1、 理科数学试题理科数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.若复数Z满足(2 )5i z，则在复平面内与复数Z对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 已知集合 2 4 log1 ,exAxxBx 1 则AB A,2 B. ,2 C.0,2 D. 0,2 3.“为第一或第四象限角”是“cos 0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不
2、充分也不必要条件 4. 在等差数列 n a中，若 123 36aaa， 111213 84aaa，则 59 aa A30 B35 C40 D45 5.若 n x x) 1 3（的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为 A540 B162 C162 D540 6函数 2 1 ( )ln | 1 f xx x 的图像大致是 A B C D 7.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点， 若AFxAByAD则, x y是 A. 3 1 4 4 ， B. 2 1 3 3 ， C. 1 3 2 4 ， D. 2 1 3 2 ， 8. 双曲线 22 22 :1(0,0) xy
3、 Cab ab 的渐近线与圆0 5 1 2 22 xyx相切，则双曲线C 的离心率为 A. 2 5 B.2 C.5 D. 2 17 9.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中 国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某 校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足 “数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为 A. 7 10 B. 7 60 C. 27 60 D. 47 60 10点A，B，C在球O表面上，2AB =，4BC =，60ABC，若球心O到截面ABC的 距
4、离为2 2，则该球的体积为 A 32 3 B.8 6 C.36 D.32 3 11.已知O为坐标原点，抛物线 2 2Cypx： 上一点A到焦点F的距离为4，若点M为抛物 线C准线上的动点，给出以下命题： 当MAF为正三角形时，p的值为2； 存在M点，使得 0MFMA ； 若 3MFFA ，则p等于3； OMMA的最小值为2 13，则p等于4或12. 其中正确的是 A B C D 12.已知实数ba,满足2) 3()2( 22 ba，则对任意的正实数x， 22 ()(ln)xaxb的 最小值为 A.23 B.8 C.22 D.18 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，
5、每小题 5 分，共分，共 20 分分. . 13.xxf x- 2e)( 1 的图像在1x处的切线方程为 . 14.已知实数 , x y满足约束条件 4 0 4 xy xy x ，则 22 (1)xy 的最小值 为 . 15.在锐角ABC中，角, ,A B C的对边分别为 , ,a b c，ABC的面积为S，若 222 4Sbca ， 6b ， 2 2coscos20BB， 则ABC的面积S为 . 16.已知等边ABC的边长为2，过点A的直线l与过BC的平面交于点D，将平面绕 BC转动（不与平面ABC重合） ，且三条直线 ACABl,与平面所成的角始终相等. 当三棱 锥BCDA体积最大时，直线
6、l与平面所成角的正弦值为 . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明或演算步骤分，解答应写出文字说明或演算步骤. 17. （本小题满分 10 分） 已知函数 f xm n，向量cossin ,2 3sinmxxx，sincos ,cosnxxx，在锐 角 ABC中内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 1f A . (1)求角 A的大小； (2)求 12 fB 的取值范围. 18.（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥SABCD-满足SA平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O， 4SAAB=，侧棱SC上有一点E满足3S
7、EEC= (1)证明：OE 平面SDB； (2)求二面角EBDC-的余弦值 19. （本小题满分 12 分） 已 知 数 列 n a中 1 1a 且 121 1 nn aaaa . 数 列 n b中 1 1b 且 1( 1,) 1 nn n bbnnN n . (1)求数列 n a和 n b的通项公式； (2)设 nnn cab，求数列 n c的前n项和为 n T，并求使得 2 1 (5 ) 6 n Tmm恒成立的最大正 整数m的值. 20.（本小题满分 12 分） 某省在高考改革试点方案中规定：从 2017 年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020 年 开始，高考总成绩由语数外三门统考
8、科目和物理、化学等六门选考科目构成将每门选考科 目的考生原始成绩从高到低划分为A、B 、B、C、C、D、D、E共 8 个等级 参 照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、 7%、3%选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例 转换法则， 分别转换到91,100、81,90、71,80、61,70、51,60、41,50、31,40、 21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩某校高一年级共 2000 人，为给高一学生合理 选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 2 (60,13 )N
9、 (1)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数； (2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取 3 人，记X表示这 3 人中等级成绩在区间 61,80的人数，求X的分布列和数学期望 附：附：若随机变量 2 ,N ，则()0.682P， (22 )0.954P ，(33 )0.997P. 21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :10 yx Cab ab 的离心率为 2 2 ， 且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 2 2. (1)求椭圆C的方程； (2)过点 1 ,0 3 S 的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T， 使得无论直线l如何转动， 以AB为
10、直径的圆恒过点T？若存在， 求出点T的坐标； 若不存在， 请说明理由. 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 2 lnf xaxbxx (1)当2a 时，函数( )f x在0,上是减函数，求b的取值范围； (2)若方程 0f x 的两个根分别为 1212 ,x xxx，求证： 12 0 2 xx f . 答案答案 一、选择题：一、选择题：DDACA ACCBD C B 二、填空题：二、填空题：13.210 xy 14.13 15. 3+ 3 2 16. 21 7 三、解答题：三、解答题： 17.解： （1）由题意， (cossin )(sincos )2 3sin cosf xm nxx
11、xx xx 22 sincos2 3sin cosxxxx 31 3sin2cos22sin2cos22sin(2) 226 xxxxx ， 2sin(2)1 6 fAA ，又A为锐角， 6 A 5 分 （2）由（1） 5 6 BC ，又,B C均为锐角，所以 23 B ， 333 2 2B ， 3 sin 21 26 B ，2sin 2 123 fBB ( 3,210 分 18.解析：（1） 法一： 如图， 在平面SBC内， 过点E作/EMCB交SB于点M， 则有3SMMB, 连OM，取SB的中点F，连接DF.,SAABCD因为面 ,SADBDBACSAACA所以，又， ， ,DBSAC所以
12、，面 OESAC 面，所以OEDB2 分 又因为,SABCABBC SAABA， 所以，,BCSAB面,SBSAB面所以 ,BCSB 又/EMCB， 所以,EMSB易知SDB为等边三角形， 则DFSB,由3SMMB得M 为BF的中点，在DFB中，O为DB的中点，则有/OMDF,从而有OMSB 因为,OMEMM OM EMOEM面 所以,SBOEM面4 分 又OEOEM面，所以，OESB 因为,BDSBB BD SBSDB面 所以，OESDB面6 分 法二：以A为坐标原点，,AB AD AS所在直线分别为, ,x y z轴建系如图： 则(0,0,4),(4,4,0), (4,0,0),(0,4,
13、0)(2,2,0)SCBDO，由4(3, 3,1)SCECE，得2 分(1,1,1)OE ,(4, 4,0),(4,0, 4)DBSB 440,OE DB 440,OE SB ,OEDB OESB4 分 ,OEDB OESB SB DBSDB SBDBB面 所以，OESDB面6 分 （2）易得平面 1 (0,0,1)BDCn 法向量8 分 设平面 2 ( , , )BDEnx y z法向量，(4, 4,0),( 1,3,1)DBBE 由 2 2 nDB nBE 得, 2 2 =0 =0 nDB nBE 即 440 30 xy xyz 取 2 (1,1, 2)n 10 分 则 12 26 cos
14、, 36 n n ，所以,锐二面角EBD C的余弦值为 6 3 12 分 19.解： （1）因为 121 1 nn aaaa ， 当2n时， 121 1 nn aaaa ， 两式相减得 1 2(2) nn aa n ； 当1n 时， 21 12aa ，所以 21 2aa； 所以数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 1 2n n a .3 分 数列 n b中, 1 1b ,满足 1( 1,) 1 nn n bbnnN n . 即 1 1 n n bn bn ， 1 2 1 2 n n bn bn ， 2 3 2 3 n n bn bn ， ， 3 2 3 2 b b ， 1 2
15、2 1 b b 等式左右两边分别相乘可得 1 1 n bn b ，而 1 1b ，所以 n bn.6 分 （2） nnn cab,由（1）可得 1 2n n cn ,数列 n c的前n项和为 n T 则 12321 1223 222122 nnn n Tnnn 12321 21 2223 222122 nnn n Tnnn 两式相减可得 12321 1222222 nnn n Tn 212 nn n Tn , 所以121 n n Tn 因为121 n n Tn为递增数列,所以 1 1211 n n TnT 9 分 故 2 1 (5 ) 6 n Tmm只需 2 1 1(5 ) 6 mm,变形可得
16、160mm 所以16m ,即最大正整数m值为612 分 20.解： （1）因为物理原始成绩 2 60,13N， 所以(4786)(4760)(6086)PPP 11 (60 1360 13)(602 13602 13) 22 PP 0.6820.954 22 0.818 3 分 所以物理原始成绩在（47，86）人数为2000 0.818 1636（人） 5 分 （2）由题意得，随机抽取 1 人，其成绩在区间61,80内的概率为 2 5 6 分 所以随机抽取三人，则X的所有可能取值为 0,1,2,3，且 2 3, 5 XB ， 所以 3 327 0 5125 P X ， 2 1 3 2354 1
17、 55125 P XC ， 2 2 3 2336 2 55125 P XC ， 3 28 3 5125 P X 9 分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 10 分 因为 2 (3, ) 5 XB,所以数学期望 26 3 55 E X 12 分 21. 解： （1）由椭圆定义可得2 2 2a ，则 2a ， 又椭圆C的离心率为 2 2 c e a ，1c ，则 22 1bac ， 因此，椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 y x；4 分 （2） 当直线l不与x轴重合时， 可设直线l的方程为 1 3 xmy， 设点 11 ,A x y、
18、 22 ,B x y ， 设点T的坐标为,0t， 联立 2 2 1 3 1 2 xmy y x ，消去x并整理得 22 18912160mymy ， 222 14464 189144 940mmm 恒成立， 由韦达定理得 12 22 124 18963 mm yy mm ， 12 2 16 189 y y m ，6 分 由于以AB为直径的圆恒过点T，则TATB， 11 1 , 3 TAmyty ， 22 1 , 3 TBmyty ， 2 2 12121212 1111 1 3333 TA TBmytmyty ymy ym tyyt 8 分 2 222 22 1 16112 12201611 3
19、 0 18933189 mm tm tm tt mm ， 10 分 由于点T为定点，则t为定值，所以12 2016 189 t ，解得1t ， 此时 2 416 0 39 TA TB ，合乎题意； 当直线l与x轴重合时，则AB为椭圆的短轴，此时，点T与点A或点B重合，合乎题意. 综上所述，直线l恒过定点1,0T.12 分 22.解： （1） f x在0,上递减， 1 40fxb x 对0,x恒成立. 即 1 4bx x 对0,x恒成立，所以只需 min 1 4bx x . 0 x， 1 44x x ， 当且仅当 1 2 x 时取“”，4b .5 分 （2）由已知，得 2 1111 2 2222
20、 ln0 ln0 f xaxbxx f xaxbxx ， 2 111 2 222 ln ln xaxbx xaxbx 两式相减， 得 1 1212121212 2 ln x a xxxxb xxxxa xxb x . 由 1 2fxaxb x 知 12 12 12 2 2 xx fa xxb xx 7 分 1 122 111 1 1221212212122 2 21 21211 lnlnln 1 x xxxxxx x xxxxxxxxxxxxx x ， 9 分 设 1 2 0,1 x t x ，则 1 2 1 1 2 2 21 21 lnln 1 1 x txx g tt x xt x 2 22 114 0 11 t g t t tt t . g t在0,1上递增， 10g tg. 12 0 xx， 1 2 1 1 12212 2 21 11 ln 1 x xx x xxxxx x 0g t . 即 12 0 2 xx f .12 分
