1、第第 十十 章章 交交 流流 动动 态态 电电 路路 引言：引言：一、什么是正弦交流电路？一、什么是正弦交流电路？二、为什么要介绍正弦交流电路？二、为什么要介绍正弦交流电路？1.1.正弦交流电路是电力供电系统的主要工作方式正弦交流电路是电力供电系统的主要工作方式2.2.在众多的通信系统和控制系统中，信号虽然不是在众多的通信系统和控制系统中，信号虽然不是 正弦的，但任意波形，特别是周期性信号的波形正弦的，但任意波形，特别是周期性信号的波形 可以看作是正弦信号之和。可以看作是正弦信号之和。电源是按正弦规律变化的交流电路。电源是按正弦规律变化的交流电路。三、本章的主要内容三、本章的主要内容1.1.正
2、弦波的基本概念；复数运算；正弦波的基本概念；复数运算；2.2.正弦电源激励下电路的完全响应；正弦电源激励下电路的完全响应；3.3.相量的概念；相量的概念；正弦量的四种表示方法正弦量的四种表示方法；4.4.利用利用相量法相量法求解微分方程的特解；求解微分方程的特解；5.5.正弦稳态的概念正弦稳态的概念 10-1 10-1 周期电压和电流周期电压和电流O OT Tt tu uabab(a)(a)O Ot tu uababT T(b)(b)uabTtO(c)OtTuab(d)3 3）呈现出）呈现出周期性周期性2 2）给定的任意时刻，其数值是一定的，称为瞬时）给定的任意时刻，其数值是一定的，称为瞬时值
3、值 u(t)u(t)、i(t)i(t)u(t)=u(t+k T)u(t)=u(t+k T)T T周期周期 单位：秒单位：秒 S S 频率频率 单位：赫兹单位：赫兹 HzHzT1f 它们共同的特点：它们共同的特点：1 1）大小或方向随时间变化。大小或方向随时间变化。称为周期电压或电流称为周期电压或电流交流电压或电流：交流电压或电流：大小和方向都随时间变化的大小和方向都随时间变化的电压和电流。电压和电流。uabTtO(c)OtTuab(d)在一个周期内的平均值为零在一个周期内的平均值为零10-2 10-2 正弦电压和电流正弦电压和电流瞬时值表达式：瞬时值表达式：cosmuUt 一、定义一、定义按正
4、弦规律变换的电压或电流。本教材用按正弦规律变换的电压或电流。本教材用coscos函数函数表示正弦波表示正弦波u u t tO OUm振幅振幅 U Um m ：电压的最大值，：电压的最大值，是一个常量。是一个常量。tt：随时间变化的角度。：随时间变化的角度。f2T2 单位：弧度单位：弧度/秒秒 rad/srad/s：角频率：角频率二、正弦波作图二、正弦波作图O O t tT T)tcos(U1mtcosUm)tcos(U2m21U Um mt tu u正弦波的一般表达式：正弦波的一般表达式：cos()muUt ：初相。：初相。与计时起点有关。与计时起点有关。)t(：相位：相位(角角)。反映了正弦
5、波变化的进程。反映了正弦波变化的进程。三、正弦波的三要素三、正弦波的三要素 1.1.振幅振幅 U Um m ：最大值：最大值 2.2.角频率角频率 角速度角速度f2T2 单位：弧度单位：弧度/秒秒 rad/srad/s 3.3.初相角初相角：与计时起点有关。：与计时起点有关。四、两个同频率正弦波的比较：四、两个同频率正弦波的比较：1.1.振幅比振幅比:2.2.相位差相位差:初相角之差初相角之差若：若：0 0，u u1 1超前超前u u2 2角角；或；或u u2 2 滞后滞后u u1 1角角；若：若：0 0，u u2 2超前超前u u1 1角角；或；或u u1 1 滞后滞后u u2 2角角。)t
6、cos(Uu11m1222cos()muUt t tO Ou u1 1u u2 21 12 22121)t()t(注意：注意：t tu u t tu u t tu u 3.3.几种特殊情况：几种特殊情况：0 同相同相反相反相2正交正交=，i i1 1超前超前i i2 2角角 2-=,i2-=,i1 1滞后滞后i i2 2 角角230230130130 t t15023013080O O280i i1 1i i2 2例例1 1：2 2）两正弦波必须）两正弦波必须同频率同频率；计算相位差注意：计算相位差注意：3 3）两正弦波必须）两正弦波必须同用余弦或正弦同用余弦或正弦表示；表示；4 4）两正弦波
7、表达式必须）两正弦波表达式必须同符号同符号；5 5）相位差与参考方向有关。）相位差与参考方向有关。1 1）工程规定：相位差通常在工程规定：相位差通常在-之间。之间。若若 ，用（，用（2-2-）表示相位差，此时）表示相位差，此时 需将超前与滞后交换。需将超前与滞后交换。例例2 2：)80tcos(Iim11，求，求 i i2 2 与与 i i1 1 的相位差，已知的相位差，已知)50tcos(Iim22)110tcos(Iim22)120tcos(Iim22)120tsin(Iim22)150tcos(Iim221)1)2)2)3)3)4)4)5)5)10-3 10-3 正弦正弦RCRC电路的完
8、全响应电路的完全响应一、一、)tcos(IiiSmS已知已知:u:uC C(0)=0(0)=0求求:u:uC C(t(t),t),t 0 0例例+_ _R RC Cu uC CSi解：一阶非齐次微分方程解：一阶非齐次微分方程SCCiuR1dtduCCpChCuu)t(uucmCptcosUu全解：全解：齐次微分方程通解齐次微分方程通解:非齐次微分方程特解非齐次微分方程特解:RCtChKeu CRArctgR/1cIUiu222smcm 两个常数：两个常数：ucmCcosUK0)0(u0ttcosUecosU)t(uucmRCtucmCtucpuchucucO 0()coscostRCCcmuc
9、muutUeUtt coscmuU 0ttcosUecosU)t(uucmRCtucmC1.1.解答第一项为暂态响应：随着时间增长衰减；解答第一项为暂态响应：随着时间增长衰减；第二项为稳态响应：与激励同频率正弦。第二项为稳态响应：与激励同频率正弦。2.K=02.K=0时，电路无暂态响应，立即进入正弦稳态。时，电路无暂态响应，立即进入正弦稳态。二、说明：二、说明：过渡状态过渡状态全响应全响应=暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应 稳定状态稳定状态全响应全响应=稳态响应稳态响应零状态时，电路立即进入正弦稳态条件：零状态时，电路立即进入正弦稳态条件：2u3.3.正弦电源激励下求电路微分方程特解很困难。
10、正弦电源激励下求电路微分方程特解很困难。10-4 10-4 复数的复习复数的复习一、复数的定义一、复数的定义:21jaaA其中其中 ：1j二、复数的几何意义二、复数的几何意义在复平面上的一个点在复平面上的一个点O O+1+1+j+ja a2 2a a1 1A A直角坐标形式直角坐标形式亦称代数形式亦称代数形式三、复数的极坐标形式三、复数的极坐标形式jaeA其中：其中：a a 复数的模复数的模 复数的幅角复数的幅角四、复数的另一种几何意义四、复数的另一种几何意义 在复平在复平面上的一个有向线段面上的一个有向线段O O+1+1+j+ja a2 2a a1 1 Aa a工程上简写形式工程上简写形式
11、aA 极坐标形式极坐标形式亦称指数形式亦称指数形式五、复数的两种形式的关系：五、复数的两种形式的关系：欧拉公式：欧拉公式：sinjcosejjaeA)sinj(cosasinjacosa21jaa sinaacosaa211.1.极坐标形式极坐标形式直角坐标形式直角坐标形式(直接展开直接展开)+1+1+j+ja a1 1a a2 2 a aAO O 122221aaarctgaaa2.2.直角坐标形式直角坐标形式极坐标形式极坐标形式（解直角（解直角）例例 1 1 把下列复数化为直角坐标形式把下列复数化为直角坐标形式1)1)5 513.535 513.532)2)3)3)87.1265 54)4
12、)5 5 5 513.233例例 2 2 把下列复数化为极坐标形式把下列复数化为极坐标形式1)1)4 j32)2)4 j33)3)4)4)4 j34 j3注意：注意：1 1、两种形式的互换要熟练！、两种形式的互换要熟练！2 2、互换中要保留实部、虚部符号，、互换中要保留实部、虚部符号，注意初相角的象限！注意初相角的象限！六、复数的运算六、复数的运算1.1.复数的相等复数的相等21jaaA21jbbB两复数相等的充要条件是：两复数相等的充要条件是：11ba 22ba 或或ba baaabb2.2.复数的相加复数的相加必须用直角坐标形式必须用直角坐标形式21jaaA21jbbB212211jcc)
13、ba(j)ba(BAC+1+1+j+ja a1 1a a1 1+b+b1 1a a2 2+b b2 2b b2 2C CA AB Bb b1 1a a2 2O O+j+j+1+1A AB BB BC CO O平行四边形法则平行四边形法则3.3.复数的相减复数的相减必须用直角坐标形式必须用直角坐标形式)ba(j)ba(BAC2211+1+1A ABBC C+j+jB BBB4.4.复数的乘法复数的乘法两种形式都可以两种形式都可以)jbb)(jaa(BA2121)baba(j)baba(21122211ajaeAbjbeBcbaj)(jceabeBA +1+1A AC C+j+j a a a a
14、b bO OB B模扩大模扩大b b倍倍幅角逆时针幅角逆时针旋转旋转 a a5.5.复数的除法复数的除法两种形式都可以两种形式都可以2121jbbjaaBA22212121bb)jbb)(jaa(222121122211bb)baba(j)baba(21jcc 222122111bbbabac222121122bbbabacbajjbeaeBA)(jbaebacjce+1+1B BC C+j+j a a b bO O b bA A模缩小模缩小b b倍倍幅角顺时针幅角顺时针旋转旋转 b b一个复数乘以一个复数乘以 j j 90aa901jA复数复数j j的物理意义：的物理意义：任一个复数乘以任一
15、个复数乘以+j+j后，逆时针旋转后，逆时针旋转9090度；乘以度；乘以-j-j顺时针旋转顺时针旋转9090度，故称度，故称 j j为为9090度度旋转因子旋转因子。结论：结论：A AjAjA10-6 10-6 相相 量量一、相量：一、相量：tjeetcostjmeItsintsinjtcosettj欧拉公式：欧拉公式：sinjcosej说明：正弦量可以看成一个复数的实部或虚部。说明：正弦量可以看成一个复数的实部或虚部。设：设：u(t)=Uu(t)=Um m cos(cos(t t+)()()()jtemjj temj temu tU eU eeU e 其中：其中：mjmmUeUUmU与时间无关
16、，是复值常数，称为相量。与时间无关，是复值常数，称为相量。1 1mU含有正弦量振幅和初相角两个要素含有正弦量振幅和初相角两个要素,可可2 2以代表或表征正弦波，并不等于正弦波。以代表或表征正弦波，并不等于正弦波。jtmU e 称为旋转相量称为旋转相量+j+j+1+1O Ot tmeU()tmmU(I)tt tO O U Um m说明：说明：相量相量U Um m按按角速度角速度 逆时针旋转，逆时针旋转，在实轴上投影为在实轴上投影为U Um m cos(cos(t t+)，在虚轴上投影为在虚轴上投影为U Um m sin(sin(t+t+)，旋转旋转矢量在复平面的投影为随矢量在复平面的投影为随时间
17、变化的正弦量时间变化的正弦量 。二、正弦量的相量表示：二、正弦量的相量表示：2 2、由相量求正弦量：、由相量求正弦量：1 1、由正弦量求相量：、由正弦量求相量：)tcos(U)t(um)tcos(I)t(im)tcos(U)t(uUUmmm)tcos(I)t(iIImmmmjmmUeUUmjmmIeII例例1 1 写出下列正弦量对应的相量写出下列正弦量对应的相量1)1)60tsin(3i12)2)60tcos(3i2例例2 2 写出下列相量对应的正弦量写出下列相量对应的正弦量1)1)8 8152)2)5 5301330I 23 150I 815cos()t 530cos()t 正误判断练习正误
18、判断练习mUumUu实数瞬时值实数瞬时值复数复数)15tcos(50e50U015jm？)15tcos(5015je50UommuumUumiimIi三、相量图三、相量图+1+1+j+jO O U Um mmmUU mU相量在复平面上的有向线段。相量在复平面上的有向线段。例：画出例：画出A)30tcos(10i1A)45tcos(5i2A)120tcos(5.12i3和和相对应的相量图相对应的相量图 .30m1I45m2I+1+1+j+jO O120m3I10-6 10-6 复值函数的几个定理复值函数的几个定理定理一定理一 均匀性定理均匀性定理 若若eA)t(AtjejAeA 为一实数为一实数
19、则则)t(A)t(AeeA)t(A定理二定理二 线性定理线性定理若若eA)t(Atj1e11j11eAAeA)t(Atj2e22j22eAA 1 1,2 2 为实数为实数则则)t(A)t(A)t(A)t(A2e21e12211e 若干个正弦量线性组合的相量等于各个若干个正弦量线性组合的相量等于各个 正弦量相量的同一线性组合。正弦量相量的同一线性组合。22112211AAA)t(A)t(A)t(A 定理三定理三 微分定理微分定理jAeA若若则则eAj eAdtdeAdtdtjetjetjeeA)t(AtjeAjdt)t(dA 定理三的推广：定理三的推广：若若jAeA则则e)j(AeAdtdeAd
20、tdtjnetjnnetjenneA)t(AtjeA)j(dt)t(Adnnn定理四：唯一性定理定理四：唯一性定理若若eBeAtjetje其中其中AB，为复常数为复常数则则BA反之亦然反之亦然BA)t(B)t(A应用应用用相量的概念求正弦量之和用相量的概念求正弦量之和例例 1 1求求.t2sin3t2cos4)t(x结果结果：例例 2 2求求.)9.36t 5sin(5t 5sin3t 5cos4)t(x结果结果：5 2581 9()cos(.)x tt 5236 9()cos(.)x tt 结论：结论：1 1、用相量的概念分析正弦量的方法、用相量的概念分析正弦量的方法 称为相量法。称为相量法
21、。2 2、相量法可将正弦量的、相量法可将正弦量的三角函数运算三角函数运算 转化为相量的复数转化为相量的复数加减运算加减运算，可将，可将 微积分运算微积分运算转化为转化为乘除运算乘除运算，从而，从而 简化了正弦量的分析。简化了正弦量的分析。10-7 10-7 用相量法求微分方程的特解用相量法求微分方程的特解)tcos(Axadtdxadtxdam21220 x x 的特解：的特解：相量相量X X的代数方程的代数方程：设微分方程：设微分方程：jmmmeXX)tcos(X)t(Xm2120AXaXjaX)j(a1202mmaj)aa(AX=x=xm m 解得：解得：2122202mma)aa(AX2
22、021aaaArctg例：例：)45t2cos(6x6dtdx4dtxd322求求 x x 的特解的特解结果结果:x(t)=0.6 cos(2t 81.9:x(t)=0.6 cos(2t 81.9 )解：解：m2AX6Xj4X)j(34 j)36(456X2m=x=xm m 6.04)36(6X2222m9.8134Arctg45108 108 正弦稳态响应正弦稳态响应一、正弦稳态的概念：一、正弦稳态的概念：在正弦激励下，在正弦激励下，当暂态响应消失当暂态响应消失，只剩下，只剩下正弦稳态响应，电路中全部电压电流都是角频正弦稳态响应，电路中全部电压电流都是角频率为率为的正弦波时，称电路处于正弦稳
23、态响应，的正弦波时，称电路处于正弦稳态响应，简称简称正弦稳态。正弦稳态。)tcos(X)t(X)t(X)t(X0)t(X,tmph当：当：)tcos(X)t(X)t(X)t(X)t(Xmhph即：即：tucpuchucucO若暂态响应衰减为零，稳态为正弦，则存在正弦稳态。t10cost25uCp7.857.8523.5523.5539.2539.2554.9554.9570.6570.6515.715.731.431.447.147.162.862.878.578.5O Ou uCpCp(V(V)t(s)t(s)3.143.141.571.572.8262.8262.5122.5122.198
24、2.1981.8841.8841.2561.2560.9420.9420.6280.6280.3140.314若暂态响应不衰减为零，稳态响应发散，则不存在稳态。若暂态响应不衰减为零，稳态响应发散，则不存在稳态。）（求tu:,V)90t10cos(5uCS)90t10cos(500u100dtudC2C2求求 u uChCh :t10sinKt10cosKu21Ch求求u uCpCp :t10cost25uCp0t,tV10cost25)t10sinKt10cosK(uu)t(u21CpChC10jS2,1为无阻尼等幅振荡为无阻尼等幅振荡例：例：u uS S+_ _0.1H0.1H0.1F0.1
25、F+_ _i iL Lu uC C解：解：t10cost25uCp7.8523.5539.2554.9570.6515.731.447.162.878.5OuCp(V)t(s)3.141.572.8262.5122.1981.8841.2560.9420.6280.314二、相量法使用条件：二、相量法使用条件：响应和激励是同频率的正弦波响应和激励是同频率的正弦波（2 2）线性、时不变、渐近稳定电路）线性、时不变、渐近稳定电路;（3 3）求稳态响应。）求稳态响应。（1 1）单一频率的正弦激励；）单一频率的正弦激励；正弦电路进入稳态的标志正弦电路进入稳态的标志本 章 小 结1.1.掌握正弦量、相量
26、、相量图、正弦稳态掌握正弦量、相量、相量图、正弦稳态 的概念；的概念；4.4.了解相量法求特解及相量法使用条件。了解相量法求特解及相量法使用条件。2.2.掌握相位差的计算掌握相位差的计算；3.3.熟练掌握正弦量四种表示方法及相互转换；熟练掌握正弦量四种表示方法及相互转换；习题课（习题课（1 1）要点要点1.1.交流的概念，相位的概念交流的概念，相位的概念。要点要点2.2.正弦量的四种表示法正弦量的四种表示法三角函数式三角函数式t cosUum波形图波形图t 反映正弦反映正弦量的全貌量的全貌包括三个包括三个特征量。特征量。相量图相量图相量式相量式UmjmmUeUU反映正弦反映正弦量两个特量两个特
27、征量。征量。要点要点3.3.电压、电流各种符号的说明。电压、电流各种符号的说明。要点要点4.4.变换域分析思想。变换域分析思想。瞬时值瞬时值-小写（小写（u,i）有效值有效值-大写（大写（U,I）幅幅 值值-大写加下标（大写加下标（Um,Im）有效相量有效相量-大写大写 加加“.”(”()U,I幅值相量幅值相量-Um,Im测测 验验 题题二、已知正弦电流二、已知正弦电流 V)30tcos(5)t(u一、写出一、写出 的波形图、相量的波形图、相量 式和相量图。式和相量图。三、三、1 1）若）若 A)30tcos(5)t(iA)30tcos(5)t(i21)t(i,tcos4i,tcos3i321求求电流的相位关系求电流的相位关系 2 2）若）若 )t(i,tsin4i,tcos3i321求1i2i3i
