河北省张家口市邢台市衡水市2021届高三上学期摸底联考(新高考)数学试题含答案与解析.docx

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1、 2021 届新高三摸底联考届新高三摸底联考 数学试卷(新高考)数学试卷(新高考) 第第卷卷 一、单项选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1已知集合0,1,2,3A, 2Bx yx,则AB ( ) A 3 B2,3 C0,1 D0,1,2 2命题“0,x , 2 21 x x ”的否定是( ) A 0 0,x, 0 2 0 21 x x B 0 0,x, 0 2 0 21 x x C0,x , 2 21 x x D 2 21 x x 3已知复数 34i 2i z ,则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4设 1 3

2、 2a , 3 log 2b , 2 log 0.1c ,则( ) Aacb Babc Cbac Dcba 5已知向量m,n满足2mnmn,且2mn,则m与n的夹角的余弦值为( ) A 1 3 B 1 4 C 1 6 D 1 8 6函数 2 2 ecos e1 x x xx f x 的大致图象为( ) AB CD 7我国古代著作庄子天下篇引用过一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”其含义是:一尺 长的木棍, 每天截去它的一半, 永远也截不完 在这个问题中, 记第n天后剩余木棍的长度为 n a, 数列 n a 的前n项和为 n S,则使得不等式 2020 2021 n S 成立的正整数n的最小

3、值为( ) A9 B10 C11 D12 8已知斜率存在的直线l交椭圆C: 22 1 94 xy 于A,B两点,点P是弦AB的中点,点1,0M,且 0MPMBMA,1MP ,则直线MP的斜率为( ) A2 2 B4 2 C 4 3 D 3 4 二、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求 9已知双曲线E: 22 1 4 xy m (0m)的一条渐近线方程为30 xy,则下列说法正确的是( ) AE的焦点在x轴上 B 4 9 m CE的实轴长为 6 DE的离心率为 10 3 102020 年初以来,5G技术在我国已经进入高速发展的阶段,5G手机的销量也逐渐上升,某手机商城统 计了近

4、5 个月来5G手机的实际销量,如下表所示: 月份 2020 年 2 月 2020 年 3 月 2020 年 4 月 2020 年 5 月 2020 年 6 月 月份编号x 1 2 3 4 5 销量/y部 37 104 a 196 216 若y与x线性相关,且求得线性回归方程为455yx,则下列说法正确的是( ) A147a By与x正相关 Cy与x的相关系数为负数 D8 月份该手机商城的5G手机销量约为 36.5 万部 11已知0a,0b,且 21 1 ab ,则( ) A1b B8ab C 22 411 2ab D28ab 12已知函数 cos 2 4 f xx 与 sin 2g xx(0

5、)的图象关于y轴对称,则下列 结论正确的是( ) A 4 B直线 8 x 是 g x的图象的一条对称轴 C g x在 5 , 88 上单调递减 D g x的图象可看作是 f x的图象向左平移 4 个单位长度而得到的 第第卷卷 三、填空题: 13若曲线 3 2f xaxx在点 2,2f处的切线的斜率为 1,则a_ 14已知 1 tan 42 ,则tan_, 22 cos2 sin2cos _ 152020 年是我国脱贫攻坚决战决胜之年,某县农业局为支持该县的扶贫工作,决定派出 8 名农技人员(5 男 3 女) ,并分成两组,分配到 2 个贫困村进行扶贫工作,若每组至少 3 人,且每组都有男农技人

6、员,则不 同的分配方案共有_种(用数字填写答案) 16已知球O是三棱锥PABC的外接球,1ABBCCA,2PA,则当点P到平面ABC的距离 取最大值时,球O的表面积为_ 四、解答题:解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 在 5 cos3 cos3 cosbBaCcA; 3 sincos4 cos3 cossinbBCaBbBC; 2 2 2cos1 2810 B (0 0 2 B) ,这三个条件中,任选一个补充在下面问题中的横线处,并加以 解答 已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若7ac ,ABC的面积为 4,_,求 sinB及b 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解

7、答计分 18记 n S为等差数列 n a的前n项和, 83 90SS, 2 6a (1)求数列 n a的通项公式及 n S; (2)记数列 1 n S 的前n项和为 n T,若 20 33 n T ,求n的值 19如图,在多面体 ABCDEF中,四边形ABCD为直角梯形,/AD BC,ABAD,四边形ADEF 为正方形,平面ADEF 平面ABCD33BCABAD,M为线段BD的中点 (1)求证:BD 平面AFM; (2)求平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值 20在平面直角坐标系xOy中,已知2,0F,2,3M ,动点P满足 1 2 OF MPPF (1)求动点P的轨迹C的方程; (2

8、)过点1,0D作直线AB交C于A,B两点,若AFD的面积是BFD的面积的 2 倍,求AB 212020 年初,新型冠状病毒肺炎爆发时,我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情,赢得了国际社会的高 度评价,在这期间,为保证抗疫物资的质量,我国也加大了质量检查的力度某市 2020 年初新增加了甲、 乙两家专门生产消毒液的工厂,质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了 100 瓶消毒液,检测其质量,得 到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示,乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数 分布表如表所示(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表,视频率为概率) 质量指标值 0,10 10,20 20,30

9、 30,40 40,50 频数 20 10 30 15 25 (1)规定:消毒液的质量指标值越高,消毒液的质量越好已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中 位数为 2 26 3 ,乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为 26.5,分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标 值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数,并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情 况写出两条统计结论; (2)甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布 2 ,N ,其中近似为样本平均数x,并 已求得11.95 该厂决定将消毒液分为A,B,C级三个等级, 其中质量指标值Z不高于 2.6 的为C级, 高于 38.4

10、5 的为A级,其余为B级,请利用该正态分布模型解决下列问题: ()甲厂近期生产了 10 万瓶消毒液,试估计其中B级消毒液的总瓶数; ()已知每瓶消毒液的等级与出厂价X(单位:元/瓶)的关系如下表所示: 等级 A B C 出厂价X 30 25 16 假定甲厂半年消毒液的生产量为 1000 万瓶,且消毒液全都能销售出去若每瓶消毒液的成本为 20 元,工 厂的总投资为 4 千万元(含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内) ,问:甲厂能否在半年之内收回投资? 试说明理由 附 : 若 2 ,ZN , 则0 . 6 8 2 7PZ,220.9545PZ, 330.9973PZ 22已知函数 sincos1f

11、 xxxx, 2 1 4 g xxf x (1)求 f x在区间0,2上的极值点; (2)证明: g x恰有 3 个零点 2021 届新高三摸底联考届新高三摸底联考 数学参考答案及评分细则数学参考答案及评分细则 一、单项选择题 1D 【解析】2Bx x,0,1,2AB 故选 D 2A 【解析】命题的否定是:变量词,否结论,可得命题的否定为: 0 0,x, 0 2 0 21 x x 故选 A 3 D 【解析】 5 2i34i 2i 2i5 z , 2iz , 它在复平面内对应的点2, 1位于第四象限 故 选 D 4B 【解析】 1 0 3 221a , 33 log 2log 31b ,且0b,

12、 22 log 0.1log 10c , abc故选 B 5B 【解析】2m nmn, 2222 244mnm nmnm n, 2 1 2 m nn 设向量m与n的夹角为,则 2 2 1 1 2 cos 24 n m n m nn 故选 B 6C 【解析】因为 22 22 ecosecos e1e1 xx xx xxxx fxf x ,所以 f x为偶函数,排除 D; 因为 1 0 2 f所以排除 B;因为 2 4 2 2 ecos244cos2 2 1 e1 e e f , 而 22 22 4cos25 01 11 ee ee ,所以 21,0f ,排除 A故选 C 7C【解析】记第n天后剩

13、余木棍的长度为 n a,则 n a是首项为 1 2 ,公比为 1 2 的等比数列, 所以 1 2 n n a , 11 1 122 1 1 2 1 2 n n n S , n S是关于n的增函数, 而 10 10 110232020 1 210242021 S , 11 11 120472020 1 220482021 S , 所以使得不等式 2020 2021 n S 成立的正整数n的最小值为 11故选 C 8D 【解析】设 11 ,A x y, 22 ,B x y, 00 ,P x y,直线AB的斜率为k,不妨令0k , 则 22 11 22 22 1 94 1 94 xy xy 两式相减

14、,得 12121212 11 0 94 xxxxyyyy, 所以 12 00 12 11 220 94 yy xy xx ,所以 00 490 xy k,即 0 0 4 9 x k y 由0MPMBMA,得MPAB,又 0 0 1 MP y k x ,所以 00 00 4 1 91 MP xy k k yx , 解得 0 9 5 x 过点P作PHx轴于点H,则 4 cos 5 PMH, 所以 3 tan 4 PMH,即 3 4 MP k ,考虑对称性可知,直线MP的斜率为 3 4 故选 D 二、多项选择题 9AD 【解析】由0m,可知双曲线E的焦点一定在x轴上,故 A 正确; 根据题意得 21

15、 3 b am ,所以36m,故 B 错误; 双曲线E的实轴长为212m ,故 C 错误; 双曲线E的离心率 410 3 cm e am ,故 D 正确 故选 AD 10AB 【解析】由表中数据,计算得 1 123453 5 x ,所以45 35140y , 于是得37 104196 216 140 5a ,解得147a ,故 A 正确; 由回归方程中的x的系数为正可知,y与x正相关,且其相关系数0r ,故 B 正确,C 错误; 8 月份时,7x,32y (万部) ,故 D 错误故选 AB 11ACD 【解析】 211 10 b abb ,1b,故 A 正确; 212 12 abab ,8ab

16、,故 B 错 误; 2222 22 412121211211211 2 222abababababab ,故 C 正确; 2144 224428 bab a abab ababab ,故 D 正确 故选 ACD 12ABC 【解析】由题得, cos2cos 2sin 2sin 2 44424 g xxxxx , 4 ,故 A 正确; sin 2sin1 8842 g ,直线 8 x 是函数 g x的图象的一条对称轴,故 B 正确; 由 3 2 22 242 kxk(kZ) ,得 5 88 kxk(kZ) , 当0k 时, 5 88 x,故 g x在 5 , 88 上单调递减,故 C 正确; 3

17、 cos 2sin2sin2 4248 f xxxx , 而 3 sin2sin2 884 g xxx , 故函数 g x的图象可看作是函数 f x的图象向右平移 4 个单位长度而得到的,故 D 错误 故选 ABC 三、填空题 13 1 4 【解析】 2 32fxax, 21221fa,解得 1 4 a 143, 8 7 【解析】因为 1 tan 42 ,所以 tan11 1tan2 ,解得tan3, 所以 222 22222 cos2cossin1 tan8 sin2cossin2costan27aa 15180 【解析】分配的方案有两类, 第一类:一组 3 人,另一组 5 人,有 32 8

18、2 C1 A110种; 第二类:两组均为 4 人,有 44 2 84 2 5 2 C C A70 A 种, 所以共有110 70 180N 种不同的分配方案 16 16 3 【解析】当点P到平面ABC的距离最大时,PA 平面ABC如图, 以ABC为底面,PA为侧棱补成一个直三棱柱,则球O是该三棱柱的外接球, 球心O到底面ABC的距离 1 1 2 dPA 由正弦定理得ABC的外接圆半径 3 2sin603 AB r , 所以球O的半径为 22 2 2 3 Rdr,所以球O的表面积为 2 16 4 3 SR 四、解答题 17解:若选:由正弦定理及5 sin3 cos3 cosbBaCcA, 得5s

19、incos3sincos3sincos3sin3sinBBACCAA CB, 又0,B,所以sin0B,所以5cos3B,即 3 cos 5 B ,所以 2 4 sin1 cos 5 BB 因为 114 sin4 225 ABC SacBac ,所以10ac , 由余弦定理得 2 22222 2cos12212493217bacacBacacac, 即17b 若选:由正弦定理得及3 sincos4 cos3 cossinbBCaBbBC, 得3sinsin4sincosBBCAB,即3sinsin4sincosBAAB, 又0,A,所以sin0A,所以3sin4cosBB,结合 22 sinc

20、os1BB及 0,B , 可解得 3 cos 5 B , 4 sin 5 B 因为 114 sin4 225 ABC SaBac ,所以10ac , 由余弦定理得 2 22222 2cos12212493217bacacBacacac, 即17b 若选:由 2 2 2cos1 2810 B ,得 2 cos 410 B , 又 0 2 B,所以 3 444 B,所以 sin0 4 B , 所以 2 7 2 sin1 cos 4410 BB , 所以 7 22224 sinsin 441021025 BB 因为 114 sin4 225 ABC SacBac ,所以10ac , 由余弦定理得 2

21、 22222 2cos12212493217bacacBacacac, 即17b 18解: (1)设等差数列 n a的公差为d,则 11 1 8283390, 6, adad ad 解得 1 3, 3, a d 3133 n ann 12 3333 2222 n n n aann Snn (2)由(1)可得 132 11 3331 n Snnnn , 故 211111212 11 322313131 n n T nnnn 令 20 33 n T ,得 220 3133 n n ,即 10 111 n n ,解得10n 19解: (1)因为ADEF为正方形,所以AFAD又因为平面ADEF 平面A

22、BCD, 且平面ADEF平面ABCDAD,所以AF 平面ABCD所以AFBD 因为ABAD,M线段BD的中点,所以BDAM 又AMAFA,所以BD 平面AFM (2)由(1)知AF 平面ABCD,所以AFAB,AFAD,又ABAD, 所以AB,AD,AF两两垂直分别以AB,AD,AF为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标 系Axyz(如图) 设1AB ,则0,0,0A,1,0,0B,1,3,0C,0,1,0D,0,1,1E, 所以1,1,0BD ,0,1,1AE ,1,3,0AC ,设平面ACE的一个法向量为, ,nx y z, 则 0, 0, AC n AE n 即 0, 30, yz

23、xy 令1y ,则3x,1z ,则3,1, 1n 由(1)知,1,1,0BD 为平面AFM的一个法向量 设平面AFM与平面ACE所成的锐二面角为, 则coscos BD n BD n BD n 222 222 311 110 311110 2 22 11 所以平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为 2 22 11 20解: (1)设,P x y,则2,3MPxy,2,0OF ,2,PFxy 由 1 2 OF MPPF,得 2 2 22xxy化简得 2 8yx, 即动点P的轨迹C的方程为 2 8yx (2)设 11 ,A x y, 22 ,B x y,由题意知 1 1 2 AFD SFD

24、 y , 2 1 2 BFD SFD y , 因为2 AFDBFD SS ,所以 12 2yy,易知 12 0y y ,所以 12 2yy 设直线AB的方程为1xmy,联立 2 8 , 1, yx xmy 消去x,得 2 880ymy,则 2 64320m , 12 8yym, 12 8y y , 由解得 1 4 x ,所以 22 12 13 17 112416 162 ABm yymm 21解: (1)甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为 5 0.1 15 0.225 0.3 35 0.2545 0.1526.5x 甲 设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为n, 则0.20.1200.

25、030.5n,解得 2 26 3 n 统计结论: (答案不唯一,任意两个即可,其他答案如果叙述正确也给分) 两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等,从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当; 由数据波动的情况可知,乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差,说明甲厂生 产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定 两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同,但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒 液质量的方差,所以甲厂生产的消毒液更好 两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于 25 两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为 2 26 3 甲厂生产的消毒液

26、质量集中在平均数附近,乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大 的较多 (2) ()2.638.452PZPZ 1 22 2 PZPZ 0.8186, 因为100000 0.818681860,所以可估计甲厂所生产的这 10 万瓶消毒液中,B级消毒液有 81860 瓶 ()设每瓶消毒液的利润为Y元,则Y的可能取值为 10,54, 1038.45P YP ZP Z 1 1 2 PZ 1 1 0.6827 2 0.15865, 由()知52.638.450.1816P YPZ, 所以41 0.81860.158650.02275P Y ,故Y的分布列为 Y 10 5 4 P 0.158

27、65 0.8186 002275 所以每瓶消毒液的平均利润为 10 0.15865 5 0.81864 0.022755.5885E Y (元) , 故生产半年消毒液所获利润为1 5.58855.5885(千万元) , 而 55885(千万元)4(千万元) ,所以甲厂能在半年之内收回投资 22解: (1) cosfxxx(0,2x) ,令 0fx,得 2 x ,或 3 2 x 当 0, 2 x 时, 0fx, f x单调递增; 当 3 , 22 x 时, 0fx, f x单调递减; 当 3 ,2 2 x 时, 0fx, f x单调递增 故 2 x 是 f x的极大值点, 3 2 x 是 f x

28、的极小值点 综上所述, f x在区间0,2上的极大值点为 2 x ,极小值点为 3 2 x (2) 22 11 1sincos 44 g xxf xxxxx (xR) , 因为 00g,所以0 x是 g x的一个零点 2 2 1 1sincos1sincos 44 x gxxxxxxxxg x , 所以 g x为偶函数 即要确定 g x在R上的零点个数,只需确定0 x时, g x的零点个数即可 当0 x0 时 11 cos1 2cos 22 gxxxxxx 令 0g x,即 1 cos 2 x , 2 3 xk或 5 2 3 xk(kN) 0, 3 x 时, 0gx, g x单调递减,又 00g,所以 0 3 g ; 5 , 3 3 x 时, 0g x, g x单调递增,且 2 5255 31 0 33662 g , 所以 g x在区间 5 0, 3 内有唯一零点当 5 3 x 时,由于sin1x,cos1x 222 111 1sincos11 444 g xxxxxxxxxt x 而 t x在区间 5 , 3 内单调递增, 5 0 3 t xt , 所以 0g x 恒成立,故 g x在区间 5 , 3 内无零点, 所以 g x在区间0,内有一个零点,由于 g x是偶函数, 所以 g x在区间,0内有一个零点,而 00g,综上, g x有且仅有三个零点

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