1、微专题构造直角三角形解决微专题构造直角三角形解决 、倍的倍的线段数量关系线段数量关系类型一类型一 构造含构造含45的直角三角形的直角三角形(倍线段数量关系倍线段数量关系)232例例1如图，在如图，在ABC中，中，ABBC，点，点D、E、F分别在分别在AB、BC、AC边上，且边上，且DEEF，DEFB，若，若A45，试猜想，试猜想CF与与BE之之间的数量关系，并证明间的数量关系，并证明例1题图例1题解图【解法一】【解法一】解：解：CF BE.证明：如解图证明：如解图，过点，过点F作作FGBC于点于点G，2GABBC，A45，ABC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，DEFB90，CA45，DEB
2、FEC90，DEBEDB90，FECEDB.在在FEG和和EDB中，中，FEGEDB(AAS)，FGBE.在在RtFGC中，中，FGC90，C45，CF FG，CF BE.,FGEBFEGEDBEFDE 22G例1题解图【解法二】【解法二】解：解：CF BE.证明：如解图，以点证明：如解图，以点B为直角顶点向下作等腰直角三角形为直角顶点向下作等腰直角三角形BEG.2例1题解图G由解法一知，由解法一知，FECBDE.BEG是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，G45C，EG BE.在在DEG和和EFC中，中，DEGEFC(AAS)，CFEG BE.,EDGFECGCDEEF 22【解法三】【解法三
3、】解：解：CF BE.证明：如解图，以点证明：如解图，以点B为直角顶点向上作等腰直角三角形为直角顶点向上作等腰直角三角形BEG，同时以点同时以点F为直角顶点向下作等腰直角三角形为直角顶点向下作等腰直角三角形CFH.2例1题解图G由解法一知，由解法一知，FECBDE.BEG和和CFH是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BGECHF45，EG BE，FHCF，DGEEHF135.2H例1题解图GH在在DEG和和EFH中，中，DEGEFH(AAS)，EGFH，CFEG BE.,EDGFEHDGEEHFDEEF 2例例2如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，ACBC，点，点D是边是边AB上一点
4、，过点上一点，过点A作作AECD于点于点E，连接，连接BE，若，若BED45，求证：，求证：CE BE.22【解法一】【解法一】证明：如解图证明：如解图，过点，过点B作作BMCE交交CE的延长线于点的延长线于点M.M例2题解图ACB90，AECBMC90，CAEACE90，ACEBCM90，CAEBCM.ACBC，ACECBM(AAS)，CEBM.BED45，BE BM，BE CE，CE BE.2222M例2题解图【解法二】【解法二】证明：如解图证明：如解图，在，在AE上截取上截取EFCE，F例2题解图AECD，CEF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ECFEFC45，CE CF，AFC13
5、5.ACB90，ACFBCE45.22BED45，BCECBE45，CEB135，ACFCBE，AFCCEB.ACBC，ACFCBE(AAS)，BECF，CE BE.22F例2题解图例2题解图【解法三】【解法三】证明：如解图证明：如解图，以点，以点E为直角顶点，为直角顶点，BE为直角边向下作等腰直角为直角边向下作等腰直角三角形三角形BEF，连接，连接AF，则则BEEF BF，BEF90，EBFEFB45.BED45，CEB135.ACB90，ACBC，ABC45，BC AB，2222FCBEABF，BCEBAF，AFBCEB135，CE AF，AFE90.AECD，AEDBEF90，AEFBE
6、D45，AEF为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，AFEFBE，CE BE.22BCBEBABF 222222CEBCAFBA 例2题解图F满 分 技 法满 分 技 法解题思路：此类题主要是通过构造全等或相似三角形，将探究的两解题思路：此类题主要是通过构造全等或相似三角形，将探究的两条线段转化到同一个等腰直角三角形中条线段转化到同一个等腰直角三角形中构造方法：方法一：以构造方法：方法一：以AB为边构造含为边构造含45的直角三角形的直角三角形(1)含含45；满 分 技 法满 分 技 法(2)含含90直角直角方法二：以方法二：以BC为边构造含为边构造含45的直角三角形的直角三角形(1)含含45；(
7、2)含含90直角直角满 分 技 法满 分 技 法例例3如图，在如图，在ABC中，点中，点D、E、F分别在分别在AB、BC、AC边上，且边上，且DEEF，DEFB90，若，若A30，试猜想，试猜想CF与与BE之之间的数量关系，并证明间的数量关系，并证明【解法一】【解法一】例3题解图GA30，C90A60，解：解：BE CF.证明：如解图证明：如解图，过点，过点F作作FGBC于点于点G，32方法二方法二 构造含构造含30的直角三角形的直角三角形(倍线段数量关系倍线段数量关系)3在在RtFGC中，中，FG CF.DEFB90FGE，DEBFEC90，DEBBDE90，FECBDE，在在FEG和和ED
8、B中，中，FEGEDB(AAS)，FGBE，BE CF.3232,FGEBFEGEDBEFDE 例3题解图G【解法二】【解法二】例3题解图G解：解：BE CF.证明：如解图证明：如解图，以点，以点B为直角顶点向下作含为直角顶点向下作含30角的直角三角形角的直角三角形BEG，令，令G60，32A30，DEFB90，GC60，DEBFEC90，DEBBDE90，BE EG，FECBDE，32在在DEG和和EFC中，中，DEGEFC(AAS)，CFEG，BE CF.32,EDGFECGCDEEF 例3题解图G【解法三】【解法三】解：解：BE CF.证明：如解图证明：如解图，以点，以点B为直角顶点向上
9、作含为直角顶点向上作含30的直角三角形的直角三角形BEG，且，且BGE60，同时以，同时以CF为边向下作等边三角形为边向下作等边三角形CFH，点点H恰好在边恰好在边BC上上32A30，DEFB90，BGEC60，DEBFEC90，DEBBDE90，BE EG，FECBDE，DGEEHF120，32例3题解图GH在在DEG和和EFH中，中，DEGEFH(AAS)，EGFH，CFEG，BE CF.32,EDGFEHDGEEHFDEEF 例3题解图GH例例4如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，ACBC，点，点D是边是边AB上一点，过点上一点，过点A作作AECD于点于点E，连接，连接BE，若
10、，若BED60，求，求证：证：CE BE.32【解法一】【解法一】证明：如解图证明：如解图，过点，过点B作作BMCE交交CE的延长线于点的延长线于点M，ACB90，AECBMC90，CAEACE90，ACEBCM90，CAEBCM.M例4题解图ACBC，ACECBM(AAS)，CEBM.BED60，BM BE，CE BE.3232M例4题解图【解法二】【解法二】证明：如解图证明：如解图，在，在CE左侧作左侧作ECF30交交AE于点于点F，AECD，EFC60，CE CF，AFC120.ACB90，ACFBCE60.BED60，BCECBE60，CEB120，ACFCBE，AFCCEB.ACBC，ACFCBE(AAS)，BECF，CE BE.3232F例4题解图解题思路：此类题主要是通过构造全等或相似三角形，将探究的两解题思路：此类题主要是通过构造全等或相似三角形，将探究的两条线段转化到同一个等腰直角三角形中条线段转化到同一个等腰直角三角形中方法一：以方法一：以AB为边构造含为边构造含30的直角三角形的直角三角形(1)含含30；满 分 技 法满 分 技 法(2)含含90直角直角方法二：以方法二：以BC为边构造含为边构造含30的直角三角形的直角三角形(1)含含30；(2)含含90直角直角满 分 技 法满 分 技 法
