1、 专题专题 29 方程思想方程思想 例例 1. -1 提 示 ： a 、 b 是 方 程01)(dxcx的 两 个 根 ， 由 根 的 性 质 得 )(1)(bxaxdxcx）（， 将 x= - c 代入上式得1=(ca)(cb)， 即(a+c)(b+c)= 1 例 2 B 例 3 A 提示：解法一： 42 42 3 xx ， 2 22 22 ()()3 xx 又 y4+y2=3，即（y2)2+y2=3，且 2 2 0 x ，y20， 2 2 0 x ，y2 是一 元二次方程 t2+t3=0 的两个不等实根由韦达定理， 2 2 2 y x =1， 2 2 2 y x =3， 4222 422
2、422 ()2()yyy xxx =1+6=7 解法二：x20，y20，由已知条件得 2 12444 3113 84x ，y2= 114 3113 22 ， 422 422 422 3367yyy xxx 例 42,3,4 xyxzyz xyxzyz ， 111 2xy ， 111 3xz 111 4yz + 得 2111 234x ，解得 x= 24 7 ;+得 2111 243y ，解得 24 5 y ；+得 2111 342z ，解得 z=247x+5y2z=0 例 5 分当 BP 1 4 AB， 1 4 ABBP 1 2 AB， BP= 1 2 AB三种情况讨论当 BP= 40 406
3、40 ,5, 21 11231 时，HDE 为等腰三角形 例 6 由题意得 222 6 1 2 abcab abc abc Sab 由得 2ca+b+c=63c，2c3 由有（a+b)2=(6 c)2， 将代入得 3C=9s， 有 63cy，则有 ()10 ()25 yxy xxy ， 10D 提 示：由已知得 a4+3a21=0， 2 11 ( )3( )10 bb ，a2， 1 b 是方程 x2+3x1=0 的根又由 a2b 1得a2 1 b ， 由 根 与 系 数 关 系 得a2+ 1 b = 3 ， 2 a b = 1 ， 632 6222 33 1111 ()()336 a ba a
4、aa bbbbb 11 22 2 6 3 xxyy 提示：设 22 22 2 xxyym xxyy ，则 2 2 m xy ，(x+y)= 6 2 m ，x，y 是方程 2 62 0 22 mm zz 的 两个实根由0 得 m 2 3 ，又 2 6 ()0 2 m xy ， 2 6 3 m 12sinCBF= 2 3 ， BC=10 提示： ；连结 OE，DF，则 OEBF，AE：EF=AO：OB=3：1，OE：BF=3：4， AE=3EF，AO：AB=3：4 设 OB=r，则 AO=3r，BF= 4 3 r，AD=2r 由 AEAF=ADAB 得 EF= 6 3 r在 RtABC 中，BC2
5、=CFCE=4（4+EF）=AC2AB2，解得 r= 7 6 4 ，sinCBF=sin BDF= FB DB 13设 DP=x，则 PC= 2 1x ，AB= 2 1 1 x x 又设 y=ABSABP= 2 (1) 2(1) x x ， 即 x2+2(1y)x+1+2y=0 由0 得 y4， 故 AB SABP的最小值为 4 14 由题设知 x1=a1， x2=a2是一元二次方程 （x+b1） (x+b2)1=0 的两根， （x+b1） (x+b2)1= （x1a1） (x2a2) 令 x=b1，得（a1+b1）(a2+b1)=1；令 x=b2，得（a1+b2）(a2+b2)=1 15设
6、A(x1，0)， B(x2，0)，且 x1x2，则 x1，x2是方程 ax2+bx+c 的两根，x1+x2= b a 0，x1x2= c a 0，则 x1 0， x20.方程有两个不相等的实根， =b2-4ac0， 得 b2 ac. 1 1OAx， 2 1OBx，即-1x10， -1x20， 12 1 c x x a ， 得 c0 2 ( 1 )( 1 )0abc ，得 b2 ac+1 2 ()ac1由得ac1ac+1，即 a（c+1）2（1+1）2=4， a5又 b2ac25 1 4，b5取 a=5，b=5，c=1 时抛物线 y=5x2+5x+l 满足题 设条件， 故 a+b+c 的最小值为
7、 5+5+l=ll. 16.设 y=m2，（x-90） 2=k2， m， k 都是非负数， 则 k2-m2=7 701=14907，即(k+m)（k-m）=7701=14907. 701 7 km km 或 4907 1 km km ，解 得 1 1 354, 347; k m 2 2 2454, 2453. k m 1 1 444, 120409; x y 2 2 264, 120409; x y 3 3 2544 6017209 x y 4 4 2364 6017209 x y “好点” 共有 4 个， 它们的坐标分别为： （444， 120409） （-264,120 409） ， (2
8、 544,6 017 209)， （-2 364,6 017 209） 17得()() bcaacbabc abc bccaab =8 222222 ()()()bcaacbabc bccaab =8 222222 ()()() 44 bcacababc bccaab =0 222222 ()()()bcacababc bccaab =0 ()()()()()()bca bcacba cbaabc abc bccaab =0 () ()()() bca a bcab cabc abc abc =0 222 () (2)0 bca ababc abc 22 () ()0 bca cab abc
9、()()() 0 bca cab cab abc 故 b-c+a=0 或 c+a- b=0 或 c-a+b=0，即 b+a-c=0 或 c+a-b=0 或 c-a+b=0 因此以a b c为三边长可以构成一个直角三角形 18 设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k， 则安装在前轮的轮胎每行驶 lkm 磨损量为 5000 k ， 安装在后轮的轮胎每行驶 1km 的磨损量为 3000 k ， 又设一对新轮胎交换位置前走了 xkm， 交 换位置后走了 ykrn 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程 有 50003000 50003000 kxky k kykx k 两 式相加，得 ()() 2 50
10、003000 k xyk xy k ，则 2 3750 11 50003000 xy . 19.连结AC， BC， O1E， O2F， 设A D=a,BD=b.O2与AB， CD相切， O2F=DF=x， AF=AD+DF=a+x. 在 RtOFD2中，OF2=OO22-O2F2，易证 2 111 O FAFBF ，即 111 xaxbx ，化简得 x2+2ax-ab=0,x=-a+ 2 aba， AF= 2 aba=()a ab， AF2=a （a+b） =AD AB=AC2， AF=AC.同理，BE= BC.ECF=ACF+BCE-ACB=CFE+CEF-90=180-ECF-90， ECF=45
