1、 中考数学 （北京专用） 7.3 实验操作型问题 1.(2020北京,24,6分)小云在学习过程中遇到一个函数y=|x|(x2-x+1)(x-2). 下面是小云对其探究的过程,请补充完整: (1)当-2x0时, 对于函数y1=|x|,即y1=-x,当-2x0; 对于函数y2=x2-x+1,当-2x0; 结合上述分析,进一步探究发现,对于函数y,当-2x0)作平行于x轴的直线l,结合(1)(2)的分析,解决问题:若直线l与函数y=|x|(x2-x+1)(x-2) 的图象有两个交点,则m的最大值是 . 1 6 解析解析 (1)减小;减小;减小.(3分) 详解:在函数y1=-x中, k=-10, 当
2、-2x0时,y1随x的增大而减小. y2=x2-x+1=+, 其图象的对称轴为直线x=, 当-2x0时,y2随x的增大而减小. 综上所述,y=|x|(x2-x+1)在-2x0时,y随x的增大而减小. (2) 2 1 2 x 3 4 1 2 1 6 则m的取值范围是0m, 即最大值为. 7 3 7 3 (4分) (3).(6分) 详解:根据(1),可知当-2x0时,y随x的增大而减小, 当x=-2时,y=, 所以若直线l与函数图象有两个交点, 7 3 7 3 解题关键解题关键 解决第(3)问的关键是根据临界点发现m的取值范围,进而得到最值. 2.(2020北京西城一模,24)如图,在ABC中,A
3、B=4 cm,BC=5 cm.P是上的动点,设A,P两点间的距离为x cm,B,P两点间的距离为y1 cm,C,P两点间的距离为y2 cm. 小腾根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小腾的探究过程,请补充完整: AB (1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值: x/cm 0 1 2 3 4 y1/cm 4.00 3.69 2.13 0 y2/ cm 3.00 3.91 4.71 5.23 5 (2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),点(x,y2),并画出
4、函数y1,y2 的图象; (3)结合函数图象, 当PBC为等腰三角形时,AP的长度约为 cm; 记所在圆的圆心为点O,当直线PC恰好经过点O时,PC的长度约为 cm. AB 解析解析 (1) x/cm 0 1 2 3 4 y1/cm 3.09 y2/ cm (2)画出函数y1的图象. (3)答案不唯一,如: 0.83或2.49. 5.32. 提示:当PBC为等腰三角形时,能够满足的条件有BP=CP,或者CP=BC, 或者BP=BC(BP最多是4,BC=5,此种情况排除),借助图象来看,x=0.83时,BP=CP; x=2.49时CP=BC=5(CP有两次等于5的情况,但是当x=4,CP=5时,
5、三角形不存在,舍去). 圆外一点到圆上所有点的连线中,经过圆心的线段最长,所以此时应该找y2的最大值. 思路分析思路分析 根据题目要求取点、画图、测量,可以借助尺规作图,在图中进行画图操作,使AP=2,量出BP 的长度. 3.(2020北京西城二模,24)如图,在ABC中,AE平分BAC交BC于点E,D是AB边上一动点,连接CD交AE 于点P,连接BP.已知AB=6 cm,设B,D两点间的距离为x cm,B,P两点间的距离为y1 cm,A,P两点间的距离为y 2 cm. 小明根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程,请补充完整: (
6、1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值: x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 2.49 2.64 2.88 3.25 3.80 4.65 6.00 y2/cm 4.59 4.24 3.80 3.25 2.51 0.00 (2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的 图象; (3)结合函数图象,回答下列问题: 当AP=2BD时,AP的长度约为 cm; 当BP平分ABC时,BD的长度约为 cm. 解析解析 (1) x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm
7、y2/cm 1.50 (2)画出函数y2的图象. (3)答案不唯一,如: 3.86. 3. 提示:AP=2BD, 即y2=2x,画出直线y=2x,与曲线y2的交点的纵坐标即为所求. 通过画图,可知ABC为等腰直角三角形, 当PB平分ABC时,可知P为三角形ABC的内心,D为AB的中点, 所以BD=3 cm. 4.(2020北京东城一模,25)如图,P是线段AB上的一点,AB=6 cm,O是AB外一定点.连接OP,将OP绕点O顺时针旋 转120得OQ,连接PQ,AQ.小明根据学习函数的经验,对线段AP,PQ,AQ的长度之间的关系进行了探究. 下面是小明的探究过程,请补充完整: (1)对于点P在A
8、B上的不同位置,画图、测量,得到了线段AP,PQ,AQ的长度(单位: cm)的几组值,如表: 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 AP 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 PQ 4.00 2.31 0.84 1.43 3.07 4.77 6.49 AQ 4.00 3.08 2.23 1.57 1.40 1.85 2.63 在AP,PQ,AQ的长度这三个量中,确定 的长度是自变量, 的长度和 的长度都是 这个自变量的函数; (2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出(1)中所确定的函数的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当AQ=PQ时,线段
9、AP的长度约为 cm. 解析解析 (1)根据变量的定义,AP是自变量,PQ、AQ是因变量,即PQ、AQ是AP的函数,故答案为AP;PQ;AQ. (2)依据表格中的数据描点、连线即可得. (3)当AQ=PQ时,即两个函数图象相交,从图上看,交点的横坐标大约为3.07 cm,答案不唯一. 5.(2020北京朝阳一模,24)有这样一个问题:探究函数y=的图象与性质并解决问题. 小明根据学习函数的经验,对问题进行了探究. 下面是小明的探究过程,请补充完整: (1)函数y=的自变量x的取值范围是 ; (2)取几组y与x的对应值,填写在下表中. 6 |2|x 6 |2|x x -4 -2 -1 0 1 1
10、.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 y 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 m 1.5 1 m的值为 ; (3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组对应值所对应的点,并画出该函数的图象; (4)获得性质,解决问题: 通过观察、分析、证明,可知函数y=的图象是轴对称图形,它的对称轴是 ; 6 |2|x 过点P(-1,n)(0n0. 尝试 化简整式A. 发现 A=B2.求整式B. 联想 由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值: 直角三角形三边 n2-1 2n B 勾股
11、数组 8 勾股数组 35 解析解析 尝试 A=n4-2n2+1+4n2(2分) =n4+2n2+1.(4分) 发现 A=n4+2n2+1=(n2+1)2, 且A=B2,B0,B=n2+1.(7分) 联想 勾股数组 17(8分) 勾股数组 37(9分) 提示:勾股数组 2n=8,n=4. 由发现可知,B=n2+1=16+1=17. 勾股数组 n2-1=35,B=n2+1=(n2-1)+2=35+2=37. 3.(2019河南,21,10分)模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于m的取值范围,小亮已经能用 “代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下: (1)建立函
12、数模型 设矩形相邻两边的长分别为x,y,由矩形的面积为4,得xy=4,即y=;由周长为m,得2(x+y)=m,即y=-x+,满 足要求的(x,y)应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标. (2)画出函数图象 函数y=(x0)的图象如图所示,而函数y=-x+的图象可由直线y=-x平移得到.请在同一直角坐标系中直 接画出直线y=-x. 4 x2 m 4 x2 m (3)平移直线y=-x,观察函数图象 当直线平移到与函数y=(x0)的图象有唯一交点(2,2)时,周长m的值为 ; 在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围. (4)得出结论 4 x 若能生产出面积为
13、4的矩形模具,则周长m的取值范围为 . 解析解析 (1)一.(1分) (2)如图.(3分) (3)8.(4分) 把点(2,2)代入y=-x+得2=-2+,解得m=8. 2 m 2 m 解析解析 (1)一.(1分) (2)如图.(3分) (3)8.(4分) 把点(2,2)代入y=-x+得2=-2+,解得m=8. 2 m 2 m 在直线平移过程中,交点个数还有0个,2个两种情况. 当有0个交点时,周长m的取值范围是0m8.(8分) (4)m8.(10分) 解题关键解题关键 本题为运用函数图象解决实际问题型题目,理解函数图象的意义以及图象的性质是根本,根 据直线与双曲线的交点以及交点的个数确定m的值
14、及其取值范围是解题关键. 4.(2019江西,21,9分)数学活动课上,张老师引导同学进行如下探究: 如图1,将长为12 cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上,一端A固定在桌面上,图2是 示意图. 活动一 如图3,将铅笔AB绕端点A顺时针旋转,AB与OF交于点D,当旋转至水平位置时,铅笔AB的中点C与点O重 合. 数学思考 (1)设CD=x cm,点B到OF的距离GB=y cm. 用含x的代数式表示:AD的长是 cm,BD的长是 cm; y与x的函数关系式是 ,自变量x的取值范围是 . 活动二 (2)列表:根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格. x(cm) 6 5 4
15、3.5 3 2.5 2 1 0.5 0 y(cm) 0 0.55 1.2 1.58 2.47 3 4.29 5.08 描点:根据表中数值,继续描出中剩余的两个点(x,y); 连线:在平面直角坐标系中,请用平滑的曲线画出该函数的图象. 数学思考 (3)请你结合函数的图象,写出该函数的两条性质或结论. 解析解析 (1)(6+x);(6-x). y=,0 x6. (2)补全表格: 6(6) 6 x x x(cm) 6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0 y(cm) 0 0.55 1.2 1.58 2.47 3 4.29 5.08 描点与连线: (3)y随着x的增大而减小; 图象关于直线y
16、=x对称; 函数y的取值范围是0y6.(写出两条即可) 思路分析思路分析 (1)由于CD=x, 所以AD=AC+CD=6+x,DB=CB-CD=6-x. 由题易证GDBODA,得到=,即=,通过变形得到y=.由0CDAB可得x的 取值范围. (2)将x=3,x=0分别代入y=中,就可得到相应的y值. 根据中的结果在平面直角坐标系中描点. 利用平滑的曲线连接各点. (3)根据图象,从变化趋势,对称性和取值范围等角度进行分析. AD DB OA GB 6 6 x x 6 y 6(6) 6 x x 1 2 6(6) 6 x x 5.(2019黑龙江齐齐哈尔,23,12分)综合与实践 折纸是同学们喜欢
17、的手工活动之一,通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形,同时折纸的过程还蕴含 着丰富的数学知识. 折一折:把边长为4的正方形纸片ABCD对折,使边AB与CD重合,展开后得到折痕EF,如图;点M为CF上 一点,将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠,使点C落在EF上的点N处,展开后连接DN,MN,AN,如图. (一)填一填,做一做: (1)图中,CMD= ;线段NF= ; (2)图中,试判断AND的形状,并给出证明; 剪一剪、折一折:将图中的AND剪下来,将其沿直线GH折叠,使点A落在点A处,分别得到图、图 . (二)填一填: (3)图中阴影部分的周长为 ; (4)图中,若AGN=80,则AHD= ;
18、 (5)图中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对; (6)如图,点A落在边ND上,若=,则= (用含m,n的代数式表示). A N A D m n AG AH 解析解析 (一)填一填,做一做: (1)75;4-2.(2分) 详解:如图,由题知CD=DN=2ED,EFAD,2=3, 1=30,4=60,NDC=30, 2=3,NDC=2+3,3=15,C=90, DMC=75. 3 在RtNED中,1=30, EN=4 cos 30=2, NF=EF-EN=4-2. (2)AND是等边三角形.(3分) 证明:由折叠可知DN=CD=AD,(4分) DE=AD, DE=DN,(5分) 3 3 1
19、2 1 2 EFAD, END=30,(6分) ADN=60, ADN是等边三角形.(7分) (二)填一填: (3)12.(8分) 详解:由(2)可知AND为等边三角形, 由折叠可知AG=AG,AH=AH, 阴影部分周长=NG+GA+DH+AH+ND =NG+GA+DH+AH+ND=AN+AD+ND=12. (4)40.(9分) 详解:由折叠知,A=A=60, N=D=60,NPG=QPA,PQA=HQD, NGPAQP,AQPDQH, NGPDQH, AHD=NPG, N=60,NGP=80, NPG=40, AHD=40. (5)4.(10分) 详解:由(4)知NGPAQPDQH, 再加上
20、AGHAGH, 共有4对相似三角形. (6).(12分) 详解:=, 可设AN=bm,AD=bn(b0), AND是等边三角形, AN=AD=ND=b(m+n),A=N=D=60, 由折叠可知AG=AG,AH=AH,A=GAH=60, =, NGA+NAG=120,NAG+HAD=120, NGA=HAD,N=D,NGADAH, 2 2 mn mn A N A D m n AG AH A G A H =,即=. A G A H A NG A DH C C () () b mnbm b mnbn 2 2 mn mn AG AH 2 2 mn mn 方法总结方法总结 图形折叠问题的解题关键是找出对
21、称轴,再根据轴对称性得出全等三角形,同时可以得到折 叠前后两图形对应边及对应角相等的关系. 6.(2019北京延庆一模,23)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点E,F分别是边BC上两点,且EOF=4 5.将EOF绕点O逆时针旋转,当点F与点C重合时,停止旋转. 已知,BC=6,设BE=x,EF=y. 小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程,请补充完整: (1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,得到了y与x的几组对应值; x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y 3 2.77 2.50 2.55 2.65 (说明:补
22、全表格时相关数值保留一位小数) (2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当EF=2BE时,BE的长度约为 . 解析解析 (1)2.6;3.(2分) (2) (4分) (3)1.26.(提示:函数图象与直线y=2x交点的横坐标即为所求)(5分) 7.(2020河南,22,10分)小亮在学习中遇到这样一个问题: 如图,点D是上一动点,线段BC=8 cm,点A是线段BC的中点,过点C作CFBD,交DA的延长线于点F.当 DCF为等腰三角形时,求线段BD的长度. 小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合
23、学习函数的经验研究此问题.请 将下面的探究过程补充完整: (1)根据点D在上的不同位置,画出相应的图形,测量线段BD,CD,FD的长度,得到下表的几组对应值. BC BC BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0 FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现: “当点D为的中点时,BD=5.0 cm”.则上表中a的值是 ; “线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由. (2)将线段BD的长度作为自变量x,CD和FD的长度都是
24、x的函数,分别记为yCD和yFD,并在平面直角坐标系 xOy中画出了函数yFD的图象,如图所示,请在同一坐标系中画出函数yCD的图象; (3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当DCF为等腰三角形时,线段BD 长度的近似值(结果保留一位小数). BC 解析解析 (1)点D为的中点时,CD=BD=5.0 cm. 故a=5.0.(2分) 由题意可得,ACFABD, CF=BD.(4分) (2)yCD的图象如图所示.(6分) (3)yCF的图象如图所示.(7分) DCF为等腰三角形时,线段BD的长度约为3.5 cm或5.0 cm或6.3 cm.(答案不唯一)(10分) BC 题干解读题干解读 当点D在上运动时,因为BA=CA,CFBD,所以ADBAFC,即BD=CF始终成立,若BD =x,则yCF=x.根据题表中的数据可以描点画出yCD的图象,若DCF为等腰三角形,则有DC=CF或DC=DF或 DF=CF,所以再画出yCF的图象,三条函数图象的交点对应的x值即为线段BD的长度(排除x=0和x=8).根据 图象取近似值即可. BC
