1、 2021 届新高三摸底联考届新高三摸底联考 数学试卷（新高考）数学试卷（新高考） 第第卷卷 一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合0,1,2,3A， 2Bx yx，则AB （ ） A 3 B2,3 C0,1 D0,1,2 2命题“0,x ， 2 21 x x ”的否定是（ ） A 0 0,x， 0 2 0 21 x x B 0 0,x， 0 2 0 21 x x C0,x ， 2 21 x x D 2 21 x x 3已知复数 34i 2i z ，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4设 1 3
2、 2a ， 3 log 2b ， 2 log 0.1c ，则（ ） Aacb Babc Cbac Dcba 5已知向量m，n满足2mnmn，且2mn，则m与n的夹角的余弦值为（ ） A 1 3 B 1 4 C 1 6 D 1 8 6函数 2 2 ecos e1 x x xx f x 的大致图象为（ ） AB CD 7我国古代著作庄子天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺 长的木棍， 每天截去它的一半， 永远也截不完 在这个问题中， 记第n天后剩余木棍的长度为 n a， 数列 n a 的前n项和为 n S，则使得不等式 2020 2021 n S 成立的正整数n的最小
3、值为（ ） A9 B10 C11 D12 8已知斜率存在的直线l交椭圆C： 22 1 94 xy 于A，B两点，点P是弦AB的中点，点1,0M，且 0MPMBMA，1MP ，则直线MP的斜率为（ ） A2 2 B4 2 C 4 3 D 3 4 二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9已知双曲线E： 22 1 4 xy m （0m）的一条渐近线方程为30 xy，则下列说法正确的是（ ） AE的焦点在x轴上 B 4 9 m CE的实轴长为 6 DE的离心率为 10 3 102020 年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统 计了近
4、5 个月来5G手机的实际销量，如下表所示： 月份 2020 年 2 月 2020 年 3 月 2020 年 4 月 2020 年 5 月 2020 年 6 月 月份编号x 1 2 3 4 5 销量/y部 37 104 a 196 216 若y与x线性相关，且求得线性回归方程为455yx，则下列说法正确的是（ ） A147a By与x正相关 Cy与x的相关系数为负数 D8 月份该手机商城的5G手机销量约为 36.5 万部 11已知0a，0b，且 21 1 ab ，则（ ） A1b B8ab C 22 411 2ab D28ab 12已知函数 cos 2 4 f xx 与 sin 2g xx（0
5、）的图象关于y轴对称，则下列 结论正确的是（ ） A 4 B直线 8 x 是 g x的图象的一条对称轴 C g x在 5 , 88 上单调递减 D g x的图象可看作是 f x的图象向左平移 4 个单位长度而得到的 第第卷卷 三、填空题： 13若曲线 3 2f xaxx在点 2,2f处的切线的斜率为 1，则a_ 14已知 1 tan 42 ，则tan_， 22 cos2 sin2cos _ 152020 年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出 8 名农技人员（5 男 3 女） ，并分成两组，分配到 2 个贫困村进行扶贫工作，若每组至少 3 人，且每组都有男农技人
6、员，则不 同的分配方案共有_种（用数字填写答案） 16已知球O是三棱锥PABC的外接球，1ABBCCA，2PA，则当点P到平面ABC的距离 取最大值时，球O的表面积为_ 四、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 在 5 cos3 cos3 cosbBaCcA； 3 sincos4 cos3 cossinbBCaBbBC； 2 2 2cos1 2810 B （0 0 2 B） ，这三个条件中，任选一个补充在下面问题中的横线处，并加以 解答 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若7ac ，ABC的面积为 4，_，求 sinB及b 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解
7、答计分 18记 n S为等差数列 n a的前n项和， 83 90SS， 2 6a （1）求数列 n a的通项公式及 n S； （2）记数列 1 n S 的前n项和为 n T，若 20 33 n T ，求n的值 19如图，在多面体 ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，/AD BC，ABAD，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF 平面ABCD33BCABAD，M为线段BD的中点 （1）求证：BD 平面AFM； （2）求平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值 20在平面直角坐标系xOy中，已知2,0F，2,3M ，动点P满足 1 2 OF MPPF （1）求动点P的轨迹C的方程； （2
8、）过点1,0D作直线AB交C于A，B两点，若AFD的面积是BFD的面积的 2 倍，求AB 212020 年初，新型冠状病毒肺炎爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高 度评价，在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度某市 2020 年初新增加了甲、 乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了 100 瓶消毒液，检测其质量，得 到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数 分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率） 质量指标值 0,10 10,20 20,30
9、 30,40 40,50 频数 20 10 30 15 25 （1）规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中 位数为 2 26 3 ，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为 26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标 值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情 况写出两条统计结论； （2）甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布 2 ,N ，其中近似为样本平均数x，并 已求得11.95 该厂决定将消毒液分为A，B，C级三个等级， 其中质量指标值Z不高于 2.6 的为C级， 高于 38.4
10、5 的为A级，其余为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题： （）甲厂近期生产了 10 万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数； （）已知每瓶消毒液的等级与出厂价X（单位：元/瓶）的关系如下表所示： 等级 A B C 出厂价X 30 25 16 假定甲厂半年消毒液的生产量为 1000 万瓶，且消毒液全都能销售出去若每瓶消毒液的成本为 20 元，工 厂的总投资为 4 千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内） ，问：甲厂能否在半年之内收回投资？ 试说明理由 附 ： 若 2 ,ZN ， 则0 . 6 8 2 7PZ，220.9545PZ， 330.9973PZ 22已知函数 sincos1f
11、 xxxx， 2 1 4 g xxf x （1）求 f x在区间0,2上的极值点； （2）证明： g x恰有 3 个零点 2021 届新高三摸底联考届新高三摸底联考 数学参考答案及评分细则数学参考答案及评分细则 一、单项选择题 1D 【解析】2Bx x，0,1,2AB 故选 D 2A 【解析】命题的否定是：变量词，否结论，可得命题的否定为： 0 0,x， 0 2 0 21 x x 故选 A 3 D 【解析】 5 2i34i 2i 2i5 z ， 2iz ， 它在复平面内对应的点2, 1位于第四象限 故 选 D 4B 【解析】 1 0 3 221a ， 33 log 2log 31b ，且0b，
12、 22 log 0.1log 10c ， abc故选 B 5B 【解析】2m nmn， 2222 244mnm nmnm n， 2 1 2 m nn 设向量m与n的夹角为，则 2 2 1 1 2 cos 24 n m n m nn 故选 B 6C 【解析】因为 22 22 ecosecos e1e1 xx xx xxxx fxf x ，所以 f x为偶函数，排除 D； 因为 1 0 2 f所以排除 B；因为 2 4 2 2 ecos244cos2 2 1 e1 e e f ， 而 22 22 4cos25 01 11 ee ee ，所以 21,0f ，排除 A故选 C 7C【解析】记第n天后剩
13、余木棍的长度为 n a，则 n a是首项为 1 2 ，公比为 1 2 的等比数列， 所以 1 2 n n a ， 11 1 122 1 1 2 1 2 n n n S ， n S是关于n的增函数， 而 10 10 110232020 1 210242021 S ， 11 11 120472020 1 220482021 S ， 所以使得不等式 2020 2021 n S 成立的正整数n的最小值为 11故选 C 8D 【解析】设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 00 ,P x y，直线AB的斜率为k，不妨令0k ， 则 22 11 22 22 1 94 1 94 xy xy 两式相减
14、，得 12121212 11 0 94 xxxxyyyy， 所以 12 00 12 11 220 94 yy xy xx ，所以 00 490 xy k，即 0 0 4 9 x k y 由0MPMBMA，得MPAB，又 0 0 1 MP y k x ，所以 00 00 4 1 91 MP xy k k yx ， 解得 0 9 5 x 过点P作PHx轴于点H，则 4 cos 5 PMH， 所以 3 tan 4 PMH，即 3 4 MP k ，考虑对称性可知，直线MP的斜率为 3 4 故选 D 二、多项选择题 9AD 【解析】由0m，可知双曲线E的焦点一定在x轴上，故 A 正确； 根据题意得 21
15、 3 b am ，所以36m，故 B 错误； 双曲线E的实轴长为212m ，故 C 错误； 双曲线E的离心率 410 3 cm e am ，故 D 正确 故选 AD 10AB 【解析】由表中数据，计算得 1 123453 5 x ，所以45 35140y ， 于是得37 104196 216 140 5a ，解得147a ，故 A 正确； 由回归方程中的x的系数为正可知，y与x正相关，且其相关系数0r ，故 B 正确，C 错误； 8 月份时，7x，32y （万部） ，故 D 错误故选 AB 11ACD 【解析】 211 10 b abb ，1b，故 A 正确； 212 12 abab ，8ab
16、，故 B 错 误； 2222 22 412121211211211 2 222abababababab ，故 C 正确； 2144 224428 bab a abab ababab ，故 D 正确 故选 ACD 12ABC 【解析】由题得， cos2cos 2sin 2sin 2 44424 g xxxxx ， 4 ，故 A 正确； sin 2sin1 8842 g ，直线 8 x 是函数 g x的图象的一条对称轴，故 B 正确； 由 3 2 22 242 kxk（kZ） ，得 5 88 kxk（kZ） ， 当0k 时， 5 88 x，故 g x在 5 , 88 上单调递减，故 C 正确； 3
17、 cos 2sin2sin2 4248 f xxxx ， 而 3 sin2sin2 884 g xxx ， 故函数 g x的图象可看作是函数 f x的图象向右平移 4 个单位长度而得到的，故 D 错误 故选 ABC 三、填空题 13 1 4 【解析】 2 32fxax， 21221fa，解得 1 4 a 143， 8 7 【解析】因为 1 tan 42 ，所以 tan11 1tan2 ，解得tan3， 所以 222 22222 cos2cossin1 tan8 sin2cossin2costan27aa 15180 【解析】分配的方案有两类， 第一类：一组 3 人，另一组 5 人，有 32 8
18、2 C1 A110种； 第二类：两组均为 4 人，有 44 2 84 2 5 2 C C A70 A 种， 所以共有110 70 180N 种不同的分配方案 16 16 3 【解析】当点P到平面ABC的距离最大时，PA 平面ABC如图， 以ABC为底面，PA为侧棱补成一个直三棱柱，则球O是该三棱柱的外接球， 球心O到底面ABC的距离 1 1 2 dPA 由正弦定理得ABC的外接圆半径 3 2sin603 AB r ， 所以球O的半径为 22 2 2 3 Rdr，所以球O的表面积为 2 16 4 3 SR 四、解答题 17解：若选：由正弦定理及5 sin3 cos3 cosbBaCcA， 得5s
19、incos3sincos3sincos3sin3sinBBACCAA CB， 又0,B，所以sin0B，所以5cos3B，即 3 cos 5 B ，所以 2 4 sin1 cos 5 BB 因为 114 sin4 225 ABC SacBac ，所以10ac ， 由余弦定理得 2 22222 2cos12212493217bacacBacacac， 即17b 若选：由正弦定理得及3 sincos4 cos3 cossinbBCaBbBC， 得3sinsin4sincosBBCAB，即3sinsin4sincosBAAB， 又0,A，所以sin0A，所以3sin4cosBB，结合 22 sinc
20、os1BB及 0,B ， 可解得 3 cos 5 B ， 4 sin 5 B 因为 114 sin4 225 ABC SaBac ，所以10ac ， 由余弦定理得 2 22222 2cos12212493217bacacBacacac， 即17b 若选：由 2 2 2cos1 2810 B ，得 2 cos 410 B ， 又 0 2 B，所以 3 444 B，所以 sin0 4 B ， 所以 2 7 2 sin1 cos 4410 BB ， 所以 7 22224 sinsin 441021025 BB 因为 114 sin4 225 ABC SacBac ，所以10ac ， 由余弦定理得 2
21、 22222 2cos12212493217bacacBacacac， 即17b 18解： （1）设等差数列 n a的公差为d，则 11 1 8283390, 6, adad ad 解得 1 3, 3, a d 3133 n ann 12 3333 2222 n n n aann Snn （2）由（1）可得 132 11 3331 n Snnnn ， 故 211111212 11 322313131 n n T nnnn 令 20 33 n T ，得 220 3133 n n ，即 10 111 n n ，解得10n 19解： （1）因为ADEF为正方形，所以AFAD又因为平面ADEF 平面A
22、BCD， 且平面ADEF平面ABCDAD，所以AF 平面ABCD所以AFBD 因为ABAD，M线段BD的中点，所以BDAM 又AMAFA，所以BD 平面AFM （2）由（1）知AF 平面ABCD，所以AFAB，AFAD，又ABAD， 所以AB，AD，AF两两垂直分别以AB，AD，AF为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标 系Axyz（如图） 设1AB ，则0,0,0A，1,0,0B，1,3,0C，0,1,0D，0,1,1E， 所以1,1,0BD ，0,1,1AE ，1,3,0AC ，设平面ACE的一个法向量为, ,nx y z， 则 0, 0, AC n AE n 即 0, 30, yz
23、xy 令1y ，则3x，1z ，则3,1, 1n 由（1）知，1,1,0BD 为平面AFM的一个法向量 设平面AFM与平面ACE所成的锐二面角为， 则coscos BD n BD n BD n 222 222 311 110 311110 2 22 11 所以平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为 2 22 11 20解： （1）设,P x y，则2,3MPxy，2,0OF ，2,PFxy 由 1 2 OF MPPF，得 2 2 22xxy化简得 2 8yx， 即动点P的轨迹C的方程为 2 8yx （2）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，由题意知 1 1 2 AFD SFD
24、 y ， 2 1 2 BFD SFD y ， 因为2 AFDBFD SS ，所以 12 2yy，易知 12 0y y ，所以 12 2yy 设直线AB的方程为1xmy，联立 2 8 , 1, yx xmy 消去x，得 2 880ymy，则 2 64320m ， 12 8yym， 12 8y y ， 由解得 1 4 x ，所以 22 12 13 17 112416 162 ABm yymm 21解： （1）甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为 5 0.1 15 0.225 0.3 35 0.2545 0.1526.5x 甲 设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为n， 则0.20.1200.
25、030.5n，解得 2 26 3 n 统计结论： （答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分） 两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当； 由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生 产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定 两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒 液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好 两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于 25 两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为 2 26 3 甲厂生产的消毒液
26、质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大 的较多 （2） （）2.638.452PZPZ 1 22 2 PZPZ 0.8186， 因为100000 0.818681860，所以可估计甲厂所生产的这 10 万瓶消毒液中，B级消毒液有 81860 瓶 （）设每瓶消毒液的利润为Y元，则Y的可能取值为 10，54， 1038.45P YP ZP Z 1 1 2 PZ 1 1 0.6827 2 0.15865， 由（）知52.638.450.1816P YPZ， 所以41 0.81860.158650.02275P Y ，故Y的分布列为 Y 10 5 4 P 0.158
27、65 0.8186 002275 所以每瓶消毒液的平均利润为 10 0.15865 5 0.81864 0.022755.5885E Y （元） ， 故生产半年消毒液所获利润为1 5.58855.5885（千万元） ， 而 55885（千万元）4（千万元） ，所以甲厂能在半年之内收回投资 22解： （1） cosfxxx（0,2x） ，令 0fx，得 2 x ，或 3 2 x 当 0, 2 x 时， 0fx， f x单调递增； 当 3 , 22 x 时， 0fx， f x单调递减； 当 3 ,2 2 x 时， 0fx， f x单调递增 故 2 x 是 f x的极大值点， 3 2 x 是 f x
28、的极小值点 综上所述， f x在区间0,2上的极大值点为 2 x ，极小值点为 3 2 x （2） 22 11 1sincos 44 g xxf xxxxx （xR） ， 因为 00g，所以0 x是 g x的一个零点 2 2 1 1sincos1sincos 44 x gxxxxxxxxg x ， 所以 g x为偶函数 即要确定 g x在R上的零点个数，只需确定0 x时， g x的零点个数即可 当0 x0 时 11 cos1 2cos 22 gxxxxxx 令 0g x，即 1 cos 2 x ， 2 3 xk或 5 2 3 xk（kN） 0, 3 x 时， 0gx， g x单调递减，又 00g，所以 0 3 g ； 5 , 3 3 x 时， 0g x， g x单调递增，且 2 5255 31 0 33662 g ， 所以 g x在区间 5 0, 3 内有唯一零点当 5 3 x 时，由于sin1x，cos1x 222 111 1sincos11 444 g xxxxxxxxxt x 而 t x在区间 5 , 3 内单调递增， 5 0 3 t xt ， 所以 0g x 恒成立，故 g x在区间 5 , 3 内无零点， 所以 g x在区间0,内有一个零点，由于 g x是偶函数， 所以 g x在区间,0内有一个零点，而 00g，综上， g x有且仅有三个零点
