1、4.5 商業與經濟學的應用商業與經濟學的應用學習目標v求解商業與經濟學的最佳化問題。v求解需求函數中需求的價格彈性。v辨認基本的商業術語與公式。P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用商業與經濟學的最佳化商業與經濟學的最佳化v本章節主要將探討最佳化的問題，所以 4.4 節中的五個步驟為解題的策略。P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用範例 1求最大收入v某公司認為某產品的總收入(美元)可表示為R x3 450 x2 52,500 x其中 x 為銷售量。試問可得最大收入的產量為何？P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用範例 1求最大收入（解）1.收入函數的草圖如圖 4.36 所示
2、。P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用範例 1求最大收入（解）2.主要方程式為收入函數，即R x3 450 x2 52,500 x 主要方程式3.因為 R 為單變數函數，所以不需次要方程式。4.主要方程式的可行定義域為0 x 546 可行定義域此範圍是由收入函數的 x 截距而得，如圖 4.36。P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用範例 1求最大收入（解）5.為了使收入最大，先求得臨界數。在可行定義域中的臨界數為 x 350，由函數的圖形可知在產量為 350 時有最大收入。P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用2 390052,5000 3(350)(50)0 350,50
3、 dRxxdxxxxx 令導數為零因式分解臨界數檢查站檢查站 1 1v求使收入函數R x3 150 x2 9375x最大化的產量，試問最大收入為何？P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用商業與經濟學的最佳化商業與經濟學的最佳化v為了研究產量對成本的影響，經濟學家將平平均成本函數均成本函數(average cost function)定義為其中 C f(x)為總成本函數，x 為產量。P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用範例 2求最小平均成本P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用v某公司估計生產某產品 x 單位的成本(美元)可表示為C 800 0.04x 0.0002x2。求使
4、得每單位的平均成本為最小的產量。範例 2求最小平均成本（解）1.令 C 為總成本，x 為產量，為單位平均成本。2.主要方程式為 主要方程式=CCxP.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用範例 2求最小平均成本（解）3.將 C 代入主要方程式，可得4.函數的可行定義域為 x 0 可行定義域P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用2 8000.040.0002 8000.040.0002 xxCxxxC將 代入單變數函數範例 2求最小平均成本（解）5.再求臨界數如下所示。P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用222 2 2 C800 0.00020 8000.0002800 0.00
5、02 4,000,000 2000 0 .000 2ddxxxxxxx 令導數為零 兩邊同乘 再除以臨界數範例 2求最小平均成本（解）v由題意可知 x 值必須為正數，另外 C 的圖形如圖 4.37 所示，產量在 x 2000 時有最小的單位平均成本。P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用範例 2求最小平均成本（解）P.4-36 圖圖4.37第四章導數的應用第四章導數的應用檢查站檢查站 2 2v求使得每單位的平均成本為最小的產量，其中成本函數為C 400 0.05x 0.0025x2。P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用範例 3求最大收入v某公司的產品若以$10 的單價出售，每個月
6、可賣出 2000 個；若單價每降低$0.25，則每個月可再多賣 250 個。求使得每月收入為最大的單價。P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用範例 3求最大收入（解）1.令 x 為每月的銷售量，p 為單價，R 為每月的收入。2.為了使每月的收入最大，所以主要方程式為R xp 主要方程式主要方程式P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用範例 3求最大收入（解）3.當單價 p$10 時的銷售量為 x 2000，當單價 p$9.75 時的銷售量 x 2250。再由點斜式來建立需求方程式。將上式代入收入方程式可得P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用 2109.7510(2000)20
7、002250100.001(2000)0.00112 ()0.00112 0.00 112 pxpxpxRxpxxx 點斜式化簡次要方程式代入單變數函數範例 3求最大收入（解）4.收入方程式的可行定義域為 0 x 12,000 可行定義域5.欲使收入最大化，先求臨界數。P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用120.0020 0.000212 6000 dRxdxx 令導數為零臨界數範例 3求最大收入（解）v由圖 4.38 可知，銷售量為 6000 時的收入最大，對應的單價為p=12 0.001x需求函數需求函數 =12 0.001(6000)將將 x 6000 代代入入 =$6單價單價P
8、.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用範例 3求最大收入（解）P.4-37 圖圖4.38第四章導數的應用第四章導數的應用檢查站檢查站 3 3v若範例 3 的單價每降低$0.25，則每個月可再多賣 200 個產品，求使得每月收入為最大的單價。P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用學習提示學習提示v在範例 3 中的收入為 x 的函數，也可寫成 p 的函數；也就是R 1000(12p p2)。求函數的臨界數之後可知 p 6 時的收入最大。P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用範例 4求最大利潤v某公司的行銷部門認為某產品的需求量 x 可表示為而生產 x 單位的成本為 C 0.5x 5
9、00。可得最大利潤的價格為何？P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用50px範例 4求最大利潤（解）1.令 R 為收入，P 為利潤，p 為單價，x 為需求量，C 為生產 x 單位產品的總成本。2.為了使利潤為最大，考慮主要方程式P R C 主要方程式主要方程式P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用範例 4求最大利潤（解）3.以 R xp 改寫主要方程式為4.函數的可行定義域為 127 x 7872(當 x 小於 127 或大於 7872，則利潤為負)。P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用 ()0.550050 0.5500 500.5500 PxpxRRCxCxxxxp將
10、和 代入將 代入單變數函數範例 4求最大利潤（解）5.欲使利潤為最大，先求臨界數。由圖 4.39 的利潤函數可知，在 x 2500 時有最大利潤，對應的單價為 25 0.50 50 2500 505050$1.00 052500dPdxxxxpxx令導數為零單邊只剩 項臨界數單價P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用範例 4求最大利潤（解）P.4-38 圖圖4.39第四章導數的應用第四章導數的應用v範例 4 的計算過程可參考本章代數複習範例 2(b)。P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用代數技巧檢查站檢查站 4 4v由下列的需求和成本函數，求使得利潤為最大的價格。P.4-38第四
11、章導數的應用第四章導數的應用40250pCxx 且 學習提示學習提示v為了求範例 4 中的最大利潤，先對方程式 P R C 微分再令其為零，即當邊際收入等於邊際成本時，可得最大利潤，如圖 4.40。P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用0dPdRdCdxdxdx學習提示（續）學習提示（續）P.4-38 圖圖4.40第四章導數的應用第四章導數的應用需求的價格彈性需求的價格彈性v經濟學家有一種方法來測量消費者對某產品價格變化的反應，即需求的價格彈性需求的價格彈性(price elasticity of demand)。譬如，蔬菜價格跌落可能引起其需求量增加，這種需求稱為有彈有彈性性(elas
12、tic)。另一方面，像牛奶和用水等項目對其價格變化較無反應，這種需求稱為無無彈性彈性(inelastic)。P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用需求的價格彈性需求的價格彈性v正式而言，需求的彈性是需求量 x 的百分比變化量與價格 p 的百分比變化量之比值。需求的價格彈性公式可利用導數的定義以近似法推導得之，即P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用pdpxdx需求的價格彈性需求的價格彈性v再利用此近似可得P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用/x xppp xpxp xdx需求量的變化率需求的價格彈性價格的變化率需求的價格彈性需求的價格彈性P.4-39第四章導數的應用第四章導
13、數的應用需求的價格彈性需求的價格彈性v需求的價格彈性與總收入函數的關聯性，見圖 4.41 和下列的敘述：1.若需求是有彈性，則價格跌落所帶來的銷售 量增加，可使得總收入增加。2.若需求是無彈性，則價格跌落所帶來的銷售 量增加，不會使總收入增加。P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用需求的價格彈性需求的價格彈性P.4-39 圖圖4.41第四章導數的應用第四章導數的應用學習提示學習提示v下列為常見貨品之需求彈性的估計值。請問那幾項有彈性？那幾項無彈性？P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用範例 5比較彈性與收入v某產品的需求函數為 ，0 x 144，如圖 4.42(a)所示。a.求需求
14、為有彈性、無彈性和單位彈性的區間 。b.以(a)的答案來描述收入函數的性質。P.4-40第四章導數的應用第四章導數的應用18 1.5px範例 5比較彈性與收入P.4-第四章導數的應用第四章導數的應用範例 5比較彈性與收入（解）a.需求的價格彈性為P.4-40第四章導數的應用第四章導數的應用 /242 18 1.5/24 2 /344 3xxp xdp xdp dxxxxpxxxxdx需求的價格彈性公式將和代入分子和分母同乘以分成兩分式並化簡範例 5比較彈性與收入（解）v在區間 0,144 內，因需求為單位彈性或 1，所以的唯一解為 x 64，因此當 x 64 時可得需求的單位彈性。P.4-40
15、第四章導數的應用第四章導數的應用24=21 xx單位彈性範例 5比較彈性與收入（解）v對區間(0,64)內的 x 值來說，這說明當 0 x 64，需求有彈性。對區間(64,144)內的 x 值來說，這說明當 64 x 1,064 24=2 1,64144 xxxxxx有彈性無彈性P.4-40第四章導數的應用第四章導數的應用範例 5比較彈性與收入（解）b.由(a)的結果可知，在開區間(0,64)收入函數 R 是遞增的，在開區間(64,144)收入函數是遞減的，以及當 x 64 時收入函數有極大值，如圖 4.42(b)所示。P.4-40第四章導數的應用第四章導數的應用檢查站檢查站 5 5v需求函數為 ，0 x 324，求使得需求有彈性、無彈性和單位彈性的區間。P.4-40第四章導數的應用第四章導數的應用362px學習提示學習提示v需求的價格彈性模型通常假設需求量增加時價格會降低，所以需求函數 p f(x)為遞減的，且 dp/dx 為負值。P.4-40第四章導數的應用第四章導數的應用商業術語與公式商業術語與公式v本章節對幾個基本商業術語與公式整理如下。P.4-41第四章導數的應用第四章導數的應用商業術語與公式商業術語與公式P.4-41 圖圖4.43第四章導數的應用第四章導數的應用 需求、收入、成本與利潤函數的圖形則如圖 4.43 所示。
