1、版权所有 翻版必究 1 中公学员内部专用 讲解一、利用夹逼准则与定积分定义求极限 1、夹逼准则 数列形式：数列形式：若存在正整数0N ，使得当nN时，有 nnn xyz成立，并且 limlim nn nn xza ，则limn n ya . 函数形式函数形式： 若存在正数， 对于任意满足 0 0 |xx的x都有( )( )( )xf xx， 且 00 lim( )lim( ) xxxx xxA ，则 0 lim( ) xx f xA . 【注】【注】夹逼准则的使用关键在于适度放缩，也就是保证放缩后两侧的极限相同. 【例【例 1 1】证明：无穷小量乘以有界量仍为无穷小量. 【例【例 2 2】计算
2、极限 32 3 1 lim(sincos ) 2x x xx xx x . 版权所有 翻版必究 2 中公学员内部专用 【答案】【答案】0. 【例【例 3 3】计算下列极限. （1） 1 lim() nn n n ab ，0ab；（2） 1 3 lim(1) n n n x ； 【答案【答案】 （1） 1 b ； （2） 3 max1,x. 【小结】【小结】设 12 ,0 m a aa ，则 1 1212 lim()max , nnn n mm n aaaa aa . 【例【例 4 4】计算极限 1 2 lim(1) n n n n xx . 【答案】【答案】 2 1 max 1,x x . 【
3、例【例 5 5】 222 lim+ 12 n nnn nnnn . 【答案】【答案】1. 版权所有 翻版必究 3 中公学员内部专用 2、定积分定义 设函数( )f x在区间 , a b上有界，在 , a b内任意插入1n 个分点 0121 . nn axxxxxb 这样 , a b就被分为了n个小区间 1 ,(1,2, ) ii xxin ，用 1iii xxx 表示各区间 的长度，再在每个区间上取一点 1 , iiii xx ，作如下和式 1122 1 ( )( )()() n iinn i fxfxfxfx 令 1 max i i n x ，如果极限 0 1 lim( ) n ii i f
4、x 存在且与 , a b的划分及 i 的选取无关，则 称( )f x在区间 , a b上可积，该极限称之为( )f x在区间 , a b上的定积分，记作 ( ) b a f x dx .即： 0 1 lim( )( ) n b ii a i fxf x dx 其中( )f x称为被积函数，x称为积分变量， , a b称为积分区间，, a b分别称为积分下 限和积分上限. 【注【注】几何意义：( ) b a f x dx 在几何上表示为由曲线( )yf x， 直线,xa xb及x 轴围成的曲边梯形面积的代数和. 定积分定义的思想方法称之为“微元法”，它是我们用定积分计算几何及物理量的积 分思路，
5、其步骤可以总结为：分割、近似、求和、取极限. 定积分的本质是极限. 版权所有 翻版必究 4 中公学员内部专用 【例【例 6 6】计算极限 22 222222 1122 limsinsinsin n nn nnnnnn . 【答案】【答案】 1 (1 cos1) 2 . 【小结小结】利用定积分求极限的基本公式： 1 0 1 1 lim( ) n n i i ff x dx nn . 【例【例 7 7】 【2017-1232017-123】计算极限 2 1 limln 1 n n k kk nn . 【答案】【答案】 1 4 . 【例【例 8 8】计算极限 222222 1 lim 12(1) n
6、 nnn nnnnn . 版权所有 翻版必究 5 中公学员内部专用 【答案】【答案】 4 . 【小结】【小结】设函数( )f x可积,则 1 0 1 11 lim( ) n n i i ff x dx nn . 【例【例 9 9】计算极限 2 33232 2 lim 12 n nnn nnnn . 【答案】【答案】 1 2 . 【小结小结】在计算n个分母互不相同的分式之和的极限时，如果最大的分母和最小的分母 相除所得分式的极限等于1，则使用夹逼定理计算；如果最大的分母和最小的分母相除 所得分式的极限不等于1，则凑成定积分的定义计算. 【例【例 1 10 0】计算极限 22 1 lim n n
7、i ni ni . 【答案】【答案】 1 ln2 42 . 版权所有 翻版必究 6 中公学员内部专用 【例【例 1 11 1】计算极限 1 sin lim 1 n n i i n n i . 【答案】【答案】 2 . 版权所有 翻版必究 7 中公学员内部专用 讲解二、不等式证明 【例【例 1】证明不等式： 22 1ln(1)1xxxx ，(0,)x. 【小结】【小结】假设要证明( )( )f xg x，( , )xa b，证明步骤如下： 令( )( )( )F xf xg x； 计算( )F a及( )F b，一般情况下，这两个数中会有一个等于零.不妨设( )0F a ，此 时只需说明( )F
8、 x在 , a b上单调递增即可，即只需证明( )0F x ，( , )xa b. 【例【例 2】证明不等式： 1 arctan 2 x x ，(0,)x. 【小结】【小结】计算端点处函数值时，如果端点不在定义域内，可以通过取极限来代替. 【例【例 3】 【1998-2-8 分】分】设(0,1)x，证明： 22 (1)ln (1)xxx； 版权所有 翻版必究 8 中公学员内部专用 【小结】【小结】若( )F x 的符号不易判断，则考虑( )F x . 【例【例 4】 【1993-2-9 分】分】设0 x ，常数a e ，证明：()a a x a xa . 【小结】【小结】构造辅助函数之前，要注
9、意先对不等式进行化简，再进行计算. 【例【例 5】 【2006-23-10 分】分】证明：当0ab时， sin2cossin2cosbbbbaaaa. 【小结】【小结】证明常数不等式基本思路如下： 一是将不等式凑成( )( )()f bf a ba的形式，再证明函数( )f x在所给的范围内单调 递增即可，也即证明( )0fx ； 二是常量变量化，将不等式的某个参数写成x，将其看成函数不等式，再利用前面的方 法证明. 【例【例 6】设0ba，证明 lnln1ba b aab . 版权所有 翻版必究 9 中公学员内部专用 【例【例 7】 【1993-1-5 分】分】设bae，证明 ba ab .
10、 【例【例 8】 【1992-17 分分】设( )0fx ，(0)0f，证明对任何 1 0 x 、 2 0 x ，均有 1212 ()()()f xxf xf x. 【小结】【小结】拉格朗日中值定理也常常用于不等式的证明. 【例例 9】 【2014-2310 分分】设函数( )f x、( )g x在区间 , a b上连续，且( )f x单调增加， 0( )1g x，证明： （1）0( ) x a g t dtxa ， , xa b； （2） ( ) ( )( ) ( ) b a ag t dtb aa f x dxf x g x dx . 版权所有 翻版必究 10 中公学员内部专用 【小结【小
11、结】对积分不等式，证明的基本思路也是把它看成常数不等式，这里最常用的证明 方法一般是常量变量化，将其化作函数不等式来证明. 【 例例 10 】 【 2015-2-10 分分 】 已 知 函 数( )f x在 区 间 ,)a 上 具 有2阶 导 数 ， ( )0,( )0,0f afxfx ， 设ba， 曲线( )yf x在点( ,( )b f b处的切线与x 轴的交点是 0 (,0)x，证明： 0 axb. 版权所有 翻版必究 11 中公学员内部专用 讲解三、罗尔中值定理中辅助函数构造问题 1、罗尔定理 若( )f x满足：1）在闭区间 , a b上连续； 2）在开区间( , )a b内可导；
12、 3）( )( )f af b， 则在开区间( , )a b内至少存在一点，使得( )0f . 【注】【注】几何意义： 条件 1）说明曲线)(xfy 在)(,(afaA和)(,(bfbB之间（包括点A和点B） 是连续曲线； 条件 2）说明曲线)(xfy 在BA,之间（不不包括点A和点B）是光滑曲线； 条件 3）说明曲线)(xfy 在端点A和B处的高度相等. 结论说明曲线( )yf x在点A和点B之间（不不包括点A和点B）至少有一点处的切 线平行于x轴，也就是平行于端点A和B的连线.如下图所示 定理中三个条件缺一不可. 该定理的证明要求掌握. 2、构造辅助函数 版权所有 翻版必究 12 中公学员
13、内部专用 【例【例 1】 设函数( )f x在区间0,1上连续， 在(0,1)内可导， 且 1 (0)(1)0,1 2 fff ， 证明：存在(0,1)，使得( )1f . 【小结【小结】辅助函数( )F x的构造是中值定理证明题中的难点，由于是对( )F x运用罗尔定 理，最后得到( )0F ，所以首先从结论出发整理出( )0F ，进一步抽象出函数 ( )F x. 【例【例 2】证明柯西中值定理：若( ), ( )f x g x满足： （1）在闭区间 , a b上连续； （2）在开区间( , )a b内可导，且( )0g x ； 则在开区间( , )a b内至少存在一点，使得 )( )( )
14、()( )()( g f agbg afbf . 【小结【小结】构造函数的过程中，尽量避免分数式函数.必要的情况下，可化分数式为乘积式. 版权所有 翻版必究 13 中公学员内部专用 【 例例 3 】 设 函 数( )f x和( )g x在 , a b上 存 在 二 阶 导 数 ， 并 且( )0gx ， ( )( )( )( )0f af bg ag b，试证：在开区间( , )a b内至少存在一点，使得 ( )( ) ( )( ) ff gg . 【例【例 4】设函数( )f x在 , a b上连续，开区间( , )a b内可导，并且( )( )0f af b，证 明：存在( , )a b，
15、使得( )( )0ff. 【小结】【小结】如果要证明存在( , )a b使 ( )(1) ( )( )( )0 nn fPf ，统一求辅助函数的 方法如下，两边同时除以 (1)( )n f 得 ( ) (1) ( ) ( )0 ( ) n n f P f ，积分可得 ( ) ( ) (1)(1) (1) ( ) ( )ln( )( )ln( ) ( ) n P x dx nn n fx P x dxfxP x dxefx fx 则可构造辅助函数 ( ) (1) ( )( ) P x dx n F xefx . 版权所有 翻版必究 14 中公学员内部专用 【例【例 5】设( )f x在区间0,1
16、上可微，且满足条件 1 2 0 (1)2( )fxf x dx ，试证：存在 (0,1)，使得( )( )0ff. 【小结【小结】为了保证可以做积分，先将结论整理成 ( )(1) ( )( )( )0 nn fPf 的形式，即 保证 ( )( )n f前面系数为1. 【例例 6】 【2020-2-11 分分】设函数 2 1 ( ) x t f xe dt，证明 （1）存在(1,2)，使得 2 ( )(2)fe ； （2）存在(1,2)，使得 2 (2)ln2fe . 版权所有 翻版必究 15 中公学员内部专用 【例例 7】 设函数( )f x在区间0,1上连续， 在(0,1)内可导， 且 1
17、(0)(1)0,1 2 fff ， 试证： （1）存在 1 ,1 2 ，使得( )f； （2）对任意实数，必存在(0, )，使得( ) ( ) 1ff. 【小结】【小结】很多情况下，这种构造函数的方法，还需要对结论做进一步的变形. 版权所有 翻版必究 16 中公学员内部专用 讲解四、利用分部积分法计算不定积分 分部积分公式分部积分公式：uv dxuvu vdx ，或简写为udvuvvdu . 【例【例 1 1】计算下列不定积分. （1）(1) x xe dx ；（2）cosxxdx ； （3） 2x x e dx . 【答案【答案】 （1） x xeC ； （2）sincosxxxC； （3）
18、 2 22 xxx x exeeC . 【例【例 2 2】计算下列不定积分. （1）lnxxdx ；（2）arctanxxdx ； （3）lnxdx ；（4）arcsin xdx . 版权所有 翻版必究 17 中公学员内部专用 【答案【答案】 （1） 22 11 ln 24 xxxC； （2） 2 111 arctanarctan 222 xxxxC； （3）lnxxxC； （4） 2 arcsin1xxxC . 【小结】【小结】分部积分中( )u x的选取优先级，遵循“反、对幂指、三”的原则. 【例【例 3 3】计算下列不定积分. （1） 2 3x x e dx ；（2） 2 arcsin
19、x dx x ； （3） 2 1 lnsin sin xdx x ；（4） 2 cos x dx x . 【答案【答案】 （1） 2 2 1 (1) 2 x exC； （2） 2 arcsin11 ln xx C xx ； （3）cotlnsincotxxxxC； （4）tanln cosxxxC. 版权所有 翻版必究 18 中公学员内部专用 【例例 4 4】计算下列不定积分. （1） 22 arctan (1) x dx xx ；（2） 2 arcsin x x e dx e . 【答案】【答案】 （1） 2 2 2 arctan11 ln(arctan ) 212 xx xC xx ； （
20、2） 22 11 arcsin1 22 xxxx eeeeC . 【例【例 5 5】计算下列不定积分. （1） 2 arctan 1 xx dx x ；（2） 1 x x xe dx e ； 版权所有 翻版必究 19 中公学员内部专用 （3） 3 sin cos xx dx x ；（4） 3 2 2 arctan (1) x dx x . 【答案【答案】 （1） 22 1arctanln(1)xxxxC ； （2）(2 4)14arctan1 xx xeeC ； （3） 2 1 tan 2cos2 x xC x ； （4） 2 arctan1 1 xx C x . 【小结】【小结】使用不定积分
21、的关键是要先将积分式( ) ( )u x v x dx 中的( )v x dx部分凑成 ( )dv x，这里相当于要计算( )v x的不定积分.这个积分的计算一定要比较简单，如果过 于复杂，就应该考虑其它方法. 【例【例 6 6】计算下列不定积分. （1）arctan1xdx ；（2） 2 2 x dx x ； 版权所有 翻版必究 20 中公学员内部专用 （3） 2 ln 1 x dx x ；（4） 1 arctan x dx x . 【答案【答案】 （1）(2)arctan11xxxC ； （2） 2 (2)4ln22 2 x xxxC x ； （3） 212 (1)ln 1lnarctan
22、 2 xx xxC xx . （4） 111 arctanln1 22 x xxxC x . 【小结【小结】 （1）变量代换法可以结合分部积分法进行使用，对积分式( )f x dx ，如果做变 量代换( )xt，可以得到( ( )( )ft dt ，若在下一步需要使用分部积分时，对微分 式( )dt可 以 不 将 其 计 算 出 来 ， 而 是 直 接 进 行 分 部 积 分 ： ( ( )( )( ) ( ( )( )( ( )ft dtt ftt d ft . （2）如果积分式中含有分式 axb cxd ，一般直接令整个根式为t，从中解出x，再代回 原积分求解.这种情况下，一般要结合分部积
23、分法. 版权所有 翻版必究 21 中公学员内部专用 【例【例 7 7】计算下列不定积分. （1） 2 (1) x xe dx x ；（2） 2 sincosxxx dx x ； （3） 2 (2 sincos ) x exxx dx ；（4） 22 (cot1) x exdx . 【答案【答案】 （1） x e C x ； （2） cosx C x ； （3） 2 sin x exC ； （4） 2 cot x exC . 版权所有 翻版必究 22 中公学员内部专用 讲解五、极值点与拐点 一、基本概念 1.极值点的定义极值点的定义 设函数( )f x在点 0 x的某邻域 0 ()U x 内有定
24、义，如果对任意的 0 ()xU x ，有 0 ()( )f xf x （或 0 ()( )f xf x ） ， 则称 0 ()f x是函数( )f x的一个极小值 （或极大值） . 2.极值点的判定极值点的判定 a.必要条件：必要条件：设函数( )f x在 0 x处可导，并在 0 x处取得极值，那么 0 ()0fx . b.第一充分条件：第一充分条件：设函数( )f x在 0 x处连续，并在 0 x的某去心邻域 0 (, )U x 内可导： （i）若 00 (,)xxx 时，( )0fx ，而 00 (,)xxx 时，( )0fx ，则( )f x在 0 x 处取得极大值； （）若 00 (,
25、)xxx 时，( )0fx ，而 00 (,)xxx 时，( )0fx ，则( )f x在 0 x处取得极小值； （）若 0, xU x 时，( )fx 符号保持不变，则( )f x在 0 x处没有极值. c.第二充分条件：第二充分条件：设函数( )f x在 0 x处存在二阶导数且 0 ()0fx ，那么： （）若 0 ()0fx ，则( )f x在 0 x处取得极小值； （）若 0 ()0fx ，则( )f x在 0 x处取得极大值. 3.拐点的定义拐点的定义：连续函数凹凸性的分界点称为拐点. 4.拐点的判定拐点的判定： a.必要条件：必要条件：设函数( )f x在 0 x处二阶可导，并且
26、00 (,()xf x 是它的拐点，那么 0 ()0fx . b.第一充分条件第一充分条件： 设函数( )f x在 0 x处连续， 并在 0 x的某去心邻域 0 (, )U x 内二阶可导， 版权所有 翻版必究 23 中公学员内部专用 若在点 0 x两侧函数的二阶导数异号，则点 00 (,()xf x 为函数( )f x的拐点； 若在点 0 x两 侧函数的二阶导数同号，则点 00 (,()xf x 不是函数( )f x的拐点. c.第二充分条件：第二充分条件：设函数( )f x在 0 x处三阶可导，若在点 0 x处 0 ()0fx ，且有 0 ()0fx ，则点 00 (,()xf x 为函数
27、( )f x的拐点. 二、常考题型 题型一、直接考查题型一、直接考查 【例【例 1】已知函数 32 ( )f xxaxbxc在3x 处取极值，并且点(2,4)为曲线 ( )yf x的拐点，求, ,a b c. 【答案】【答案】6,9,2 abc. 【小结】【小结】如果题目中已知函数取极值与拐点，则使用必要条件. 【例【例 2】 【2010-1、210 分】分】求函数 2 2 2 1 ( )() x t f xxt edt 的单调区间与极值. 【答案】【答案】( )f x的单调减少区间为, 1 和0,1，单调增加区间为( 1,0)和(1,). 1 1 (0)(1) 2 fe是极大值，( 1)0f
28、 为极小值. 【小结【小结】如果能够求出导数以及二阶导数，并能计算出函数的单调区间和凹凸区间，则 使用第一充分条件判断极值点与拐点. 版权所有 翻版必究 24 中公学员内部专用 【例【例 3】设函数( )f x，( )g x具有二阶导数，且( )0gx ，若 0 ()g xa是( )g x的极 值，则( ( )f g x在 0 x取极大值的一个充分条件是（） （A）( )0f a （B）( )0f a （C）( )0fa （D）( )0fa 【答案【答案】 （B）. 【例【例 4】设( )yy x为由方程 322 2221yyxyx所确定的函数，求其驻点并判断 该点是否为极值点. 【答案】【答
29、案】1x 为驻点；1x 是极小值点. 【小结【小结】即便能求出函数的导数，但如果由于函数类型比较复杂（如隐函数或参数方程） 而无法判断出导数的符号，仍然需使用第二充分条件. 【例【例 5】设 , 0 ( ) 1, 0 x xx f x xx ，求函数的极值. 版权所有 翻版必究 25 中公学员内部专用 【答案】【答案】当 1 xe 时取得极小值 1 e e ，当0 x 时取极大值1. 【小结【小结】对于分段函数，无需计算分段点处的导数，也无需判断该点是否可导，只要确 保函数在该点连续，就可以直接使用第一充分条件. 题型二、方程题型二、方程 【例【例 6】设函数( )yf x满足 sin x y
30、xye， 0 ()0y x，试判断函数在点 0 xx处 是否取极值，是否为拐点. 【答案】【答案】取极小值，不是拐点. 【小结】【小结】如果题目中的函数是以微分方程的形式给出的，基本思路是直接将驻点代入， 根据该点二阶导数的符号判断该点是否取极值. 【例【例 7】设函数( )yf x具有二阶连续的导数，且满足 2 3 ()1 x xyx ye . （1） 00 ()0,0y xx，试判断函数在点 0 xx处是否取极值， 00 ( ,)x y是否为拐点； （2）(0)0 y ，试判断函数在点 0 x 处是否取极值，(0,0)是否为拐点. 【答案【答案】 （1）是极小值点，不是拐点； （2）是极小
31、值点，不是拐点. 【小结【小结】将驻点代入方程的目的是为了求出二阶导数，如果方程中二阶导数的系数中含 有零因子，就需要先在方程两边同除该零因子，然后再代入（此时一般不能直接代入， 可以等式两边同时取极限）. 【例【例 8】设函数( )yf x满足 2 ()yyyx，(0)(0)0y y ，试判断函数在点 版权所有 翻版必究 26 中公学员内部专用 0 x 处是否取极值，是否为拐点. 【答案】【答案】不是极值点，是拐点. 【小结【小结】 （1）将驻点代入后得到的二阶导数的值为零，此时该点很有可能是拐点，为了 讨论是否是拐点，可以在方程两端同时求导，再代入得到三阶导数的值，从而判断是否 为拐点. （2）对可导的函数来说，拐点处不取极值. 题型三、图像题型三、图像 【例例 9】 【2016-34 分分】设函数( )f x在(,) 内连续，其导函数的图形如图所示， 则（） （A）函数( )f x有2个极值点，曲线( )yf x有2个拐点 （B）函数( )f x有2个极值点，曲线( )yf x有3个拐点 （C）函数( )f x有3个极值点，曲线( )yf x有1个拐点 （D）函数( )f x有3个极值点，曲线( )yf x有2个拐点 【答案【答案】 （B）. 【小结】【小结】如果函数是以图像形式给出的，则一般直接通过第一充分条件进行判断. 版权所有 翻版必究 27 中公学员内部专用
