1、2024安徽中考数学二轮专题训练 题型三 从“几何最值问题”的本质，探究“满足特定条件问题” 类型一“垂线段最短”类问题典例精讲例 1如图，在RtABC中，ACB90，BAC30，AB6，点P为边AB上一动点，点P关于AC，BC的对称点分别为点M，N，PM，PN分别与AC，BC交于点E，F，连接MN，则线段MN的最小值为_例1题图变式探究变式角度点P在特定条件下，直角三角形变为等边三角形如图，在等边ABC中，AB6，点P是AB上一动点，作点P关于直线AC、BC的对称点分别为点M、N，连接MN.若CP2，则MN的长为_例1题图【本质】例1的本质是垂线段最短，即点C到AB的最短距离为CPAB时CP
2、的长【思考】在图中，若MN10时，你能判断出在AB边上有几个P点吗？当点P在等边ABC的三边上运动时，你能直接判断出在三角形的边上有几个P点吗？满分技法“垂线段最短”在最值问题中的应用：具体讲解内容详见微专题类型二“两点之间，线段最短”类问题典例精讲例 2如图，菱形ABCD的边长为2，ABC60，点P是AB上一点，E、F为BD的三等分点，连接PE、PF，则PEF周长的最小值是()A. 4 B. 4 C. 22 D. 6例2题图变式探究变式角度 设问变为求点的个数如图，菱形ABCD的边长为2，ABC60，点E、F将对角线BD三等分，若P是菱形边上的点，连接PE、PF，则满足PEF的周长为的点P的
3、个数是()A. 0 B. 4 C. 8 D. 12、例2题图【本质】例2的本质是利用“两点之间、线段最短”求PEF周长的最值问题，即点P的位置具有唯一性【思考】当PEF的周长为某一定值，点P的位置及个数会怎样呢？满分技法利用“两点之间，线段最短”求最值：具体讲解内容详见微专题安徽近年真题精选1. 如图，在矩形ABCD中，AB5，AD3.动点P满足SPABS矩形ABCD.则点P到A，B两点距离之和PAPB的最小值为()A.B.C5D.第1题图2.如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC12.点P在正方形的边上，则满足PEPF9的点P的个数是()A. 0 B. 4 C. 6 D
4、. 8第2题图变式探究3. 如图，在菱形ABCD中，DAB60，点E，F将对角线AC三等分，且AC6，点P是菱形ABCD边上的点，则满足PEPF的点P的个数是()A. 2B. 4C. 6D. 8第3题图类型三“点圆最值，线圆最值”类问题典例精讲例 3如图，在正方形ABCD中，AB1，点E、F分别是DC、AD边上的动点，且AEBF，垂足为P，连接CP，则线段CP的最小值为()A. B. C. D. 例3题图【本质】例3的本质是利用辅助圆求线段CP的最小值问题【思考】当我们画出点P的运动轨迹时，他与过点C的直线会存在哪种位置关系呢？满分技法辅助圆在最值问题中的应用：具体讲解内容详见P99微专题变式
5、探究如图，在正方形ABCD中，AB4，点E、F分别是DC、AD边上的动点，且AEBF，垂足为P，M为AD边上一点，连接CM，当AM1时，CM与P点运动轨迹的交点个数是()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3例3题图安徽近年真题精选4. 如图，RtABC中，ABBC，AB6，BC4，P是ABC内部的一个动点，且满足PABPBC.则线段CP长的最小值为()A. B. 2C. D. 第4题图参考答案类型一“垂线段最短”类问题典例精讲例13【解析】如解图，连接CP，点P关于AC，BC的对称点分别为点M，N，MCCP，CPCN，ACMP，NPBC，MCAACP，NCBBCP，ACPBCPACB90，M
6、CAACPNCBBCP180，点M，C，N在一条直线上，在RtABC中，BAC30，AB6，BC3，AC3，CMCPCN，MN2CP，当CPAB时，CP有最小值，即MN有最小值CAB30，CPAC，MN的最小值为3.例1题解图变式探究 2【解析】如解图，过点C作CDAB于点D，分别过点M、N作AB的垂线交AB的延长线于点G、H，ABC是边长为6的等边三角形，CD3.假设点P在点D左侧，CP2，PD1，AP2，PE，PM2，MG，PG3，BP4，PF2，PN4，NH2，PH6，GHGPPH9，NHMG，MN2. 由等边三角形的对称性可得，当点P在点D右侧时，MN2，MN的长为2.例1题解图【思考
7、】当点P与点D重合时，MN取得最小值，此时，易得MN9，等边三角形边长为6，高为3，当点P与A、B重合时，MN取得最大值，此时MN6，9MN6，当MN10时，在AB上有两个P点，且关于点D对称由得，当点P与A1B重合时，MN取得最大值6，在边AC和AB上各有一点P可使MN10，当点P在三边上运动时，有4个满足条件的点P.类型二“两点之间，线段最短”类问题典例精讲例2C【解析】如解图，作点E关于AB的对称点E，连接PE，则PEPE，PEF的周长为PEEFPFPEEFPF，EF为定值，只需求PEPF的最小值，连接EF交AB于点P，当点P与点P重合，即当P、E、F三点共线时，PEPF的值最小菱形AB
8、CD的边长为2，ABC60，EFBEDF2，EE2, 过点E作EGBD于点G，EG，EG1，FG3，FE2，PEF周长FEEF22.例2题解图【思考】当PEF的周长大于最小值且小于当P点与A、B点重合时的值时在AB上有关于点P对称的两个点变式探究C【解析】要满足PEF的周长为，即满足PEPF，如解图，假设点P在线段AB上，作点E关于AB的对称点E，连接EE交AB于点P，此时PEPF的值最小易知PEPF的最小值为2，当点P由A运动到B时，PEPF的值由最大值4减小到2再增加到6，PEPF2，24，线段AB上存在两个点P，满足PEF的周长为，根据菱形的对称性可知：菱形ABCD的边上的存在8个点P满
9、足条件例2题解图安徽近年真题精选1. D【解析】如解图，设PAB底边AB上的高为h，SPABS矩形ABCD，ABhABAD，h2，即h为定值，在AD上截取AE2，作EFAB，交CB于点F，故P点在直线EF上运动 ，作点A关于直线EF的对称点A，连接AB，交直线EF于点P，此时PAPB最小，即为AB的长，由对称得AA2AE4，AB，即PAPB的最小值为.第1题解图2. D【解析】如解图，点E，F将对角线AC三等分，且AC12，AEEFFC4，当P点在AD上时，作E点关于AD的对称点E，连接EF、AE，EE，则AEAE4，当P点运动至EF和AD交点时，PEPF具有最小值，EADEAD45，EAF9
10、0，此时EF49，当P点和A点重合时，PEPFAEAF12，当P点和D点重合时，过点E作EGAD，垂足为G，ADCD，DAEDCF，AECF，AEDCFD(SAS)，DEDF，PEPF2PE224.4912，494，故在AD上有两个位置存在PEPF9，同理在其余三边上各有两种情况，故正方形四条边上共存在8个位置使得PEPF9，满足条件的P点有8个第2题解图3. D【解析】不妨假设点P在线段AD上，作点E关于AD的对称点E，连接FE交AD于点P，此时PEPF的值最小易知PEPF的最小值2，当点P由A运动到D时，PEPF的值由最大值6减小到2再增加到4，PEPF，24，线段AD上存在两个点P，满足
11、PEPF，同理根据对称性可知，菱形ABCD的其余三边上各存在两个点P，故菱形中满足条件的P点有8个第3题解图类型三“点圆最值，线圆最值”类问题典例精讲例3C【解析】AEBF交于点P，且APB90，则点P的轨迹为以AB为直径的O，如解图，连接CO交半圆于点P，此时CP的值最小，BCAB1，AOBO，CO，CP的最小值COOP，故选C.例3题解图【思考】过点C的直线与P点的运动轨迹圆存在相交、相离和相切三种位置关系变式探究B【解析】如解图，点P的轨迹为以AB为直径的O，过点O作OGCM交CM于点G，连接OM，OC，AM1，OA2，OM，DM3，OC2，CM5，OC2OM2CM2，OMOC，OMOCCMOG，OG2，OG等于圆的半径，即CM与O相切，CM与P点轨迹只有一个交点例3题解图安徽近年真题精选4. B【解析】如解图，PABPBC，ABC90，ABPPBC90，BAPPBA90，APB90，点P始终在以AB的中点O为圆心，以OAOBOPAB3为半径的圆上，连接OP，PC，连接OC交O于点P，由解图知，只有当在点P在OC与O的交点处时， PC的长最小即为CP的长，在RtOBC中，OC5，PCOCOP532，线段CP长的最小值为2.第4题解图
