1、5.1 5.1 方程方程第五章第五章 一元一次方程一元一次方程知识点知识点方程方程知知1 1讲讲11.方程的定义方程的定义先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程.2.方程的两要素方程的两要素一是等式，即用等号连接的式子；一是等式，即用等号连接的式子；二是含有未知数，但是未知数的个数不限二是含有未知数，但是未知数的个数不限.知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.方程一定是等式，但方程一定是等式，但等式等式不一定是方程不一定是方程.2.方程中的未知数方程中的
2、未知数可以用可以用x 表示，也可以用表示，也可以用其他其他字母表示字母表示.知知1 1练练例 1思路引导：思路引导：解：解：列表列表分析如下分析如下：序号序号方程具备方程具备的条件的条件是等式是等式 含有未含有未知数知数是否为方程是否为方程否否是是否否是是是是否否答案：答案：B知知1 1练练1-1.下面几个式子中下面几个式子中，是，是方程的方程的有有_(填填序号序号)32=5；6y1=0；3(a4)=5a；3(x5)；|3|=3；5 0知知2 2讲讲知识点知识点列方程列方程21.列方程的一般步骤列方程的一般步骤知知2 2讲讲2.确定实际问题中相等关系的方法确定实际问题中相等关系的方法(1)根据
3、周长、面积、体积公式列方程；根据周长、面积、体积公式列方程；(2)根据题目中的不变量确定相等关系；根据题目中的不变量确定相等关系；(3)根据关键词确定相等关系根据关键词确定相等关系.如和差关系通常用如和差关系通常用“一共一共有有”“比比多多(少少)”表示，表示，倍倍数关系数关系通常用通常用“是是的几倍的几倍”表示表示知知2 2讲讲特别提醒特别提醒1.设未知数时一般是设未知数时一般是求什么求什么设什么，也可设什么，也可间间接设接设与问题有关的量为与问题有关的量为未知数未知数.2.根据实际问题列根据实际问题列方程时方程时，方程中各量的，方程中各量的单单位必须位必须统一统一.知知2 2练练母母题题
4、教材教材P113 例例1根据根据下列问题，设未知数并列出方程：下列问题，设未知数并列出方程：(1)某班有男生某班有男生25 人，比女生人数的人，比女生人数的2 倍少倍少15 人，人，这个这个班女生班女生有多少人？有多少人？解题秘方：解题秘方：设设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系未知数，用含有未知数的等式表示相等关系，即即得方程得方程.解：解：设设这个班女生有这个班女生有x 人，那么男生有人，那么男生有(2x15)人人.根据根据“男生有男生有2 5 人人”，列得方程，列得方程2x15=25.例 2知知2 2练练(2)有一块长方形空地，长为有一块长方形空地，长为20 m，宽为，宽为15 m.
5、在在内部分割内部分割出一块小出一块小正方形地用来放置杂物，其余部分种植草坪正方形地用来放置杂物，其余部分种植草坪.已知已知草坪的面积为草坪的面积为200 m2，求小正方形地的边长，求小正方形地的边长.解题秘方：解题秘方：设设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系未知数，用含有未知数的等式表示相等关系，即即得方程得方程.解：解：设小正方形地的边长为设小正方形地的边长为x m，那么草坪的面积，那么草坪的面积为为(2015 x2)m2.根据根据“草坪的面积为草坪的面积为200 m2”，列得，列得方程方程2015 x2=200.知知2 2练练2-1.为保护生态环境为保护生态环境，某，某县将一部分耕地县
6、将一部分耕地改为林地改为林地，改变，改变后，林地后，林地和耕地面积和耕地面积共有共有180 km2，其中，其中耕地面积是耕地面积是林林地面积地面积的的25%，若设，若设耕地面积耕地面积为为x km2，则依，则依题意题意可列可列方程方程_知知3 3讲讲知识点知识点解方程与方程的解解方程与方程的解31.方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解值，叫作方程的解.2.解方程：求方程的解的过程，叫作解方程解方程：求方程的解的过程，叫作解方程.3.方程的解与解方程的区别与联系方程的解与解方程的区别与联系方程的解方程的解解方程解
7、方程区别区别是一个是一个(或几个或几个)具体的数具体的数是一个过程是一个过程联系联系方程的解是通过解方程求得的方程的解是通过解方程求得的知知3 3讲讲特别提醒特别提醒方程的解可能方程的解可能不止一不止一个，也可能无解个，也可能无解.如如x=1 和和x=2 都是方程都是方程x23x2=0 的解，而的解，而方方程程|x|=2 无解无解.知知3 3练练母母题题 教材教材P114 例例2检验检验下列各未知数的值是不是下列各未知数的值是不是方方程程5x2=72x 的解，并写出检验过程的解，并写出检验过程.例 3解题秘方：解题秘方：紧紧扣方程的解的定义，将未知数的值代扣方程的解的定义，将未知数的值代入入方
8、程左右方程左右两边，看方程左右两边的值是否相等进两边，看方程左右两边的值是否相等进行检验行检验.知知3 3练练(1)x=2；(2)x=3.解解：将：将x=2 分别代入方程的左边和右边分别代入方程的左边和右边，得，得左边左边=522=8，右边，右边=722=11.因为左边因为左边右边，所以右边，所以x=2 不是方程不是方程5x2=72x 的解的解.将将x=3 分别代入方程的左边和右边，分别代入方程的左边和右边，得左边得左边=53 2=13，右边，右边=723=13.因为左边因为左边=右边，所以右边，所以x=3 是方程是方程5x2=72x 的解的解.方法点拨：检验一个数是不是方程的解的方法：方法点
9、拨：检验一个数是不是方程的解的方法：把这个数分别代入方程的左右两边，当左边把这个数分别代入方程的左右两边，当左边=右边时，右边时，这个数是方程的解，当左边这个数是方程的解，当左边右边时，这个数不是方右边时，这个数不是方程的解程的解.知知3 3练练D2y39(答案不唯一答案不唯一)知知3 3练练已知关于已知关于x 的方程的方程2xa=9 的解是的解是x=2，求，求a 的值的值.解题秘方：解题秘方：将将x=2 代入方程，可得到关于代入方程，可得到关于a 的等式，即的等式，即可求解可求解.解：将解：将x=2 代入代入2 xa=9，得，得22a=9，即，即4 a=9.所以所以a=9 4=5.例 4知知
10、3 3练练4-1.已知已知y=1 是是方程方程my=y2 的解，求的解，求m23m1的值的值.解解：把：把y1代入方程代入方程myy2，得，得m3.当当m3时，时，m23m193311.知知4 4讲讲知识点知识点一元一次方程一元一次方程41.定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数(元元)，且，且含有含有未知数未知数的式子都是整式，未知数的次数都是的式子都是整式，未知数的次数都是1，这，这样的方程样的方程叫作叫作一元一次方程一元一次方程.知知4 4讲讲2.一元一次方程的标准形式一元一次方程的标准形式任何一个一元一次方程变形后总可以化为任何一个一元一次方程
11、变形后总可以化为axb=0 的形式的形式.其中其中x 是未知数，是未知数，a，b 是已知数，且是已知数，且a 0.我我们们把把axb=0 叫作一元一次方程的标准形式叫作一元一次方程的标准形式.知知4 4讲讲特别提醒特别提醒1.是是一元一次方程一元一次方程的三个基本特征，的三个基本特征，其中其中特征是把方程特征是把方程化简化简后进行判断，后进行判断，特征特征是是通过化简前的方程通过化简前的方程进行进行判断，判断，即必须满足即必须满足分母分母中不能含有字母中不能含有字母.2.判断一元一次方程判断一元一次方程的步骤的步骤：知知4 4练练例 5知知4 4练练思路引导：思路引导：知知4 4练练解：列表分
12、析如下：解：列表分析如下：由由表知，表知，(5)(6)是一元一次方程是一元一次方程.序号序号一元一一元一次方程次方程具备的具备的条件条件等号两边都是整式等号两边都是整式化为最简后只有一化为最简后只有一个未知数个未知数未知数的次数都是未知数的次数都是1 是否为一元一次方程是否为一元一次方程否否否否否否否否是是是是知知4 4练练A知知4 4练练若若(m2)x|m|1=4 是关于是关于x 的一元一次方程，的一元一次方程，求求m 的值的值.例 6解题秘方：解题秘方：由一元一次方程的定义可知未知数的由一元一次方程的定义可知未知数的次数次数为为1，系数不为，系数不为0，据此求待定字母的值，据此求待定字母的
13、值.解：根据题意，可得解：根据题意，可得|m|1=1，且，且m2 0.由由|m|1=1，得，得|m|=2，即，即m=2.由由m2 0，得，得m 2，所以，所以m=2.知知4 4练练6-1.若若(k21)x2(k1)x8 0 是关于是关于x 的一元一次方的一元一次方程，求程，求k的的值值解解：根据题意，得：根据题意，得k210且且k10，解得解得k1.知知5 5讲讲知识点知识点等式的性质等式的性质51.两个基本事实两个基本事实(1)对称性：若对称性：若a=b，则，则b=a；(2)传递性：若传递性：若a=b，b=c，则，则a=c.知知5 5讲讲2.等式的等式的性质性质等式的性质等式的性质文字表示文
14、字表示用字母表示用字母表示性质性质1等式两边加等式两边加(或减或减)同一个数同一个数(或式子或式子)，结果仍相等，结果仍相等如果如果a=b，那么，那么ac=bc性质性质2等式两边乘同一个数，或除等式两边乘同一个数，或除以同一个不为以同一个不为0 的数，结果的数，结果仍仍相等相等 知知5 5讲讲特别提醒特别提醒运用等式的性质运用等式的性质时注意时注意“两同两同”:1.同同一种运算一种运算:等式的等式的两边两边必须都进行同一必须都进行同一种运算种运算;2.同一个数同一个数(或或式子式子):等式等式两边加或减的两边加或减的必须必须是同一个数是同一个数(或式或式子子),乘的必须是同乘的必须是同一个数一
15、个数,除以的必须除以的必须是同是同一个不为一个不为0 的数的数.知知5 5练练母母题题 教材教材P116 例例3(1)若若3x5=8，则，则3x=8_，根据根据_，等式的两边等式的两边同时同时_；例 7解题秘方：解题秘方：利用等式的性质求解，涉及加减的用性质利用等式的性质求解，涉及加减的用性质1，涉及，涉及乘除的用性质乘除的用性质2.解解：若：若3x5=8，则，则3x=85，根据等式的性质，根据等式的性质1，等式的两边同时减等式的两边同时减5；5等式的性质等式的性质1减减5知知5 5练练解题秘方：解题秘方：利用等式的性质求解，涉及加减的用性质利用等式的性质求解，涉及加减的用性质1，涉及涉及乘除
16、的用性质乘除的用性质2.等式的等式的性质性质2除以除以4知知5 5练练(3)若若2m3n=7，则，则2m=7 _，根据，根据_，等式等式的两边的两边同时同时_.解题秘方：解题秘方：利用等式的性质求解，涉及加减的用性质利用等式的性质求解，涉及加减的用性质1，涉及涉及乘除的用性质乘除的用性质2.解：解：若若2m3n=7，则，则2m=73n，根据等式的性质，根据等式的性质1，等式等式的两边同时加的两边同时加3n.3n等式等式的性质的性质1加加3n知知5 5练练知知5 5练练例 8解题秘方：解题秘方：注意注意等式的性质在解方程中的运用，即等式的性质在解方程中的运用，即根据题目根据题目特点，运用等式的性
17、质，将方程变形为特点，运用等式的性质，将方程变形为x=m(常数常数)的的形式形式.知知5 5练练知知5 5练练D知知5 5练练8-2.利用等式的性质利用等式的性质解下列解下列方程，并检验方程，并检验.(1)2x4=2；解解：方程：方程两边减两边减4，得，得2x2.方程两边除以方程两边除以2，得，得x1.把把x1代入方程代入方程2x42左边，得左边，得2142.方程左、右两边的值相等，故方程左、右两边的值相等，故x1是方程是方程2x42的解的解知知5 5练练(2)2=50.2x解：解：方程两边减去方程两边减去5，得，得30.2x.方程两边除以方程两边除以0.2，得，得15x，即，即x15.把把x
18、15代入方程代入方程250.2x右边右边，得得50.2(15)2.方程左、右两边的值相等，故方程左、右两边的值相等，故x15是是方方程程250.2x的解的解方程方程方程方程建模建模实际问题实际问题一元一一元一次方程次方程特例特例方程的解方程的解等式的性质等式的性质题型题型利用方程的解的定义确定解利用方程的解的定义确定解1例 9y=2思路思路引导：引导：思路点拨思路点拨把第把第2 个方程中个方程中的的y1 作为整体，看作一作为整体，看作一个未知数个未知数，与已知方程，与已知方程进行进行比对是解题关键比对是解题关键新新考法考法 整体代入整体代入法法已知已知x=1 是方程是方程ax1=bx4 的解的
19、解，求，求3 a5 b2(b5)的值的值.题型题型利用方程的解的定义求值利用方程的解的定义求值2例 10思路引导：思路引导：解：解：3a5b2(b5)=3a5b2b10=3a3b10.因为因为x=1 是方程是方程ax1=bx4 的解，的解，所以所以a1=b4.所以所以ab=5,两边同乘两边同乘3,得得3a3b=15，所以所以3a3b1 0=15 10=5，即即3a5b2(b5)=5.整体代入法：整体代入法：求式子的值时，求式子的值时，往往往往不需要求出字母不需要求出字母的值的值，而是将原式化简而是将原式化简，再，再整体代入求解整体代入求解.新新视角视角 创新探究创新探究题题定义定义：如果一个一
20、元一次方程的：如果一个一元一次方程的一次一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个这个方程方程为为“妙解方程妙解方程”.例如：例如：方程方程2 x4=0 中中,2 4=2,方程的方程的解为解为x=2，则方程则方程2 x4=0 为为“妙解妙解方程方程”.请根据请根据上述上述定义解答下列问题：定义解答下列问题：例 11题型题型利用新定义解决阅读理解题利用新定义解决阅读理解题3解题秘方：解题秘方：明确明确“妙解方程妙解方程”的定义与特征是解题的关键的定义与特征是解题的关键.(1)方程方程2 x3=0 是是“妙解方程妙解方程”吗吗?试说明理由试说明理由
21、.解解：方程：方程2x3=0 中，一次项系数与常数项的差为中，一次项系数与常数项的差为23=1，方程的解为，方程的解为x=1.5.因为因为1 1.5，所以方程，所以方程2x3=0 不是不是“妙解方程妙解方程”.(2)已知关于已知关于x 的一元一次方程的一元一次方程3 xm=0 是是“妙妙解方程解方程”，求，求m 的值的值.解：解：因为因为3xm=0 是是“妙解方程妙解方程”，所以它的解是所以它的解是x=3 m.所以所以3(3 m)m=0,解得解得m=4.5.(3)已知关于已知关于x 的一元一次方程的一元一次方程2 xab=0 是是“妙妙解解方程方程”，并且它的解是，并且它的解是x=b.求代数式
22、求代数式ab 的值的值.解：解：因为因为2xab=0 是是“妙解方程妙解方程”，所以它的解所以它的解是是x=2(ab).所以所以2(ab)=b,解得解得a=2.将将x=b，a=2 代入原方程得代入原方程得2b2 b=0，解得，解得b=2,所以所以ab=4.解题通法解题通法第一步：读懂给出第一步：读懂给出的新的新定义，尤其定义，尤其是例子；是例子；第二步：将第二步：将“新定义新定义”转化转化为我们为我们熟悉的知识熟悉的知识易错点易错点忽略等式的性质忽略等式的性质2 2 的使用条件而致错的使用条件而致错例12错解错解：A正解：正解：A.当当a2=0 时，时，变形不成立；变形不成立；B.变形中等变形
23、中等号号两边两边涉及的运算不同，故不成立；涉及的运算不同，故不成立；C.等号两边同等号两边同除以除以2，变形变形正确；正确；D.等号两边运算涉及的数不同，等号两边运算涉及的数不同，故不成立故不成立.答案：答案：C考法考法利用方程的解的定义求值利用方程的解的定义求值1中考中考永州永州关于关于x 的的一元一次方程一元一次方程2xm=5 的解为的解为x=1，则则m 的的值为值为()A.3 B.3 C.7 D.7试题评析：试题评析：本题本题考查一元一次方程考查一元一次方程的解的解的定义，的定义，把把x=1 代入方程即可求代入方程即可求出出m 的值，题目比较简单的值，题目比较简单.解：解：把把x=1 代
24、入代入2xm=5，得得21 m=5，解得，解得m=3.A例13考法考法利用等式的性质进行变形利用等式的性质进行变形2例14试题评析：试题评析：本题本题考查对等式性质的考查对等式性质的掌握掌握情况，根据等式的情况，根据等式的性质，逐一进行性质，逐一进行判断判断即可解答即可解答答案：答案：A考法考法根据实际问题列方程根据实际问题列方程3新新考向数学文化中考考向数学文化中考 连云港连云港 元朝元朝朱世杰所朱世杰所著著的的算学启蒙中，算学启蒙中，记载了这样记载了这样一道题一道题：良马良马日行二百四十里，日行二百四十里，驽马日驽马日行一百五十行一百五十里，里，驽马驽马先行一十二日，先行一十二日，问良马问
25、良马几何日追及之？几何日追及之？其大意其大意是：是：快马每天快马每天行行2 40 里，里，慢马每天行慢马每天行150 里里，慢慢马先行马先行12 天，天，快马几天可追上快马几天可追上慢马？慢马？例15试题评析：试题评析：本题本题考查由实际问题考查由实际问题抽象出抽象出一元一次方一元一次方程，程，读懂题意，读懂题意，正确正确找出找出等量关系，等量关系，并用未知数表并用未知数表示出示出相关量相关量是解题关键，题目难度中等是解题关键，题目难度中等.解：解：由由题意可知，快马追上慢马时，题意可知，快马追上慢马时，慢马慢马行了行了(x12)天，并且二者所行路程天，并且二者所行路程相等相等，所以，所以24
26、0 x150(x12)答案：答案：DCD3.新新考向数学文化中考考向数学文化中考 南充南充孙子算经孙子算经记载：记载：“今今有有木，不知长短引绳度之，余绳四木，不知长短引绳度之，余绳四尺五尺五寸；屈绳寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？量之，不足一尺木长几何？”(尺、寸是长度单位，尺、寸是长度单位，1 尺尺 10 寸寸).意思意思是，现有一根长木，不知道其长是，现有一根长木，不知道其长短短.用一用一根绳子去度量长木，绳子还剩余根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺尺；将绳；将绳子子对折再对折再度量长木，长木还度量长木，长木还剩剩余余1 尺尺A4.中考中考金华金华 如图，如图，在编写数学谜在编写数学谜
27、题时题时，“”内要求填内要求填写同一个数字写同一个数字，若，若设设“”内数字为内数字为x，则列出，则列出方程正确方程正确的是的是()A.32 x5=2 xB.32 0 x5=10 x2C.32 0 x5=2 0 xD.3(2 0 x)5=10 x2D5.新新考法考法 定义定义法法在在 2x1；2x1=3x；|3|=3；t1=3 中中，等式有，等式有_，方程方程有有_(填序号填序号)6.母母题题 教材教材P117 练习练习T1根据根据等式的性质填空：等式的性质填空：(1)如果如果a=b，那么，那么a_=b3；(2)如果如果5x3=7，那么，那么5x=7_.3(3)7.中考中考天津河东区天津河东区
28、方程方程(a3)x|a|22a3 是关于是关于x 的的一元一次方程，一元一次方程，则则a _38.新新考法考法 整体代入整体代入法法若若a 是方程是方程x22x1=0 的解，的解，则则代数式代数式a22a2024的的值值为为_2 0259.新新视角视角 图文信息图文信息题题如如图，根据图中的图，根据图中的信息信息，可得正确，可得正确的方程的方程是是_.10.母母题题 教材教材P115 练习练习T1判断判断x=6 和和x=4是不是是不是方程方程2x3=5(x3)的解的解.解：当解：当x6时，方程左边时，方程左边2639，右边右边5(63)15，方程左、右两边的值不相等，所以，方程左、右两边的值不
29、相等，所以x6不是方程不是方程2x35(x3)的解；的解；当当x4时，方程左边时，方程左边2435，右边右边5(43)5，方程左、右两边的值相等，所以，方程左、右两边的值相等，所以x4是方程是方程2x35(x3)的解的解解：方程解：方程两边加两边加6，得，得x18.12.小强小强的爸爸乘飞机从杭州去北京的爸爸乘飞机从杭州去北京，你，你能根据小强、小能根据小强、小燕的对话求出燕的对话求出小强小强爸爸的机票价格吗？爸爸的机票价格吗？小强：我爸爸携带了小强：我爸爸携带了30 kg 行李，行李，购买购买了了165 元元的的行李票行李票小燕：按规定，旅客最多可免费小燕：按规定，旅客最多可免费携带携带20
30、 kg 行李，行李，行行李超重部分每千克李超重部分每千克按机票按机票价格的价格的1.5%购买行李票购买行李票解：设机票价格为解：设机票价格为x元元由题意得由题意得(3020)x1.5%165，解得解得x1 100.答：机票价格为答：机票价格为1 100元元13.新新考法考法 新定义运算新定义运算法法符号符号“”代表代表一种新的运算一种新的运算 已知已知2 3 23 4，7 2 78，3 5 34567，(1)求求1 3 的值的值.解解：1 31236.(2)是否存在数是否存在数n，使，使n 860？若存在，试求出？若存在，试求出n的的值；值；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由解：解：存在存在因为因为n 8n(n1)(n2)(n7)8n28，且且n 860，所以，所以8n2860，解，解得得n4.
