1、 专题专题 06 转化与化归转化与化归 特殊方程、方程组特殊方程、方程组 例 1 2 23 例 2 B 提示： 由（x+y）z=23。 例 3 （1）1 1 x，6 2 x，23 4, 3 x 提 示： 1 13 2 x xx = 1 13 x x x，令 1 13 x x =y.（2）设 4 3 2 2 xx xx =y，则原方程可化为 12 11 3 1 2 1 y y，解得, 1 1 x, 4 2 x, 2 895 4, 3 x（3）设 1999-x=a，x-1998=6， a+b=1，则原方程为：3 33 baba， 得 ab=0， 即 （1999-x）（x-1998） =0， 解得1
2、999 1 x， 1998 2 x.（4）设43 2 xx=a，672 2 xx=b，243 2 xx=a+b，原方程可化 为：2 22 baba，得 ab=0，67243 22 xxxx=0，解得, 4 1 x, 1 2 x , 2 3 x, 2 3 4 x 例 4 （1） , 1 , 2 1 1 y x , 1 , 4 2 2 y x （2） , 5 3 , 3 1 1 y x , 5 24 , 4 2 2 y x 提示：原方 程可化为 ,2453 ,14453 2 2 yxxx yxxx （3）方程两式相减得 222 22 yxyxyxyx=0，而 0 3 2 3 2 4 3 1 2 1
3、 222 2 22 yyxyxyxyx，x-y=0 代入原方程得 024 23 xxx，可求得解为 , 0 , 0 1 1 y x ,22 ,22 2 2 y x ,22 ,22 3 3 y x 例 5 原方程化为 0123 2 xkxkx， 当 k=0 时 ， 原 方程有 唯 一 解 2 1 x； 当 k 0 时 ， = 0145 2 2 kk.总有两个不同的实数根，由题意知必有一个根是原方程的增根，葱原方 程知增根只能是 0，1，显然 0 不是方程的根，故 x=1，k= 2 1 . 例 6 解法一：把原方程变形 为 （ x-1 ） y=200632 2 xx，因x=1不 满 足 方 程 ，
4、 即x 1 ， 故y= 1 2005121 1 200632 2 x xx x xx =2x-1+ 1 2005 x ，由于 2005=12005=5401，即 2005 有正因数 1，5，401，2005，分别取 x-1=1，5，401，2005 时，x 与 y 均为正整数， 即 共 有4对 正 整 数 解 . 解 法 二 : 把 方 程 看 成 关 于x的 一 元 二 次 方 程 0200632 2 yxyx.由方程有整数解,其判别式为完全平方数,据此可得一下解 法: = 2 2 200683ayy(a 为非负整数)，化简得 22 160392ayy，即 2 2 160401ay，4015
5、21604011 3 ayay.（y-1-a）与 （y-1+a）奇偶性相同，且其积为偶数，故（y-1-a）与（y-1+a）同为偶数.由于 y-1-ay-1+a， 据，只可能有（） ;401521 , 21 2 ay ay （） ;401521 ,21 2 ay ay （） ;40121 , 521 2 ay ay （） ;40121 , 521 2 ay ay 将方程（）（）中的两个方程相 加，分别得到的 y 值为 4012，2008，808，412.由此可得相应的 x 值，故共有 4 对正整数解 （x，y）. A 1.2 或 2 1 2.1，-4，2， 2 3 3.9 4.0 5.B 6.A
6、 7.B 提示：a，b 为方程级级 013 2 xx的两个不相等实根. 8.B 9.由yxyxyxp 22 及 p 为质数，知 1 , yx pyx 或 1 , yx pyx 或 pyx yx, 1 或 pyx yx, 1 当 1 , yx pyx 时，x= 2 1p ，y= 2 1p ，代入 3xy+p（x-y）= 2 p得 22 1 4 3 ppp，解得 p=3，或 p=1（舍）.其他情况 经计算知没有符合条件的质数. 10. （1） 4 3 1a （2） a=- 8 7 11. 2 1 , 2 1 y x 提 示：原方程组化为 ybyax xaybx 1 1 ，+得 x+y=-1. 12
7、.023 2 xx B 1. 9 32 , 3 8 , 9 16 ,zyx 2. 7 12 提示:有条件得级 213571397 22 xxxx.从而13972 2 xx=7x+2，两边平方化简得 048821 2 xx，其正跟为 x= 7 12 . 3.5 4.（x，y）=（1，9） 5.1，-1 6.1+ 6 611 32 7.D 8.C 9.D 10.原方程化为0422 2 axx， 其中 =4-42（a+4）=-8a-28.当方程有两个相等的实根时，由=0，得 2 7 1 a；当方程有 两个不相等实根时，且 x=1 是方程的一个根，解得 2 7 a， ，8 2 a；当方程有两 个不相等
8、的实根时，且 x=-1 是方程的一个根，解得 2 7 a，4 3 a.故 2 31 48 2 7 321 aaa. 11.由方程知 2 1 x，122xx=a， 当1x时， 得a=2.讨论： 当a2时， 方程有一个根为x= 4 2a ； 当a=2时， 方程有无数多个解为1 2 1 x； 当 a2 时，方程无解. 12.显然a， b是方程xx8 2 +c282c480的两根， 由0得c42， 从而 16, 8 ab ab ， 解得 ab4.故原一元二次方程化为 x22x10，解得 x1 26 2 ，x2 26 2 . 13.（1）原方程可变形为（x3）26x（ 3 3 x x ）225，即（x3 3 3 x x ）225，x 3 3 3 x x 5 或 x3 3 3 x x 5，解得 x117，x217. （2）原方程化为（6x7）2（6x8） （6x6）72.设 y6x7，解得 x1 2 3 ，x2 5 3 . （3）显然（x1，y1，z1）（0，0，0）符合条件.若 xyz0，原方程可化为 2 2 2 11 1, 4 11 1, 4 11 1, 4 xy yz zx ， 三式相加，得（ 1 2x 1）2（ 1 2y 1）2（ 1 2z 1）2.0，（x2，y2，z2）（ 1 2 ，1 2 ， 1 2 ）.故（x，y，z）（0，0，0） （ 1 2 ， 1 2 ， 1 2 ）.
