1、2024成都中考数学二轮复习微专题 利用两点之间线段最短解决最值问题 模型一“一线两点”型(一个动点两个定点)类型一线段和最小值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PAPB的值最小解题思路：根据两点之间线段最短，PAPB的最小值即为线段AB的长连接AB交直线l于点P，点P即为所求模型演变问题： 两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PAPB的值最小解题思路：将两定点同侧转化为异侧问题，同“模型分析”即可解决作点B关于l的对称点B，连接AB，与直线l交于点P.注：也可以作点A关于直线l的对称点A，连接AB，与直线l交于点P.模型应用1. 如图，四边形A
2、BCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC6，BD6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PDPE的最小值为_第1题图2. 如图，在矩形ABCD中，AB5，AD3，点P是矩形内一动点，满足SPABS矩形ABCD，则PAPB的最小值为_第2题图模型迁移3. 如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数y的图象相交于A(3，5)、B(a，3)两点，与x轴交于点C. 第3题图(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P为y轴上的动点，当PBPC取最小值时，求BPC的面积4. 如图，已知抛物线yx22x3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点P是该抛物线对称轴l上的一个
3、动点，求PBC周长的最小值第4题图类型二线段差最大值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PAPB|的值最大解题思路：根据两边之差小于第三边，|PAPB|最大值即AB的长，连接AB并延长，与直线l交于点P，点P即为所求模型演变问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PAPB|的值最大解题思路：将两定点异侧转化为同侧问题，同“模型分析”即可解决作点B关于l的对称点B，连接AB并延长与直线l交于点P.模型应用5. 如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，EF是BC的垂直平分线，点P是EF上的动点，则|PAPB|的最大值为_第5题图6. 如图，
4、在等边ABC中，AB4，AD是中线，点E是AD的中点，点P是AC上一动点，则BPEP的最大值为_第6题图7. 如图，在正方形ABCD中，AB8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM6，P为对角线BD上一动点，则PMPN的最大值为_第7题图模型迁移8. 已知抛物线yx22x8与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴上的一个动点，当|PBPC|有最大值时，求点P的坐标模型二“一点两线”型(两个动点一个定点)类型一两条线段的和最小值问题模型分析问题：点P是AOB的边OB上一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PMMN的值最小解题思路：要
5、使PMMN的值最小，设法将PM、MN转化到同一条直线上，利用垂线段最短即可解决作点P关于OA的对称点P，过点P作OB的垂线，分别与OA，OB交于点M、N.模型应用9. 如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，AD是BAC的平分线若P，Q分别是AD，AC上的动点，则PCPQ的最小值为_第9题图10. 如图，在菱形ABCD中，AB6，A120，点M，N分别为BD，CD上的动点，则CMMN的最小值为_第10题图类型二周长最小值问题模型分析问题：点P是AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PMN的周长最小解题思路：要使PMN的周长最小，即PMMNPN的值最小，根据两点之
6、间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可解决分别作点P关于OA、OB的对称点P、P，连接PP交OA、OB于点M、N.模型应用11. 如图，在ABC中，ABAC，BAC90，点D为AB上一定点，点E，F分别为边AC，BC上的动点，当DEF的周长最小时，则FDE_第11题图12. 如图，在RtABC中，C90，B60，点D在BC上，且AD4，点E，F分别为边AC，AB上的动点，则DEF周长的最小值为_第12题图模型三“一定长两定点”型类型一异侧线段和最小值问题(“造桥”问题)模型分析问题：已知l1l2，l1，l2之间距离为d，在l1，l2上分别找M，N两点，使得MNl1，且AMMNNB的值最小解
7、题思路：要求AMMNNB的最小值，MN为定值，即要求AMNB的最小值，通过平移构造平行四边形，将AM、NB转化到同一条直线上将点A向下平移d个单位到点A，连接AB交直线l2于点N，过点N作MNl1于点M.模型应用13. 如图，已知直线ab，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ2.在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足ABb，且PAABBQ最小，则PABQ_第13题图类型二同侧线段和最小值问题(平移型问题)模型应用14. 如图，菱形ABCD的边长为3，BAD60，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF1，则DEBF的最小值为_第14题图1
8、5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB4，BC12，ABC60，点E、F是AD边上的动点，且EF2，则四边形BEFC周长的最小值为_第15题图模型迁移16. 如图，已知点A(3，1)，B(1，0)，PQ是直线yx上的一条动线段，且PQ(点Q在点P的下方)，当APPQQB取得最小值时，求点Q的坐标第16题图参考答案1. 3【解析】如解图，连接DE，则PDPEDE，设DE交AC于点M，当点P与点M重合时PDPE取得最小值，且最小值为DE.在菱形ABCD中，AC6，BD6，AO3，OD3，ACBD，AD6，ADBDAB，BAD60，点E为AB的中点，DEAB，DEADsin603.第1题解图2
9、. 【解析】如解图，设PAB底边AB上的高为h，SPABS矩形ABCD，ABhABAD，h2，即h为定值，在AD上截取AE2，作EFAB，交CB于点F，故点P在直线EF上运动 ，作点A关于直线EF的对称点A，连接AB，交直线EF于点P，此时PAPB最小，即为AB的长由对称得AA2AE4，AB，即PAPB的最小值为.第2题解图3. 解：(1)把点A(3，5)代入y可得m3515，反比例函数的表达式为y，把点B(a，3)代入y，可得a5，B(5，3)把点A(3，5)，B(5，3)代入ykxb，可得，解得，一次函数的表达式为yx2；(2)一次函数的表达式为yx2，令y0，则x2，C(2，0)，如解图
10、，作点C关于y轴的对称点C，则C(2，0)，即CC4，连接BC交y轴于点P，此时PCPB有最小值，最小值为BC，设直线BC的表达式为ykxb，解得，则BC的表达式为yx，P(0，)，即OP，此时SBPCSBCCSPCC434.第3题解图4. 解：当y0时，x22x30，解得x13，x21，点A坐标为(3，0)，点B坐标为(1，0)当x0时，y3，点C坐标为(0，3)PBC的周长为PBPCBC，BC为定值，当PBPC最小时，PBC的周长最小点A，点B关于抛物线的对称轴l对称，连接AC，交l于点P，点P即为所求的点APBP，PBPCBCACBC.A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AC3，B
11、C，PBC周长的最小值为3.5. 3【解析】如解图，延长BA交EF于P，当点P位于P处时|PAPB|的值最大，|PAPB|的最大值为AB3.第5题解图6. 【解析】如解图，连接BE并延长交AC于点P，此时BPEP取得最大值为BE，在等边ABC中，AD是中线，BDDC2，ADBDtan6022，E为AD的中点，DEAD.在RtBDE中，BE，BPEP的最大值为.第6题解图7. 2【解析】如解图，以BD为对称轴作点N的对称点N，连接MN并延长交BD于点P，连接NP，根据轴对称性质可知PNPN，PMPNPMPNMN，当P，M，N三点共线时，PMPN取得最大值，最大值为MN的长，正方形的边长为8，AC
12、AB8，O为AC中点，AOOC4，N为OA中点，ON2，ONCN2，AN6，BM6，CMABBM862，MCNBCA，CMNCBA，CMNCBA90，NCM45，NCM为等腰直角三角形，MNCM2，即PMPN的最大值为2.第7题解图8. 解：如解图，连接PA，则PAPB，当x0时，yx22x88，则C(0，8)，当y0时，x22x80，解得x12，x24，则A(2，0)，B(4，0)，抛物线的对称轴为直线x1，|PBPC|PAPC|AC(当点A、C、P共线时取等号)，延长AC交直线x1于点P，设直线AC的解析式为ymxn(m0)，把A(2，0)，C(0，8)代入得，解得，直线AC的解析式为y4
13、x8，当x1时，y4812，即P(1，12)，当|PBPC|有最大值时，点P的坐标为(1，12)第8题解图9. 【解析】如解图，过点C作CMAB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQAC于点Q，AD是BAC的平分线PQPM，PCPQPCPMCM，根据垂线段最短可知，此时PCPQ有最小值，即为CM，AC6，BC8，ACB90，AB10，SABCABCMACBC，CM.第9题解图10. 3【解析】如解图，过点A作CD的垂线，垂足为N，与DB的交点记为M，四边形ABCD为菱形，点A与点C关于对角线BD对称，AMCM，CMMNAMMNAN，根据垂线段最短可知，此时CMMN有最小值，最小值为AN.AB
14、6，A120，ADC60，AD6，ANADsin603，CMMN的最小值为3.第10题解图11. 90【解析】如解图，作D关于AC的对称点D，关于BC的对称点D，连接DD交AC于点E，交BC于点F，此时，DEF的周长最小，最小为DD，ABAC，BAC90，B45，DDAC，DDBC，BDD45，DDD135，DD45，EDED，DFDF，DDDE，DDDF，DDFDDE45，FDE90.第11题解图12. 4【解析】如解图，作点D关于直线AC的对称点D，点D关于直线AB的对称点D，连接DD交AC于点E，交AB于点F，此时DEF的周长最小，最小值为DD的长，连接AD、AD，在RtABC中，C90
15、，B60，BAC30，DABDAB，DACDAC，DAD2BAC60，ADAD，ADAD，ADAD，ADD是等边三角形，DDADAD4，DEF的周长的最小值为4.第12题解图13. 10【解析】如解图，过点P作PFb交a于点E，交b于点F，在PF上截取PC4，连接QC交b于点B，过点B作BAa于点A，此时PAABBQ最短过点Q作QDPF于点D.在RtPQD中，D90，PQ2，PD10，DQ8，CDPDPC6，ABPC4，ABPC，四边形ABCP是平行四边形，PABC，PABQCBBQQC10.第13题解图14. 【解析】如解图，作DMAC，使得DMEF1，连接BM交AC于点F，连接BD，DMA
16、C，BDM90，DMEF，DMEF，四边形DEFM是平行四边形，DEFM，DEBFFMFBBM，根据两点之间线段最短可知，此时DEFB最短，四边形ABCD是菱形，AB3，BAD60，ABD是等边三角形，BDAB3，在RtBDM中，BM，DEBF的最小值为.第14题解图15. 142【解析】如解图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B，作点B关于AD的对称点B，连接CB，交AD于点F，在AD上截取EF2，连接BF，四边形EBBF为平行四边形，则BEBF，BFBF，此时四边形BEFC的周长为BEEFFCBCBFEFFCBCBCEFBC，当点C、F、B三点共线时，四边形BEFC的周长最小AB4，
17、BB2，ABC60，BB经过点A.AB2.BB4.BC12，BC10.BC2.BCEFBC142.四边形BEFC周长的最小值为142.第15题解图16. 解：如解图，过点A作直线MN直线yx，将点A(3，1)沿MN向下平移个单位后得到A(2，0)，作点B(1，0)关于直线yx的对称点B(0，1)，连接AB交直线yx于点Q.AAPQ，AAPQ，四边形APQA是平行四边形，APAQ.APPQQBAQPQBQ，且PQ，当AQBQ值最小时，APPQQB值最小，根据两点之间线段最短，即A，Q，B三点共线时AQBQ值最小B(0，1)，A(2，0)，直线AB的解析式yx1，联立，解得，点Q的坐标为(，)第16题解图
