1、 专题专题 01 整式的乘除整式的乘除 阅读与思考阅读与思考 指数运算律是整式乘除的基础，有以下 5 个公式： mnm n aaa ， () m nmn aa，()n nn aba b， (0) mnm n aaaa ， 0 1(0)aa， 1 (0) p p aa a 学习指数运算律应注意： 1运算律成立的条件； 2运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3运算律的正向运用、逆向运用、综合运用 多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展， 方法与多位数除以多位数的演算方法相似， 基本步骤是： 1将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2确定商式，
2、竖式演算式，同类项上下对齐； 3演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止 例题与求解例题与求解 【例例 1】 （1）若n为不等式 200300 6n的解，则n的最小正整数的值为 （“华罗庚杯”香港中学竞赛试题） （2）已知 2 1xx，那么 432 222005xxxx （“华杯赛”试题） （3）把 26 (1)xx展开后得 12112 1211210 a xa xa xa xa，则 121086420 aaaaaaa （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）若 5432 37629()()()()()xxxxxxa xb xc xd xe则 abacadae bc bdbe cdcede （创
3、新杯训练试题） 解题思路：解题思路：对于（1） ，从幂的乘方逆用入手；对于（2） ，目前无法求x值，可考虑高次多项式用低次 多项式表示；对于（3） ，它是一个恒等式，即在x允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值 法；对于（4） ，可考虑比较系数法 【例【例 2】已知252000 x ，802000 y ，则 11 xy 等于（ ） A2 B1 C 1 2 D 3 2 （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路：解题思路：, x y为指数，我们无法求出, x y的值，而 11xy xyxy ，所以只需求出,xy xy的值或 它们的关系，于是自然想到指数运算律 【例【例 3】设, , ,a b
4、 c d都是正整数，并且 5432 ,19ab cdca，求db的值 （江苏省竞赛试题） 解题思路：解题思路：设 5420326 ,abmcdn，这样, a b可用m的式子表示，, c d可用n的式子表示，通 过减少字母个数降低问题的难度 【例【例 4】已知多项式 22 23286(2)(2)xxyyxyxymxyn，求 3 2 1 1 m n 的值 解题思路：解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法 【例【例 5】是否存在常数, p q使得 42 xpxq能被 2 25xx整除？如果存在，求出, p q的值，否则请说 明理由 解题思路：解题思路：由
5、条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数） ，根据“被除式=除式 商式”，运用待 定系数法求出, p q的值，所谓, p q是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解 【例【例 6】已知多项式 432 237xxaxxb能被 2 2xx整除，求 a b 的值 （北京市竞赛试题） 解题思路：解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用本题关键是能够通过分析得出当2x 和1x 时，原多项式的值均为 0，从而求出, a b的值当然本题也有其他解法 能力训练能力训练 A 级级 1 （1） 2423 4( 0.25)1 （福州市中考试题） （2）若 2 3 n a，则 6 21 n a （
6、广东省竞赛试题） 2若2530 xy，则4 32 xy 3满足 200300 (1)3x的x的最小正整数为 （武汉市选拔赛试题） 4, , ,a b c d都是正数，且 2345 2,3,4,5abcd，则, , ,a b c d中，最大的一个是 （ “英才杯”竞赛试题） 5探索规律： 1 33，个位数是 3； 2 39，个位数是 9； 3 327，个位数是 7； 4 381，个位数是 1； 5 3243，个位数是 3； 6 3729，个位数是 9；那么 7 3的个位数字是 ， 30 3的个位数字 是 （长沙市中考试题） 6已知 314161 81 ,27 ,9abc，则, ,a b c的大小
7、关系是（ ） Aabc Bacb Cabc Dbca 7已知 55443322 2 ,3 ,5 ,6abcd，那么, , ,a b c d从小到大的顺序是（ ） Aabcd Babdc Cbacd Dadbc （北京市“迎春杯”竞赛试题） 8若 112 22 ,22 nnnn xy ，其中n为整数，则x与y的数量关系为（ ） A4xy B4yx C12xy D12yx （江苏省竞赛试题） 9已知23,26,212, abc 则, ,a b c的关系是（ ） A2bac B2bac C2bac Dabc （河北省竞赛试题） 10化简 4 3 22(2 ) 2(2) nn n 得（ ） A 1 1
8、 2 8 n B 1 2n C 7 8 D 7 4 11已知 223344 7,49,133,406axbyaxbyaxbyaxby， 试求 17 1995()6() 2 xyxyab的值 12已知 22 67314(23)(3)xxyyxyaxybxyc试确定, ,a b c的值 13已知 32 3xkx除以3x，其余数较被1x除所得的余数少 2，求k的值 （香港中学竞赛试题） B 级级 1已知23,45,87, abc 则 2 8a c b = 2 （1）计算： 1998 20002000 20002000 7315 3735 = （第 16 届“希望杯”邀请竞赛试题） （2）如果 555
9、5555555 55555 4444666666 2 33322 n ，那么n （青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题） 3 （1） 16 15与 13 33的大小关系是 16 15 13 33（填“”“”“”） （2） 2000 2001 31 31 与 2001 2002 31 31 的大小关系是： 2000 2001 31 31 2001 2002 31 31 （填“”“”“”） 4如果 2 10,xx 则 32 23xx= （ “希望杯”邀请赛试题） 5已知 55432 (2)xaxbxcxdxexf，则164bdf （ “五羊杯”竞赛试题） 6已知, ,a b c均为不等于 1 的正数，且
10、 236, abc 则abc的值为（ ） A3 B2 C1 D 1 2 （ “CASIO 杯”武汉市竞赛试题） 7若 32 10 xxx ，则 2726122627 1xxxxxxx 的值是（ ） A1 B0 C1 D2 8如果 32 8xaxbx有两个因式1x和2x，则ab（ ） A7 B8 C15 D21 （奥赛培训试题） 9已知 12319961997 ,a a aaa均为正数，又 121996231997 () ()Maaaaaa， 121997231996 () ()Naaaaaa，则M与N的大小关系是（ ） AMN BMN CMN D关系不确定 10满足 22 (1)1 n nn 的整数n有（ ）个 A1 B2 C3 D4 11设, , ,a b x y满足 223344 3,7,16,42,axbyaxbyaxbyaxby求 55 axby的值 12若, , ,x y z w为整数，且xyzw， 5 222220 8 xyzw ，求 2010 (1)xyzw 的值 （美国犹他州竞赛试题） 13已知, ,a b c为有理数，且多项式 32 xaxbxc能够被 2 34xx整除 （1）求4ac的值； （2）求22ab c的值； （3）若, ,a b c为整数，且1ca 试比较, ,a b c的大小 （四川省竞赛试题）
