1、 专题专题 18 直角三角形直角三角形 例 1 （1）12 或 30；6 或 30； 提示： 2 2 125xx，得3x ；由 2 22 51xx，得12x ， （2）10 3 提示：作 DEAB 于 E，设 CD=x，则 BE=13-5=8，DE=x，BD=12-x，由 2 22 812xx ， 得 10 3 x 例 2 B 提示：过 B 作 BDAC 延长线于 D 点，设 CD=x，BD=y，可求得：x=y，则BCD=45 ，故 BCA=135 例 3 ACB=75 提示：过 C 作 CQAP 于 Q，连接 BQ，则 AQ=BQ=CQ 例 4 提示：过 E 作 EGAB 于 G，先证明 R
2、tEAGRtABC，再证明EFGDFA 例 5 连接 AC AD=DC，ADC=60 ， ADC 是等边三角形，DC=CA=AD， 以 BC 为边向四边形外作等边三角形 BCE，即 BC=BE=CE， 则BCE=EBC=CEB=60 ， ABE=ABC+EBC=90 ， 连接 AE，则 22222 AEABBEABBC， 易证BDCEAC，得 BD=AE，故 222 BDABBC 例 6 过 A 作 AEBC 于 E， 设 DE=x，BD=u，DC=v，AD=t，则 22 22222 AEbvxcuxtx， 故 222 2tbvux， 222 2tcuux， 消去 x 得 22 2 b uc
3、v tuv uv ，即 22 2 b BDc CD ADBD DC a A 级级 114 23 3135 42 61 提示：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，则ACDEBD，BE=AC=13，AE=12， 又 AB=5，则BAD=90 ， 5D 6C 7C 8B 9提示：ADCBEA，BPQ=60 10 （1） （2）略 （3）提示：AB，AP，BP，CP，之间的关系是 22 APABBP CP 11 提示： 满足提议的点有 4 个， 作别分别为： 8 162 5 4 52 54 51 ,1 5 555552 ； 12 10 B 级级 1 60 13 2135 提示：将PAC 绕
4、 A 点顺时针旋转 90 ， 332 或 42 提示：分类讨论。 4B 5D 6C 提示：设直角三角形两直角边长为 a，b（ab） ，则 22 1 2 ababkab（a，b，k 均为正 整数） ，化简得：(ka-4)(ka-b)=8， 41 48 ka kb 或 42 44 ka kb ，解得（k，a，b）=（1，5，12）或（2， E C A D B E A BC D 3，4）或（1，6，8） 7 169 4 提 示 ： 连 接 AD ， 由 ADE CDF ， 得 ED=DF ， AE=CF=5 ， AF=BE=12 ， 22 13EFAEAF 8提示：延长 ED 至 G，使 DG=ED
5、，连接 CG，FG，则 BE=CG，EF=FG 9解：设此直角三角形的斜边为 c，两直角边分别为 a，b，面积为 S，则： 222 6 1 2 abcab abc abc Sab 为整数 由得：2c3 由得： 2 22 6abc，把代入上式得：3c=9-S， 即 63c9，而 S 为整数，从而 3c=7 或 8， 若 3c=7，则 S=2，代入、得： 11 = 3 ab ，ab=4，次方程 1一副三角板，按图 11-2-1 所示 方式叠在一起，则图中的度数是（） A75 B60 C65 D55 2如图 11-2-2 所示，在ABC 中，ABC=C=BDC，A=ABD，则A 的度数为（） A36
6、B72C108D144 D C A B 3我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为 40，则这个等腰 三角形的顶角为（） A40B100C40或 100D70或 50 4 （1）在ABC 中，若ABC=2 3 4，则A=，B=，C= （2）在ABC 中，若 11 23 ABC，则C= （3）若三角形的三个外角的比是 234，则这个三角形按角分是三角形 5已知：如图 11-2-3 所示，CEAB 于点 E，ADBC 于点 D，A=30，则C 的度数为 6已知：如图 11-2-4 所示，一轮船在海上往东行驶，在 A 处测得灯塔 C 位于北偏东 60，在 图 1121 图 11
7、22 B 处测得灯塔 C 位于北偏东 25，则ACB= E D A B C 25 60 C A B 7如图 11-2-5 所示，已知EGF=E+F，求A+B+C+D 的度数 P H E B F A D C 8（1） 已知， 如图11-2-6所示， AD是高， AE是BAC的平分线， 是说明： 1 () 2 DAECB ED B A C （2）如图 11-2-7 所示，在ABC 中，已知三条角平分线 AD、BE、CF 相交于点 I， IHBC，垂足为 H，BID 与HIC 是否相等？并说明理由 H E F I D B A C 能力提升 9在三角形中，最大角的取值范围是（） A090B60180C
8、6090D60180 10直角三角形中两锐角平分线所成的角的度数是（） 图 1123 图 1124 图 1125 图 1126 图 1127 A45B135C45或 135D都不对 11如图 11-2-8 所示，把ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则A 与 1+2 之间有一种数量关系始终保持不变，那么，你发现的规律是（） A12A B 1 ( 12) 2 A C 1 (2 12) 3 A D 2 ( 12) 3 A 12 已知ABC 的三个内角为A、 B、 C， 且AB ，BC ，AC ， 则, 中，锐角的个数最多为（） A0 B1 C2 D3 13在ABC
9、中，BC 边不动，点 A 竖直向上运动，A 越来越小，B、C 越来越大，若 A 减少，B 增加，C 增加，则, 三者之间的关系是 14在ABC 中，高 BD、CE 所在的直线相交于点 H，且点 H 与点 B、C 不重合，A=50， 则BHC= 15已知等腰三角形一腰上的高与另一腰成 20角，则这个三角形的顶角是 16如图 11-2-9 所示，在ABC 中，A1B 平分ABC，A1C 平分ACD，A2B 平分A1BD，A2C 平分A1CD，A3B 平分A2BD，A3C 平分A2CD，若A=64，则A3=；依此类推，若 A=，An= A3 A2 A1 A B CD 17 （1）如图 11-2-10
10、 所示，在ABC 中，ABC 的 n 等分线与ACB 的 n 等分线分别交于 G1， G2，G3，Gn-1，试猜想：BGn-1C 与A 的数量关系 （其中 n 是不小于 2 的整数） 首 先得到：当 n=2 时，如图（a）所示，BG1C=，当 n=3 时，如图（b）所示，BG2C=， 如图（c）所示，猜想BGn-1C= 图 1128 2 1 A B C E D 图 1129 G1 A B C A G2 G1 BC A Gn-1 G2 G1 BC P A B C D （2）如图（d）所示，在四边形 ABCD 中，BP、CP 仍然是ABC，BCD 的角平分线，则 P 与A、D 之间的数量关系为 1
11、8如图 11-2-11 所示，在ABC 中，ADBC，AE 平分BAC，AGAE，CG 是ABC 的外 角ACF 的平分线，若G-DAE=60 ，则ACB= D ED A B F C 19阅读材料：如图 11-2-12 所示，AD 与 CB 相交于 O 点，在AOB 和COD 中，A+B+ AOB=180 ，C+D+COD=180 ，AOB=COD，所以A+B=C+D 图形类似数字“8” ，所以我们称之为“8”字形 根据上述材料解决下列问题： 如图 11-2-13 所示，BE 平分ABC，DE 平分ADC，A=48 ，C=46 ，BE 与 AD 相交 于点 G，BC 与 DE 相交于点 H （
12、1）仔细观察图 11-2-13 中有个“8”字形 （2）求BED 的度数 （3）试探究A，E，C 之间的关系 （直接写出结论） 图 11210 （a） （b） （c） （d） 图 11211 O A B C D H G E O A B C D 20如图 11-2-14 所示，已知射线 OM 与射线 ON 互相垂直，B、A 分别为 OM、ON 上一动 点， （1）若ABM，BAN 的平分线交于点 C问：点 B、A 在 OM、ON 上运动过程中，C 的度数是否改变？若不变，直接写出结论；若改变，说明理由 （2） 如图 11-2-15 所示， 若ABO、 BAN 的平分线所在的直线相交于点 C， 其
13、他条件不变， （1）中的结论是否成立？若成立，求出其值；若不成立，说明理由 C N O M A B C DN O M A B 21如图 11-2-16 所示，在ADE 和ABC 中，EAD=AED=BAC=BCA=45， BAD=BCF （1）求ECF+DAC+ECA 的度数； （2）判断 ED 与 FC 的位置关系，并对你的结论加以证明 图 11212 图 11213 图 11214 图 11215 F E C B A D 22如图 11-2-17（a）所示，在平面直角坐标系中，DEQ 的一个顶点在 x 轴的负半轴上，边 DQ 交 x 轴于点 C，且 CE 平分DEQ，过点 D 作直线交 x
14、 轴于点 B，交 y 轴于点 A，使 ADE=BDC，已知( ,0)C m，( ,0)E n，其中 m，n 满足3(4)0mn （1）求点 C、E 的坐标 （2）若ABC=30，求Q 的度数 （3）如图 11-2-17（b）所示，在平面直角坐标系中，若直线 AB 绕点 D 旋转，过 D 作 DH AB，交 x 轴于点 G，交 y 轴于点 H，直线 AB 绕点 D 转动时，下列结论：Q 的 大小不变； Q OHD 的值不变选择一个正确的结论，求其值，并证明你的结论 H G Q E C y x O A B D 中考链接 图 11216 Q E C y x O A B D （a） （b） 图 11-
15、2-17 23 （2011四川绵阳）将一副常规三角尺按图 11-2-18 所示方式放置，则图中AOB 的度数为 A75 B95 C105 D120 24一副三角板叠在一起按图 11-2-19 所示方式放置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三 角板的斜边 AB 上，BC 与 DE 交于点 M.如果ADF=100 ，那么BMD 为度. O B A 巅峰突破 25如图 11-2-20 所示，在 RtABC 中，C=90，DAF= 1 3 DBA， 1 3 EBGEBA， 则射线 AF 与 BG（） A平行 B延长后相交 C反向延长后相交 D可能平行也可能相交 26如图 11-2-21 所示，DC
16、 平分ADB，EC 平分AEB，若A ，B，则C= （用 , 表示） G F C E D A B C A D B E 图 11218 图 11219 图 11220 图 11221 （2）如下图所示，过点 G 作 GMBC 于 M，连接 HF. ADBC，AHF=MFH. EHFG，EHF=GFH.AHE=MFG. 又A=GMF=90 ，EH=GF， AHEMFG.GM=AE=2. BC=12，BF=a，FC=12a. 1 12 2 GFC SFC GMa . (3)GFC 的面积不能等于 2. 点 H 在 AD 上，菱形边上 EH 的最大值为 22 2 37EHAEAD. BF 的最大值为2
17、 21. 又因为12 GFC Sa 的值随着 a 的增大而减小， 所以 GFC S的最小值为122 21. 又122 212，GFC 的面积不能等于 2. 第三节 梯形 基础演练 1.C； 2.B； 3.C； 4.D； 5.B； 6. 能力提升 7.D； 8.B； 9.A； 10.B； 11.32 12.如下图所示，作 DEAC，交 BC 的延长线于 E，则四边形 AQCED 为平行四边形，AD=CE. ACBD，BDE=90. 梯形的中位线长 111 222 ADBCCEBCBE. 2222 91215BEBDDE. 梯形的中位线 1 157.5 2 . 13.(1)如下图所示，把等腰梯形的
18、两腰分别延长后可得一个边长为 2 的等边三角形. 所以它可以由一个边长为 2 的等边三角形，沿着中位线的位置形剪一刀而得. （2）四种.分别用 3，4，5 个小梯形拼出较大的等腰梯形. 3 个梯形，周长为 11cm，如下图所示； 4 个梯形，周长为 10cm，如下图所示； 5 个梯形，周长为 17cm，如下图所示； 5 个梯形，周长为 11cm，如下图所示； 14.（1）ABDF，1=ADF. 1=2，2=ADF.EA=ED. 又 AC=DF，EC=EF. EAD 及ECF 均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知ADF=DFC， ADCF.又CFAD，四边形 ADCF 是梯形，
19、AC=DF，ADCF 是等腰梯形. (2)四边形 ADCF 的周长=AD+DC+CF+AF. ADC 的周长=AD+DC+AC=16（厘米）. AF=3（厘米）. FC=AC3. 将，代入得： 四边形 ADCF 的周长=AD+DC+(AC3)+AF=(AD+DC+AC)3+3=16（厘米）. 15.(1)解：BCD=75 ，ADBC， ADC=105 . 由等边DCE 可知CDE=60 ，故ADE=45. 由 ABBC，ADBC，可得DAB=90 ， AED=45 . （2）证明：如图（a）所示，由（1）知AED=45 ， AD=AE，故点 A 在线段 DE 的垂直平分线上. 由DCE 是等边
20、三角形得 CD=CE，故点 C 也在线段 DE 的垂直平分线上. 连接 AC，AED=45 ，BAC=45 . 又 ABBC，ACB=45 .BA=BC. （3）如图（b）所示，FBC=30 ，ABF=60 . 连接 AF，BF，AD 的延长线相交于点 G， FBC=30 ，DCB=75 ， BFC=75 ，故 BC=BF. 由（2）知：BA=BC，故 BA=BF， ABF=60 ，AB=BF=FA， 又ADBC，ABBC， FAG=G=30 ，FG=FA=FB. G=FBC=30 ，DFG=CFB，FB=FG， BCFGDF. DF=CF，即点 F 是线段 CD 的中点.1 DF FC .
21、16.（1）证明：EF 将矩形 ABCD 分成面积相等的两部分， 11 22 xAFmnxnAFm. 222AFnx.AFnx. 又ECBCBEnx，AFEC. （2）当直线 E E经过原矩形顶点 D 时，如图 DCBCm， ECE B， DEE E. 2ECE B.即2 nxx， 23nx.:2:3x n . 17.（1）NE=MB 且 NEMB. （2）成立. 理由：如下图所示，连接 AE. E 为 CD 中点，AB=BC= 1 2 CD，AB=EC. 又 ABCD，即 ABCE， 四边形 ABCE 为平行四边形. C=90 ，四边形 ABCE 为矩形. 又 AB=BC，四边形 ABCE
22、为正方形. AE=AB.等腰直角三角形 AMN 中， AN=AM，NAM=90 . 1+2=90. 又2+3=90，1=3. NAEMAB.NE=MB. 延长 NE、BM 交于点 F. 由NAEMAB 可得，AEN=ABM. 4=6. 5=6，4=5. 又EMF=BMC，EFB=C=90 . BMNE. 中考链接 18.（1）设 AB=10 xkm，则 AD=5xkm，CD=2xkm， 四边形 ABCD 是等腰梯形，BC=AD=5xkm， AD+CD+CB=12xkm， 外环公路的总长和市区公路长的比为 12x：10 x=6：5； （2）由（1）可知，市区公路的长为 10 xkm，外环公路的总
23、长为 12xkm，由题意得： 10121 408010 xx .解这个方程得1x .1010 x . 答：市区公路的长为 10km. 19.（1）略 （2）解：如下图所示，作 BHAD，CKAD， 则有 BC=HK， BAD=45 ，HAB=KDC=45 , 22ABBHAH， 同理：22CDCKKD， 2 ABCD ADBCHB S 梯形 ，ABa， 2 22 22 22 2 22 ABCD aBCa aaBC S 梯形 ， 而 2 3 4 ABEDCF SSa ， 2 2 23 2 24 aaBC a ， 62 2 BCa 巅峰突破 20.(1)10； 3 3. （2）如下图(a)、 （b
24、）所示. BEF 与梯形 ABCD 等高，梯形 ABCD 的高3DN ， 11 33 22 BEF SBFx ，即 3 2 yx； LS BEBFy ， L k BEBF （k为常数） ， kyS. 3 3 3 2 kx . 6 k x . 06, 04kx，k为整数，1, 2, 3x . 即 BF 的长为：1cm、2cm、3cm. 21.（1）略. (2)解：如下图所示，延长 CD 和 BE 的延长线交于 H， BFCD，BEC=90 ，HEC=90 ， EBF+H=ECH+H=90 ， EBF=ECH， BE=CE，BEC=CEH，BEGCEH（ASA） ， EG=EH，BG=CH=DH+
25、CD， BAECDE，AEB=GED，HED=AEB.GED=HED， ED=ED，GEDHED（SAS） ， DG=DH，BG=DG+CD， DG=2cm，BG=6cm， CD=BGDG=4（cm） 第四节 线段中点的应用 基础演练 1. C； 2.C； 3.B； 4.C 5.如下图所示，连接 CM，AM， DAB=BCD=90 ,M 为 BD 中点， CM= 1 2 BD=AM.AMC 为等腰三角形. N 为 AC 中点，MNAC. 6.如下图所示，连接 PR、PQ，ABC 是等边三角形， AB=AC=BC，A=B=C=60 . MPS 是等边三角形， PS=PM，MPS=60 . P 为
26、 AB 的中点，Q 为 AC 的中点，R 为 BC 的中点， 11 , 22 PQBCPRAC. PQ=PR. APQ=BPR=60 ，RPQ=180 2 60 =60 . 又QPS=MPSMPQ=60 MPQ， RPM=RPQMPQ=60 MPQ， QPS=RPM.PRMPQS. PM=QS. 7.AGD 是直角三角形 如下图所示，连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HF、HE， F 是 AD 的中点， HFAB，HE= 1 2 AB.1=3. 同理，HECD，HE= 1 2 CD.2=EFC. AB=CD，HF=HE， 1=2，EFC=60 . 3=EFC=AFG=60 . AGF 是
27、等边三角形. AF=GF.GF=FD.FGD=FDG=30 . AGD=90 .即AGD 是直角三角形. 能力提升 8. 2012 1 2 9. 39 64 10.点 E、F 分别是 AD、AB 的中点， EFBD，EF= 1 2 BD，FCD=CFE， 在ABC 中，ACB=90 . E 是 AD 的中点，CE= 1 2 AD. AD=BD，EF=CE.ECF=CFE. FCD=ECF.即 CF 是ECB 的平分线. 11.如下图所示，取 AD 中点 G，连接 EG、FG， E 是 AC 的中点，EG 是ACD 的中位线. EG= 1 2 CD.同理可证：FG= 1 2 AB. 在EFG 中
28、，EFEGFG. 1 2 EFCDAB. 12.点 E、F、G 分别是 BC、AB、AC 的中点， FGBC，FEAC，FE= 1 2 AC.FGED. FEAC，DG 与 AC 是相交的， DG 与 EF 不平行.四边形 EFGD 是梯形. AD 是三角形的高，ADC 是直角三角形. DG 是斜边上的中线，DG= 1 2 AC. DG=EF.梯形 EFGD 是等腰梯形. 13.（1）如图（a）所示，连接 CF，线段 CF 与 FE 之间数量关系是2CEFE； （2） （1）中的结论仍然成立. 如图（b）所示，连接 CF，延长 EF 交 CB 于点 G， 先送 2 根，再送 4 根，二次共走行
29、驶： 1000 1002110040025200 米； 先送 4 根，再送 2 根，二次共行驶： 10003002130020025600 米； （2）两次各送 3 根时，所行路程为 10002002120030025400 米. 故先送 2 根所行驶路程最短，最短总行程为： 100010021100400215004002 19004002230040019000 米 故所用最少油费为19000100019mnmn元 例6 如图所示， 在ABC中， C=90， BC=5， AB=13.点P到BC， CA， AB的距离分别为 123 ,ddd， 连接 PA，PB，PC，由三角形的面积公式知：
30、123 1111 512135 12 2222 ddd .即 123 5121360ddd.显然有 123123123 55121313ddddddddd. 故 123 60 12 13 ddd. 当 23 0dd时， 有 123 12ddd， 即 123 ddd取最大值时， P 与 A 重合； 当 12 0dd 时，有 123 60 13 ddd ，即 123 ddd取最小值时，P 与 C 重合. A 级 1.27 原式= 2 222 327abcabc 2.6 3.15 提示： 3 902 32 66 AABBC 27090 15 66 ABC 4. 1 2 2 c a 提示：,bacac
31、b ，2,2 c ac a ，又把bac 代入 bc中，得acc ， 1 2 c a .故 1 2 2 c a . 5.D 6.B 7.A 8.B 9.设 123 234 xyz k ，则21,32,43xkykzk . ,xyz均为非负实数. 210 320 4k+30 k k ，解得： 12 23 k. 故3453 214325 431426xyzkkkk. 12 142614261426 23 k，即 1 1935 3 ， 所以的最小值是 19，最大值是 1 35 3 . 10.20 套. 1800 元.提示：设生产 L 型号的童装套数为x，则生产 M 型号的童装为50 x套，所 得利润
32、4530 50151500Sxxx. 由 0.50.9 5038 0.2 5026 xx xx 得17.520 x，18, 19, 20 x . 11.最小表面积的打包方式为 23.最小表面积为 17952 2 mm，图略. B 级 1.27 当2,25ba时，ab的值最大. 2.102 提示：1998 , 19980mnnn. 3.1157 提示： 5864 , 8525 bbb acd. 4.B，D，E 93.62 百元 5.13800 元 提示：设由甲库调运 x 吨粮食到 B 市，总运费为 y 元，则 56 6006 8009 600 213800 0600 yxxxx xx 6.C 提
33、示： abcd abcdabcdabcdabcd abcd M ababcdcd . 故12M. 7.B 提示：设 AOD Sx ，则 36 BOC S x .故 3636 1313225Sxx xx 四边形ABCD . 8.（1） 2 222 122002122002 220122aaaaaamm. 2 122002 2012 2 aaa m . 当 122002 1aaa或1时，m取最大值2003001.当 122002 ,aaa中恰有1001个1， 1001 个1时，m取最小值1001. （2）因为大于 2002 的最小完全平方数为 2 452025，且 122002 aaa必为偶数，所
34、以 122002 46aaa或46；即 122002 ,aaa中恰有 1024 个 1，978 个1或 1024 个1， 978 个 1 时，m 取得最小值 2 1 46200257 2 . 9.由条件得： 2005 22222 121120062005 0,44,44aaaaaaa，以上各式相加，得 2 1220052006 44 20050aaaa ，故 122005 2005aaa .由已知 122005 ,aaa都是偶数，因此 122005 2004aaa .另一方面，当 132005 0aaa， 242004 2aaa 时，符合条件，且使上式等号成立，故所求的 最小值是2004. 1
35、0.仓库地址应选在 C 处，假定仓库另选一地 O，设,ABc BCa CAbAOx BOy COz，（单位：千米） ，又假定 A 厂产量为2m，B 厂产量为3m，C 厂产量为5m， （单 位：吨）.仓库在 O 处的总运费可表示为235mxmymz；仓库在 C 处的 组无解，这种情况不可能； 若38c ，则1S ，代入、得 10 ,2 3 abab，解得 5757 , 33 ab ， 而 8 3 c ，且 222 abc. 故这样的直角三角形存在，且只有一个. 10. 15 提示：将三ADC，ADB 分别沿 AC，AB 折叠至AEC，AFB.延长 FB，EC 交于 G， 设 AD=x，则 AE=
36、AF=x，FB=BD=3,易证:四边形 AFGE 为正方形，EC=DC=2. 222 BGCGBC，即 22 3225xx. 解得：6x . 1 15 2 ABC SBC AD 11. 222 EFBECF 提示：将BAE 绕 A 点旋转 90得 CAE，连接 E F， 则 BAECAE， EAFE AF. 12.（1）将ACM 沿直线 CM 对折，得DCM，连 DN. DCMACM，CD=CA，DM=AM，DCM=ACM，CDM=A. 又CA=CB，CD=CB. 由DCN=MCNDCM=45DCM，BCN=ACBMCNACM=9045 ACM =45ACM，得DCN=BCN，又 CN=CN， CDNCBN.DN=BN，CDN=B，MDN=CDM+CDN=A+B=90. 在 RtMDN 中， 222 MNDMDN，即 222 MNAMBN. （2）关系式仍成立，同理可证.
