1、 中考数学 （北京丏用） 第二章方程（组）与不等式（组） 2.1 方程（组 北京中考题组 1.(2018北京,3,2分)方程组的解为( ) A. B. C. D. 3, 3814 xy xy 1 2 x y 1 2 x y 2 1 x y 2 1 x y 答案答案 D 3-得5y=-5, 解得y=-1,把y=-1代入得x=2,所以方程组的解为故选D. 3, 3814, xy xy 2, 1. x y 2.(2020北京,10,2分)已知关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是 . 答案答案 1 解析解析 一元二次方程有两个相等的实数根,所以=4-4k=0,解得k=1. 3.
2、(2020北京,12,2分)方程组的解为 . 1, 37 xy xy 答案答案 2 1 x y 解析解析 +得4x=8, 所以x=2.将x=2代入解得y=1, 所以 1, 37, xy xy 2, 1. x y 4.(2017北京,12,3分)某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了435元,其中篮球的单价比足球的 单价多3元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,依题意,可列方程组为 . 答案答案 3 45435 xy xy 解析解析 由4个篮球和5个足球共花费435元,可得4x+5y=435.由篮球的单价比足球的单价多3元,可得x=y+ 3.故可列方程组为
3、3, 45435. xy xy 5.(2019北京,19,5分)关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根. 解析 由题意,得=(-2)2-4(2m-1)0. 解得m1. m为正整数,m=1. 此时,方程为x2-2x+1=0. 解得x1=x2=1. 当m=1时,方程的根为x1=x2=1. 6.(2018北京,20,5分)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0. (1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根. 解析解析 (1)依题意,得=(a+2)2-4a=a2+4
4、0. 故方程有两个不相等的实数根. (2)由题意可知,a0,=b2-4a=0. 答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0, (x+1)2=0, x1=x2=-1. 7.(2017北京,21,5分)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围. 解析解析 (1)证明:依题意,得=-(k+3)2-4(2k+2)=(k-1)2. (k-1)20, 方程总有两个实数根. (2)由求根公式,得x=, x1=2,x2=k+1. 方程有一个根小于1, k+11,k0, 即k的取值范围是k0,解得m-.
5、 (2)答案不唯一.如:m=1. 此时方程为x2+3x=0. 解得x1=-3,x2=0. 5 4 思路分析思路分析 (1)利用一元二次方程的根的判别式列不等式,求m的取值范围.(2)结合(1)确定m的值,解方程. 方法技巧方法技巧 依据所求出的m的取值范围确定m的值时,尽量取较特殊的值,例如:可以使一次项系数为0的- 或使常数项为0的1或-1. 1 2 教师丏用题组 考点一 一元一次方程、二元一次方程(组) 1.(2018河南,6,3分)九章算术中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊 价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还
6、差3钱.问合伙人数、羊 价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y钱,根据题意,可列方程组为( ) A. B. C. D. 545 73 yx yx 545 73 yx yx 545 73 yx yx 545 73 yx yx 答案答案 A 根据等量关系“每人出5钱,还差45钱”得,y=5x+45;根据等量关系“每人出7钱,还差3钱” 得,y=7x+3,联立得方程组.故选A. 2.(2018黑龙江齐齐哈尔,8,3分)某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张,联系青年志愿者在周日参与 活动,活动累计56个小时的工作时间,需要每名男生工作5个小时,每名女生工作4个小时,小张可以安排学 生参加活动的方案共有
7、( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 答案答案 C 设安排x名男生,y名女生,则5x+4y=56, x,y为非负整数,可得y14, 举例验证可得当y=14时,x=0, 当y=9时,x=4, 当y=4时,x=8, 所以可以安排4名女生,8名男生; 9名女生,4名男生; 14名女生参加活动,所以方案共有3种,故选C. 3.(2016广西南宁,10,3分)超市店庆促销,某种书包原价每个x元,第一次降价打“八折”,第二次降价每个 又减10元,经两次降价后售价为90元,则得到方程( ) A.0.8x-10=90 B.0.08x-10=90 C.90-0.8x=10 D.x-0.8x-10=90
8、 答案答案 A 每个书包原价是x元,则第一次打八折后的价格是0.8x元,第二次降价10元后的价格是(0.8x-1 0)元,则可得方程0.8x-10=90.故选A. 4.(2016黑龙江哈尔滨,7,3分)某车间有26名工人,每人每天可以生产800个螺钉或1 000个螺母.1个螺钉需 要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,设安排x名工人生产螺钉,则下面所列方程正确的是 ( ) A.21 000(26-x)=800 x B.1 000(13-x)=800 x C.1 000(26-x)=2800 x D.1 000(26-x)=800 x 答案答案 C 若安排x名工人生产螺钉,则生产螺母的
9、工人为(26-x)名.根据题意,可列方程为1 000(26-x)=2 800 x,故选C. 5.(2018四川成都,13,4分)已知=,且a+b-2c=6,则a的值为 . 6 a 5 b 4 c 答案答案 12 解析解析 设=k(k0),则a=6k,b=5k,c=4k, a+b-2c=6,6k+5k-8k=6.解得k=2.a=6k=12. 6 a 5 b 4 c 6.(2018黑龙江齐齐哈尔,15,3分)爸爸沿街匀速行走,发现每隔7分钟从背后驶过一辆103路公交车,每隔5 分钟迎面驶来一辆103路公交车.假设每辆103路公交车行驶速度相同,而且103路公交车总站每隔固定时 间发一辆车,那么10
10、3路公交车行驶速度是爸爸行走速度的 倍. 答案答案 6 解析解析 如图所示,设公交车每分钟行驶x米,爸爸每分钟走y米,依题意得7x-7y=5x+5y, 解得x=6y, 所以公交车行驶速度是爸爸行走速度的6倍. 7.(2019河北,18,4分)如图,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数. 示例:即4+3=7. 则(1)用含x的式子表示m= ; (2)当y=-2时,n的值为 . 答案答案 (1)3x (2)1 解析解析 (1)根据约定可得x+2x=m,即m=3x. (2)根据约定及(1)可得n=2x+3,y=m+n=3x+2x+3=5x+3,当y=-2时,5x+3=-2,解得x=-
11、1.所以n=2x+3=2(-1)+3= 1. 8.(2020广东广州,22,12分)粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作,无 人化是自动驾驶的终极目标.某公交集团拟在今明两年共投资9 000万元改装260辆无人驾驶出租车投放 市场.今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元,预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降5 0%. (1)求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元; (2)求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆. 解析解析 (1)50(1-50%)=25(万元). 答:明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元. (2)设明年改装的无人驾驶出租车是x
12、辆,则今年改装(260-x)辆. 依题意得25x+50(260-x)=9 000, 解得x=160. 答:明年改装的无人驾驶出租车是160辆. 8.(2020广东广州,22,12分)粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作,无 人化是自动驾驶的终极目标.某公交集团拟在今明两年共投资9 000万元改装260辆无人驾驶出租车投放 市场.今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元,预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降5 0%. (1)求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元; (2)求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆. 考点二 一元二次方程 1.(2020河南,8
13、,3分)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业 务收入由5 000亿元增加到7 500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列 方程为( ) A.5 000(1+2x)=7 500 B.5 0002(1+x)=7 500 C.5 000(1+x)2=7 500 D.5 000+5 000(1+x)+5 000(1+x)2=7 500 答案答案 C 由题意知,我国2019年的快递业务收入为5 000(1+x)2亿元,所以可列方程为5 000(1+x)2=7 500. 故选C. 2.(2019河南,6,3分)一元二次方程(
14、x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 答案答案 A 将一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3整理,得x2-2x-4=0,=b2-4ac=200,所以此一元二次方程有两 个不相等的实数根,故选A. 3.(2019河北,15,2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=- 1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是( ) A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根 答案答案
15、 A 只抄对了a=1,b=4,即x2+4x+c=0,把x=-1代入得c=3,因为所抄的c比原方程的c值小2,所以c值应 该为5,原方程为x2+4x+5=0,=42-415=-40,所以原方程不存在实数根,故选A. 4.(2018安徽,7,4分)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为( ) A.-1 B.1 C.-2或2 D.-3或1 答案答案 A 原方程可化为x2+(a+1)x=0, 由题意得=(a+1)2=0,解得a=-1,故选A. 5.(2018乌鲁木齐,9,4分)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房 每天的定
16、价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费 用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x元,则有( ) A.(180+x-20)=10 890 B.(x-20)=10 890 C.x-5020=10 890 D.(x+180)-5020=10 890 50 10 x 180 50 10 x 180 50 10 x 50 10 x 答案答案 B 当房价定为x元时,空闲的房间有个,所以有游客居住的房间有个,则宾馆 当天的利润为(x-20)元,故B正确. 180 10 x 180 50 10 x 180 50 10 x 思路分析思
17、路分析 先求出房价定为x元时有游客居住的房间数,而每间房的利润就是房价减去支出的20元,从而 得出宾馆当天的利润并列出等式. 6.(2018福建,10,4分)已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,下列判断正确 的是( ) A.1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 B.0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 C.1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根 D.1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根 答案答案 D 由=(2b)2-4(a+1)2=0得b=(a+1), 因为a+10,所以b0. 当b=-(a+1)时,x=1是方程
18、x2+bx+a=0的根; a+10,a可以取0,故x=0可能是方程x2+bx+a=0的根; 当b=a+1时,x=-1是方程x2+bx+a=0的根. 因为b=-(a+1)和b=a+1不能同时成立,所以x=1和x=-1不能同时为方程x2+bx+a=0的根,故选D. A组 20182020年模拟基础题组 考点一 一元一次方程、二元一次方程(组) 1.(2020北京密云一模,7)九章算术中记载:“今有上禾三秉,益实六斗,当下禾十秉;下禾五秉,益实一 斗,当上禾二秉.问上、下禾实一秉各几何?”其大意是:今有上等稻子三捆,若打出来的谷子再加六斗,则 相当于十捆下等稻子打出来的谷子;有下等稻子五捆,若打出来
19、的谷子再加一斗,则相当于两捆上等稻子 打岀来的谷子.问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子?设上等稻子每捆打x斗谷子,下等稻子每捆打y斗谷 子,根据题意可列方程组为( ) A. B. C. D. 3610 , 512 xy yx 3610 , 512 xy yx 3610 , 512 yx xy 3610 , 512 yx xy 答案答案 A 由题意可得数量关系,上等稻子每捆打x斗谷子3捆+6斗=下等稻子每捆打y斗谷子10捆, 下等稻子每捆打y斗谷子5捆+1斗=上等稻子每捆打x斗谷子2捆,由此即可得到方程组故选A. 3610 , 512 . xy yx 解题关键解题关键 解决此类题目的关键是在文字中
20、寻找和差等数量关系的词语,题目总体难度不大,需要仔细阅读. 2.(2019北京西城一模,3)方程组的解为( ) A. B. C. D. 20, 529 xy xy 1 7 x y 3 6 x y 1 2 x y 1 2 x y 答案答案 C 2+得9x=9,解得x=1,代入得y=2,所以方程组的解为故选C. 20, 529, xy xy 1, 2, x y 3.(2020北京平谷一模,15)我国古代数学著作孙子算经中记载了这样一个有趣的数学问题“今有五 等诸侯,共分橘子60颗,人别加三颗,问五人各得几何?”题目大意是:诸侯5人,共同分60个橘子,若后面的 人总比前一个人多分3个,问每个人各分得
21、多少个橘子?若设中间的那个人分得x个,依题意可列方程为 . 答案答案 (x-6)+(x-3)+x+(x+3)+(x+6)=60 解析解析 中间的那个人分得x个,则其他四人各分得(x-6)个,(x-3)个,(x+3)个,(x+6)个,由题意可得(x-6)+(x-3)+ x+(x+3)+(x+6)=60. 答案答案 -=5 20 x 30 x 4.(2019北京延庆一模,14)某校要组织体育活动,体育委员小明带x元去买体育用品.若全买羽毛球拍刚好 可以买20副,若全买乒乓球拍刚好可以买30个,已知每个乒乓球拍比每副羽毛球拍便宜5元,依题意,可列 方程为 . 解析解析 x元可买羽毛球拍20副,则一副
22、的价格为元,同理一个乒乓球拍的价格为元,因为每个乒乓球 拍比每副羽毛球拍便宜5元,可列方程为-=5. 20 x 30 x 20 x 30 x 5.(2018北京海淀一模,13)京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施,考虑到不同路段的特殊情 况,将根据不同的运行区间设置不同的时速.其中,北京北站到清河站一段全长11千米,分为地下清华园隧 道和地上区间两部分,运行速度分别为80千米/时和120千米/时.按此运行速度,地下隧道运行时间比地上 多2分钟,求清华园隧道全长为多少千米.设清华园隧道全长为x千米,依题意,可列方程为 . 1 30 小时 答案答案 -= 80 x11 120 x1 3
23、0 解析解析 由题意可知地下运行的时间为小时,地上运行的时间为小时,由地下隧道运行时间比地 上多2分钟,可列方程为-=. 80 x11 120 x 1 30 小时 80 x11 120 x1 30 6.(2018北京燕山一模,14)如图,10块相同的长方形卡片拼成一个大长方形,设长方形卡片的长和宽分别 为x和y,则依题意,可列方程组为 . 答案答案 275 3 xy xy 解析解析 由题图可知,长方形卡片的长等于宽的3倍,一个长加上两个宽为75,则可列方程组为 275, 3 . xy xy 7.(2020北京顺义一模,18)解方程组: 231, 3. xy xy 解析解析 3得3x-3y=9,
24、(1分) +得5x=10,(2分) x=2.(3分) 把x=2代入得y=-1,(4分) 原方程组的解是(5分) 231, 3, xy xy 2, 1. x y 一题多解一题多解 由得x=3+y.(1分) 把代入得2(3+y)+3y=1.(2分) 解得y=-1.(3分) 把y=-1代入得x=2.(4分) 原方程组的解是(5分) 2, 1. x y 考点二 一元二次方程 1.(2019北京延庆一模,11)命题“关于x的一元二次方程x2-mx+1=0,必有两个不相等的实数根”是假命题, 则m的值可以是 .(写一个即可) 答案答案 0(答案不唯一) 解析解析 =m2-4,若m=0,则0. 解得m-.
25、(2)答案不唯一,如:m=0. 此时方程为x2+x=0. 解得x1=0,x2=-1. 1 4 1 2 4.(2020北京东城一模,20)已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根. (1)求a的取值范围; (2)若此方程的一个实数根为1,求a的值及方程的另一个实数根. 解析解析 (1)关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,0,且a0.即22-4a (-3)0,且a0. a-且a0.(3分) (2)将x=1代入方程ax2+2x-3=0,解得a=1. 将a=1代入方程ax2+2x-3=0,解得x1=1,x2=-3. 方程的另一个实数根为-3.(5分) 1 3 易错警示
26、易错警示 解决此类问题必须要关注一元二次方程二次项系数不等于0. 5.(2020北京房山一模,20)已知:关于x的方程x2+4x+2m=0有实数根. (1)求m的取值范围; (2)若m为正整数,且该方程的根都是整数,求m的值. 解析解析 (1)=42-42m=16-8m.(1分) 由题意得16-8m0.(2分) m2.(3分) (2)由m2,且m为正整数知,m可取1或2.(4分) 当m=1时,方程的根不为整数,舍去. 当m=2时,x1=x2=-2,符合题意.m的值为2.(5分) 6.(2020北京朝阳二模,20)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的b,c
27、 的值,并求此时方程的根. 解析解析 答案不唯一,如:b=2,c=1. 此时,方程为x2+2x+1=0.解得x1=x2=-1. 7.(2019北京石景山一模,20)已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+2=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程的两个实数根都是正整数,求m的最小值. 解析解析 (1)证明:依题意,得=-(m+3)2-4(m+2) =m2+6m+9-4m-8=(m+1)2. (m+1)20,(3分) 0.方程总有两个实数根. (2)解方程,得x1=1,x2=m+2, 方程的两个实数根都是正整数, m+21.m-1.m的最小值为-1.(5分) 8.(2018
28、北京海淀一模,20)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-3)x+m2+1=0. (1)若m是方程的一个实数根,求m的值; (2)若m为负数,判断方程根的情况. 解析解析 (1)m是方程的一个实数根, m2-(2m-3)m+m2+1=0,m=-. (2)=-(2m-3)2-4(m2+1)=-12m+5. m0,=-12m+50. 此方程有两个不相等的实数根. 1 3 9.(2018北京朝阳一模,20)已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+k=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若该方程有一个根是正数,求k的取值范围. 解析解析 (1)证明:依题意,得=(k+1)2-4k=(k-
29、1)2, (k-1)20,方程总有两个实数根. (2)由求根公式,得x1=-1,x2=-k. 方程有一个根是正数,-k0,k0. 一、填空题(每小题2分,共18分) B组 20182020年模拟提升题组 时间:50分钟 分值:60分 1.(2020北京房山一模,13)明代的程大位创作了算法统宗,它是一本通俗实用的数学书,将枯燥的数 学问题化成了美妙的诗歌,读来朗朗上口,是将数字入诗的代表作.其中有一首饮酒数学诗:“肆中饮客 乱纷纷,薄酒名醨厚酒醇.醇酒一瓶醉三客,薄酒三瓶醉一人,共同饮了一十九,三十三客醉颜生,试问高明 能算士,几多醨酒几多醇?”这首诗是说:“好酒一瓶,可以醉倒3位客人;薄酒三
30、瓶,可以醉倒1位客人,如今 33位客人醉倒了,他们总共饮下19瓶酒.试问:其中好酒、薄酒分别是多少瓶?”设有好酒x瓶,薄酒y瓶.根 据题意,可列方程组为 . 答案答案 19 333 3 xy y x 解析解析 根据“好酒数量+薄酒数量=19”和“喝好酒醉倒人数+喝薄酒醉倒人数=33”,可列方程组为 19, 333. 3 xy y x 2.(2020北京西城二模,14)如图,用10个大小、形状完全相同的小矩形,拼成一个宽为50 cm的大矩形,设每 个小矩形的长为x cm,宽为y cm,则可以列出的方程组为 . 答案答案 50 4 xy xy 解析解析 观察图形可知,小矩形的长+宽=50 cm,小
31、矩形的长=四倍的小矩形的宽.所以可列方程组为 50, 4 . xy xy 思路分析思路分析 要关注图形中的“拼接处”,即小矩形的长宽相接的地方. 解题关键解题关键 解决本题的关键是通过图形发现小矩形长宽之间的数量关系. 3.(2020北京朝阳一模,16)某兴趣小组外出登山,乘坐缆车的费用如下表所示: 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用(单位:元/人) 往返 180 单程 100 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车,去程时有8人乘坐缆车,返程时有17人乘坐缆车,他们乘坐缆 车的总费用是2 400元,该小组共有 人. 答案答案 20 解析解析 设总共购买往返票x张,单程票y张,根据题意列方程得,180
32、x+100y=2 400,根据票数为正整数,且x 8,可推断方程的正整数解为由题意知,去程时8人乘坐缆车,其中必有5人购买往返票,则有3人购 买单程票,返程时17人乘坐缆车,其中必有5人购买往返票,则有12人购买单程票,结合去时3人,返时12人, 共计15人购买单程票,根据小组成员每个人都至少乘坐一次缆车,可以推断,未购票的人数为0,所以15+5 =20人,故答案为20. 5, 15, x y 解题关键解题关键 解决本题的关键是根据票价和总费用,确定购买往返票和单程票的数量. 4.(2020北京丰台一模,16)某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件,快递员送甲类件每件收入1元,送乙 类件每件收入
33、2元.累计工作1小时,只送甲类件,最多可送30件,只送乙类件,最多可送10件;累计工作2小 时,只送甲类件,最多可送55件,只送乙类件,最多可送20件;经整理形成统计表如表: 累计工作时长最多件数种类 1 2 3 4 5 6 7 8 甲类件 30 55 80 100 115 125 135 145 乙类件 10 20 30 40 50 60 70 80 (1)如果快递员一天工作8小时,且只送某一类件,那么他一天的最大收入为 元; (2)如果快递员一天累计送x小时甲类件,y小时乙类件,且x+y=8,x,y均为正整数,那么他一天的最大收入为 元. 答案答案 160;180 解析解析 (1)当只送乙
34、类件时,他一天的收入最大,为280=160元. (2)因为x+y=8,x,y均为正整数, 所以当送甲类件3小时,乙类件5小时时,他一天的收入最大,为801+502=180元. 5.(2020北京门头沟一模,12)小明先将图1中的矩形沿虚线剪开分成四个全等的小矩形,再将这四个小矩 形拼成如图2所示的正方形,那么图1中矩形的面积为 . 答案答案 12 解析解析 设四个小矩形的长为x,宽为y,根据题意得,解得图1中矩形的面积为4(31)=12. 4, 2, xy xy 3, 1, x y 6.(2018北京西城一模,12)从杭州东站到北京南站,原来最快的一趟高铁G20次约用5 h到达.从2018年4
35、月 10日起,全国铁路开始实施新的列车运行图,并启用了“京杭高铁复兴号”,它的运行速度比原来的G20 次的运行速度快35 km/h,约用4.5 h到达.如果在相同的路线上,杭州东站到北京南站的距离不变,求“京 杭高铁复兴号”的运行速度.设“京杭高铁复兴号”的运行速度为x km/h,依题意,可列方程为 . 答案答案 5(x-35)=4.5x 解析解析 复兴号的速度为x km/h,时间为4.5 h,则路程为4.5x km;G20次的速度为(x-35)km/h,时间为5 h,则路 程为5(x-35)km.因为路程相等,所以可列方程为5(x-35)=4.5x. 思路分析思路分析 需要借助路程相等来表示
36、等量关系. 7.(2019北京石景山一模,15)我国古代数学著作算法统宗中记载了“绳索量竿”问题,其大意为:现 有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.求绳 索和竿的长度.设绳索长x尺,竿长y尺,可列方程组为 . 答案答案 5 5 2 xy x y 解析解析 由“用绳索去量竿,绳索比竿长5尺”可列方程x=y+5,由“如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿 短5尺”可列方程=y-5.所以可列方程组为 2 x 5, 5. 2 xy x y 8.(2019北京丰台一模,15)京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通保障设施.京张高铁设计时速350公 里
37、,建成后,乘高铁从北京到张家口的时间将缩短至1小时.如图,京张高铁起自北京北站,途经昌平、八达 岭长城、怀来等站,终点站为河北张家口南,全长174公里.如果按此设计时速运行,设每站(不计起始站和 终点站,不考虑列车起步、减速进站时间)停靠的平均时间是x分钟,那么依题意,可列方程为 . 答案答案 8+=1 60 x174 350 解析解析 一站停靠的平均时间是x分钟=小时,不计起始站和终点站,共有8个车站,则一共停靠的时间是 8小时,行驶里程174公里,则共需要小时,由全程为1小时可列方程为8+=1. 60 x 60 x174 35060 x174 350 9.(2018北京丰台一模,14)营养
38、学家对初中学生进行了一项调查:甲组学生每天正常进餐,乙组学生每天 除正常进餐外,每人还增加600 mL牛奶.一年后营养学家统计发现:乙组学生平均身高的增长值比甲组学 生平均身高的增长值多2.01 cm,甲组学生平均身高的增长值比乙组学生平均身高的增长值的75%少0.3 4 cm.设甲、乙两组学生平均身高的增长值分别为x cm、y cm,依题意,可列方程组为 . 答案答案 2.01 75%0.34 yx xy 解析解析 由乙组学生平均身高的增长值比甲组学生平均身高的增长值多2.01 cm,可列方程y=x+2.01,由甲 组学生平均身高的增长值比乙组学生平均身高的增长值的75%少0.34 cm,可
39、列方程x=75%y-0.34,则可列 方程组为 2.01, 75%0.34. yx xy 二、解答题(共42分) 10.(2020北京顺义一模,19)已知:关于x的方程x2+(m-2)x-2m=0. (1)求证:方程总有实数根; (2)若方程有一根小于2,求m的取值范围. 解析解析 (1)证明:=(m-2)2-41 (-2m)=m2+4m+4=(m+2)2,(1分) (m+2)20,方程总有实数根.(2分) (2)x=, x1=2,x2=-m.(4分) 方程有一根小于2,-m-2.(5分) 2 4 2 bbac a 2(2) 2 mm 22 2 mm22 2 mm 11.(2020北京密云一模
40、,20)已知:关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)如果m为非负整数,且该方程的根都是整数,求m的值. 解析解析 (1)=(-2)2-4(m-1)=8-4m, 方程有两个不相等的实数根,8-4m0,m0;另外 通过m的取值范围找到m是非负整数这一条件的特殊解,再根据方程的根是整数这一条件进行筛选. 12.(2019北京西城一模,20)已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0. (1)当c=b-2时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的非零实数根,写出一组满足条件的b,c的值,并求此时方程的根. 解析解析 (1)c
41、=b-2,=b2-4c(1分) =b2-4(b-2)=(b-2)2+4.(2分) (b-2)20,(b-2)2+40,即0. 方程有两个不相等的实数根.(3分) (2)由题意可知,b2=4c,c0. 以下答案不唯一,如:当b=2,c=1时,(4分) 方程为x2+2x+1=0.解得x1=x2=-1.(5分) 13.(2019北京朝阳一模,20)已知关于x的方程mx2+(2m-1)x+m-1=0(m0). (1)求证:方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程的两个实数根都是整数,求整数m的值. 解析解析 (1)证明:m0, mx2+(2m-1)x+m-1=0是关于x的一元二次方程. =(2m-1
42、)2-4m(m-1)(1分) =1.(2分) 10,方程总有两个不相等的实数根.(3分) (2)由求根公式,得x= . x1=-1,x2=-1.(4分) 方程的两个实数根都是整数,且m为整数, m=1.(5分) (21)1 2 m m 1 m 14.(2019北京门头沟一模,20)已知:关于x的方程mx2+(3-m)x-3=0(m为实数,m0). (1)求证:此方程总有两个实数根; (2)如果此方程的两个实数根都为正整数,求整数m的值. 解析解析 (1)证明:m0, 方程mx2+(3-m)x-3=0为一元二次方程.(1分) 依题意,得=(3-m)2+12m=(m+3)2.(2分) (m+3)2
43、0,此方程总有两个实数根.(3分) (2)由求根公式,得x=. x1=1,x2=-(m0).(4分) 此方程的两个实数根都为正整数, 整数m的值为-1或-3.(5分) (3)(3) 2 mm m 3 m 易错警示易错警示 本题最后一问要求两个实数根都为正整数,所以x2=-为正整数,m应为负数. 3 m 15.(2019北京西城二模,20)已知关于x的一元二次方程x2-(k+5)x+3k+6=0. (1)求证:此方程总有两个实数根; (2)若此方程有一个根大于-2且小于0,k为整数,求k的值. 解析解析 (1)证明:依题意,得=-(k+5)2-4(3k+6) =k2-2k+1=(k-1)2.(1
44、分) (k-1)20,此方程总有两个实数根.(2分) (2)解方程得x=,方程的两个根为x1=k+2,x2=3.由题意可知,-2k+20,即-4k-2. k为整数,k=-3.(5分) 2 (5)(1) 2 kk 16.(2018北京石景山一模,20)关于x的一元二次方程mx2+(3m-2)x-6=0. (1)当m为何值时,方程有两个不相等的实数根? (2)当m为何整数时,此方程的两个根都为负整数? 解析解析 (1)方程为一元二次方程,m0. =(3m-2)2+24m=(3m+2)20, 当m0且m-时,方程有两个不相等的实数根. (2)解方程mx2+(3m-2)x-6=0,得x1=,x2=-3. m为整数,且方程的两个根均为负整数,m=-1或m=-2.即m=-1或m=-2时,此方程的两个根都为负整数. 2 3 2 m
