)代入得k=6.点M的纵坐标与点A的纵坐标相同,为4,令4=,得x=,点M 的坐标为. k x 6 x 3 2 3 ,4 2 思路分析思路分析 首先根据矩形的对称性求出点D的坐标为(3,2),进而求出反比例函数解析式,最后根据点M的 纵坐标与点A的纵坐标相同,求出点M的坐标. 方法指导方法指导 解答反比例函数与几何图形相结合问题的常用方法是由点的坐标求相关线段的长度,根据 相关线段的长度求点的坐标. 10.(2019福建,16,4分)如图,菱形ABCD
36、的顶点A在函数y=(x0)的图象上,函数y=(k3,x0)的图象关于 直线AC对称,且过B,D两点.若AB=2,BAD=30,则k= . 3 x k x 答案答案 6+2 3 解析解析 连接AC,过B作BFx轴于F,过A作AMBF于M.如图. 由双曲线的对称性可知,点A,C是第一象限角平分线上的点,即xA=yA,=3,即xA=,A(,). 根据题意可得CAM=45, BAC=BAD=30=15, BAM=30,BM=AB=2=1. AM=. 2 A x333 1 2 1 2 1 2 1 2 22 -AB BM 2 2 -13 B(2,1+). k=2(1+)=6+2. 33 333 疑难突破疑
37、难突破 本题的突破口是得到CAM=45,能将点的坐标转化为线段长,构建含30角的RtABM. 11.(2019山东潍坊,15,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,顶点A,B分别在反比例函数y=(x0)与y=(x0)与y=(x0)经过点D,则OB BE的值为 . 3 2x 答案答案 3 解析解析 根据题意得,矩形ABCD的顶点B在双曲线y=上,顶点A,C在双曲线y=-上.设AB与x轴交于 点M,BC与y轴交于点N,则SAMO=SCNO=,S矩形BMON=, SABC=3. OB=BD=AC,BEAC, SABC=BE AC=BE 2OB=3,即OB BE=3. 3 2x 3 2x 3 4 3
38、 2 1 2 1 2 1 2 1 2 14.(2018贵州贵阳,12,4分)如图,过x轴上任意一点P作y轴的平行线,分别与反比例函数y=(x0),y=-(x 0)的图象交于A点和B点,若C为y轴上任意一点,连接AC,BC,则ABC的面积为 . 3 x 6 x 答案答案 9 2 解析解析 解法一:设点P(m,0),可得点A,B, AB=+=, SABC= m=. 解法二:如图,连接OA,OB, ABy轴, SABC=SABO=SAPO+SBPO=+=. 3 ,m m 6 ,-m m 3 m 6 m 9 m 1 2 9 m 9 2 3 2 6 2 9 2 15.(2020吉林,21,7分)如图,在
39、平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A,B在函数y=(x0)的图象上(点B的横 坐标大于点A的横坐标),点A的坐标为(2,4),过点A作ADx轴于点D,过点B作BCx轴于点C,连接OA,AB. (1)求k的值; (2)若D为OC中点,求四边形OABC的面积. k x 解析解析 (1)把A(2,4)代入,得4=. 解得k=8.(3分) (2)点A的坐标是(2,4), OD=2,AD=4. D为OC的中点, OC=2OD=4.(4分) 当x=4时,y=2, 点B的坐标是(4,2), BC=2.(5分) S四边形OABC=SAOD+S四边形ABCD =24+(2+4)2 =10. 2 k 8 4 1
40、2 1 2 四边形OABC的面积是10.(7分) 思路分析思路分析 (1)将点A的坐标代入y=,可得k值; (2)将点C的横坐标代入反比例函数的解析式可得点B的坐标,利用三角形和梯形的面积公式可得结果. k x 16.(2019甘肃兰州,23,7分)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=(k0)的图象过等边三角形 BOC的顶点B,OC=2,点A在反比例函数图象上,连接AC,AO. (1)求反比例函数y=(k0)的表达式; (2)若四边形ACBO的面积是3,求点A的坐标. k x k x 3 解析解析 (1)OC=2,且BOC为等边三角形, B(-1,-),k=(-1)(-)=, 反比例
41、函数表达式为y=. (2)S四边形ACBO=SBOC+SAOC,过点A作ANx轴于点N. SBOC=OC2=,+SAOC=3, SAOC=2,即OC AN=2,又OC=2,AN=2, 设A(t,2),2t=,t=, 即点A的坐标为. 333 3 x 3 4 333 3 1 2 33 333 1 2 1 ,2 3 2 思路分析思路分析 (1)根据等边三角形的性质及OC=2可求点B的坐标,再代入反比例函数的表达式即可求k;(2) 由四边形ACBO的面积等于三角形BOC与三角形AOC的面积之和,可得三角形AOC的面积,利用OC=2,可 求点A到x轴的距离,即点A的纵坐标,设出点A坐标,代入反比例函数
42、的表达式求出点A的横坐标,问题得到 解决. 考点二 反比例函数与一次函数的综合应用 1.(2020宁夏,7,3分)如图,函数y1=x+1与函数y2=的图象相交于点M(1,m),N(-2,n).若y1y2,则x的取值范围是 ( ) A.x-2或0x1 B.x1 C.-2x0或0x1 D.-2x1 2 x 答案答案 D 当y1y2时,函数y1=x+1的图象在函数y2=图象的上方,由题图可知x的取值范围是-2x 1,故选D. 2 x 方法总结方法总结 解决这类题的方法就是数形结合,抓住两个图象的交点的横坐标. 2.(2019新疆,15,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=-2x与
43、反比例函数y=的图象交于 A(a,-4),B两点.过原点O的另一条直线l与双曲线y=交于P,Q两点(P点在第二象限),若以点A,B,P,Q为顶 点的四边形面积为24,则点P的坐标是 . k x k x 答案答案 (-4,2)或(-1,8) 解析解析 把y=-4代入y=-2x,解得x=2,点A(2,-4).把A(2,-4)代入y=,解得k=-8,y=-.易知点A与点B关于原 点对称,B点坐标为(-2,4). 反比例函数的图象关于原点O成中心对称,以点A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,SPOB=24 =6.设点P的横坐标为m(m0且m-2),则P. 分别过点P,B作x轴的垂线,垂足为M,N
44、,连接BP. 当m-2时,如图, k x 8 x 1 4 8 ,-m m 点P,B在双曲线上, SPOM=SBON=4, SBON+S梯形PMNB=SPOB+SPOM, S梯形PMNB=SPOB=6, (-2-m)=6, 解得m=-4或m=1(舍去), P(-4,2). 当-2m0)的图象如图所示,而函数y=-x+的图象可由直线y=-x平移得到.请在同一直角坐标系中直 接画出直线y=-x. 4 x2 m 4 x 2 m (3)平移直线y=-x,观察函数图象 当直线平移到与函数y=(x0)的图象有唯一交点(2,2)时,周长m的值为 ; 在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应
45、的周长m的取值范围. (4)得出结论 4 x 若能生产出面积为4的矩形模具,则周长m的取值范围为 . 解析解析 (1)一.(1分) (2)如图.(3分) (3)8.(4分) 把点(2,2)代入y=-x+得2=-2+, 2 m 2 m 解得m=8. 在直线平移过程中,交点个数还有0个,2个两种情况. 当有0个交点时,周长m的取值范围是0m8.(8分) (4)m8.(10分) 解题关键解题关键 本题为运用函数图象解决实际问题型题目,理解函数图象的意义以及图象的性质是根本,根 据直线与双曲线的交点以及交点的个数确定m的值及其取值范围是解题关键. 4.(2018山西,17,8分)如图,一次函数y1=k
46、1x+b(k10)的图象分别与x轴,y轴相交于点A,B,与反比例函数y2= (k20)的图象相交于点C(-4,-2),D(2,4). (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)当x为何值时,y10? (3)当x为何值时,y10,得x+20.(5分) x-2. 当x-2时,y10.(6分) 1 1 -4-2, 24. kb kb 1 1, 2. k b 2 k x 2 2 k 8 x (3)x-4或0xOB)的对角线长为5,周长为1 4.若反比例函数y=的图象经过矩形顶点A. (1)求反比例函数解析式;若点(-a,y1)和(a+1,y2)在反比例函数的图象上,试比较y1与y2的大小; (2)
47、若一次函数y=kx+b的图象过点A并与x轴交于点(-1,0),求出一次函数解析式,并直接写出kx+b-0成 立时,对应x的取值范围. m x m x 解析解析 (1)设A点的坐标为(x,y),则x2+y2=25, (x+y)2-2xy=25, 又x+y=7,xy=12, m=12,反比例函数解析式为y=. 当a-1时,a+100y2; 当-1a-时,0a+1-a,此时y1y2; 当-a0时,0-ay2; 当a0时,-a0a+1,此时y10y2. (2)由题意知A(3,4), 又一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(-1,0), 12 x 1 2 1 2 34, -0, kb kb 解得则一次函数的解析式为y=x+1, 由解得 当kx+b-0时,对应的x的取值范围为x-4或0x3. 1, 1, k b 1, 12 , yx y x
