1、第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.1 投影法的基本概念投影法的基本概念2.2 点的投影点的投影2.3 直线的投影直线的投影2.4 平面的投影平面的投影2.5 直线与平面以及两平面间的相对位置直线与平面以及两平面间的相对位置 第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.1.1 投影法的基本知识投影法的基本知识在日常生活中，当太阳光或灯光照射到物体时，就会在地面或墙壁上出现物体的影子，这是投影现象中的一种。人们在对这类现象进行长期观察和研究的基础上，建立了投影法。如图2-1所示，有一平面P以及不在该平面上的点S，需作出点A在平面P上的图像。上述用投射线(投影线
2、)通过物体，向选定的平面投影，并在该平面上得到图形的方法称为投影法。2.1 投影法的基本概念投影法的基本概念第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-1 投影法 第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-2 中心投影法第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 1中心投影法中心投影法如图2-2所示，从投射中心S引出三条投射线，分别过ABC的三个顶点与投影面P相交于点a、b、c；直线ab、bc、ca分别是直线AB、BC、CA在投影面P上的投影；abc就是ABC在投影面P上的投影。2平行投影法平行投影法当投射中心与投影面的距离为无穷远时，投射线可视为相
3、互平行，这种投射线相互平行的投影法称为平行投影法。按照平行投影法作出的投影称为平行投影，如图2-3所示。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 平行投影法按投射线与投影面相对位置的不同可分为正投影法和斜投影法两种。(1)正投影法。投射线与投影面相垂直的平行投影法称为正投影法，如图2-3(a)所示。(2)斜投影法。投射线与投影面相倾斜的平行投影法称为斜投影法，如图2-3(b)所示。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-3 平行投影法第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.1.2 正投影的基本性质正投影的基本性质1真实性当直线段平行于投影面时，
4、直线段的投影反映直线段的实长。当平面图形平行于投影面时，平面图形与它的投影为全等图形，即反映平面图形的实形。平行于投影面的直线段或平面图形，在该投影面上的投影反映线段的实长或平面图形的实形，这种投影特性称为真实性，如图2-4所示。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-4 直线段和平面的真实性第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2积聚性积聚性当直线段或平面图形垂直于投影面时，它们在该投影面上的投影积聚成一点或一直线段，这种投影特性称为积聚性，如图2-5所示。3类似性类似性当直线段或平面倾斜于投影面时，直线段的投影小于直线段的实长，平面的投影是小于平面实形的
5、类似形，如图2-6所示。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-5 直线段和平面的积聚性第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-6 直线段和平面的类似性第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 组成物体的基本元素是点、线、面。为了顺利表达各种产品的结构，必须首先掌握几何元素的投影特性。任何立体都可以看做是点的集合。点是基本几何要素，研究点的投影性质和规律是掌握其他几何要素投影的基础。如图2-7所示，过空间点A向投影面作投射线，则A点在投影面P上的投影为a，a点是唯一的。2.2 点点 的的 投投 影影第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平
6、面的投影 图2-7 点的投影第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.2.1 点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影1两投影面体系的建立两投影面体系的建立图2-8(a)所示为空间两个互相垂直的投影面，处于正面直立位置的投影面称为正投影面，以V表示，简称V面；处于水平位置的投影面称为水平投影面，以H表示，简称H面。V和H所组成的体系称为两面投影体系。V和H的交线称为OX投影轴，简称X轴。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-8 点在两面投影体系中的投影第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2点的两面投影点的两面投影如图2-8(a)所
7、示，过空间点A向H面作垂线，其垂足就是点A在H面上的水平投影，用a表示；由点A向V面作垂线，其垂足就是点A在V面上的正面投影，用a表示。设V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90，使之与V面重合，即处于同一平面位置上，由此便得到点的两面投影图(如图2-8(b)所示)。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 3点在两面投影体系中的投影规律点在两面投影体系中的投影规律由图2-8可知，投影线Aa和Aa决定的平面必然分别与V面和H面垂直，并与OX轴交于一点aX，AaaXa是一个矩形，OX轴垂直于该矩形平面。所以，aXaOX，aXaOX，且aaX=Aa，aaX=aA，即点A的正面投影a到投影轴
8、OX的距离，等于点A到H面的距离；点A的水平面投影a到投影轴OX的距离，等于点A到V面的距离。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 由前面的讨论可概括出点在两投影面体系中的投影规律：(1)点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴，即aaXOX轴。(2)点的水平投影到OX轴的距离等于空间点到V面的距离，点的正面投影到OX轴的距离等于空间点到H面的距离，即aaX=Aa，aaX=Aa。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.2.2 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影1三投影面体系的建立三投影面体系的建立如图2-9(a)所示，在两投影面体系上再加上一个与
9、H、V面均垂直的投影面，该投影面称为侧立投影面，用W表示，简称侧面或W面。这样，三个互相垂直的H、V、W面就组成一个三投影面体系。V、W面的交线为投影轴OZ；H、W面的交线为投影轴OY，三根投影轴的交点为原点O。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-9 点在三投影面体系中的投影第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2点的三面投影点的三面投影如图2-9(a)所示，将空间点A分别向H、V、W面进行投影，得a、a、a，a称为点A的侧面投影。如图2-9(b)所示，设V面不动，H面向下旋转90，W面向右旋转90，Y轴随H面的旋转以YH表示，随W面的旋转以YW表示。3
10、点的直角坐标和投影规律点的直角坐标和投影规律把三面投影体系看做空间直角坐标体系，则H、V、W面为坐标面，X、Y、Z轴为坐标轴，原点O为坐标原点。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 例例2-1 已知点A和B的两投影(图2-10(a)，分别求其第三投影，并求出点A的坐标。解解 如图2-10(b)所示，根据点的投影特性，可分别作出a和b；如图2-10(c)所示，分别量取aaZ、aaX、aaX的长度为10、4、12，可得点A的坐标(10，4，12)。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-10 已知点的两面投影求第三投影第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平
11、面的投影 2.2.3 两点的相对位置两点的相对位置观察分析两点的各个同面投影之间的坐标关系，可以判断空间两点的相对位置。根据X坐标值的大小可以判断两点的左右位置；根据Z坐标值的大小可以判断两点的上下位置；根据Y坐标值的大小可以判断两点的前后位置。如图2-10(c)所示，点B的X和Z坐标均小于点A的相应坐标，而点B的Y坐标大于点A的Y坐标，因此，点B在点A的右方、下方、前方。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.2.4 重影点重影点当两点的某两个坐标相同时，该两点将处于同一投射线上。如图2-11所示的A、B两点，其中XA=XB，YA=YB，它们的水平投影a和b重影为一点，由于
12、ZAZB，因此，从上面向下看时，点A是可见的，点B是不可见的。通常把不可见的点的投影打上括弧，如(b)。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-11 重影点第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 直线的投影在一般情况下仍是直线，在特殊情况下积聚成一点。直线的投影可由直线上任意两点(通常取线段的两端点)的同面投影来确定。如作直线AB的三面投影，可分别作出两端点A(XA、YA、ZA)和B(XB、YB、ZB)的三面投影，同面投影相连即得该直线的三面投影(ab，ab，ab)，如图2-12所示。2.3 直直线线的的投投影影第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的
13、投影 图2-12 直线的投影第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.3.1 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性根据直线在三投影面体系中的位置可将直线分为三类，即投影面平行线、投影面垂直线及一般位置直线。直线与水平投影面、正面投影面、侧面投影面的夹角，分别称为该直线对该投影面的倾角，分别用、表示(如图2-12(a)所示)。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 1投影面平行线投影面平行线与投影面平行的直线称为投影面平行线，它与一个投影面平行，与另外两个投影面倾斜。与H面平行的直线称为水平线，与V面平行的直线称为正平线，与W面平行的直线称为侧平线。它们的投
14、影图及投影特性见表2-1。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 表表2-1 投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性名称 正平线(AB?V 面)水平线(AB?H面)侧平线(AB?W 面)轴 测 图 投 影 图 投影 特性 正面投影 a?b?反映实长，与 X 轴夹角为，与 Z 轴夹角为；abOX，a?b?OZ，ab、a?b?均小于实长 水平投影 ab 反映实长，与X 轴夹角为，与 Y 轴夹角为；a?b?OX，a?b?OYW，a?b?、a?b?均小于实长 侧面投影 a?b?反映实长，与 Y 轴夹角为，与 Z轴夹角为；a?b?OZ，abOYH，ab、a?b?均小于实长 第第2章章
15、 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2投影面垂直线投影面垂直线与投影面垂直的直线称为投影面垂直线，它与一个投影面垂直，必与另外两个投影面平行。与H面垂直的直线称为铅垂线，与V面垂直的直线称为正垂线，与W面垂直的直线称为侧垂线。它们的投影图及投影特性见表2-2。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 表表2-2 投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性名称 正垂线(ABV 面)铅垂线(ABH 面)侧垂线(ABW 面)轴测图 投影图 投影特性 a?b?积聚为一点；abOX，a?b?OZ，ab、a?b?均反映实长 ab 积聚为一点；a?b?OX，a?b?OYW，a?b?、a
16、?b?均反映实长 a?b?积聚为一点；a?b?OZ，abOYH，ab、a?b?均反映实长 第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 3一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，如图2-12所示。4用直角三角形法求直线的实长及对投影面的倾角用直角三角形法求直线的实长及对投影面的倾角1)直角三角形法的作图原理直角三角形法的作图原理如图2-13所示，AB为一般位置直线，过端点A作直线平行其水平投影ab并交Bb于C，得直角三角形ABC。第第2章
17、章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-13 直角三角形法的原理第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2)直角三角形法的作图方法和步骤直角三角形法的作图方法和步骤作图方法与步骤如图2-14所示，以线段的任一投影为底边均可用直角三角形法求出空间线段的实长，其长度是相同的，但所得倾角不同。在直角三角形法中，直角三角形包含四个因素：投影长、坐标差、实长、倾角。只要知道两个因素，就可以将其余两个求出来。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-14 直角三角形法第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 例例2-2 已知直线AB的一个投影ab和端
18、点A的另一投影a，并已知=30，求作AB的正面投影ab(图2-15(a)。(1)分析。(2)作图。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-15 用直角三角形法求线段的正面投影第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.3.2 直线上的点直线上的点点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，且点分线段长度之比等于其投影分线段投影长度之比。反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点一定在直线上。直线上的点分割线段之比等于其投影之比，这称为直线投影的定比性。如图2-16所示，点C在线段AB上，它把线段AB分成AC和CB两段。根据直线投影的定比性，AC CB
19、=ac cb=a c c b=ac cb。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-16 直线上点的投影第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 例例2-3 已知线段AB的投影，试将AB分成2 3两段，求分点C的投影(图2-17)。(1)分析。(2)作图。例例2-4 如图2-18(a)所示，已知侧平线AB的两面投影和直线上K点的正面投影k，求K点的水平投影k。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-17 求AB上的分点C第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-18 求直线上点的投影第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平
20、面的投影 2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置关系有三种情况：平行、相交、交叉(亦称异面)。1平行两直线平行两直线1)特性特性若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。如图2-19所示，若ABCD，则必定abcd、a bc d、abcd。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-19 平行两直线的投影 第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2)判定两直线是否平行判定两直线是否平行(1)如果两直线处于一般位置，则只需观察两直线中的任何同面投影是否互相平行即可判定。(2)如果两平行直线平行于某一投影面，则需观察两直线在所平行的那
21、个投影面上的投影是否互相平行才能确定。如图2-20所示，两直线AB、CD均为侧平线，虽然abcd、abcd，但不能断言两直线平行，还必须求作两直线的侧面投影进行判定。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-20 平行两直线的投影第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2相交两直线相交两直线1)特性特性若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。如图2-21所示，两直线AB、CD相交于K点，因为K点是两直线的共有点，所以两直线的各组同面投影的交点k、k、k必定是空间交点K的投影。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2
22、-21 相交两直线的投影第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2)判定两直线是否相交判定两直线是否相交(1)如果两直线均为一般位置线，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否符合点的投影规律即可判定。(2)如果两直线中有一条直线为投影面平行线，则需观察两直线在该投影面上的投影是否相交且交点是否符合点的投影规律才能确定；或者根据直线投影的定比性进行判断。如图2-22所示，两直线AB、CD两组同面投影ab与cd、ab与cd虽然相交，但经过分析，可判定两直线在空间不相交。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-22 两直线在空间不相交第第2章章 点、
23、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 3交叉两直线交叉两直线两直线既不平行又不相交，称为交叉两直线。1)特性特性若空间两直线交叉，则它们的各组同面投影必不同时平行，或者它们的各同面投影虽然相交，但其交点不符合点的投影规律，反之亦然，如图2-23(a)所示。2)判定空间交叉两直线的相对位置判定空间交叉两直线的相对位置空间交叉两直线的投影的交点，实际上是空间两点的投影重合点。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 在图2-23(b)中，判断AB和CD的正面重影点k(l)的可见性时，由于在K、L两点的水平投影中k比l的y坐标值大，因此当从前往后看时，点K可见，点L不可见，由此可判定AB
24、在CD的前方。同理，从上往下看时，点M可见，点N不可见，可判定CD在AB的上方。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-23 两直线交叉第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 例例2-5 判断两侧平线AB、CD的相对位置(图2-24(a)。(1)分析。(2)作图。方法三(图2-24(d)：(1)分析。(2)作图。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-24 判断两直线的相对位置第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 例例2-6 已知直线AB、CD的两面投影和点E的水平投影e，求作直线EF与CD平行，并与AB相交于点F(图2-2
25、5(a)。如图2-25(b)所示，因所求直线EF与CD平行，故先过e作直线与CD的水平投影cd平行，因EF与AB相交，故所作直线与ab的交点f即为点F的水平投影；F在AB上，按点的投影规律在ab上求得f；然后从f作fe/cd，使e在过e的投影连线上。ef和ef即为所求。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-25 求作直线与一直线平行且与另一直线相交第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.3.4 直角投影定理直角投影定理空间垂直的两直线(相交或交叉)，若其中的一直线平行于某投影面，则二直线在该投影面上的投影仍为直角。如图2-26所示，ABBC，其中BC为水
26、平线，AB为一般位置直线。如图2-26所示，当AB直线不动，水平线BC平行上移时，ab与cb仍互相垂直。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-26 垂直相交两直线的投影第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 例例2-7 如图2-27(a)所示，求点A到直线BC的距离。(1)分析：已知直线BC为水平线，根据直角投影定理，由A点作BC的垂线，其水平投影为直角。(2)作图(如图2-27(b)所示)。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-27 求点到直线的距离第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 例例2-8 如图2-28(a)所
27、示，已知菱形ABCD的一条对角线AC为一正平线，菱形的一边AB位于直线AM上，求该菱形的投影图。(1)分析。(2)作图(如图2-28(b)所示)。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-28 求菱形的投影图第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.4.1 平面的表示法平面的表示法1用几何元素表示平面用几何元素表示平面由初等几何可知，不在同一直线上的三点可以确定一平面，因此作出三点的投影也就表示了该平面的投影。又因三个点可以转化为其他形式，所以可以用下列任一组几何元素的投影表示平面的投影(如图2-29所示)。2.4 平平面面的的投投影影第第2章章 点、直线、平
28、面的投影点、直线、平面的投影 图2-29 平面在投影图上的表示方法第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2用迹线表示平面用迹线表示平面平面与投影面的交线称为平面的迹线。除了用几何元素表示平面外，有时也利用平面的迹线来表示平面。用迹线表示的平面称为迹线平面。如图2-30所示，空间平面P可以用PH、PV、PW三条迹线表示。其中，PH为平面P与H面的交线，称为水平迹线；PV为平面P与V面的交线，称为正面迹线；PW为平面P与W面的交线，称为侧面迹线。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-30 平面的迹线表示第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.
29、4.2 平面对投影面的各种相对位置平面对投影面的各种相对位置根据空间平面相对于投影面的位置，平面可分为一般位置平面、特殊位置平面两大类。1一般位置平面一般位置平面与三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一般位置平面。如图2-31所示，它的三个投影abc、abc、abc均为类似形。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-31 一般位置平面的投影特性第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2投影面垂直面投影面垂直面只垂直一个投影面(倾斜于另两个投影面)的平面，称为投影面垂直面。其中，只垂直于V面的平面称为正垂面；只垂直于H面的平面称为铅垂面；只垂直于W面的平面称为侧垂
30、面。表2-3中分别列出了铅垂面、正垂面和侧垂面的投影及其投影特性。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 表表2-3 投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性名称 铅 垂 面 正 垂 面 侧 垂 面 立体图 投影图(几何元素表示)投影图(迹线 表示)投影特性 abc 积聚为一直线，其与 OX、OYH的夹角分别反映、角；a?b?c?、a?b?c?为类似形 a?b?c?积聚为一直线，其与 OX、OZ 的夹角分别反映、角；abc、a?b?c?为类似形 a?b?c?积聚为一直线，其与 OYW、OZ 的夹角分别反映、角；a?b?c、abc 为类似形 第第2章章 点、直线、平面的投影点、
31、直线、平面的投影 3投影面平行面投影面平行面平行于一个投影面即同时垂直于其他两个投影面的平面称为投影面平行面。表2-4分别列出了水平面、正平面和侧平面的投影及其投影特性。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 表表2-4 投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性名 称 水平面(ABC 或 PH 面)正平面(ABC 或 PV 面)侧平面(ABC 或 PW 面)轴测图 投影图(几何元素表示)投影图(迹线 表示)投影特性 abc 反映实形；a?b?c?OX、a?b?c?OYW，且具有积聚性 a?b?c?反映实形；abcOX、a?b?c?OZ，且具有积聚性 a?b?c?反映实形；ab
32、cOYH、a?b?c?OZ，且具有积聚性 第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.4.3 平面上的点和线平面上的点和线1平面上的直线平面上的直线直线在平面上的几何条件：若一直线通过平面上的两点，或通过平面内的一点且平行于平面上的另一直线，则此直线必在该平面内。2平面上的点平面上的点点在平面上的几何条件；若点位于平面内的任一直线上，则此点在该平面内。如图2-32所示，相交两直线AB、AC决定一平面P，点K、M分别在AB、AC上，则MN连线在平面P内。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-32 平面上的点和直线第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的
33、投影 例例2-9 判断点M是否在平面ABC上，并作出ABC平面上的点N的正面投影(图2-33(a)。(1)分析。(2)作图(如图2-33(b)所示)。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-33 平面上的点第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 例例2-10 完成平面图形ABCDE的正平投影(图2-34(a)。(1)分析。(2)作图(如图2-34(b)所示)。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-34 完成平面图形的投影第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.4.4 平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线属于平面且又平
34、行于一个投影面的直线称为平面上的投影面平行线。平面上的投影面平行线一方面要符合平行线的投影特性，另一方面又要符合直线在平面上的条件。例例2-11 已知ABC平面的两面投影，作出平面上水平线AD和正平线CE的两面投影(图2-35(a)。(1)分析。(2)作图(图2-35(b)。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-35 求平面上的水平线和正平线的投影第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.5.1 平行问题平行问题1直线与平面平行直线与平面平行如果空间一直线与平面上的一直线平行，那么此直线与该平面平行。如图2-36所示，直线AB平行于平面P上的直线CD，那么
35、直线AB与平面P平行；反之，如果直线AB与平面P平行，则在平面P上可以找到与直线AB平行的直线CD。2.5 直线与平面以及两平面间的相对位置直线与平面以及两平面间的相对位置第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-36 直线与平面平行的几何条件 第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-37 判别直线与平面是否平行第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 例例2-12 试判别直线AB是否平行于已知平面CDE，如图2-37所示。(1)分析。(2)作图。例例2-13 过M点作一水平线与平面ABC平行(图2-38(a)。(1)分析。(2)作图(图2-3
36、8(b)。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-38 作直线平行于已知平面第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2两平面平行两平面平行如果一平面的两相交直线分别与另一平面的两相交直线对应平行，那么这两平面平行。如图2-39所示，平面P上的一对相交直线AB、BC与平面Q上的一对相交直线EF、FG对应平行，即ABEF，BCFG，那么平面P与Q平行。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-39 两平面平行第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 例例2-14 试判断两已知平面ABC与DEF是否平行，如图2-40所示。(1)分析。(
37、2)作图。例例2-15 试过定点K作平面平行于由平行直线AB和CD确定的平面(图2-41(a)。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-40 判断两平面平行第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-41 过定点作平面平行已知平面第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.5.2 相交问题相交问题直线与平面及两平面如果不平行，则一定相交。1利用投影的积聚性求交点或交线利用投影的积聚性求交点或交线当直线或平面垂直于投影面时，因其投影具有积聚性，故可直接求得其交点或交线的一个投影，再利用直线上取点或平面内取线的作图方法，求出其他投影。第第2章章 点
38、、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 例例2-16 求直线AB与平面CDE的交点(图2-42(a)。(1)分析：如图2-42(a)、(b)所示，平面CDE为铅垂面，其水平投影积聚为一条直线。由于交点是直线和平面的共有点，因而直线AB的水平投影和平面CDE的水平投影的交点即为它们的交点的投影。(2)作图(图2-42(c)。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-42 一般位置直线与特殊位置平面相交第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2)投影面垂直线与一般位置平面相交投影面垂直线与一般位置平面相交例例2-17 求直线DE与平面ABC的交点(图2-43(a)。
39、(1)分析。(2)作图(图2-43(b)。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-43 投影面垂直线与一般位置平面相交第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 3)特殊位置平面与一般位置平面相交特殊位置平面与一般位置平面相交两平面相交，交线为直线。例例2-18 求平面ABC和平面DEF的交线(图2-44(a)。(1)分析。(2)作图(图2-44(c)。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-44 特殊位置平面与一般位置平面相交第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2利用辅助平面求交点或交线利用辅助平面求交点或交线1)一般位置直
40、线与一般位置平面相交当直线和平面均处于一般位置时，其交点一般采用辅助平面法求解。其解题步骤如下：(1)含已知直线AB作辅助平面P，如图2-45(a)所示；(2)求辅助平面P与已知平面CDE的交线MN，如图2-45(b)所示；(3)求交线MN与已知直线AB的交点K，K即为所求，如图2-45(c)所示；(4)判别可见性。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-45 求直线与平面交点的一般方法和步骤第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 例例2-19 求直线DE与平面ABC的交点(图2-46(a)。例例2-20 求平面ABC和平面DEF的交线(图2-47)。分析：选
41、取平面DEF内两直线DE和DF，分别作出它们与平面ABC的交点，连接后即为交线。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-46 一般位置直线与一般位置平面相交第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-47 两一般位置平面相交第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影(2)三面共点法：分别作两个辅助平面(特殊位置平面)，每个辅助平面与已知平面产生两交线，两交线相交得一交点，连接两交点，即为交线。如图2-48所示，ABC和平行直线DE、FG各决定一个平面。为求它们的交线，作一个辅助平面P(P为水平面)。P与ABC的交线为，与DE、FG的交线为，交线和
42、相交于K1，K1即为两平面的共有点。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-48 三面共点法求两平面的交线第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.5.3 垂直问题垂直问题1直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直的几何条件是：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直这个平面，同时该直线也垂直于这个平面内的所有直线。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 设图2-49中的MNABC，则MN必垂直于平面内的水平线AD和正平线CE(不一定垂直相交)。由直角垂直定理可知：mnad，mnce。因此可知直线和平面垂直的投影特性为：直
43、线的水平投影垂直于平面内的水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于平面内的正平线的正面投影。反之，如果直线、平面的投影具有上述投影特性，则直线与平面垂直。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-49 直线与平面垂直第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 例例2-21 过点E作直线垂直于平面ABC，并求垂足(图2-50(a)。(1)分析。(2)作图(图2-50(b)。2两平面垂直两平面垂直两平面垂直的几何条件是：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。如图2-51所示，若直线LK垂直由直线AB和KC构成的平面P，则包含直线LK的平面Q必定垂直平面P。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-50 过点作直线垂直平面第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-51 两平面垂直 第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 例例2-22 过已知点M作平面垂直于已知平面ABC(图2-52(a)。(1)分析。(2)作图(图2-52(b)。第第2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 图2-52 作平面垂直已知平面
