1、2.7 2.7 序列相关性序列相关性Serial CorrelationSerial Correlation一、一、序列相关性序列相关性二、序列相关性的后果二、序列相关性的后果三、序列相关性的检验三、序列相关性的检验四、具有序列相关性模型的估计四、具有序列相关性模型的估计五、案例五、案例 如果模型的随机误差项违背了互相独立如果模型的随机误差项违背了互相独立的基本假设的情况，称为的基本假设的情况，称为序列相关性序列相关性。普通最小二乘法（普通最小二乘法（OLSOLS）要求计量模型）要求计量模型的随机误差项的随机误差项相互独立相互独立或或序列不相关序列不相关。一、序列相关性一、序列相关性1 1、序
2、列相关的概念、序列相关的概念对于模型 ikikiiiXXXY22110 i=1,2,n随机误差项互不相关的基本假设表现为：Covij(,)0 ij，i,j=1,2,n 如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现了不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现了序序列相关性列相关性。在其他假设仍成立的条件下，序列相关序列相关即意味着0)(jiE或nnTENNE11)(21121nnnE )()()()(21121nnnEEEE21121)()(nnnEE 2112)()(nnEE2I2 （2.5.1）称为一阶序列相关一阶
3、序列相关，或自相关自相关（autocorrelation）。这是最常见的一种序列相关问题。自相关自相关往往可写成如下形式：如果仅存在 Eii()10 i=1,2,n-1 （2.5.2）ttt1 11 （2.5.3）其中：被称为自协方差系数自协方差系数（coefficient of autocovariance）或一阶自相关系数一阶自相关系数（first-order coefficient of autocorrelation）。2 2、序列相关产生的原因、序列相关产生的原因 （1 1）惯性）惯性 大多数经济时间数据都有一个明显的特点，就是大多数经济时间数据都有一个明显的特点，就是它的惯性。它的
4、惯性。GDP、价格指数、生产、就业与失业等时间序列都呈周期性，如周期中的复苏阶段，大多数经济序列均呈上升势，序列在每一时刻的值都高于前一时刻的值，似乎有一种内在的动力驱使这一势头继续下去，直至某些情况（如利率或课税的升高）出现才把它拖慢下来。（2 2）设定偏误：模型中遗漏了显著的变量）设定偏误：模型中遗漏了显著的变量 例如：如果对牛肉需求的正确模型应为Yt=0+1X1t+2X2t+3X3t+t其中：Y=牛肉需求量，X1=牛肉价格，X2=消费者收入，X3=猪肉价格。如果模型设定为：Yt=0+1X1t+2X2t+vt那么该式中的随机误差项实际上是：vt=3X3t+t,于是在猪肉价格影响牛肉消费量的
5、情况下，这种模这种模型设定的偏误往往导致随机项中有一个重要的系统性型设定的偏误往往导致随机项中有一个重要的系统性影响因素，使其呈序列相关性。影响因素，使其呈序列相关性。(3)(3)设定偏误：不正确的函数形式设定偏误：不正确的函数形式 例如：例如：如果边际成本模型应为：Yt=0+1Xt+2Xt2+t其中：Y=边际成本，X=产出。但建模时设立了如下模型：Yt=0+1Xt+vt因此，由于vt=2Xt2+t,，包含了产出的平方对随机项的系统性影响，随机项也呈现序列相关性。(4)(4)蛛网现象蛛网现象 例如，例如，农产品供给对价格的反映本身存在一个滞后期：供给t=0+1价格t-1+t意味着，农民由于在年
6、度t的过量生产（使该期价格下降）很可能导致在年度t+1时削减产量，因此不能期望随机干扰项是随机的，往往产生一种蛛网模式。(5)(5)数据的数据的“编造编造”例如，例如，季度数据来自月度数据的简单平均，这种平均的计算减弱了每月数据的波动而引进了数据中的匀滑性，这种匀滑性本身就能使干扰项中出现系统性的因素，从而出现序列相关。还有就是两个时间点之间的“内插”技术往往导致随机项的序列相关性。二、序列相关性的后果二、序列相关性的后果1 1、参数估计量非有效、参数估计量非有效 OLS参数估计量仍具无偏性参数估计量仍具无偏性 OLS估计量不具有有效性估计量不具有有效性 在大样本情况下，参数估计量仍然不具有渐
7、近有在大样本情况下，参数估计量仍然不具有渐近有效性，这就是说参数估计量不具有一致性效性，这就是说参数估计量不具有一致性 2、变量的显著性检验失去意义、变量的显著性检验失去意义 在关于变量的显著性检验中，当存在序列相关在关于变量的显著性检验中，当存在序列相关时，参数的时，参数的OLS估计量的方差增大，标准差也估计量的方差增大，标准差也增大，因此实际的增大，因此实际的 t 统计量变小，从而接受原假统计量变小，从而接受原假设设 i=0的可能性增大，的可能性增大，检验就失去意义。检验就失去意义。采用其它检验也是如此。采用其它检验也是如此。3、模型的预测失效模型的预测失效 区间预测与参数估计量的方差有关
8、，在方差区间预测与参数估计量的方差有关，在方差有偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测精有偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测精度降低。所以，度降低。所以，当模型出现序列相关性时，它的当模型出现序列相关性时，它的预测功能失效。预测功能失效。三、序列相关性的检验三、序列相关性的检验1 1、基本思路、基本思路 序列相关性检验方法有多种，但基本思路是相序列相关性检验方法有多种，但基本思路是相同的。同的。首先采用普通最小二乘法估计模型，以求得随首先采用普通最小二乘法估计模型，以求得随机误差项的机误差项的“近似估计量近似估计量”：()eyyiiils0 然后，通过分析这些然后，通过分析这些“近似估计量
9、近似估计量”之间的相之间的相关性，以达到判断随机误差项是否具有序列相关关性，以达到判断随机误差项是否具有序列相关性的目的。性的目的。2 2、图示法、图示法由于残差ei可以作为i的估计，因此如果i存在序列相关，必然会由残差项ei反映出来，因此可利用ei的变化图形来判断随机项的序列相关性。3 3、解析法、解析法（1 1）回归检验法）回归检验法以ei为被解释变量，以各种可能的相关量，诸如以ei1、ei2、ei2等为解释变量，建立各种方程：eeiii1 i=2,n eeeiiii1122 i=3,n 具体应用时需要反复试算。具体应用时需要反复试算。回归检验法的优点是：回归检验法的优点是：一旦确定了模型
10、存在序列相关性，也就同时一旦确定了模型存在序列相关性，也就同时知道了相关的形式；知道了相关的形式；它适用于任何类型的序列相关性问题的检验。它适用于任何类型的序列相关性问题的检验。对各方程估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。（2 2）杜宾）杜宾-瓦森（瓦森（Durbin-WatsonDurbin-Watson）检验法）检验法 D-W检验是杜宾（检验是杜宾（J.Durbin）和）和瓦森瓦森(G.S.(G.S.Watson)Watson)于于19511951年提出的一种检验序列自相关的方法。年提出的一种检验序列自相关的方法。该方法的假定条件是该
11、方法的假定条件是：（1）解释变量 X非随机；（2）随机误差项i为一阶自回归形式：i=i-1+i（3）回归模型中不应含有滞后因变量作为解释变量，即不应出现下列形式：Yi=0+1X1i+kXki+Yi-1+i（4）回归含有截距项；（5）没有缺落数据。Durbin 和 Watson 假设：0:0H，即i不存在一阶自回归；0:1H，即i存在一阶自回归并构如下造统计量：D Weeeiiiniin.()12221 (2.5.5)D.W.统计量统计量 该统计量该统计量的分布与出现在给定样本中的的分布与出现在给定样本中的X值有值有复杂的关系，因此其复杂的关系，因此其精确的分布很难得到精确的分布很难得到。但是但
12、是，Durbin和和Watson成功地导出了临界值成功地导出了临界值的下限的下限dL和上限和上限dU，且这些上下限只与样本的，且这些上下限只与样本的容量容量n和解释变量的个数和解释变量的个数k有关，而与解释变量有关，而与解释变量X的取值无关。的取值无关。检验步骤检验步骤 计算该统计量的值，计算该统计量的值，根据样本容量根据样本容量n和解释变量数目和解释变量数目k查查D.W.分分布表，得到临界值布表，得到临界值dL和和dU，按照下列准则考察计算得到的按照下列准则考察计算得到的D.W.值，以值，以判断模型的自相关状态。判断模型的自相关状态。若 0D.W.dl 则存在正自相关 dlD.W.du 不能
13、确定 duD.W.4-du 无自相关 4-duD.W.4-dl 不能确定 4-dlD.W.4 存在负自相关 可以看出，当可以看出，当D.W.值在值在2左右时，模型不存在左右时，模型不存在一阶自相关。一阶自相关。证明证明：展开 D.W.统计量：D Weee eeiiiiinininiin.2121222212 (2.5.6)当 n 较大时，,eeeiiniiniin2212221大致相等，则(2.5.6)可以化简为：)1(2)1(2.1221niiniiieeeWD式中，niiniiiniiniiieeeeee22211221为一阶自相关模型 ttt1 11的参数估计，如果存在完全一阶正相关，即
14、如果存在完全一阶正相关，即 =1，则则 D.W.0 如果存在完全一阶负相关，即如果存在完全一阶负相关，即 =-1，则则 D.W.4如果完全不相关，即如果完全不相关，即 =0，则则 D.W.2 （1）从判断准则看到，存在一个不能确定的）从判断准则看到，存在一个不能确定的D.W.值区域，这是这种检验方法的一大缺陷。值区域，这是这种检验方法的一大缺陷。（2）D.W.检验虽然只能检验一阶自相关，但在检验虽然只能检验一阶自相关，但在实际计量经济学问题中，一阶自相关是出现最多实际计量经济学问题中，一阶自相关是出现最多的一类序列相关；的一类序列相关；（3）经验表明，如果不存在一阶自相关，一般）经验表明，如果
15、不存在一阶自相关，一般也不存在高阶序列相关。也不存在高阶序列相关。所以在实际应用中，对于序列相关问题一般只所以在实际应用中，对于序列相关问题一般只进行进行D.W.检验。检验。注意：注意：四、具有序列相关性模型的估计四、具有序列相关性模型的估计 如果模型被检验证明存在序列相关性，如果模型被检验证明存在序列相关性，则需要发展新的方法估计模型。则需要发展新的方法估计模型。最常用的方法是最常用的方法是广义最小二乘法广义最小二乘法（GLS:Generalized least squares）、）、一阶差一阶差分法分法（First-Order Difference)和和广义差广义差分法分法(General
16、ized Difference)。1 1、广义最小二乘法、广义最小二乘法 对于模型对于模型 Y=XB+N (2.5.7)如果存在序列相关，同时存在异方差，即有 ECovEwwwwwwwwwnnnnn()()()021121212212 设 =DD 用D-1左乘(2.5.7)两边，得到一个新的模型：D-1 Y=D-1 XB+D-1 N (2.5.8)即 Y*=X*B+N*该模型具有同方差性和随机误差项互相独立性。EE()()*DD11DDDWDDDD DI111211212E()于是，可以用于是，可以用OLS法估计模型法估计模型(2.5.8)，得，得 ()*X XX Y1 YXXXYDDXXDD
17、X11111111)()(（2.5.9)这就是原模型这就是原模型(2.5.7)的的广义最小二乘估计量广义最小二乘估计量(GLS estimators)，是无偏的、有效的估计量。，是无偏的、有效的估计量。如何得到矩阵如何得到矩阵？仍然是对原模型仍然是对原模型(2.5.7)首先采用普通最小二乘首先采用普通最小二乘法，得到随机误差项的法，得到随机误差项的近似估计量近似估计量，以此构成矩，以此构成矩阵的估计量阵的估计量 ，即，即 eeeeee eee ee ee eennnnn121 212 1222122 可行的广义最小二乘法可行的广义最小二乘法（FGLS,Feasible Generalized
18、Least Squares）文献中常见的术语文献中常见的术语 如果能够找到一种方法，求得到如果能够找到一种方法，求得到的估计量，的估计量，使得使得GLS能够实现，都称为能够实现，都称为FGLS 前面提出的方法，就是前面提出的方法，就是FGLS2 2、一阶差分法、一阶差分法一阶差分法是将原模型 iiiXY10 i=1,2,n变换为 11iiiiXY i=2,n (2.5.10)其中 1iiiYYY 即使对于非完全一阶正相关的情况，只要存在即使对于非完全一阶正相关的情况，只要存在一定程度的一阶正相关，差分模型就可以有效地一定程度的一阶正相关，差分模型就可以有效地加以克服。加以克服。如果原模型存在完
19、全一阶正自相关如果原模型存在完全一阶正自相关，即在 i=i-1+i中，=1。(2.5.10)可变换为：Yi=1Xi+I由于由于 i不存在序列相关，该差分模型满足应用不存在序列相关，该差分模型满足应用OLS法的基本假设，用法的基本假设，用OLS法估计可得到原模型参数的法估计可得到原模型参数的无偏的、有效的估计量。无偏的、有效的估计量。3 3、广义差分法、广义差分法 模型(2.5.12)为广义差分模型广义差分模型，该模型不存在序列相关问题。采用OLS法估计可以得到原模型参数的无偏、有效的估计量。广义差分法广义差分法可以克服所有类型的序列相关带来的可以克服所有类型的序列相关带来的问题，一阶差分法是它
20、的一个特例。问题，一阶差分法是它的一个特例。如果原模型存在：iiili li1122 (2.5.11)可以将原模型变换为：ililiilliliiXXXYYY)()1(1111011 illn12,(2.5.12)4 4、随机误差项相关系数、随机误差项相关系数 的估计的估计 应用广义差分法，必须已知不同样本点之间随机应用广义差分法，必须已知不同样本点之间随机误差项的相关系数误差项的相关系数 1 1,2 2,l l。实际上，人们并。实际上，人们并不知道它们的具体数值，所以必须首先对它们进行不知道它们的具体数值，所以必须首先对它们进行估计。估计。常用的方法有：常用的方法有：（1）科克伦）科克伦-奥
21、科特（奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法。）迭代法。（2）杜宾（）杜宾（durbin）两步法）两步法 （1）科克伦）科克伦-奥科特迭代法奥科特迭代法 首先首先，采用OLS法估计原模型 Yi=0+1Xi+i得到的随机误差项的“近似估计值”，并以之作为观测值采用OLS法估计下式 i=1i-1+2i-2+Li-L+i得到,12l，作为随机误差项的相关系数12,l的第第一一次次估估计计值值。其次其次，将上述,12l代入广义差分模型ililiilliliiXXXYYY)()1(1111011 illn12,并对之进行 OLS估计，得到0、1。再次再次，将0、1代回原模型，计算出原模型随机误差
22、项的新的“近拟估计值”，并以之作为模型 iiili li1122的样本观测值，采用 OLS 法估计该方程，得到l,21，作为相关系数 12,l的第二次估计值第二次估计值。类似地，可进行第三次、第四次迭代。类似地，可进行第三次、第四次迭代。关于迭代的次数，可根据具体的问题来定。关于迭代的次数，可根据具体的问题来定。一般是事先给出一个精度，当相邻两次一般是事先给出一个精度，当相邻两次 1，2，L的估计值之差小于这一精度时，迭代终止。的估计值之差小于这一精度时，迭代终止。实践中，有时只要迭代两次，就可得到较满意实践中，有时只要迭代两次，就可得到较满意的结果。两次迭代过程也被称为的结果。两次迭代过程也
23、被称为科克伦科克伦-奥科特奥科特两步法。两步法。（2）杜宾）杜宾（durbin）两步法两步法 该方法仍是先估计该方法仍是先估计 1，2，L，再对差分，再对差分模型进行估计。模型进行估计。第一步第一步，变换差分模型为下列形式：ililiilliliiXXXYYY)()1(1111011 illn12,（2.5.13）采用 OLS 法估计该方程，得各),2,1(liiijYj前的系数 12,l的估计值l,21。第第二二步步，将估计的l,21代入差分模型ililiilliliiXXXYYY)()1(1111011 illn12,采用 OLS 法估计，得到参数110),1(l的估计量，记为*0，*1。
24、于是：)1(1*00l，*115 5、应用软件中的广义差分法、应用软件中的广义差分法 在在Eview/TSPEview/TSP软件包下，广义差分采用了科克伦软件包下，广义差分采用了科克伦-奥科特（奥科特（Cochrane-OrcuttCochrane-Orcutt）迭代法估计）迭代法估计。在解释变量中引入在解释变量中引入AR(1)AR(1)、AR(2)AR(2)、，即可得到即可得到参数和参数和1、2、的估计值。的估计值。其中其中AR(m)AR(m)表示随机表示随机误差项的误差项的m m阶自回归。在估计过程中自动完成了阶自回归。在估计过程中自动完成了1、2、的迭代的迭代.6 6、虚假序列相关问题
25、、虚假序列相关问题 由于随机项的序列相关往往是在模型设定中遗由于随机项的序列相关往往是在模型设定中遗漏了重要的解释变量或对模型的函数形式设定有漏了重要的解释变量或对模型的函数形式设定有误，这种情形可称为误，这种情形可称为虚假序列相关虚假序列相关，应在模型设，应在模型设定中排除。定中排除。避免产生虚假序列相关性的措施是在开始时建避免产生虚假序列相关性的措施是在开始时建立一个立一个“一般一般”的模型，然后逐渐剔除确实不显的模型，然后逐渐剔除确实不显著的变量。著的变量。五、案例五、案例:地区商品出口模型地区商品出口模型单位：万元年份出口Y国内生产总值X年份出口Y国内生产总值X1967 4010224
26、181977 5628290911968 3711223081978 5736294501969 4004233191979 5946307051970 4151241801980 6501323721971 4569248931981 6549331521972 4582253101982 6705337641973 4697257991983 7104344111974 4753258861984 7609354291975 5062268681985 8100362001976 5669281341 1、某地区商品出口总值与国内生产总值的数据、某地区商品出口总值与国内生产总值的数据2 2
27、、序列相关性检验、序列相关性检验（1）图示法检验）图示法检验（2 2）D.W.D.W.检验检验 在5%在显著性水平下，n=19，k=2(包含常数项)，查表得dL=1.18，dU=1.40，由于DW=0.9505du=1.39(注：样本容量为18个)，已不存在自相关。广义差分法广义差分法采用杜宾两步法估计采用杜宾两步法估计 1 1）估计模型）估计模型 11*2*11*0tttttXXYY得：112109.03348.05939.079.1334ttttXXYY （-1.86）(2.01)(3.41)(-1.53)r2=0.9862,R2=0.9832,D.W.=1.6282 由于DW=1.39(
28、注：样本容量为19-1=18个)，已不存在自相关。2)将=0.5939 代入差分模型 tttttXXYY)5939.0(5939.01*1*01OLS 法估计得：tttttXXYY)5939.0(3083.001.13515939.011 （-5.53）(15.58)r2=0.9382,R2=0.9343,D.W.=1.6570采用科克伦采用科克伦-奥科特迭代法估计奥科特迭代法估计 一阶广义差分的结果：一阶广义差分的结果：1 6040.03092.072.3354ARXYtt (-3.330)(9.417)(2.122)r2=0.9861,R2=0.9842,D.W.=1.6715 由于DWdu=1.39(注：样本容量为18个)，已不存在自相关。
