1、 专题专题 28 整体与完形整体与完形 补形法补形法 例 1 134 例 2 B 提示：由已知得 bac ab 例 3 （1） 1 2 FGABACBC，分别延长 AG、AF 交 BC 于 H，K，则 AF=KF， AB=KB,AG=HG,AC=HC. 111 222 FGHKBKBHABACBC. （2） 1 2 FGBCACAB 例 4 提示：作 DGBC 交 BC 延长线于 Q，AMCB 交 CB 延长线于 M，DNMA 于 N， 则 MNDQ 为矩形，2 19AD . 例 5 延长 A8A1，A3A2相交于 M，延长 A2A3，A5A4相交于 N，延长 A4A5、A7A6相交于 P，
2、延长 A6A7、A1A8相交于 Q. A1=A5, A2=A6， MA1A2=PA5A6, MA2A1=PA6A5, M=P，同理可证：N=Q。 MNPQ 为平行四边形，即 A1A8A4A5，A2A3A7A6。 同理可证：A1A2A6A5,A3A4A8A7 凸八连形内任意一点到边 A2A3和 A6A7的距离的和为平行线 A2A3和 A6A7间的距离，是 一个定值. 同样,这一点到边 54A A和 18A A的距离的和为平行线 18A A和 54A A间的距离； 这一点到边 21A A 和 65A A的距离的和为平行线 21A A和 65A A间的距离；这一点到边 43A A和 87A A的距离
3、的和为 平行线 43A A和 87A A间的距离， 都是定值.所以， 凸八边形内任意一点到 8 条边的距离的和是 一个定值. 例 6 (1)证明略. (2)如图,过点 A 分别作CBDCBC , ,的垂线,垂足分别为GFE,.由45ABC及已证结 论BCCB,知四边形AGBE是正方形, 由45ABC,60ADC及DC A 是ACD沿 AD作对称变换得到,知点A均在DGCGBC,的平分线上， AGAFAE. 于是，ADER tADFR t,FCARtGCARt. 故45 2 1 CADEAGCDA. 则在ADC中，75)(180DACADCC. 能力训练能力训练 1. 34 提示：延长CB至E，
4、使DCBE . 2. 37 3. 42 4. 7 6 提示:延长EDAM,及DCAB,分别交于Q及R,则ARMQDM,ABPQNP. 5. 如图,将OB C 沿B B 方向平移 2 S到BRP 位置, 再将OA C 沿A A 方向平移 3 S到QRA位置, 则 OQP为等边三角形,且边长为 2， 因 321 SSS= OQPBAROQR SSS =32 4 3 2 6. D 7. D 8. C 9. B 10. 提示：把ABC补成一个边长为 1 的正三角形,延长BA至G,使1 BCBG,连接CG， 在AG上 取 点F， 使GFBA, 连 接CF， 则ABCFGC,ACF CDE, 8 3 2
5、CDEABC SS. 11. 提示：以AB为直角边向三角形外作等腰BADR t,再作CADE 的延长线于 E， 则BCED为直角梯形，BDEC . 12. 证明：设八边形的边长分别为, 7654321b aaaaaaaa 且, 7654321b aaaaaaaa都是整数，因为内角都等于135， 所以延长对边, 51 aa与, 73 aa这对边的延长线依次交出 NMQP,四点，则PQMN为矩形。 2222 4 5 62 1 8 a a aa a a 即 462815 2 1 aaaaaa . 15 aa 是整数, 4628 aaaa 是整数, 2 1 是无理数, 上式成立,须 0 5 aa,即
6、15 aa .类似可以证明: 26 aa , 37 aa , 48 aa ,即这个八边形的对 边相等. 13. 提示:过 A 作 BC 的平行线，分别交 BN，CM 的延长线于 G,H,则 BHGC 为平行四边形， 1 BC HA BC AG MB AM NC AN . 14.在同圆中，因为等弦对等弧，所以，把八边形沿半径剪成四个底边为 1 和四个底边为 2 的 等 腰 三 角 形 ， 如 图 ， 重 新 拼 成 八 边 形ABCDEFGH, 使 2GHEFCDAB,1HAFGDEBC.易知，八边形ABCDEFGH的八个内角 相等，且,EF,DC,ABGH的延长线组成正方形 PARS, AQHR t BRCR t , DSER t FPGR t . 故原八边形面积=八边形ABCDEFGH的面积= AQHPQRS SS 4 正方形 = 2 2 2 2 2 1 422 =245
