1、中考复习专题：一次函数综合（考察坐标、长度、面积等） （1） 1如图 1，直线AB：yxb分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x 轴负半轴于点C，且OB：OC3：1 （1）求直线BC的解析式； （2）如图 2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作 等腰直角BPQ， 连接QA并延长交y轴于点K， 当P点运动时，K点的位置是否发现变化？ 若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由 2在平面直角坐标中，边长为 1 的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴 上，点O在原点，现将方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线yx上时 停
2、止旋转旋转过程中，AB边交直线yx于点M，BC边交x轴于点N（如图 1） （1）旋转过程中，当MN和AC平行时，求CON； （2）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的 结论； （3）设MNm，当m为何值时OMN的面积最小，最小值是多少？ 3如图，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2）已知点C（1，3）在直线l 上，连接OC （1）求直线l的解析式； （2）P为x轴上一动点，若ACP的面积是BOC的面积的 2 倍，求点P的坐标 4如图 1，在平面直角坐标系中，OB10，F是y轴正半轴上一点 （1）若OF2，求直线BF的解析式； （2） 设OFt，
3、OBF的面积为s， 求s与t的函数关系 （直接写出自变量t的取值范围） ； （3）如图 3，在（2）的条件下，过点B作BAx轴，点C在x轴上，OFOC，连接AC， CD直线BF于点D， ACB2CBD，AC13，OFOC，ACBD交于点E， 求此时t的值 5如图，一次函数的图象过A（3，0），B（0，3）两点 （1）求直线AB的函数表达式； （2）直线y3x3 交x轴于点C，E为直线AB上一动点 求CE的最小值； D是直线y3x3 上任意一点，F为直线AB上另一动点，若DEF是以 2为直角 边长的等腰直角三角形，求D点的坐标 6如图，平面直角坐标系xOy中，直线yx+3 交x轴于点A，交y轴于
4、点B，点P是 线段OA上一动点（不与点A重合），过点P作PCAB于点C （1）当点P是OA中点时，求APC的面积； （2）连接BP，若BP平分ABO，求此时点P的坐标； （3）设点D是x轴上方的坐标平面内一点，若以点O，B，C，D为顶点的四边形是菱形， 求点D的坐标及此时OP的长 7如图，四边形ABCO为矩形，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点C的坐标为（8， 0），点P是线段BC上一动点，已知点D是直线AE上位于第一象限的任意一点，直线AE 与x轴交于点E（3，0） （1）求直线AE的函数关系式； （2）如图 1，连接PD，当APD为等腰直角三角形，DAP90时，求线段DP的长； （3
5、）如图 2，若将直线AE向下平移 12 个单位后，在该直线AE上是否存在一点D，使 APD成为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由 8在同一个平面直角坐标系中，直线l1：y2x4 分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线 l2：yx+2 分别与x轴，y轴相交于C，D两点，且l1交l2于点E （1）如图 1，求出直线OE的解析式 （2）如图 2，点P、点R分别为x轴、l1上的两个动点，若PAR与ODC全等，请求出 满足条件的点R的坐标 （3）如图 3，以坐标原点O为顶点作一个直角，两直角边分别交l1、l2于M、N两点，当 BOM为等腰三角形时，直接写出MN2的值 9如图
6、 1，平面内三点O，M，N，如果将线段OM绕点O旋转 90得ON，称点N是点 M关于点O的“等直点”，如果OM绕点O顺时针旋转 90得ON，称点N是点M关于点O 的“正等直点”，如图 1 （1）如图 2，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1） 在P1（1，2），P2（2，1），P3（1，2）三点中， 是点P关于原点O的 “等直点”； 若直线l1：ykx+4 交y轴于点M，若点N是直线l1上一点，且点N是点M关于点P 的“等直点”，求直线l1的解析式； （2）如图 3，已知点A的坐标为（2，0），点B在直线l2：y3x上，若点B关于点A 的“正等直点”C在坐标轴上，D是平面内一点，若四边形ABC
7、D是平行四边形，直接写 出点D的坐标 10如图 1，直线y分别与y轴、x轴交于A，B两点，点C的坐标为（1，0）， D为线段AB上一动点，连接CD交y轴于点E （1）点B的坐标为 ，不等式0 的解集为 ； （2）若SCOESADE，求点D的坐标； （3）如图 2，以CD为边作菱形CDFG，且CDF60，当点D运动时，点G在一定线段 上运动，求这条定线段所在直线的解析式 参考公式：在平面直角坐标系中，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），则P1，P2的中点P 的坐标为 参考答案 1解：（1）直线AB：yxb分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点， 06b， b6， 直线AB的解析式为：yx
8、+6， B（0，6）， OB6， OB：OC3：1， OCOB2， C（2，0）， 设BC的解析式是yax+c， ， ， 直线BC的解析式是：y3x+6； （2）K点的位置不发生变化，K（0，6） 理由如下：如图 2，过Q作QHx轴于H， BPQ是等腰直角三角形， BPQ90，PBPQ， BOAQHA90， BPOPQH， 在BOP与PHQ中， ， BOPPHQ（AAS）， PHBO，OPQH， PH+POBO+QH， 即OA+AHBO+QH， 又OAOB， AHQH， AHQ是等腰直角三角形， QAH45， OAK45， AOK为等腰直角三角形， OKOA6， K（0，6） 2解：（1）四边
9、形OABC是正方形， BACBCA45， 当MNAC时，BMNBAC45，BNMBCA45， BMNBNM， BMBN， BABC， AMCN， OAOC，OAMOCN， OAMOCN（AAS）， AOMCON， MON45， AOM（9045）22.5CON， CON22.5； （2）p值无变化 证明：延长BA交y轴于E点， 在OAE与OCN中，AOECON90AON，OAEOCN90，OAOC， OAEOCN（AAS） OEON，AECN 在OME与OMN中，OEON，MOEMON45，OMOM， OMEOMN（SAS） MNMEAM+AEAM+CN pMN+BN+BMAM+CN+BN+B
10、MAB+BC2； （3）设AMn，则BM1n，CNmn，BN1m+n， OMEOMN， SMONSMOEOAEMm， 在 RtBMN中，BM2+BN2MN2， （1n）2+（1m+n）2m2，即n2mn+1m0， m24（1m）0，解得m22 或m22， 当m22 时，OMN的面积最小，为1 3解：（1）设直线l的解析式ykx+b， 把点C（1，3），B（0，2）代入解析式得， ， 解得k1，b2， 直线l的解析式：yx+2； （2）把 y0 代入yx+2 得x+20，解得：x2，则点A的坐标为（2，0）， SBOC211， SACP2SBOC2， 设P（t，0），则AP|t2|， |t2|3
11、2，解得t或t， P（，0）或（，0） 4解：（1）OB10，OF2， B（10，0），F（0，2）， 设直线BF的解析式为ykx+b， 直线ykx+b经过点B（10，0），F（0，2）， ， 解得：， 直线BF的解析式为yx+2； （2）OBF的面积为S5t（t0）； （3）如图，延长AB至点R，使BRAB，连接CR，延长CD交y轴于点T，过点T，作TM x轴交BA的延长线于点M， 过点T作TKCR交RC的延长线于点K，连接RT， ABBC，ABBR， BC垂直平分AR， ACCR13， ACBRCB， 设CBD，则ACB2， BDCD， BDC90， BCD90， ACBRCB2， ACK
12、1804， KCTBCKBCDBCA+ACKBCD90， KCTBCD， TKKR，OTOC， OTTK， TCTC， RtOTCRtKTC（HL）， OCCKTKt， OFOC，BOFTOC，FBOOTC， BOFTOC（AAS）， OBOT10， TK10， ABO+BOT90+90180 MBOT， MTOB， 四边形OBMT为平行四边形， OBOT，BOT90 四边形OBMT为正方形， MBMTOT10， MTTK， RTRT， RtRMTRtRTK（HL）， RKRMCR+CK13+t， BRRMMB3+t， BCOB+OC10+t， 在 RtBRC中，BR2+BC2RC2， （3+
13、t）2+（10+t）2132， 解得：t2（t15 舍去） t的值为 2 5解：（1）设直线AB的函数表达式为：ykx+b， 由题意可得： 解得： 直线AB的函数表达式为：yx+3； （2）如图 1，当CEAB时，CE有最小值， 直线y3x3 交x轴于点C， 点C（1，0），且A（3，0），B（0，3） AC4，OAOB3， BAO45，且CEAB， ACCE， CE2， CE的最小值为 2； 设直线AB与直线y3x3 交于点H， 解得： 点H（3，6） 如图 2，若点E是直角顶点时， DEF是以 2为直角边长的等腰直角三角形， DE2，DEAB， 当点D在点B下方时，由可知点D与点C重合时，
14、DEF是等腰直角三角形， 点D（1，0） 当点D在点B上方时， DEDE2，DHEDHE，且DEHDEH， DEHDEH（AAS） DHDH，且点H（3，6），点D（1，0） 点D（5，12） 如图 3，若点D是直角顶点，则DE2，DEAC， 设点D坐标（a，3a3） 点E（a2，3a3）或（a+2，3a3），且点E在直线yx+3 上， 3a3a+2+3，或3a3a2+3 a3，或a3， 点D坐标（3，3+6）或（3，3+6） 综上所述：点D坐标为：（3，3+6）或（3，3+6）或（1，0） 或（5，12） 6解：（1）如图，连接BP， 直线yx+3 交x轴于点A，交y轴于点B， 点A（4，0
15、），点B（0，3）， AO4，OB3， AB5， 点P是OA中点， APOP2， SABPAPOBABCP， CP， AC， SAPCACPC； （2）BP平分ABO， OBPCBP， 又BPBP，BOPBCP90， BOPBCP（AAS）， BOBC3，OPCP， ACABBC532， AP2PC2+AC2， （4OP）2OP2+4， OP， 点P（，0）； （3）若OB为边，如图 2，设点C（a，a+3），连接OD， 四边形OCDB是菱形， OCCDBDOB3，BOCD，ODBC， （a0）2+（a+30）29， a10（不合题意舍去），a2， 点C（，）， BOCD，OBCD3， 点D（
16、，）， 直线OD解析式为：yx， PCOD， 设直线PC解析式为yx+b， +b， b3， 直线PC解析式为yx3， 当y0 时，x， 点P（，0）， OP； 若OB为对角线，如图 3，设点C（a，a+3），连接CD， 四边形OCBD是菱形， OB与CD互相垂直平分， 点C在OB的垂直平分线上， a+3， a2， 点C（2，）， BO垂直CD， 点D（2，）， 设直线PC解析式为yx+b， 2+b， b， 设直线PC解析式为yx， 当y0 时，x， 点P（，0）， OP； 综上所述：当OP时，点D（2，）或当OP时，点D（，） 7解：（1）设直线AE的函数关系式为：ykx+b， 由题意可得，
17、解得：， 直线AE的函数关系式为：y2x+6； （2）如图 1，过点D作DHy轴于H， DHAABP90， 点A的坐标为（0，6），点C的坐标为（8，0）， AOBC6，COAB8， DAP为等腰直角三角形， ADAP，DAP90，DPAD， HAD+DAB90，DAB+BAP90， HADBAP， 在ADH和APB中， ， ADHAPB（AAS）， AHAB8， OHAO+AH14， 当y14 时，则 142x+6， x4， 点D坐标为（4，14）， HD4， AD4， DPAD4； （3）将直线AE向下平移 12 个单位， 平移后解析式为y2x6； 如图 2 所示，当ADP90，ADPD时
18、， ADPD， 点D在AB的垂直平分线上， 点D横坐标为 4， y2462， 点D坐标为（4，2）； 如图 3 所示，当APD90，APPD时， 过点P作PHy轴于，过点D作DFPH，交HP的延长线于F， 同理可证AHPPFD， AHPF，HPDF8， 设点P的坐标为（8，m）， 则D点坐标为（14m，m+8），由m+82（14m）6，得m， D点坐标为（，）； 如图 4 所示，当ADP90，ADPD时， 同理可求得D点坐标为（，）， 综上，符合条件的点D存在，坐标分别为（4，2），（，），（，） 8解：（1）由题意可得， 解得：， 点E坐标为（，）， 设直线OE解析式为：ykx， k， k，
19、 直线OE的解析式为：yx； （2）直线l2：yx+2 分别与x轴，y轴相交于C，D两点， 点C（4，0），点D（0，2）， OC4，OD2， 直线l1：y2x4 分别与x轴，y轴交于A，B两点， 点A（2，0），点B（0，4）， OA2，OB4， 当DOCAPR90时，DOCAPR， APOD2， 点P（0，0）或（4，0）， 点R（4，4）或（0，4）； 当ARPDOC90时， 如图， DOCARP， ODAR2， 设点R（a，2a4）， AR2， a2， 点R（2+，）或（2，）， 故点R坐标为（4，4）或（0，4）或（2+，）或（2，）； （3）OAOD，DOCBOA90，OCOB，
20、AOBDOC（SAS）， DCOABO， MON90COB， CONBOM， BOMCON（ASA）， OMON， MON是等腰直角三角形， MN22OM2， 当BOOM4 时，则MN22OM232； 当BMOM时， BOMOBM， OAMMOA， AMOM， AMBMOMAB， AB2， OM， MN22OM210； 当BOBM4 时， 设点M（m，2m4）， BM4， m， 点M（，4）或（，4） OM2（）2+（4）232或OM2（）2+（4）2 32+， MN22OM264或 64+， 综上所述：MN264或 64+或 10 或 32 9解：（1）如图 2，连接OP，作PFy轴，将OP
21、绕点O顺时针旋转 90得到OE，过点E 作EHy轴， PF2，OF1，PFOEHO90， 将OP绕点O顺时针旋转 90得到OE， OPOE，POE90， POF+EOH90， POF+FPO90， FPOEOH， 又PFOEHO90，OEOP， PFOOHE（AAS）， HEOF1，PFOH2， 点E（1，2）， 将OP绕点O顺时针旋转 90得到OG， 同理可求点G（1，2）， P1，P3是点P关于原点O的“等直点”， 故答案为：P1，P3； ykx+4 交y轴于点M， 点M（0，4）， 点N是点M关于点P的“等直点”， MPNP，MPNP， 如图，当线段MP绕点P顺时针旋转 90得PN，过P
22、作PQy轴于点Q，NKPQ交QP的 延长线于点K， 则MQPNKP90， QMP+QPMQPM+NPK90， QMPKPN， MPQPNK（AAS）， MQPK413，PQNK2， 点N（5，3）， 点N是直线l1上一点， 35k+4， 解得k， 直线l1的解析式为：yx+4， 当线段MP绕点P逆时针旋转 90得PN， 同理可得点N（1，1）， 1k+4， 解得k5， 直线l1的解析式为：y5x+4， 综上所述：直线l1的解析式为yx+4 或y5x+4； （2）如图 3，当点C在x轴上时， 点A的坐标为（2，0）， OA2， 点C是点B关于点A的“正等直点”， BAC90，ABAC， 点B的横
23、坐标为 2， 点B的坐标（2，6）， AB6AC， OC8， 四边形ABCD是平行四边形， ABCD，ABCD6， 点D（8，6）； 若点C在y轴上时，过点B作BEx轴于E， 点C是点B关于点A的“正等直点”， BAC90，ABAC， BAE+CAO90， 又CAO+ACO90， BAEACO， 又ACAB，AOCAEB90， ACOABE（AAS）， BEAO2，AEOC， 点B的纵坐标为2， 点B坐标为（，2）， EO， CO2+， 点C（0，）， 设点D（x，y）， 四边形ABCD是平行四边形， AC与BD互相平分， ， 点D（，）， 综上所述：点D坐标为（8，6）或（，） 10解：（1
24、）令y0，则， 解得：x1， 点B的坐标为（1，0）； 当，即y0， 由图象可知：x1； 故答案为：（1，0），x1； （2）令x0，则，则 SCOESADE， SABOSBDC， 设（1m0）， 则， 即， 解得： ； （3）如图，分别连接FA，CF，CA，过点D作DHx轴于H，连接DG交CF于P， 直线y分别与y轴、x轴交于A，B两点， 点A（0，），点B（1，0）， 又点C（1，0）， BC2，AO，BOCO1， AB2，AC2， ABACBC2， ABC是等边三角形， ABCACBBAC60， 设， DHn+，HOn， BH1+n， ABC60，DHBC， BDH30， BD2BH2+2n， 四边形CDFG是菱形， CDDF， 又CDF60， CDF是等边三角形， CDCF，DCF60ACB， DCBFCA， 又DCCF，BCAC， ACFBCD（SAS）， DBCFAC60，AFBD2+2n， FACACB60， AFBC， 点F（2+2n，）， 四边形CDFG是菱形， CPFP，DPPG， 设点G（x，y）， ， x3+n，yn， yx+3， 这条定线段所在直线的解析式为
