1、 新教材 2020-2021 学年上学期高三第一次月考备考金卷 数数学（学（A） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1 12 2 小题，每小题小题，每小题 5 5
2、 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1已知集合 2 20Ax xx ， 2 430Bx xx ，则AB （ ） A 1x x 或1x B 23xx C 1 3xx D 12xx 2设复数izxy（其中x，y为实数） ，若x，y满足 22 (2)4xy，则2iz（ ） A42i B22i C2 D4 3可知 1 5 5a ， 4 1 log 5 b ， 1 4 1 log 5 c ，则（ ） Aacb Babc Ccab Dcba 4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51 2 （
3、51 0.618 2 称为黄金分割比例） ，已知一位美女身高160 cm，穿上高跟鞋后肚脐至鞋底的长 度约103.8cm，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是（ ） （结果保留一 位小数） A8.1cm B8.0 cm C7.9 cm D7.8cm 5函数 cos2 ( ) | x f x x 的图象大致为（ ） A B C D 6回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如323，5445等，在所有小于200的 三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于5的概率为（ ） A 2 5 B 1 3 C 2 9 D 4 15 7已知非零向量a，b满足|3|ab
4、且(3 )()abab，则a与b夹角为（ ） A 3 B 6 C 2 D0 8已知 n S为等差数列 n a的前n项和， 7 14S ， 6 8a ，则（ ） A310 n an B24 n an C 2 319 n Snn D 2 313 44 n Snn 二、多项二、多项选择题：选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共，共 2020 分在分在每小题每小题给出给出的选项中，的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 3 3 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9已知直线 2 1:(2 3
5、)320lmxy和直线 2: 350lmxy平行，则m（ ） A1 B1 C 2 3 D 3 2 10已知4，n，9成递增等比数列，则在 2 (4)nx x 的展开式中，下列说法正确的是（ ） A二项式系数之和为64 B各项系数之和为1 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 C展开式中二项式系数最大的项是第4项 D展开式中第5项为常数项 11若椭圆 22 1 169 xy 上的一点P到椭圆焦点的距离之积为a，当a取得最大值时，点P的坐标可 能为（ ） A( 4,0) B(4,0) C(0,3) D(0, 3) 12已知函数 2222 ( )4()() xx f xxxmm e
6、e 有唯一零点，则m的值可能为（ ） A1 B1 C2 D2 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13曲线 2 ( )1 x f xxex在0 x处的切线方程为 14已知 1 sin() 48 ，则 cos() 4 ， 3 sin() 4 15兵乓球单打比赛在甲、乙两名运动员进行，比赛采取五局三胜制（即先胜 3 局者获胜，比赛结 束） ，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，且各局比赛结果相互独立，那么甲以3:2获胜的 概率为 16已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线分别为直线 1 l， 2 l，
7、经过右焦点F且垂直于 1 l的直线l分别交 1 l， 2 l于A，B两点，且3FBAF，则该双曲线的离心率为 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）若数列 n a满足 123 1111 231 n n aaanan （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 ，求数列 n b的前n项和 n T 2 n n n a a b ， 1 1 n nn b a a ，( 1)n nn ba （从这三个条件中任选一个填入第（2）问的横线中，并回答问题） 18（1
8、2 分） 在锐角三角形ABC中， 角A，B，C的对边分别为a， b，c， 已知( )(sinsin)caAC (sin2sin)bBA （1）求角C的大小； （2）求 22 2 coscos 5 AB且ba，求sin2A 19 （12 分）如图，在直三棱柱AEDBFC中，底面AED是直角三角形，且EAAD， 3ABAEAD，其中M，N分别是AF，BC上的点且 1 3 FMCN FACB （1）求证：MN平面CDEF； （2）求二面角A CFB的正弦值 20 （12 分）某厂加工的零件按箱出厂，每箱有12个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验， 人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取5个零
9、件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则 停止检验；若抽取的零件至少有 1 个至多有4个次品，则对剩下的7个零件逐一检验已知每个零 件检验合格的概率为0.9，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为3元 （1）设 1 箱零件人工检验总费用为X元，求X的分布列； （2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的 检验费为2元，现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检 验中，应该选择哪一个？说明你的理由 21 （12 分）过点(1,0)E的直线l与抛物线 2 2yx交于A，B两点，F是抛物线的焦点 （1）若直线
10、l的斜率为3，求|AFBF的值； （2）若 1 2 AEEB，求|AB 22 （12 分）已知函数 222 ( )(1 2)lnf xxaxax，当1ae时，证明： （1）( )f x有唯一极值点； （2）( )f x有2个零点 新教材 2020-2021 学年上学期高三第一次月考备考金卷 数数学（学（A）答案答案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 【答案】B 【解析】由题意可知，1Ax x或2x ， 13Bxx， 则
11、 23ABxx，故选 B 2 【答案】C 【解析】izxy，2i(2)izxy， 22 2i(2)42zxy， 故选 C 3 【答案】C 【解析】 1 0 5 0551 ， 4 1 log0 5 b ， 144 4 1 loglog 5log 41 5 c ， cab，故选 C 4 【答案】B 【解析】设该美女穿的高跟鞋为 cmx ，则 103.851 0.618 1602x ，解得8.0 x ， 故选 B 5【答案】C 【解析】易知函数 cos2 ( ) | x f x x 为偶函数，排除 A，B 选项； cos 2 ( )0 4 4 f，当 (0,) 4 x时，cos20 x，即( )0f
12、 x ，排除 D 6 【答案】B 【解析】列出所有小于200的三位回文数如下：101，111，121，131，141，151，161，171， 181，191共10个，从中任取两个数共有 2 10 C45种情况， 其中两个回文数的三位数字之和均大于5有 2 6 C15种情况， 故所求概率为 151 453 P ，故选 B 7【答案】C 【解析】(3 )()abab，则(3 ) ()0abab，得 22 |23|0 aa bb， 22 3| 2 ba a b， 设a与b夹角为，则 22 3| cos0 2| | ba ab ，即夹角为 2 8 【答案】A 【解析】由题意得 1 1 72114 5
13、8 ad ad ，解得 1 7 3 a d ，故 2 317 22 310 n n Snn an 二、多项二、多项选择题：选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共，共 2020 分在分在每小题每小题给出给出的选项中，的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 3 3 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9 【答案】AD 【解析】直线 2 1:(2 3)320lmxy和直线 2: 350lmxy平行， 直线 1 l的斜率为 2 1 23 3 m k ，直线 2 l的斜率为 2 3 m k ，
14、 则 12 kk，即 2 23 33 mm ，解得1m或 3 2 10 【答案】ACD 【解析】由4，n，9成递增等比数列可得6n， 故 6 2 (4)x x 的二项式系数之和为64，A 正确； 令1x ， 66 2 (4)264x x ，则 6 2 (4)x x 的各项系数之和为64，B 错误； 6 2 (4)x x 的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C 正确； 6 2 (4)x x 的展开式中展开式中第5项 424 6 2 C (4 ) ()15 16 16x x 为常数项，D 正确， 故答案选 ACD 11 【答案】CD 【解析】记椭圆 22 1 169 xy 的两个焦点分
15、别为 1 F， 2 F，故 12 | 8PFPF， 可得 2 12 12 | | ()16 2 PFPF PFPF ，当且仅当 12 | | 4PFPF时取等号， 即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，a取得最大值， 此时点P的坐标为点(0,3)或(0, 3) 12 【答案】BC 【解析】 22222222 ( )4()()(2)4()() xxxx f xxxmm eexmm ee ， 令2tx，则 22 ( )4()() tt g ttmm ee ，定义域为R， 22 ()()4()()( ) tt gttmm eeg t ，故函数( )g t为偶函数， 所以函数( )f x的图象关于2x 对称
16、， 要使得函数( )f x有唯一零点，则(2)0f， 即 2 4 82()0mm ，解得1m或2， 故答案选 BC 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】1 0 xy 【解析】( )2 xx fxex ex ，(0)1f ， 根据导数的几何意义可知曲线在点(0, 1)处的切线斜率为(0)1k f ， 切线方程为1yx ，即10 xy 14 【答案】 1 8 ， 3 7 8 【解析】 1 sin() 48 ，则 1 cos()cos()sin() 42448 ， 3 sin()sin()cos() 4244 ， 根据 2
17、2 sin ()cos ()1 44 ，得 3 7 cos() 48 15 【答案】 3 16 【解析】因为利用比赛规则，那么甲以3:2获胜表示甲在前 4 局中胜 2 局，最后一局甲赢， 则利用独立重复实验的概率公式可知 222 4 1113 C( )( ) 22216 P 16 【答案】 6 2 【解析】由题意得FAb，3FBb，OAa， 由题得tantan b BOFAOF a ， 2 4 tantan2 1 ( ) bb b aa BOABOF b a a ， 整理得 22 2ab，即 222 2()aca， 22 32ac， 2 3 2 e ，即 6 2 e 四、解答题：本四、解答题：
18、本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）1 n an； （2）见解析 【解析】 （1） 123 1111 231 n n aaanan ， 当2n时， 123 11111 23(1) n n aaanan ， 两式相减得 111 1(1) n nn nannn n ，1 n an， 当1n 时， 1 2a 满足，1 n an， 数列 n a的通项公式为1 n an （2）选条件 1 1 22 n n n an an b ， 2341 2341 2222 n n n T ，
19、3452 12341 22222 n n n T ， 两式相减得 1 234122 11 (1) 12111111 82 1 22222222 1 2 n n nnn nn T 122 31133 42242 nnn nn ， 1 33 22 n n n T 选条件： 1 1111 (1)(2)12 n nn b a annnn ， 1111111111 233445122224 n n T nnnn 选条件： ( 1)n nn ba ， 当n为奇数时， 13 2345(1)11 222 n nn Tnn ； 当n为偶数时，234(1)1 22 n nn Tn ， 3 22 2 n n n T
20、 n n ， 为奇数 ，为偶数 18 【答案】 （1） 4 C ； （2） 614 10 【解析】 （1）由正弦定理得()()(2 )ca acb ba，故 222 2caab b ， 即 222 2abcab ， 222 2 cos 22 abc C ab ， (0,)C， 4 C （2） 4 C ， 3 22 2 BA， 22 1 cos21 cos2 coscos 22 AB AB 1122 (cos2cos2 ) 11(cos2sin2 )1sin(2) 22245 ABAAA ， 3 2 sin(2) 45 A， ba，BA，即 3 4 AA，得 3 8 A， 又ABC为锐角三角形，
21、 3 442 A， 42 A 3 48 A， 则 2 442 A， 7 cos(2) 45 A， sin2sin(2)sin(2) coscos(2) sin 444444 AAAA 3 2272614 525210 19 【答案】 （1）证明见解析； （2） 6 3 【解析】 （1）证明：如下图，分别在FC，EF上取点P，Q， 1 3 CPFQ CFFE ， 连接NP，PQ及MQ， 1 3 FMCN FACB ， 1 3 MFFQ MQAE FAFE 及 1 3 MQAE， 1 3 CNCP NPBF CBCF 且 1 3 NPBF， MQNP，MQNP，四边形MNPQ为平行四边形，MNQP
22、， 又MN 平面CDEF，QP 平面CDEF，MN平面CDEF （2）如下图所示，以A为坐标原点，AE方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，AB方向为 z轴正方向建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)A，(3,0,3)F，(0,3,3)C，(0,0,3)B，(3,0,3)AF ，(0,3,3)AC ， 由题易知平面BCF的法向量为 1 (0,0,1)n， 设平面ACF的法向量为 2 ( , , )x y zn， 则 2 2 0330 330 0 AFxz yz AC n n ，取1x ，则 2 (1,1, 1)n， 12 12 12 13 cos, 33 n n n n nn ，则二面角A
23、CFB的正弦值为 6 3 20 【答案】 （1）分布列见解析； （2）人工检验，详见解析 【解析】 （1）X的可能取值为15，36， 55 (15)0.90.10.590490.000010.5905P X ， (36)1 0.59050.4095P X ， 则X的分布列为 （2）由（1）知，()15 0.590536 0.409523.5995E X ， 1000 箱零件的人工检验总费用的数学期望为()1000 23.599523599.5E X 元 1000 箱零件的机器检验总费用的数学期望为2 12 100024000元， 且2400023599.5，应该选择人工检验 21 【答案】 （
24、1） 29 9 ； （2） 3 5 2 【解析】设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， （1）由题意可知直线l的方程为33yx， 由 2 2 33 yx yx ，消去y，得 2 92090 xx， 12 20 9 xx， 12 2029 |1 99 AFBFxxp （2）由 1 2 AEEB，可知 21 2yy ， 设直线l的方程为ykxk， 由 2 2yx ykxk ，消去x，得 2 220kyyk， 2 480k恒成立， 12 2 yy k ， 12 2y y ， 由解得 1 2 1 2 y y 或 1 2 1 2 y y ， 12 2 | | 1yy k ，得 2 11
25、4k ， 13 5 |11 8 42 AB 22 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 （1）( )f x的定义域为(0,)， 2222 2 2(1 2) ( )2(1 2) axaxa fxxa xx 2 (21)()xxa x ， 当 2 (0,)xa时，( )0fx，( )f x单减；当 2 (,)xa时，( )0fx，( )f x单增， ( )f x有唯一极值点 （2）由（1）知( )f x在 2 (0,)a单减，在 2 (,)a 单增， ( )f x在 2 xa时取得极小值为 2222 ()(1ln)f aaaa， 1ae， 2 1ae， 2 ln0a ， 2 ()0f a， 又 2 22 22 111 2112 ( )(1)0 a faa eeeeee ， 根据零点存在性定理，函数( )f x在 2 (0,)a上有且只有一个零点 lnxx， 222 ( )(1 2)lnf xxaxax 222 (1 2)xaxa x 222 (1 3)(1 3)xaxx xa ， 1ae， 222 31210aaa ， 22 31aa ， 2 31xa时，( )0f x ， 根据零点存在性定理，函数( )f x在 2 (,)a 上有且只有一个零点， ( )f x有2个零点
