1、1 3.1.2 3.1.2 函数的表示法函数的表示法 2 探究点探究点1 1 解析法解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法 优点优点: : 函数关系清楚、精确；容易从自变量的函数关系清楚、精确；容易从自变量的 值求出其对应的函数值；便于研究函数的性质。值求出其对应的函数值；便于研究函数的性质。 解析法是中学研究函数的主要表达方法。解析法是中学研究函数的主要表达方法。 2 2 ,21, (0) SRyx yaxbxc a 如：如： 3 探究点探究点2 2 列表法列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法列出表格来表示两个变量之间的
2、对应关系的方法. . 如：平方表如：平方表，平方根表平方根表，汽车汽车、火车站的里程价目火车站的里程价目 表表、银行里的银行里的“利率表利率表”等等。 优点优点: :不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的 对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实 际生产和生活中有广泛的应用际生产和生活中有广泛的应用. . 4 探究点探究点3 3 图象法图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法. . 如：一次函数如：一次函数y ykxkxb (kb (k0 0、b b
3、0)0) 的图象是一条直线；的图象是一条直线； y y O O x x 优点：优点：能形象直观地表示出函数的变化趋势，能形象直观地表示出函数的变化趋势， 是今后利用数形结合思想解题的基础是今后利用数形结合思想解题的基础. . 5 例例1 1 某种笔记本的单价是某种笔记本的单价是5 5元，买元，买 个笔记本需要个笔记本需要y y元元. .试用函数的三种表示法表示函数试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).y=f(x). x x1,2,3,4,5 x x 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 y y 5 5 1010 1515 2020 2525 y5x,x1,2,3,4,5 解：解：这个函数
4、的定义域是数集这个函数的定义域是数集1,2,3,4,51,2,3,4,5 列表法表示如下：列表法表示如下： 用图象法可将函数表示为右图：用图象法可将函数表示为右图： 用解析法表示为用解析法表示为 函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折 线、孤立的点等。线、孤立的点等。 6 (1)(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？ (2)(2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ 列表、描点、连线列表、描点、连线( (视其定义域决定是否连线视其定义域决定是
5、否连线) ) 函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候， 一般要写出函数的定义域一般要写出函数的定义域. . 7 作函数图象时应注意的事项作函数图象时应注意的事项: : (1)(1)画函数图象时首先关注函数的定义域画函数图象时首先关注函数的定义域, ,即在定义域内作即在定义域内作 图图; ;（定义域优先定义域优先） (2)(2)图象是实线或实点图象是实线或实点, ,定义域外的部分有时可用虚线来定义域外的部分有时可用虚线来 衬托整个图象衬托整个图象; ; (3)(3)要标出某些关键点（例如图象的顶点、端点、与坐标要标出某些关键点（例如图象
6、的顶点、端点、与坐标 轴的交点等）或对称轴等一些本质特征轴的交点等）或对称轴等一些本质特征. . 提升总结提升总结 8 1. 1. 画出下列函数的图象画出下列函数的图象: : (1) (1) (2)(2) f(x) x2,(xN,x3);且且 解：解：（1 1） （2 2） 2 2, 2,3)yxxx 9 把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等 式就叫式就叫函数的解析式函数的解析式，简称，简称解析式解析式. 探究点探究点4 4 求函数解析式求函数解析式 一、函数的解析式一、函数的解析式: : 10 例例2 2 已知已知f(x)f(x)是一次
7、函数，是一次函数，ff(x)=4xff(x)=4x1 1，求，求f(x)f(x)的的 解析式解析式. . 解：解：设设f(x)=kx+bf(x)=kx+b（k0k0） 则则 ff(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+bff(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+b =k=k2 2x+kb+b=4xx+kb+b=4x1 1 2 k4 kbb1 则则有有 k2 k2 1 b1b 3 或或 1 f(x)2xf(x)2x1 3 或或 待定系待定系 数法数法 适合：适合：已知函数的模型已知函数的模型( (如一次函数、二次函数、反比例函数等如一次函数、二次函数、反比例函数等) )求函数求函数 解析式解析
8、式. . 11 3.3.已知反比例函数已知反比例函数f(x),f(x),满足满足f(3)f(3)6 6，求，求f(x)f(x)的解析式的解析式. . 则则 kk f(x） = (k0),f(3)= -6. x3 解得k = -18. 18 故f(x)= -. x 解：解：设反比例函数为设反比例函数为 12 解：解： 适合：适合：已知已知fg(x)fg(x)的解析式的解析式, ,求求f(x).f(x). 换元法换元法 例例4 4 已知已知 ( 1)2fxxx，求，求 ( )f x 2 1,(1) (1)txxtt令则 22 ( )(1)2(1)1(1)f ttttt所以 2 ( )1(1)f x
9、xx所以 13 一题多解一题多解 解：解： (1)2fxxx因为 2 (1)1x(1 1)x 2 ( )1(1)f xxx所以 配凑法配凑法 14 2 1x 3. f( ),f(x). x1x 若求 11 :t,x(t0,t1), xt 解解 令令则则 2 2 1 t t f(t) 1 t1 1 ( ) t 2 x f(x)(x0 x1). x1 ， 15 例例5 5 已知已知 ，求，求 f(x). 1 3 ( )2 ( )(0)f xfx x x 1 3 ( )2 ( ) 11 3 ( )2 ( ) f xfx x ff x xx 解：解：由由 32 ( )(0) 55 x f xx x 解
10、得解得 消去法消去法 适合适合: : 同时含有同时含有 1 f(x)f( )f(x)f( x). x 与，或与的表达式 16 3.3.已知已知 求求f(x)f(x)的解析式的解析式. . 2 f(x)2f( x)3xx , 2 2 f(x)2f( x)3xx f( x)2f(x)3xx 2 1 f xx3x. 3 解：解： 17 求函数解析式的常用方法有：求函数解析式的常用方法有： 1.1.待定系数法待定系数法 2.2.换元法换元法( (构造法构造法) ) 3.3.消元法消元法 4.4.配凑法配凑法 18 分段函数及映射分段函数及映射 19 画出函数画出函数 的图象的图象. . x x y y
11、 O O 2 2 2 yx4x4 x y1 2 看清自变量的看清自变量的 值所在的区间值所在的区间 2 x4x4, x2, y x 1,x2. 2 20 探究点探究点1 1 分段函数分段函数 （1 1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； 注意注意 （2 2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各 段值域的并集段值域的并集. . 有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值 范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数范围，对应关系不同，这种
12、函数通常称为分段函数. . 21 以下叙述正确的有（以下叙述正确的有（ ） (1)(1)分段函数的定义域是各段定义域的并集分段函数的定义域是各段定义域的并集, ,值域是值域是 各段值域的并集各段值域的并集. . (2)(2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系，分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系， 但它是一个函数但它是一个函数. . (3)(3)若若D D1 1、D D2 2分别是分段函数的两个不同对应关系的分别是分段函数的两个不同对应关系的 值域，则值域，则D D1 1DD2 2 也能成立也能成立. . （A A）1 1个个 （B B）2 2个个 （C C）3 3个个 （D D
13、）0 0个个 C C 变式练习：变式练习： 22 1.1.求分段函数的函数值：求分段函数的函数值： 例例1 1 已知函数已知函数f(x)=f(x)= x+2, xx+2, x1 1； x x2 2, , 1 1x x2 2； 2x, x2.2x, x2. (2)(2)若若f(x)=3,f(x)=3,求求x x的值的值. . (1)(1)求求 的值的值; ; 1 f 3 ,f,f5 2 （ ） 11 f 36,f,f53 24 （ ） 解：解：（1 1） x3（2 2） 23 在它的定义域中，在它的定义域中， 对于自变量的不同对于自变量的不同 取值范围，对应关取值范围，对应关 系不同系不同. .
14、 例例2 2 画出函数画出函数 的图象的图象. . yx -2 -3 0 1 2 3 x y 1 2 3 4 5 -1 2.2.画分段函数的图象画分段函数的图象 x , x0, y x , x0. 24 例例3 3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1 1）5 5公里以内公里以内( (含含5 5公里公里) )，票价，票价2 2元；元； （2 2）5 5公里以上，每增加公里以上，每增加5 5公里，票价增加公里，票价增加1 1元（不足元（不足5 5公里公里 的按的按5 5公里计算）公里计算）. . 如果某条线路的总里程为如果某条线路的总
15、里程为2020公里，请根据题意，公里，请根据题意， 写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象. . 3.3.求分段函数的解析式求分段函数的解析式 25 y=y= 2, 0x 52, 0x 5 3, 5 x 103, 5 x 10 4, 10 x 154, 10 x 15 5, 15 x205, 15 x20 解：解：设票价为设票价为y y元，里程为元，里程为x x公里，由题意可知，自变量公里，由题意可知，自变量x x 的取值范围是（的取值范围是（0 0，2020 由由“招手即停招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下公共汽车票价的制定
16、规定，可得到以下 函数解析式：函数解析式： 根据这个函数解析式，根据这个函数解析式， 可画出函数图象，可画出函数图象， 如右图如右图: : y y 2 2 O O 5 5 1010 1515 2020 1 1 3 3 4 4 5 5 x x 26 求求 的值的值. . 解：解： f 15 ,f 7 f 1512,f 76 1.1.已知已知 3 , 9, ( ) (4) , 9. xx f x f f xx 27 2.2.某质点在某质点在30s30s内运动速度内运动速度vcm/svcm/s 是时间是时间t t的函数的函数, ,它的图象如右图，它的图象如右图， 用解析式表示出这个函数用解析式表示出
17、这个函数. . 解解: :v(t)=v(t)= t+10, 0 t5,t+10, 0 t5, 3t, 5 t3t, 5 t10,10, 30, 10 t 30, 10 t 20,20, - -3t+90, 20 t30.3t+90, 20 t30. 3030 t/st/s 1010 2020 1010 3030 v/cmsv/cms- -1 1 O O 1515 2020 2525 5 5 28 填写下图中的对应关系填写下图中的对应关系 A B （1)1)相应国家的首都相应国家的首都 (2)(2)求平方求平方 (3)(3)乘以乘以2 2 北京 首尔 中国 韩国 x x x 2 x 2x 一对一
18、一 多对多对一 一对一一对一 (1),(2),(3)(1),(2),(3)的共同特征的共同特征: :集合集合A A中的任何一个元素中的任何一个元素, ,在集在集 合合B B中都有唯一的元素和它对应中都有唯一的元素和它对应. . X X的首都的首都 1 1 2 2 3 3 1 4 9 A B 1 2 3 4 5 6 1 2 3 A B 探究点探究点2 2 映射映射 29 一般地，设一般地，设A A、B B是两个是两个非空的集合非空的集合，如果按某一个确，如果按某一个确 定的对应关系定的对应关系f f，使对于集合，使对于集合A A中的中的任意任意一个元素一个元素x x，在集合，在集合 B B中都有
19、中都有唯一唯一确定的元素确定的元素y y与之对应，那么就称对应与之对应，那么就称对应f:ABf:AB 为从为从集合集合A A到集合到集合B B的一个映射的一个映射. . 映射的概念映射的概念 若若对应对应是映射是映射，必须满足两个条件：，必须满足两个条件： A A中任何一个元素在中任何一个元素在B B中都有元素与之对应中都有元素与之对应. . A A在在B B中所对应的元素是唯一的中所对应的元素是唯一的. . 注意注意 30 因此还可以用映射的概念来定义函数：因此还可以用映射的概念来定义函数： 如果如果A A、B B是非空数集，那么是非空数集，那么A A到到B B的映射的映射f:AB,f:AB
20、, 就叫做就叫做A A到到B B的函数，的函数， 记作：记作：y=f(x)y=f(x) 函数是一种特殊的映射函数是一种特殊的映射 函数函数 映射映射 对应对应 31 例例4 4 以下给出的对应是不是从集合以下给出的对应是不是从集合A A到到B B的映射？的映射？ (1)(1)集合集合A AP|PP|P是数轴上的点是数轴上的点 ，集合，集合B BR R，对应关系，对应关系 f f：数轴上的点与它所代表的实数对应；：数轴上的点与它所代表的实数对应； (2)(2)集合集合A AP|PP|P是平面直角坐标系中的点是平面直角坐标系中的点 ，集合，集合B B (x(x，y) | xRy) | xR，yRy
21、R，对应关系，对应关系f f：平面直角坐标系：平面直角坐标系 中的点与它的坐标对应；中的点与它的坐标对应； (3)(3)集合集合A Ax|xx|x是三角形是三角形 ，集合，集合B Bx|xx|x是圆是圆 ，对应，对应 关系关系f f：每一个三角形都对应它的内切圆；：每一个三角形都对应它的内切圆； (4)(4)集合集合A Ax|xx|x是新华中学的班级是新华中学的班级 ，集合，集合B Bx|xx|x是新是新 华中学的学生华中学的学生 ，对应关系，对应关系f f：每一个班级都对应班里的：每一个班级都对应班里的 学生学生. . 是是 不是不是 是是 是是 32 2.2.判断下列对应是否为映射？判断下
22、列对应是否为映射？ a b c e f g a b c d e f g a b c e f g d 是是 是是 不是不是 33 3.3.判断下列对应是不是从判断下列对应是不是从A A到到B B的映射：的映射： (1)A(1)AN N，B BN N* *，f f：x|xx|x2|2|； (2)A(2)Ax|0 x6x|0 x6，B By|0y2y|0y2，f f：xyxy (3)A(3)Ax|x3x|x3，xNxN，B By|y0y|y0，yZyZ， f f：xyxy ； 解：解：（1 1）集合）集合A A中的元素中的元素2 2在对应关系下，在对应关系下，B B中没有元素中没有元素 与之对应，故不是映射与之对应，故不是映射. . （2 2）A A中元素中元素6 6在对应关系下，在对应关系下，B B中没有元素与之对应，中没有元素与之对应， 故不是映射故不是映射. . （3 3）是映射）是映射. . 1 x; 2 2 x2x4 34 你能说出函数与映射之间的异同吗你能说出函数与映射之间的异同吗? ? (1)(1)函数是特殊的映射，映射不一定是函数，映射是函数函数是特殊的映射，映射不一定是函数，映射是函数 的推广；的推广； (2)(2)函数是非空数集函数是非空数集A A到非空数集到非空数集B B的映射，而对于映射，的映射，而对于映射， A A和和B B不一定是数集。不一定是数集。
