1、第11章 相关分析与回归分析11.1、变量间的关系11.2、相关系数的测度11.3、简单线性回归模型11.4、回归模型的应用11.1、变量间的关系1、函数关系和相关关系 Y=f(x)变量之间不确定性的依存关系，我们称之为相关关系.2、相关关系的种类0510152025300102030051015202501020300510152025300102030051015202501020300102030405060010203040500204060801001201401600102030例1、下面是19个家庭食品消费支出和家庭收入数据(数据教材11-1)，试用图表分析食品消费支出与家庭收入
2、的相关关系。)(ix0246805101520家庭食品支出与收入相关分析图11.2 相关系数的测度1、线性相关系数性质：-1r+1r0,正相关；|r|=1完全相关强相关和弱相关22)()()(YYXXYYXXriii 2222)()(iiiiiiiiYYnXXnYXYXnr相关系数的另一种形式计算式 在手工计算样本相关系数时，通常先列计算表得到X，Y，XY，X2，Y2。然后代入公式。Excel计算相关系数的函数CORREL2、相关系数的检验总体相关系数=0时，样本相关系数r趋近于正态分布。而当接近于+1或-1时，除非n非常大，r的分布是有偏的。在实际的检验中，通常情况下采取费舍尔提出的t检验，
3、检验适用于小样本，也适用于大样本。因为在总体相关系数 接近0时，t的分布接近正态分布。t检验的步骤：第一步：提出假设H0：=0 H1：0第二步：计算检验统计量值 第三步：根据给定的显著性水平a和自由度查t分布表，得到 临界值ta/2(n-2)。若t ta/2(n-2),则拒绝原假设。反之，不能拒绝原假设。)2(122nrrt例11.2 针对数据11.1，19个家庭食品消费支出和家庭收入数据计算的样本相关系数r=0.9785，检验两者之间的线性相关系数是否显著(a=0.05)。解：第一步：提出假设H0：=0 H1：0第二步：计算检验统计量值 56.19)219(9785.019785.0)2(1
4、2222nrrt第三步：根据给定的显著性水平a和自由度查t分布表，得到 临界值t0.025(17)=2.1098。因为t=19.56 ta/2(n-2),故拒绝原假设。表明家庭食品支出与家庭收入变量总体上相关性显著。11.3 简单线性回归模型11.3.1模型的基本定义 1、模型的数学形式Y:因变量、应变量、被解释变量X:自变量、解释变量iiiXY102、模型包含随机误差项的原因1)引起变量观察值随机误差的诸多因素，使模型产生的误差。变量观察值的误差往往是不可避免的，无论是试验数据还是观察数据。但是在多次观察中有理由认为绝对值相同的正、负误差出现的机会大致相同。2)模型设定的误差。这其中既有模型
5、的函数形式设定的误差，也可能有遗漏解释变量的误差。引起设定误差的原因可能是我们对于引起 变动的机理尚不清楚，有时也是为了简化模型的需要。3)存在一些无法观测的解释变量。3.关于随机误差项的假定1)对于本身而言，具有零均值，即 E(i)=0；2)对于本身而言，具有等方差，即:D(i)=2；3)对于本身而言，即i和j不相关，可以表示为:COV(i,j)=0；4)与解释变量X不相关，可以表示为:COV(i,Xj)=0。11.3.2 最小二乘估计法(Least Squares Estimate Method)1.最小二乘的基本思想 根据Y 和X的样本观察值得到总体参数的估计值，最常用的方法就是最小二乘
6、估计法，即假设在拟合Y依X线性关系的所有直线中，有一条直线的预测值和观察值的偏离程度最小，即:必有：2102)(min)(minminiiiXYYYQ0)(2/0)1)(2/i101100XXYQXYQiiii整理得到参数的估计值：在手工计算样本相关系数时，通常先列计算表得到X，Y，XY，X2，Y2。然后代入公式。XYXXnYXYXniiiiii10221)(例11.3 针对数据11-1，试估计居民食品消费支出依家庭收入的回归方程。通过计算，可以得到食品消费支出依居民家庭收入的样本回归方程，写成：2537.0164178219641644.64519)(2221iiiiiiXXnYXYXn17
7、82.1191642537.0196410XYiiXY2537.01782.1根据经济学的知识，对这一回归方程可以做出解释，斜率0.2537表示当家庭收入每增加1万元，用于居民家庭食品的消费支出平均增加2537元，可以理解为收入对食品支出的边际贡献；而截距1.1782可以理解为收入为0时家庭食品支出额。2.在EXCEL中回归方程的估计第一步，选择“数据分析”中的“回归”分析工具，选择Y的输入区域和X的输入区域，如图第二步，点击确定后得到如图11-3b的三张表：回归统计、方差分析和系数表(Coefficients)。11.3.3回归方程的显著性检验1.回归方程整体拟合效果的检验拟合优度(good
8、ness of fit)Y的总变差：回归平方和：残差平方和：2)(YYTSSi2)(YYESSi22)(iiiYYeRSS对于给定的样本数据，无论样本回归线如何，总变差平方和TSS总是一定的，那么ESS在TSS中所占比重越高，或者说由于随机因素引起的变差RSS所占比重越小，都能够说明根据 解释 的变化效果越好，因此我们定义：称R2为拟合优度(goodness of fit)或判定系数，它度量了回归方程的拟合效果。根据上面相关定义可知，拟合优度的取值0，1。TSSRSSTSSESSR122.回归方程线性关系的显著检验F检验度以例11-3中食品消费支出的回归分析结果为例第一步：提出假设H0:=0H
9、1:0第二步：计算F统计量)2,1()2/(1/nFnRSSESSF8091.38217/0477.11/5933.23)2/(1/nRSSESSF第三步：查自由度为(1,17)的F分布临界值，一般情形下，给定显著性水平a=0.05 。F0.05（1,17）=8.3997第四步：将根据样本回归结果计算的F=382.8091和临界值比较，由于F F0.05（1,17）=8.3997，因此拒绝原假设。P-值检验，F对应的右侧概率。3.回归方程系数的显著检验t检验度(t-test)nXX22)(1nXXssiie22)(1MSRnRSSYYnsie2)(21111stt检验的步骤第一步：提出假设第二步：计算 统计量第三步：查自由度为（n-2)的t分布临界值ta/2(n-2)第四步：将根据样本回归结果计算的t值和临界值作比较|t|ta/2(n-2),拒绝原假设否则，不能拒绝原假设11.4 回归模型的应用11.4.1回归模型参数的区间估计112/112/1StSt)()(222/11222/1nXXMSRtnXXMSRt11.4.2根据回归方程预测1.点估计2.区间估计 1）E(Y)2）YiXY10YYStYYEStY2/02/)(220)()(1XXXXnssieY002/02/)(YYStYYEStY220)()(110XXXXnsSieY
