专题23 圆与圆的位置关系(9年级数学 培优新帮手).doc

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1、 专题专题 23 23 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 【阅读与思考】【阅读与思考】 两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆 相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点,解题中经常用到相关性质. 解圆与圆的位置关系问题,往往需要添加辅助线,常用的辅助线有: 1.1.相交两圆作公共弦或连心线; 2.2.相切两圆作过切点的公切线或连心线; 3.3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形. 熟悉以下基本图形和以上基本结论. 【例题与求解】【例题与求解】 【例例 1 1】 如图,大圆O 的直径aABcm,分别以 OA,OB 为直径作

2、O1和O2,并在O 与O1 和O2的空隙间作两个等圆O3和O4,这些圆互相内切或外切,则四边形 3241 OOOO的面积为 _cm 2. (全国初中数学竞赛试题) 解题思路:解题思路:易证四边形 3241 OOOO为菱形,求其面积只需求出两条对角线的长. O O2O1 O3 O4 BA 【例【例 2 2】 如图,圆心为 A,B,C 的三个圆彼此相切,且均与直线l相切.若A,B, C 的半径分别为a,b,c(bac0) ,则a,b,c一定满足的关系式为( ) A.cab2 B.cab2 C. bac 111 D. bac 111 (天津市竞赛试题) 解题思路:解题思路:从两圆相切位置关系入手,分

3、别探讨两圆半径与分切线的关系,解题的关键是作圆的基本 辅助线. l C A1C1 B1 B A 【例【例 3 3】 如图,已知两圆内切于点 P,大圆的弦 AB 切小圆于点 C,PC 的延长线交大圆于点 D.求证: (1)APD=BPD; (2)CBACPCPBPA 2 . (天津市中考试题) 解题思路:解题思路:对于(1) ,作出相应辅助线;对于(2) ,应化简待证式的右边,不妨从 ACBC=PCCD 入手. P B C D A 【例【例 4 4】 如图O1和O2相交于点 A 及 B 处,O1的圆心落在O2的圆周上,O1的弦 AC 与O2 交于点 D.求证:O1DBC. (全俄中学生九年级竞赛

4、试题) 解题思路:解题思路:连接 AB,O1B,O1C,显然O1BC 为等腰三角形,若证 O1DBC,只需证明 O1D 平分 B O1C.充分运用与圆相关的角. O1 O2 D B C A 【例【例 5 5】 如图,在直角梯形 ABCD 中,ADBC,ABBC,AD=1,AB=2,DC=22,点 P 在边 BC 上 运动(与 B,C 不重合).设 PC=x,四边形 ABPD 的面积为y. (1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)若以 D 为圆心, 2 1 为半径作D,以 P 为圆心,以 PC 的长为半径作P,当x为何值时,D 与 P 相切?并求出这两圆相切时四边形 AB

5、PD 的面积. (河南省中考题) 解题思路:解题思路:对于(2) ,P 与D 既可外切,也可能内切,故需分类讨论,解题的关键是由相切两圆 的性质建立关于x的方程. D C P B A 【例【例 6 6】 如图,ABCD 是边长为a的正方形,以 D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆交 于另一点 P,延长 AP 交 BC 于点 N,求 NC BN 的值. (全国初中数学联赛试题) 解题思路:解题思路:AB 为两圆的公切线,BC 为直径,怎样产生比例线段?丰富的知识,不同的视角激活想象, 可生成解题策略与方法. N P BA CD 【能力与训练】【能力与训练】 A A 级级 1.

6、.如图,A,B 的圆心 A,B 在直线l上,两圆的半径都为 1cm.开始时圆心距 AB4cm,现A, B 同时沿直线l以每秒 2cm 的速度相向移动,则当两圆相切时,A 运动的时间为_秒. (宁波市中考试题) 2. .如图,O2是O1上任意一点,O1和O2相交于 A,B 两点,E 为优弧 AB 上的一点,EO2及延长线 交O2于 C,D,交 AB 于 F,且 CF1,EC2,那么O2的半径为_. (四川省中考试题) (第 1 题图) (第 2 题图) (第 3 题图) 3.3.如图,半圆 O 的直径 AB4,与半圆 O 内切的动圆 O1与 AB 切于点 M.设O1的半径为y,AM 的长 为x,

7、则y与x的函数关系是_.(要求写出自变量x的取值范围) (昆明市中考试题) 4.4.已知直径分别为151和315 的两个圆,它们的圆心距为115 ,这两圆的公切线的条数是 _. 5.5.如图, O1和O2相交于点 A, B, 且O2的圆心 O2在圆O1的圆上, P 是O2上一点.已知A O1B 60,那么APB 的度数是( ) A.60 B.65 C.70 D.75 (甘肃省中考试题) 6.6.如图,两圆相交于 A、B 两点,过点 B 的直线与两圆分别交于 C,D 两点.若O1半径为5,O2 的半径为 2,则 AC:AD 为( ) A.52:3 B.3:52 C.1:52 D.2:5 (第 5

8、 题图) (第 6 题图) (第 7 题图) 7.7.如图,O1和O2外切于点 T,它们的半径之比为 3:2,AB 是它们的外公切线,A,B 是切点,AB 64,那么O1和O2的圆心距是( ) A.65 B.10 C.610 D. 13 3920 8.8.已知两圆的半径分别为 R 和r(rR ) ,圆心距为d.若关于x的方程0)(2 22 dRrxx有两 相等的实数根,那么这两圆的位置关系是( ) A.外切 B.内切 C.外离 D.外切或内切 l BA F C E B A D O1 O2 O1 BOMA O1 O2 P B A O2 D B C A O1 B A T O1O2 (连云港市中考试

9、题) 9.如图,O1与O2相交于 A,B 两点,点 O1在O2上,点 C 为O1中优弧AB 上任意一点,直线 CB 交O2于 D,连接 O1D. (1)证明:DO1AC; (2)若点 C 在劣弧AB 上, (1)中的结论是否仍成立?请在图中画出图形,并证明你的结论. (大连市中考试题) D B C A O1 O2 O1 O2 B A 图 1 图 2 10. .如图,已知O1与O2外切于点 P,AB 过点 P 且分别交O1和O2于点 A,B,BH 切O2于点 B, 交O1于点 C,H. (1)求证:BCPHAP; (2)若 AP:PB3:2,且 C 为 HB 的中点,求 HA:BC. (福州市中

10、考试题) O1 O2 P A B C H 11.如图,已知B,C 的半径不等,且外切于点 A,不过点 A 的一条公切线切B 于点 D,切C 于 点 E,直线 AFDE,且与 BC 的垂直平分线交于点 F.求证:BC2AF. (英国数学奥林匹克试题) H F A E D C B 12. .如图,AB 为半圆的直径,C 是半圆弧上一点.正方形 DEFG 的一边 DG 在直径 AB 上,另一边 DE 过 ABC 得内切圆圆心 O,且点 E 在半圆弧上. (1)若正方形的顶点 F 也在半圆弧上,求半圆的半径与正方形边长的比; (2)若正方形 DEFG 的面积为 100,且ABC 的内切圆半径4r,求半

11、圆的直径 AB. (杭州市中考试题) O C EF D G B A B 级级 1. .相交两圆的半径分别为 5cm 和 4cm,公共弦长为 6cm,这两圆的圆心距为_. 2. .如图,O 过 M 点,M 交O 于 A,延长O 的直径 AB 交M 于 C.若 AB8,BC1,则 AM _. (黑龙江省中考试题) (第 2 题图) (第 3 题图) (第 4 题图) 3. .已知圆环内直径为acm,外直径为bcm,将 50 个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链, 那么这条锁链拉直后的长度为_cm. 4. .如图,已知 PQ10,以 PQ 为直径的圆与一个以 20 为半径的圆相切于点 P.正

12、方形 ABCD 的顶点 A, B 在大圆上,小圆在正方形的外部且与 CD 切于点 Q.若 ABnm,其中m,n为整数,则 b-a 2 a aa b-a 2 O A B C M Q D CB A P nm_. (美国中学生数学邀请赛试题) 5. .如图,正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 M,且分正方形为 4 个三角形,O1,O2,O3, O4,分别为AMB,BMC,CMD,DMA 的内切圆.已知 AB1.则O1,O2,O3,O4 所夹的中心(阴影)部分的面积为( ) A. (4)(32 2) 16 B. (32 2) 4 C. (4)(32 2) 4 D. 4 16 (太原市竞赛试

13、题) M O4 O3 O1 O2 D C B A C D E A B O1 O2 D C B A O1 O2 (第 5 题图) (第 6 题图) (第 7 题图) 6. .如图,O1与O2内切于点 E,O1的弦 AB 过O2的圆心 O2,交O2于点 C,D.若 AC:CD:BD 2:4:3,则O2与O1的半径之比为( ) A.2:3 B.2:5 C.1:3 D.1:4 7. .如图,O1与O2外切于点 A,两圆的一条外公切线与O1相切于点 B,若 AB 与两圆的另一条外公 切线平行,则O1与O2的半径之比为( ) A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.2:3 (全国初中数学联赛试题) 8.

14、.如图,已知O1与O2相交于 A,B 两点,过点 A 作O1的切线,交O2于点 C,过点 B 作两圆的 割线分别交O1,O2于点 D,E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:PA PEPC PD (2)当 AD 与O2相切且 PA6,PC2,PD12 时,求 AD 的长. (黄冈市中考试题) EP C B D A O2 O1 9. .如图,已知O1和O2外切于 A,BC 是O1和O2的公切线,切点为 B,C.连接 BA 并延长交O1 于 D,过 D 点作 CB 的平行线交O2于 E,F. (1)求证:CD 是O1的直径; (2)试判断线段 BC,BE,BF 的大小关系,并证明你的结论.

15、 (四川省中考试题) O1 O2 D E F A C B 10. .如图,两个同心圆的圆心是 O,大圆的半径为 13,小圆的半径为 5,AD 是大圆的直径,大圆的弦 AB,BE 分别与小圆相切于点 C,F,AD,BE 相交于点 G,连接 BD. (1)求 BD 的长; (2)求2ABED 的度数; (3)求 BG AG 的值. (淄博市中考试题) G O E F C A D B 11. .如图,点 H 为ABC 的垂心,以 AB 为直径的O1与BCH 的外接圆O2相交于点 D,延长 AD 交 CH 于点 P.求证:P 为 CH 的中点. ( “ 数学周报杯”全国初中数学竞赛试题) B D H C P A O1 O2 12. .如图,已知 AB 为半圆 O 的直径,点 P 为直径 AB 上的任意一点,以点 A 为圆心,AP 为半径作A, A 与半圆 O 相交于点 C,以点 B 为圆心,BP 为半径作B,B 与半圆 O 相交于点 D,且线段 CD 的 中点为 M.求证:MP 分别与A,B 相切. ( “ 数学周报杯”全国初中数学竞赛试题) M PO B A C D

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