1、4.1 4.1 整式整式第四章第四章 整式整式的加减的加减知识点知识点代数式代数式知知1 1讲讲11.单项式单项式 由数或字母的积组成的式子叫作单项式由数或字母的积组成的式子叫作单项式.单独单独的的一个数或一个字母也是单项式一个数或一个字母也是单项式.知知1 1讲讲2.单项式的系数与次数单项式的系数与次数(1)系数系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数.特别提醒：单项式的系数包括它前面的符号，且只特别提醒：单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字与数字因数有关；因数有关；当单项式的系数为当单项式的系数为1 或或1 时，通常省略不写；时，通常省略不写
2、；“”是数而不是字母，含有是数而不是字母，含有“”的单项式中，系数包括的单项式中，系数包括“”.知知1 1讲讲(2)次数次数：单项式中所有字母的指数的和叫作这个单项式：单项式中所有字母的指数的和叫作这个单项式的的次数次数.知知1 1讲讲特别提醒：特别提醒：单项式的次数仅与字母的指数有关，与单项式的次数仅与字母的指数有关，与系数系数的指数无关；的指数无关；若单项式的某个字母没写指数，实际上这个字母的若单项式的某个字母没写指数，实际上这个字母的指数指数为为1，计算时不要遗漏；，计算时不要遗漏；对于一个非零的数，规定它的次数为对于一个非零的数，规定它的次数为0.知知1 1讲讲特别解读特别解读1.数或
3、字母的积包含数或字母的积包含：数：数与数的积、数与与数的积、数与字母的字母的积、积、字母与字母的积字母与字母的积.2.当字母出现在分母当字母出现在分母或作或作除数时，不是积的除数时，不是积的形式形式，所以不是单项式所以不是单项式；但是；但是数字出现在数字出现在分母中分母中时，看时，看作分数因数作分数因数，不，不影响单项式的判定影响单项式的判定.知知1 1练练例 1解题秘方解题秘方：利用单项式的定义及单项式中系数和次数利用单项式的定义及单项式中系数和次数的的定义定义解决问题解决问题.知知1 1练练D知知1 1练练1-2.新视角新视角 结论开放结论开放题请题请写出一个系数写出一个系数是是2 024
4、，并且，并且含字母含字母x，y 的三次单项式的三次单项式：_.2 024x2y(或或2 024xy2)知知1 1练练已知已知2kx2yn 是关于是关于x，y 的一个单项式，且系数是的一个单项式，且系数是7，次数次数是是5,那么那么k=_，n=_.例 2解题秘方解题秘方：根据单项式的次数和系数的确定方法求值根据单项式的次数和系数的确定方法求值.3知知1 1练练2-1.已知已知(a1)x2ya1是是关于关于x，y 的五次的五次单项式单项式，则这个，则这个单项式的单项式的系数是系数是()A.1 B.2 C.3 D.0A知知2 2讲讲知识点知识点多项式多项式21.多项式：几个单项式的和叫作多项式多项式
5、：几个单项式的和叫作多项式.一个式子是多项式需具备两个条件：一个式子是多项式需具备两个条件：(1)式子式子中含有运算符号中含有运算符号“”或或“”；(2)分母分母中不含有字母中不含有字母.知知2 2讲讲2.多项式的项：在多项式中，多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项每个单项式叫作多项式的项，其中其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就就叫几叫几项式项式.3.多项式的次数：多项式里，多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作次数最高的项的次数，叫作这个这个多项式的次数多项式的次数.4.确定了多项式的次数和项数后，这个多项式常
6、被称为确定了多项式的次数和项数后，这个多项式常被称为“几几次几次几项式项式”.知知2 2讲讲特别提醒特别提醒1.多项式是由单项式多项式是由单项式组成的组成的，但不能说多项式，但不能说多项式包含包含单项式，单项式，它们是两它们是两个不同个不同的概念的概念.2.在识别多项式的项时在识别多项式的项时，应，应包含前面的符号，包含前面的符号，尤其尤其注意项注意项的符号为的符号为负号负号的情况的情况.3.单项式的次数是单项式的次数是所有字母所有字母指数的和，而指数的和，而多项式的次数多项式的次数是是多项式中多项式中次数次数最高的项的次数，最高的项的次数，二者二者不能混淆不能混淆.知知2 2练练例 3解题秘
7、方：解题秘方：利用多项式的项及次数的定义进行辨析利用多项式的项及次数的定义进行辨析.知知2 2练练3-1.期期中中重庆重庆九龙坡九龙坡区区 关于多项式关于多项式x2y22x2yxy4，下列下列说法说法错误的错误的是是()A 该多项式是四次四项式该多项式是四次四项式B二次项的系数二次项的系数为为1C 该多项式不含该多项式不含一次一次项项D三次项为三次项为2x2yD已知式子已知式子3xn(m1)x1 是关于是关于x 的三次二项式的三次二项式，求求m，n 的值的值例 4解题秘方解题秘方：直接直接利用多项式的次数与项数的确定方利用多项式的次数与项数的确定方法法分析得出分析得出答案答案解：因为解：因为3
8、xn(m1)x1 是关于是关于x 的三次二项式，的三次二项式，所以所以n=3，m1=0.所以所以m=1，n=35知知3 3讲讲知识点知识点整式整式31.定义：单项式与多项式统称整式定义：单项式与多项式统称整式.2.整式、单项式、多项式之间的关系整式、单项式、多项式之间的关系知知3 3讲讲特别解读特别解读1.单项式是整式单项式是整式.2.多项式是整式多项式是整式.3.如果一个式子既如果一个式子既不是单项式不是单项式又不是多项式又不是多项式，如如：分母中含有字母：分母中含有字母的式子的式子，那么它一定，那么它一定不是整式不是整式.知知3 3练练例 5解题秘方：解题秘方：紧扣单项式、多项式及整式的概
9、念进行解紧扣单项式、多项式及整式的概念进行解题题.知知3 3练练单项式单项式 多项式多项式 整式整式知知3 3练练D整式整式整式整式单项式单项式次数次数多项式多项式系数系数项数项数题型题型利用整式的概念进行分类利用整式的概念进行分类1例 6代数式代数式整式整式单项式单项式多项式多项式非整式非整式思路思路引导：引导：思路点拨思路点拨1.寻找整式时，先寻找整式时，先排除分母排除分母中有字母的式子中有字母的式子.2.整式中若含有整式中若含有“，”运算运算符号，则是多符号，则是多项式项式，否则，否则是单项式是单项式.用整式填空，并指出它们的次数，是多项式的指出各用整式填空，并指出它们的次数，是多项式的
10、指出各项项，是，是单项式的指出系数单项式的指出系数.题型题型利用整式的概念进行辨析利用整式的概念进行辨析2解题秘方：解题秘方：根据数量关系式或几何公式建立整式，再根据数量关系式或几何公式建立整式，再判断是判断是单项式还是多项式单项式还是多项式.例 7(1)真实真实情境题情境题 体育赛事体育赛事2024 年年4 月月21 日，安阳马拉松赛日，安阳马拉松赛燃情燃情开跑，为防止选手个人信息泄露，马拉松参赛选手开跑，为防止选手个人信息泄露，马拉松参赛选手随身穿戴随身穿戴的计时的计时芯片会把选手参赛号码利用公式加密后芯片会把选手参赛号码利用公式加密后上传，某选手参赛上传，某选手参赛号码号码为为1626，
11、如果加密公式为选手参，如果加密公式为选手参赛号码乘以赛号码乘以n 再加再加6，则，则利用公式利用公式加密后上传的数据加密后上传的数据为为_.1626n6次数次数为为1，项分别是，项分别是1626n，6(2)圆柱体圆柱体的底面半径为的底面半径为a，高为，高为h，体积，体积为为_.a2h次数次数为为3，系数为，系数为.(3)新新考向考向 数学数学文化文化鸡鸡兔同笼是我国古代的一道著名的兔同笼是我国古代的一道著名的数数学问题学问题，记载于，记载于孙子算经孙子算经中，若笼中有中，若笼中有m 只鸡与只鸡与n 只兔，则只兔，则共有共有_条条腿腿(2m4n)次数次数为为1，项分别是，项分别是2m，4n(4)
12、“x 的的3 倍与倍与y 的立方的差的立方的差”用代数式表示用代数式表示为为_3xy3次数次数为为3，项分别是，项分别是3x，y3特别提醒特别提醒1.单项式的次数只与单项式的次数只与字母字母的指数有关，与的指数有关，与数字数字的的指数无关，这是指数无关，这是判断多项式判断多项式次数的基础次数的基础.2.项以及系数的判断项以及系数的判断都要都要包含前面的符号包含前面的符号.已知已知多项式多项式8x2ym2xy3x 是关于是关于x，y 的七次多项的七次多项式式，关于，关于x，y 的单项式的单项式6x2nym2 与该多项式的次数相与该多项式的次数相同，同，求求(nm)3的的值值.题型题型利用整式的概
13、念求值利用整式的概念求值3例 8思路思路引导：引导：解题通法解题通法先由整式的次数先由整式的次数条件条件判断出相关字母的值判断出相关字母的值，然后然后再将字母的值再将字母的值代入相关代入相关整式计算即可整式计算即可.解：因为解：因为多项式多项式8x2ym2xy3x 是关于是关于x，y 的七的七次多项式，次多项式，所以所以2m2=7，易得，易得m=3.因为关于因为关于x，y 的单项式的单项式6x2nym2 与该多项式的次数与该多项式的次数相同，相同，所以所以2nm2=2n32=7，易得，易得n=1.所以所以(nm)3=(13)3=(2)3=8.思路思路引导：引导：例 93方法点拨方法点拨使多项式
14、不含某使多项式不含某一项一项的方法是让该项的的方法是让该项的系数系数为为0，多用于实际，多用于实际项数比项数比表现项数少的表现项数少的情况情况.新新视角视角 创新探究创新探究题题如如图图4.1-1，若一个表格的行数代，若一个表格的行数代表表整式整式的次数，列数代表整式的的次数，列数代表整式的项数项数(规定规定单项式的项数为单项式的项数为1)，那么每个整，那么每个整式式均会对应表格中的某个小方格均会对应表格中的某个小方格若若关于关于x 的整式的整式A 是是三次三次二项式，则二项式，则A 对对应应表格中标的小表格中标的小方格方格.题型题型利用整式的概念解决探究性问题利用整式的概念解决探究性问题4例
15、10已知已知B 是关于是关于y 的整式的整式，下列，下列说法正确的说法正确的有有_(写写出出所有正确的所有正确的序号序号).若若B 对应的小方格行数是对应的小方格行数是4，则，则AB 对应对应的小方格行的小方格行数一定是数一定是4；若若AB 对应的小方格列数是对应的小方格列数是5，则，则B 对应对应的小方格列的小方格列数一定是数一定是3；若若B 对应的小方格列数是对应的小方格列数是3，且，且AB 对应对应的小方格列的小方格列数是数是5，则，则B 对应的小方格行数不可能是对应的小方格行数不可能是3解题秘方解题秘方：AB 的次数由的次数由A 和和B 中次数最高的项决中次数最高的项决定，定，项数项数
16、最高为最高为A 和和B 的项数和的项数和.解：解：A 在第在第3 行，表示行，表示A 中最高次数是中最高次数是3 次，次，B 在在第第4 行行，表示，表示B 中最高次数是中最高次数是4 次，次，所以所以AB 中最高次数为中最高次数为4 次次.所以所以AB 必在第必在第4 行，故正确；行，故正确；A 在第在第2 列，表示整式列，表示整式A 有有2 项，项，AB 对应的小方格列数是对应的小方格列数是5，表示整式，表示整式AB 有有5 项，项，故整式故整式B 最少有最少有3 项，而不确定就只有项，而不确定就只有3 项，故项，故 错误；错误；特别解读特别解读若整式若整式A 和整式和整式B中中没有可以合
17、并的项没有可以合并的项，则，则B 一定一定只有只有3 项，项，若含有若含有可以合并的项，可以合并的项，则则B 的项数多于的项数多于3.因为因为AB 对应的小方格列数是对应的小方格列数是5，所以整式，所以整式AB 有有5 项项.因为因为A 在第在第2 列，列，B 对应的小方格列数是对应的小方格列数是3，所以整，所以整式式A，B 的次数不可能相同的次数不可能相同.所以所以B 对应的小方格行数不可能是对应的小方格行数不可能是3故正确故正确.方法点拨方法点拨1.找规律的常见题型找规律的常见题型：数：数阵找规律和图形阵找规律和图形找规律找规律.2.找规律的常用方法找规律的常用方法：看：看增幅法增幅法.3
18、.找规律的常用技巧找规律的常用技巧：标：标序列号和提公因数序列号和提公因数.易错点易错点确定单项式的系数与次数易出错确定单项式的系数与次数易出错例11诊误区：诊误区：在确定单项式的在确定单项式的系数系数时，易忽略数字时，易忽略数字因因数的数的指数，在确定指数，在确定单项式的单项式的次数时，易将数次数时，易将数字字的指数的指数当成字母的指数当成字母的指数.考法考法整式的有关概念整式的有关概念1中考中考江西江西 单项式单项式5ab 的的系数为系数为_试题评析试题评析：本题考查单项式的系数本题考查单项式的系数的识别的识别，难度，难度较小较小5例12考法考法用代数式表示数量关系用代数式表示数量关系2中
19、考中考西藏西藏 按一定规律排列按一定规律排列的单项式的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，则按此规律排列的第，则按此规律排列的第n 个单项式个单项式为为_.(用含有用含有n 的代数式的代数式表示表示)(3n2)an例13试题评析试题评析：本题本题考查数字变化类考查数字变化类规律探究规律探究，掌握单项式，掌握单项式的系数和次数并的系数和次数并发现其发现其变化规律是解题的关键变化规律是解题的关键解解：第第n 个单项式的系数可表示个单项式的系数可表示为为3n2，字母，字母a 的的指数可表示为指数可表示为n，所以第所以第n 个单项式个单项式为为(3n2)an1.中考中考海南海南下列整式中，是二次
20、单项式下列整式中，是二次单项式的是的是()A.x21 B.xyC.x2y D.3xBD3.新新考法考法 概念辨析概念辨析法法对于多项式对于多项式3x2xy21，下列，下列说说法正确的法正确的是是()A一次项系数是一次项系数是3B最高次项是最高次项是2xy2C常数项是常数项是1D是四次三项式是四次三项式BC5.新考法新考法 归纳法有一组按规律排列的归纳法有一组按规律排列的多项式多项式：ab，a2b3，a3 b5，a4b7，则，则第第2024 个多项式个多项式是是()Aa2024b4047 Ba2024b4047Ca2024b4049 Da2024b4049A6.新新视角视角 结论开放结论开放题题
21、一一个关于字母个关于字母m 的的二次二次三项式，它三项式，它的常数项的常数项是是1，请，请写出一写出一个满足条件的多项式个满足条件的多项式：_.m22m1(答案不唯一答案不唯一)7.如图，现有一个长为如图，现有一个长为2 0 cm 的直尺的直尺，直尺，直尺上有上有5 个圆孔，个圆孔，每个孔的直径每个孔的直径为为a cm，则图中，则图中x=_(用用含有含有a 的代的代数式表示数式表示)，这是一这是一个个_项项式式.(填填“单单”或或“多多”)多多5x，3ab，y，8a3x，110.期期中中 济南莱芜区济南莱芜区 多项式多项式5xm(k1)x2(n4)x3 是关于是关于x 的三的三次三项式，并且二
22、次项系数为次三项式，并且二次项系数为1，求求mkn 的值的值.解：因为多项式解：因为多项式5xm(k1)x2(n4)x3是关于是关于x的的三次三项式，并且二次项系数为三次三项式，并且二次项系数为1，所以，所以m3，k11，(n4)0，所以，所以k2，n4.所以所以mkn3243.11.如图，如图，小圆的半径为小圆的半径为r cm，大圆的大圆的半径为半径为R cm.(1)当当r=5 cm，R=9 cm 时，求图时，求图中中阴影部分的面积阴影部分的面积；解解：阴影：阴影部分的面积部分的面积R2r2925256(cm2)(2)求求图图 中阴影部分的面积，并中阴影部分的面积，并判断判断其次数与项数其次数与项数.
