1、中考复习专题:一次函数综合(考察坐标、长度、面积等) (2) 1如图,已知直线l1:yx+1 和直线l2:y3x+1,过点B(3,0)作ABx轴,交直 线l1于点A,若点P是x轴上的一个动点,过点P作平行于y轴的直线,分别与l1、l2交于 点C、D,连接AD、BC (1)求线段AB的长; (2)当P的坐标是(2,0)时,求直线BC的解析式; (3)若ABC的面积与ACD的面积相等,求点P的坐标 2背景知识:已知两直线m:y1k1x+b1,n:y2k2x+b2(k1k20),若mn,则k1k2 1;若mn,则k1k2 应用:在平面直角坐标系xOy中,直线l1:yx1 交x轴于点C,交y轴于点D,
2、若l2 l1于点P(2,1),交y轴于点A,交x轴于点B (1)求直线l2的表达式; (2)求ABC的面积; (3) 若将直线l1向下平移q个单位, 得到新的直线l3, 交y轴于点E, 交直线l2于点F, 使得SAEF16,求q的值 3如图,一次函数ykx+b(k0)的图象经过点A(2,6),且与x轴相交于点B,与 正比例函数y3x的图象相交于点C,点C的横坐标为 1 (1)求一次函数ykx+b(k0)的表达式; (2)若点D在x轴负半轴上,且满足SCOD2SBOC,求点D的坐标 4已知点A(0,4)、C(2,0)在直线l:ykx+b上,直线l和函数y4x+a的图 象交于点B (1)求直线l的
3、表达式; (2)若点B的横坐标是 1,求关于x、y的方程组的解及a的值 (3)在(2)的条件下,根据图象比较当x1 时,kx+b的值与4x+a的值的大小 5如图,直线l1的解析式为yx,直线l2经过点(1,1),(2,1),且l1,l2交 于点A,l2交x轴于点B (1)求直线l2的解析表达式; (2)写出B点的坐标为 ; (3)求出交点A的坐标; (4)直接写出直线l2在x轴上方时,自变量x的取值范围 6已知,在平面直角坐标系中,直线yx+b分别与x轴、y轴交于点A、B,且点A 的坐标为(8,0),点C为AB中点 (1)求点B的坐标; (2)点M为直线AB上的一个动点,过点M作x轴的垂线,交
4、直线OC于点Q,设点M的 横坐标为m,线段MQ的长度为d,求d与m的函数关系式(请直接写出自变量m的取值 范围) (3)当点M在线段AB(点M不与A、B重合)上运动时,在坐标系内是否存在一点N, 使得以O、B、M、N为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出N点的坐标;若不存在, 请说明理由 7如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点O(0,0),点A(3,0),点C (0,4);D为AB边上的动点 ()如图 1,将ABC对折,使得点B的对应点B落在对角线AC上,折痕为CD,求此 刻点D的坐标: ()如图 2,将ABC对折,使得点A与点C重合,折痕交AB于点D,交AC于点E, 求直线CD
5、的解析式; ()在坐标平面内,是否存在点P(除点B外),使得APC与ABC全等?若存在, 请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由 8如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l分别交x轴、y轴于AB两点, OAOB,且OA、OB的长分别是一元二次方程x214x+480 的两根 (1)求直线AB的解析式; (2)点C从点A出发沿射线AB方向运动,运动的速度为每秒 2 个单位,设OBC的面积 为S,点C运动的时间为t,写出S与t的函数关系式,并直接写出自变量的取值范围; (3)点P是y轴上的点,点Q是第一象限内的点,若以A、B、P、Q为顶点的四边形是 菱形请求出点Q的坐标 9
6、如图 1,矩形的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(6,8)D是AB边上 一点(不与点A、B重合),将BCD沿直线CD翻折,使点B落在点E处 (1)求直线AC所表示的函数的表达式; (2)如图 2,当点E恰好落在矩形的对角线AC上时,求点D的坐标; (3)如图 3,当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时,求OEA的面积 10 在平面直角坐标系中, 直线y3x交x轴于点A, 交y轴于点B, 直线yx+3 交x轴于点C,交y轴于点D (1)如图 1,连接BC,求BCD的面积; (2)如图 2,在直线yx+3 上存在点E,使得ABE45,求点E的坐标; (3)如图 3,在(2)的条
7、件下,连接OE,过点E作CD的垂线交y轴于点F,点P在直 线EF上,在平面中存在一点Q,使得以OE为一边,O,E,P,Q为顶点的四边形为菱形, 请直接写出点Q的坐标 参考答案 1解:(1)点ABx轴,且点A在直线l1上, 将x3 代入得, 点A(3,), 即; (2)点P(2,0),CDx轴, 将x2 代入,得, 故点C的坐标为(2,2), 设直线BC的解析式为:ykx+b, 将点C,点B代入得:, 解得:, 故直线BC的解析式为:y2x+6; (3)由题意得,当SABCSACD时, 设点P的坐标为(t,0), ,解得t1 或t1 点P的坐标为(1,0)或(1,0) 2解:(1)根据题意设直线
8、l2的表达式为yx+b, l2l1于点P(2,1), 12+b, b3, 直线l2的表达式为yx+3; (2)在直线l2:yx+3 中,令x0,则y3;令y0,则x3, A(0,3),B(3,0), 在直线l1:yx1 中,令y0,则x1, C(1,0), SABC(31)33; (3)将直线l1向下平移q个单位,得到新的直线l3:yx1q, 令x0,则y1q, E(0,1q), 由,解得, F的坐标为(,), SAEF(3+1+q)16, 解得q14,q212(舍去), q4 3解:(1)点C是y3x的一个点,且横坐标为 1, C(1,3), 把点A(2,6)、C(1,3)代入ykx+b得,
9、解得, 一次函数的表达式为yx+4; (2)由yx+4 得B(4,0), COD和BOC同高,且SCOD2SBOC, OD2OB, D(8,0) 4解:(1)把A(0,4)、C(2,0)代入ykx+b得,解得, 直线l的解析式为y2x+4; (2)当x1 时,y2x+46,则B(1,6), 直线l和函数y4x+a的图象交于点B 关于x、y的方程组的解为; 把B(1,6)代入y4x+a得4+a6,解得a10; (3)当x1 时,kx+b4x+a 5解:(1)设直线l2的解析式为ykx+b(k0), 由题意得, 解得:, 直线l2的解析式为y2x+3; (2)当y0 时,x, (,0), 故答案为
10、:(,0); (3)由题意得:, 解得:, 点A的坐标是:(,); (4)由图象知x 6解:(1)直线yx+b过点A(8,0), 06+b,解得:b6, 直线AB的解析式为yx+6 令yx+6 中x0,则y6, 点B的坐标为(0,6) (2)依照题意画出图形,如图 1 所示 A(8,0),B(0,6),且点C为AB的中点, C(4,3) 设直线OC的解析式为ykx(k0), 则有 34k,解得:k, 直线OC的解析式为yx 点M在直线AB上,点Q在直线OC上,点M的横坐标为m,MQx轴, M(m,m+6),Q(m,m) 当m4 时,dm+6mm+6; 当m4 时,dm(m+6)m6 故d; (
11、3)假设存在,设点M的坐标为(n,n+6)(0n8) 点P在第一象限, 以O,B,M,N为顶点的四边形为菱形有两种情况: 以BM为对角线时,如图 2 所示 四边形OMNB为菱形,B(0,6), OMOB6, 解得:n或n0(舍去), 点M(,), 则点N(,); 以OM为对角线时,如图 3 所示 此时点M在第一象限,但点N在第四象限,故此种情况不合适 故N点坐标为(,) 7解:()设D(3,b),根据折叠的性质可得BDBD4b, 由勾股定理,得 AC5, 由三角形的面积,得SACDADBCACBD,即3b5(4b) 解得b,即D(3,); ()由折叠可知:CDAD, 设ADx,则CDx,BD4
12、x, 由题意得,(4x)2+32x2, 解得x, 此时AD, D(3,), 设直线CD为ykx+4, 把D坐标代入上式解得k, 直线CD的解析式为yx+4; ()当点P与点O重合时,APCCBA,此时P(0,0); 当点P在第一象限时,如图 1, 由APCCBA得:APBC3,CPAB90, CDBADP, CBDAPD(AAS), CDAD,BDPD, 设:BDPDx,则CDDA4x,而BC3, 在 RtBCD中,由勾股定理得:(4x)2x2+9,解得:x, 则AD4x, 由SADPADPQDPAP得:PQ3,解得:PQ, 而AQ, 故点P的坐标为(,); 当点P在第二象限时,如图 2, 同
13、理可求得:故点P(,); 综合得,满足条件的点P有三个,为(0,0)或(,)或(,) 8解:(1)x214x+480,则x6 或 8,故点A、B的坐标分别为(6,0)、(0,8), 则AB10; 设直线AB的表达式为:ykx+b,则,解得, 故直线AB的表达式为:yx+8; (2)过点C作CMy轴于点M, 则,即,解得:CM|102t|, SBOCM8|102t|102t|, 故S; (3)点A、B的坐标分别为(6,0)、(0,8), 设点P、Q的坐标分别为(0,s)、(m,n), 当AB是菱形的边时, 点A向上平移 8 个单位向左平移 6 个单位得到点B, 同样点Q向上平移 8 个单位向左平
14、移 6 个单位得到点P, 即m60,n+8s且BPBA10, 解得:m6,n10, 故点Q的坐标为(6,10); 当AB是菱形的对角线时, 由中点公式得:6+0m+0,8+0s+n且BPBQ,即(s8)2m2+(n8)2, 解得:m6,n, 故点Q的坐标为(6,); 综上,点Q的坐标为(6,10)或(6,) 9解:(1)点B的坐标为(6,8)且四边形OABC是矩形, 点A、C的坐标分别为(6,0)、(0,8), 设AC的表达式为ykx+b, 把A、C两点的坐标分别代入上式得,解得, 直线AC所表示的函数的表达式是; (2)点A的坐标为(6,0),点C的坐标为(0,8), OA6,OC8 RtA
15、OC中,AC, 四边形OABC是矩形, B90,BC6,AB8, 沿CD折叠, CED90,BDDE,CE6,AE4, AED90, 设BDDEa,则AD8a, RtAED中,由勾股定理得:AE2+DE2AD2, 42+a2(8a)2,解得a3, 点D的坐标为(6,5); (3)过点E分别作x、y轴的垂线,垂足分别为M、N, ENOC,EMOA,OCOA, ENONOMOME90, 四边形OMEN是矩形, EMON 当ECEO时, ECEO,NEOC, ONOC4EM, OEA的面积OAEM6412; 当OEOC时, ENOC, ENCENO90, 设ONb,则CN8b, 在 RtNEC中,N
16、E2EC2CN2, 在 RtENO中,NE2EO2ON2, 即 62(8b)282b2, 解得:b, 则EMON, OEA的面积OAEM6; 故OEA的面积为 12 或 10解:(1)对于直线y3x,令x0,则y,故点B(0,); 对于yx+3,令x0,则y3,令y0,即x+30,解得:x4,故点D(0, 3)、(4,0), 则BD3+,CC4, BCD的面积BDOC411; (2)过点E作BE的垂线交AB于点R,过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线 于点G,交过点B与x轴的平行线于点H, 设点E(m,m+3),点R(n,3n), ABE45,故EREB, REG+BEH90,BEH+E
17、BH90, REGEBH, EHBRGE90,EBER, EHBRGE(AAS), RGEH,BHGE, 即m3n+m3,m+3+mn,解得, 故点E(2,); (3)直线CD的表达式为yx+3, 而CDEF,则设直线EF的表达式为yx+b, 将点E的坐标代入上式并解得:b, 故直线EF的表达式为yx, 设点P(a,a),点Q(s,t), 点O向右平移 2 个单位向上平移个单位得到E, 同样点P(Q)向右平移 2 个单位向上平移个单位得到Q(P), 当点P在点Q的下方时, 则a+2s且a+t, OEOP,即 22+()2a2+(a)2, 联立并解得:a4 或, 故点Q的坐标为(6,)或(,); 当点P在点Q的上方时, 同理可得,点Q的坐标为(,2)或(,2) 综上,点Q的坐标为(6,)或(,)或(,2)或(,2)