1、数学（A 卷）试题（第 1 页，共 15 页） 福州市福州市 2021 届高三届高三 10 月调研月调研 A 卷卷 数学数学 （完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 注意事项 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写 在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题
2、给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1. 已知集合 1,0,1,2 ,3|0ABxx，则AB A 1,0,1 B0,1 C1,1,2 D1,2 2. 已知复数1iz ，z为 z 的共轭复数，则1 z z A 3i 2 B1 3i 2 C 33i 2 D1 i 2 3. 设 xR，则“1x2”是“|x2|1”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后 来英国数学家哈利奥特首次使用“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入 对不等式的发展影响深远若0ab，则
3、下列结论错误 的是 A 11 ab B 2 log ()0ab C 11 22 ab D33 ab 5. 已知两条直线m,n和两个平面,，下列命题正确的是 数学（A 卷）试题（第 2 页，共 15 页） A若m，n ，且mn，则 B若/m， n/ ，且/mn，则/ C若m， n/ ，且mn，则 D若m， n/ ，且/mn，则/ 6. 某校在一次月考中共有 800 人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布 2 (105,)N，试卷满分 150 分现已知同学甲的数学成绩为 90 分，学校排名为 720， 同学乙的数学成绩为 120 分，那么他的学校排名约为 A60 B70 C80 D90 7
4、. 在边长为 2 的等边ABC 中，3BNNC，则AN BC= A0 B 1 2 C1 D2 8. 若定义在R上的奇函数 f x在,0单调递减，且 20f，则满足10 xf x的 x 的取值范围是 A 1,13, B 3, 10,1 C 1,01, D 1,01,3 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有多项符合在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求题目要求全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9. 已知双曲线 22 1 26 xy ，则下
5、列说法正确的是 A双曲线的离心率2e B双曲线的渐近线方程为30 xy C双曲线的焦距为2 2 D双曲线的焦点到渐近线的距离为3 10. 已知曲线 1 C:cosyx， 2 C: 2 sin 2 3 yx ，则下面结论正确的是 A 把曲线 1 C向左平移 6 个单位长度， 再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变），得到曲线 2 C B把曲线 1 C向左平移 3 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 数学（A 卷）试题（第 3 页，共 15 页） 倍（纵坐标不变），得到曲线 2 C C把曲线 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变）
6、，再把得到的曲线向 左平移 6 个单位长度，得到曲线 2 C D把曲线 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向 左平移 12 个单位长度，得到曲线 2 C 11. 一盒中有 8 个乒乓球， 其中 6 个未使用过， 2 个已使用过 现从盒子中任取 3 个球来用， 用完后再装回盒中记盒中已使用过的球的个数为 X，则下列结论正确的是 AX 的所有可能取值是 3,4,5 BX 最有可能的取值是 5 CX 等于 3 的概率为 3 28 DX 的数学期望是17 4 12. 已知函数 sin sincos cosf xxx，下列关于该函数结论正确的是 A f x的一个周
7、期是2 B f x的图象关于直线 2 x 对称 C f x的最大值为 2 D f x是0, 2 上的增函数 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 数列 n a中， 1 1a， 1 3 nn aa ，则 n a的前 21 项和 21 S=_ 14. 抛物线 2 2(0)ypx p的准线截圆 22 210 xyy 所得弦长为 2，则抛物线的焦 点坐标为_ 15. 已知 (,) 2 2 ，且2cos215sin20 ，则tan=_ 16. 在三棱锥PABC中，2AB ，AC BC，若该三棱锥的体积为 2 3 ，则其外接球表 面积的最
8、小值为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （10 分） 数学（A 卷）试题（第 4 页，共 15 页） 在 1 1 2 n n a a ， 1 1 6 nn aa ， 1 8 nn aan 这三个条件中任选一个，补充在 下面的问题中，并解答 问题：设 n S是数列 n a 的前 n 项和，且 1 4a ，_，求 n a 的通项公式， 并判断 n S是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18. （12 分）
9、ABC 中， 角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c， 且(sin cos)(cossin)bCCcBB （1）记 BC边上的高为 h，求 a h ； （2）若 5b ，1c，求a 19. （12 分） 某沙漠地区经过治理，生态系统得到改善为调查该地区植物覆盖面积(单位：公顷) 和某种野生动物的数量的关系，将该地区分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中 用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据 , ii x y （i=1，2， 20） ，其中 xi和 yi分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积和这种野生动物的数量，并计算 得 20 1 60 i i x ， 2
10、0 1 1200 i i y ， 20 2 1 80 i i xx ， 20 2 1 9000 i i yy ， 20 1 800 ii i xyxy （1）求样本 , ii x y（i=1，2，20）的相关系数（精确到 0.01） ，并用相关系数说明 各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积的相关性 （2）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大为提高样本的代表性以获 得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并 说明理由 附：相关系数 20 1 2020 22 11 ii i ii ii xxyy r xxyy 数学（A 卷）试题（第 5 页，共 15
11、页） 20. （12 分） 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=1，M，N 分别为 A1C1，AB1的中点 （1）求证：MN/平面 B1BCC1； （2）若 P 是 B1B 的中点，APMN，求二面角 A1-PN-M 的余 弦值 21. （12 分） 设函数 2 lnf xxax （1）若当1x 时， f x取得极值，求a的值，并讨论 f x的单调性； （2）若 f x存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于 e ln 2 （12 分） 已知椭圆 E： 22 22 10 yx ab ab 的离心率为 2 2 ，直线 l：y=2x 与椭圆交于两点 A，B， 且 2
12、5AB （1）求椭圆 E 的方程； （2）设 C，D 为椭圆 E 上异于 A，B 的两个不同的点，直线 AC 与直线 BD 相交于点 M，直 线 AD 与直线 BC 相交于点 N， 求证： 直线 MN 的斜率为定值福州市福州市 2021 届高三届高三 10 月调研月调研 A 卷卷 数学参考答案数学参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1D，2B，3A，4B，5A，6C，7C，8D 8解析：因为定义在R上的奇函数 f x在,0
13、 上单调递减，且 20f ， 所以 f x在0,上也是单调递减，且20f ， 00f ， 所以当 , 20,2x 时， 0f x ，当 2,02,x 时， 0f x ， 所以由 10 xf x ，可得 0, 21012 x xx 或 或 0, 01212 x xx 或 或0 x ， 解得10 x 剟或13x剟， 数学（A 卷）试题（第 6 页，共 15 页） 所以满足1 0 xf x 的x的取值范围是 1,01,3 ，故选 D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要
14、求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9AB，10AD，11ACD，12ABD 11解析：记未使用过的乒乓球为 A，已使用过的为 B，任取 3 个球的所有可能是：1A2B， 2A1B，3A；A 使用后成为 B，故 X 的所有可能取值是 3,4,5； 12 62 3 8 63 (3), 5628 C C P X C 21 62 3 8 30 (4) 56 C C P X C ， 30 62 3 8 20 (5) 56 C C P X C ， 又 X 最有可能的取值是 4， 3302017 ()345 2856564
15、E X . 综上，选 ACD. 12解析： 2sin sin2cos cos2sin sincos cosf xxxxxf x ，故 A 正确， sin sincos cossin sincoscossin sincos cosfxxxxxxxf x ，故 B 正确， 由于sin1,1 ,cos1,1 xx，所以sin sin1x ，cos cos1x ， 故 sin sincos cos2f xxx，C 错误， 当0, 2 x 时，sin0,1x且单调递增，故sin sinyx是区间0, 2 上的增函数，同理 可判断，cos cosyx是区间0, 2 上的增函数，故 f x是区间0, 2 上
16、的增函数，D 正 确 综上，选 ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13651，14(1,0)，15 15 15 ，16 25 4 数学（A 卷）试题（第 7 页，共 15 页） 14解析：抛物线 2 2(0)ypx p的准线为 2 p x ， 把圆化成标准方程为 22 (1)2xy，得圆心 (0,1)M ，半径 2r ， 圆心到准线的距离为 2 p ，所以 222 2 ()( )( 2) 22 p ，即2p ， 所以焦点坐标为(1,0). 15解析：由2cos215sin20，得 2 2(1 2sin) 15sin20，
17、即 2 4sin15sin40，所以(4sin1)(sin4)0， 因为sin40，解得 1 sin 4 ， 又 (,) 2 2 ，所以 2 15 cos1 sin 4 ， 所以 sin15 tan cos15 16解析：2AB，ACBC，故底面三角形外接圆半径为 1r ， 22 11 1 24 ABC SCA CBCACB，当 2CACB时等号成立， 由 12 33 ABC VSh ，所以2h ， 当P离平面ABC最远时， 外接球表面积最小， 此时，P在平面ABC的投影为AB中点 1 O， 设球心为O，则O在 1 PO上，故 2 22 1RhR，化简得到 1 22 h R h ， 注意到函数
18、 1 22 x y x 在2,上单调递增，故 min 5 4 R， 所以 2 minmin 25 4 4 SR. 数学（A 卷）试题（第 8 页，共 15 页） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17本题主要考查等差数列、等比数列的概念、通项公式，数列求和等基础知识考查运 算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养有数学抽象、数学运算等，体现基础 性，综合性满分 10 分 解析：选 因为 1 1 2 n n a a ， 1 4a ，所以 n a 是首项为 4，公比为 1 2
19、 的等比数列 所以 13 11 4 22 nn n a 4 分 当n为奇数时， 1 4 1 2 81 1 1 32 1 2 n n n S ， 因为 81 1 32n 随着n的增大而减小，所以此时 n S的最大值为 1 4S ； 当n为偶数时， 1 4 1 2 81 1 1 32 1 2 n n n S ，且 818 14 323 n n S ， 综上， n S存在最大值，且最大值为 4 10 分 选 解法 1：因为 1 1 6 nn aa ， 1 4a ，所以 n a 是首项为 4，公差为 1 6 的等差数列 所以 1125 41 666 n ann ， 4 分 数学（A 卷）试题（第 9
20、页，共 15 页） 由于 125 0 66 n，得25n ，所以 n S存在最大值，且最大值为 25 S或 24 S， 因为 25 25241 42550 26 S ，所以 n S的最大值为 50 10 分 解法 2：因为 1 1 6 nn aa ， 1 4a ，所以 n a 是首项为 4，公差为 1 6 的等差数列 所以 1125 41 666 n ann ， 从而 2 111492401 4 2612248 n n n Snn ， 所以当24n 或25n 时 n S取得最大值，且最大值为 50 10 分 选 因为 1 8 nn aan ，所以 1 8 nn aan ， 所以 21 7aa
21、， 32 6aa ， 1 9 nn aan ， 所以 2 111221 7911716 22 nnnnn nnnn aaaaaaaa ， 又 1 4a ，所以 2 1724 2 n nn a ， 6 分 当16n 时， 0 n a ，故 n S不存在最大值 10 分 18本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查 函数与方程思想，化归与转化思想，涉及的核心素养有逻辑推理、数学运算等，体现基础 性、综合性满分 12 分 解析：（1）由已知及正弦定理得，sin(sincos)sin(cossin)BCCCBB， 即2sinsinsincossincossin()BC
22、BCCBBC， 因为B CA，所以sin()sinBCA， 所以2sinsinsinBCA， 3 分 所以2 sinbCa，又因为sinhbC， 数学（A 卷）试题（第 10 页，共 15 页） 所以2ha，即2 a h 6 分 （2）由（1）得 1 2 ha，ABC 的面积 2 1 4 Sa， 所以 2 11 sin 24 bcAa，即 2 2 5sinAa， 8 分 又由余弦定理，得 222 2cos62 5cosabcbcAA，即 2 2 5cos6Aa， 所以 42 2 (6)20aa，解得 2a ，或2a 12 分 19本小题主要考查相关系数、随机抽样等基础知识，考查数据处理能力、运
23、算求解能力、 应用意识，考查统计与概率思想，涉及的核心素养有数学抽象、逻辑推理、数学建模、数 学运算、数据分析等，体现综合性、应用性满分 12 分 解析：（1）样本 , ii x y （i=1，2，20）的相关系数为 20 1 2020 22 11 8002 2 0.94 380 9000 ii i ii ii xxyy r xxyy ， 由于 0.94 接近 1，说明各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性 8 分 （2）更合理的抽样方法是分层抽样理由如下： 由（1）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间 植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这
24、种野生动物的数量差异也很大，采用分层抽样的 方法能较好地保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，从而可以获得该地 区这种野生动物数量更准确的估计 12 分 20本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查 空间想象能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；涉及的核心素养 有直观想象、逻辑推理、数学运算等，体现基础性、综合性满分 12 分 解析：（1）证法一： 连接 A1B，因为四边形 A1B1BA 是平行四边形，所以 A1B 与 AB1交于点 N， 连接 BC1，在 A1BC1中，N 是 A1B 中点，M 是 A1C1中点， 所以 MN/B
25、C1， 数学（A 卷）试题（第 11 页，共 15 页） 又MN 平面 11 B BCC， 1 BC 平面 11 B BCC， 所以MN平面 11 B BCC 6 分 证法二： 取 11 BC的中点Q，连接,MQ NP PQ， 则有 11 MQAB，且 11 1 2 MQAB，PNAB，且 1 2 PNAB， 又 11 ABAB， 11 ABAB，所以PNMQ，且PNMQ， 所以 PNMQ为平行四边形，所以MNPQ， 又MN 平面 11 B BCC，PQ 平面 11 B BCC， 所以MN平面 11 B BCC 6 分 （2）在平面ABC内过点A作射线l垂直于AB，易知AB，l， 1 AA两两
26、垂直，如图，以 A 为原点，分别以 AB，l，AA1为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz， 则 1 1,0, 2 P ， 11 ,0, 22 N ， 1 0,0,1A， 设 00 ,1M x y， 则 00 11 , 2 , 2 MxyN ， 001 ,0MyAx 因为APMN，所以 0 11 )0 24 (AP MxN， 解得 0 1 4 x ，又因为 111 11 | 22 AMAC， 所以 22 00 1 4 xy，解得 0 3 4 y （舍去负值） ， 所以 13 ,1 44 M 设 1 ( , , )x y zn为平面PMN的一个法向量， 数学（A 卷）试题（第 12 页，
27、共 15 页） 因为 1311 ,0,0 4422 MNPN ， 所以 131 0, 442 1 0, 2 xyz x 取1y ，则 1 3 0,1, 2 n， 又 2 (0,1,0)n为平面 1 APN的一个法向量， 所以 12 2 2 1 1 12 7 cos, 77 4 n n n n nn ， 所以二面角 1 APNM的余弦值为 2 7 7 12 分 21本小题主要考查函数的单调性、导数、导数的几何意义及其应用、不等式等基础知识， 考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查分类与整合思想、数形结合思想， 涉及的核心素养有数学抽象、数学运算、逻辑推理等，体现综合性、应用性与创新性满
28、 分 12 分 解析：（1） 1 2fxx xa ，依题意有10f ，故 3 2 a 经检验 3 2 a 2 211231 33 22 xxxx fx xx ， f x的定义域为 3 2 ， ， 当 3 1 2 x 时， 0fx；当 1 1 2 x 时， 0fx；当 1 2 x 时， 0fx 所以 f x在区间 31 1 22 ，单调递增，在区间 1 1 2 ，单调递减 5 分 （2） f x的定义域为a， 2 221xax fx xa 方程 2 2210 xax 的判别式 2 48a 数学（A 卷）试题（第 13 页，共 15 页） 若0 ，即22a，在 f x的定义域内 0fx，故 f x
29、无极值 若0 ，则2a 或2a 当2a ， 2x ， 2 21 2 x fx x ，当 2 2 x 时， 0fx，当 22 2 22 x ，时， 0fx，所以( )f x无极值 当2a ， 2x， 2 21 0 2 x fx x ，( )f x也无极值 若0 ，即2a 或2a ， 则 2 2210 xax 有两个不同的实根 2 1 2 2 aa x ， 2 2 2 2 aa x 当2a 时， 12 xaxa ， 从而 fx 有 f x的定义域内没有零点， 故 f x无极值 当2a 时， 1 xa ， 2 xa ， fx 在 f x的定义域内有两个不同的零点， 可知 f x在 12 xxxx，取
30、得极值 综上， f x存在极值时，a的取值范围为 2 ， 由 2 2210 xax 可得 1212 1 , 2 xxa x x ，则 2 222 121212 21xxxxx xa， 2 12121212 1 lnlnlnlnln 2 xaxaxaxax xa xxa ， 所以 f x的极值之和为 222 121122 1e lnlnln11ln2ln 22 f xf xxaxxaxa 12 分 22本小题主要考查直线与椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论 证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想，涉及的 核心素养有数学运算，逻辑推理等，体现基础
31、性，综合性满分 12 分 解析：（1）由题意可得 2 2 2 1 2 b e a ，即 22 2ab， 所以椭圆E的方程为 22 22 1 2 yx bb ， 数学（A 卷）试题（第 14 页，共 15 页） 与直线:2l yx联立，可得 2 2 3 b x ，则 2 2 4 3 b y ， 又2 5AB ，所以 22 4 5 33 bb ，解得 2 3b ，于是 2 6a ， 因此椭圆E的方程为 22 1 63 yx 5 分 （2）根据题意，不妨设点A在第一象限，由（1）可得1,2A，1, 2B ， 若直线AC的斜率不存在，则1, 2C，设 00 ,D x y， 于是可得点M，N的坐标分别为
32、 00 0 222 1, 1 yx x ， 00 0 42 , 2 2 yx y ， 因此直线MN的斜率为 00 22 000 22 00 00 0 222 2 14624 1 42 2121 1 2 yx xyx yx xx y ， 若直线AC的斜率存在，设直线AC的方程为 1 21yk x ， 点C的坐标为, CC xy，则有 1 2 1 C C y k x ， 设直线BC的方程为21yk x，则有 2 1 C C y k x ， 因为 2 2 1 22 6 14 34 2 11 C C CC x y k k xx ，所以 1 2 k k ， 即直线BC的方程为 1 2 21yx k ，
33、数学（A 卷）试题（第 15 页，共 15 页） 同理，设直线AD的方程为 2 21ykx，则直线BD的方程为 2 2 21yx k ， 由 1 21yk x 及 2 2 21yx k ，解得 1 221 21 1 21 2 42244 , 22 k kkk kk M k kk k ； 由 2 21ykx及 1 2 21yx k ，解得 1 211 22 1 21 2 42244 , 22 k kkk kk N k kk k ， 于是直线MN的斜率为 121122 121221 122121 12 1212 244244 22 1 4242 22 k kkk kk k kk kkk k kkk kk kk k kk k ， 综上所述，直线MN的斜率为定值1 12 分 22.
