1、 专题专题 24 24 平面几何的定值问题平面几何的定值问题 【阅读与思考】【阅读与思考】 所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内 变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）. 几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动 的元素，固定元素也就是“不变量” ，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化 的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1.探求定值； 2.给出证明. 【例题与求解】【例题与求解】 【例例 1 1】 如图，已知 P
2、 为正方形 ABCD 的外接圆的劣弧AD 上任意一点.求证：PA PC PB 为定值. 解题思路：解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等. P A BC D 【例【例 2 2】 如图，AB 为O 的一固定直径，它把O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点 C 作弦 CD AB，OCD 的平分线交O 于点 P，当点 C 在上半圆（不包括 A，B 两点）上移动时，点 P（ ） A.到 CD 的距离保持不变 B.位置不变 C.等分DB D.随 C 点的移动而移动 （济南市中考试题） 解题思路：解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论. AB C
3、D P O 【例【例 3 3】 如图，定长的弦 ST 在一个以 AB 为直径的半圆上滑动，M 是 ST 的中点，P 是 S 对 AB 作垂线 的垂足.求证：不管 ST 滑到什么位置，SPM 是一定角. （加拿大数学奥林匹克试题） 解题思路：解题思路：不管 ST 滑到什么位置，SOT 的度数是定值.从探寻SPM 与SOT 的关系入手. M PO B A S T 【例【例 4 4】 如图，扇形 OAB 的半径 OA=3，圆心角AOB=90.点 C 是AB 上异于 A，B 的动点，过点 C 作 CDOA 于点 D，作 CEOB 于点 E.连接 DE，点 G，H 在线段 DE 上，且 DG=GH=HE
4、. （1）求证：四边形 OGCH 是平行四边形； （2）当点 C 在AB 上运动时，在 CD，CG，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段 的长度； （3）求证：CD2+3CH2是定值. （广州市中考试题） 解题思路：解题思路：延长 OG 交 CD 于 N，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线 段 ON 转化成线段 CH 的倍分关系，再以 RtOND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决. B O A C E H G D 【例【例 5 5】 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 在 x 轴的正半轴上，M 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于
5、 C，D 两点，且 C 为弧 AE 的中点，AE 交 y 轴于 G 点.若点 A 的坐标为（-2，0） ，AE=8. （1）求点 C 的坐标； （2）连接 MG，BC，求证：MGBC； （3）如图 2，过点 D 作M 的切线，交 x 轴于点 P.动点 F 在M 的圆周上运动时， PF OF 的比值是否发 生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. （深圳市中考试题） 解题思路：解题思路：对于（3）从动点 F 达到的特殊位置时入手探求定值. AB M G C E N Ox y x y A B D P O G E F M C （图 1） （图 2） 【例【例 6 6】 如图，已知等边ABC
6、内接于半径为 1 的圆 O，P 是O 上的任意一点.求证：PA2+PB2+PC2 为定值. 解题思路：解题思路：当点 P 与 C 点重合时，PA2+PB2+PC2=2BC2为定值，就一般情形证明. A B C P O 【能力训练】【能力训练】 A A 级级 1 1.如图，点 A，B 是双曲线 x y 3 上的两点，分别经过 A，B 两点向 x 轴，y 轴作垂线段.若 S阴影=1，则 21 SS _. （牡丹江市中考试题） A B Ox y S1 S2 O A B P E A B C D E F （第 1 题图） （第 3 题图） （第 4 题图） 2.2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知
7、这三条垂线段的长分别为 1，3，5，则这个等边三角形的 面积是_. （全国初中数学联赛试题） 3.3.如图，OA，OB 是O 任意两条半径，过 B 作 BEOA 于 E，又作 OPAB 于 P，则定值 OP2+EP2为 _. 4.4.如图，在菱形 ABCD 中，ABC=120，F 是 DC 的中点，AF 的延长线交 BC 的延长线于点 E，则直 线 BF 与直线 DE 所夹的锐角的度数为（ ） A.30 B.40 C.50 D.60 （武汉市竞赛试题） 5.5.如图， 在O 中， P 是直径 AB 上一动点， 在 AB 同侧作A A AB，ABBB， 且A A =AP，B B =BP. 连接B
8、A，当点 P 从点 A 移动到点 B 时，BA的中点的位置（ ） A在平分 AB 的某直线上移动 B.在垂直 AB 的某直线上移动 C.在弧 AMB 上移动 D.保持固定不移动 （荆门市中考试题） OP A A B B M B E F A C D Ox y （第 5 题图） （第 6 题图） 6.6.如图，A，B 是函数 x k y 图象上的两点，点 C，D，E，F 分别在坐标轴上，且分别与点 A，B，O 构 成正方形和长方形.若正方形 OCAD 的面积为 6，则长方形 OEBF 的面积是（ ） A.3 B.6 C.9 D.12 （海南省竞赛试题） ） 7.7.（1）经过O 内或O 外一点 P
9、 作两条直线交O 于 A，B 和 C，D 四点，得到如图所表示的 六种不同情况.在六种不同情况下，PA，PB，PC，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一 个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的 证明. O C A(B) (D) P P D (B) A C O O C A B D P P D B C O O C A B D P (P) D B AC O （2）已知O 的半径为一定值 r，若点 P 是不在O 上的一个定点，请你过点 P 任作一直线交O 于不 重合的两点 E，F. PEPF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请
10、你把这一结论用文字 叙述出来. （济南市中考试题） 8.8.在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A，C 分别在 y 轴，x 轴的正半轴上，点 O 在原点，现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线xy 上时停止旋转.旋转过程 中，AB 边交直线xy 于点 M，BC 边交 x 轴于点 N. （1）求 OA 在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当 MN 与 AC 平行时，求正方形 OABC 旋转度数； （3）设MBN 的周长为 P，在正方形 OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论. y=x N M B C A O y
11、x （济宁市中考试题） 9.9.如图，AB 是半圆的直径，ACAB，AC=AB.在半圆上任取一点 D，作 DECD，交直线 AB 于点 E， BFAB，交线段 AD 的延长线于点 F. （1）设弧 AD 是 x的弧，若要点 E 在线段 BA 的延长线上，则 x 的取值范围是_. （2）不论点 D 取在半圆的什么位置，图中除 ABAC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线 段，并予证明. （江苏省竞赛试题） （第 9 题图） （第 10 题图） （第 11 题图） 10.10.如图，内接于O 的四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 垂直相交于点 K，设O 的半径为 R.求证： （1
12、） 2222 DKCKBKAK是定值； （2） 2222 DACDBCAB是定值. F C D E B A P DC BA K O D C B A 11.11.如图，设 P 是正方形 ABCD 外接圆劣弧弧 AB 上的一点，求证： DPCP BPAP 的值为定值. （克罗地亚数学奥林匹克试题） B B 级级 1.等腰ABC 的底边 BC 为定长 2，H 为ABC 的垂心.当顶点 A 在保持ABC 为等腰三角形的情况下 改变位置时，面积 SABCSHBC的值保持不变，则 SABCSHBC=_. 2.2.已知 A，B，C，D，E 是反比例函数 x y 16 （x0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为
13、整数） ，分 别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成 如图所示的五个橄榄形 （阴影部分） ， 则这五个橄榄形的面积总和是_ （用含 的代数式表示） . A B C D E O x y （福州市中考试题） 3.3.如图，将六边形 ABCDEF 沿直线 GH 折叠，使点 A，B 落在六边形 ABCDEF 的内部，记CD EF，则下列结论一定正确的是（ ） A. 129002 B. 1210802 C. 12720 D. 12360 2 1 （武汉市竞赛试题） （第 3 题图） （第 4 题图） 4.4.如图，正ABO 的高等于O 的半径，O 在
14、AB 上滚动，切点为 T，O 交 AO，BO 于 M，N，则 弧 MTN（ ） 1 2 G F E D C H B A T NM A B O A.在 0到 30变化 B.在 30到 60变化 C.保持 30不变 D.保持 60不变 5.5.如图，AB 是O 的直径，且 AB=10，弦 MN 的长为 8.若 MN 的两端在圆上滑动时，始终与 AB 相交， 记点 A，B 到 MN 的距离分别为 h1，h2，则h1-h2等于（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 （黄石市中考试题） （第 5 题图） （第 6 题图） 6.6.如图，已知ABC 为直角三角形，ACB=90，AC=BC，点 A，C 在
15、x 轴上，点 B 坐标为（3，m） （m0） ，线段 AB 与 y 轴相交于点 D，以 P（1，0）为顶点的抛物线过点 B，D. （1）求点 A 的坐标（用 m 表示） （2）求抛物线的解析式； （3）设点 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连接 PQ 并延长交 BC 于点 E，连接 BQ 并延长交 AC 于点 F.试证明：FC（AC+EC）为定值. （株洲市中考试题） 7.7.如图，已知等边ABC 内接于圆，在劣弧 AB 上取异于 A，B 的点 M.设直线 AC 与 BM 相交于 K，直 线 CB 与 AM 相交于点 N.证明线段 AK 和 BN 的乘积与 M 点的选择无关. （
16、湖北省选拔赛试题） （第 7 题图） （第 8 题图） 8.8.如图， 设 H 是等腰三角形 ABC 两条高的交点， 在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至底边 BC 的距 h1 h2 N M E F O B A y x Q PFC E B D O A N K M BA C H CB A 离变小，这时乘积 SABCSHBC的值变小、变大，还是不变？证明你的结论. （全国初中数学联赛试题） 9.9.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线10 9 4 18 1 2 xxy与 x 轴的交点为点 A，与 y 轴的交点为 点 B.过点 B 作 x 轴的平行线 BC，交抛物线于点 C，连接 AC
17、.现有两动点 P，Q 分别从 O，C 两点同时 出发， 点 P 以每秒 4 个单位的速度沿 OA 向终点 A 移动， 点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动. 点 P 停止运动时，点 Q 也同时停止运动.线段 OC，PQ 相交于点 D，过点 D 作 DEOA，交 CA 于 E， 射线 QE 交 x 轴于点 F.设动点 P，Q 移动的时间为 t（单位：秒）. （1）求 A，B，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标； （2）当 t 为何值时，四边形 PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； （3）当 2 9 0 t时，PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；
18、（4）当 t 为何值时，PQF 为等腰三角形，请写出解答过程. （黄冈市中考试题） （第 9 题图） （第 10 题图） 10.10.已知抛物线 C1：1 2 1 2 1 xxy，点 F（1,1）. （1）求抛物线 C1的顶点坐标； （2）若抛物线 C1与 y 轴的交点为 A，连接 AF，并延长交抛物线 C1于点 B，求证：2 11 BFAF . （3）抛物线 C1上任意一点 P（xP，yP） （0 xP1） ，连接 PF，并延长交抛物线 C1于点 Q（xQ，yQ） ，试判断2 11 QFPF 是否成立？请说明理由. 11.11.已知 A，B 是平面上的两个顶点，C 是位于 AB 一侧的一个动点，分别以 AC，BC 为边在ABC 外作 正方形 ACDE 和正方形 BCFG.求证：不论 C 在直线 AB 同一侧的任何位置，EG 的中点 P 的位置不变. （四川省竞赛试题） C y x FA E D P Q B O y x B Q F P O A
