1、2024贵州中考数学二轮复习专题 题型九 几何综合题专项训练 类型一手拉手全等模型探究(黔西南州2022.25，黔东南州2023.25)典例精讲例1(2023黔西南州25题14分)如图，D为等边ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F.(1)求证：BDCE；例1题图条件分析：共顶点：点A等线段：ADAE，ABAC等角：BACDAE60联想到手拉手全等模型模型抽离：(2)如图，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：BFCAFBAFE.小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由例1题图条件分析：共顶点：点A等线
2、段：ADAE等角：ADBAEC联想到构造手拉手全等模型【解题思路】在BD上取一点M，使得MDEF，则AMDAFE，得到AMF为等边三角形即可求解拓展设问如图，连接AF，若DAF30，AD4，且BD2DF，求CD的长例1题图【解题思路】通过证明DAFEAF，并利用边角关系，得到DF、EF、CF的线段数量关系，以此证得CDE为直角三角形，通过角度转换得到DEC30即可求解针对演练1. (2023黔东南州25题14分)如图，ABC和DCE都是等边三角形第1题图探究发现(1)BCD与ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由；拓展运用(2)若B、C、E三点不在一条直线上，ADC30，AD3
3、，CD2，求BD的长；(3)若B、C、E三点在一条直线上(如图)，且ABC和DCE的边长分别为1和2，求ACD的面积及AD的长第1题图类型二对角互补全等模型探究(黔东南州2023.25)典例精讲例2(2023黔东南州25题12分)在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD.【探究发现】(1)如图，若BAD120，ABCADC90，求证：ADABAC；例2题图【解题思路】由题意可得CADCAB60，进而可求得AD、AB分别与AC的数量关系，即可得证；(2) 如图，若BAD120，ABCADC180.猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；例2题图条件分析：AC平分DAB，即DACBAC
4、60；ABCADC180联想到120对角互补模型【解题思路】方法一：过点C分别作AB，AD的垂线于点M、N，由CBMCDN，故BMDN，再利用等量代换及直角三角形的性质求解；方法二：在AD的延长线上取一点E，使AEAC，由ABCEDC即可求解若AC10，求四边形ABCD的面积【解题思路】方法一：由CBMCDN，将四边形ABCD的面积转化为四边形AMCN的面积，利用等量代换及锐角三角函数即可求解；方法二：由ABCEDC，将四边形ABCD的面积转化为ACE的面积即可求解针对演练2. 在RtABC中，ACB90，ACBC，D为边AB中点，点E、F分别在射线CA、BC上，且DEDF，连接EF.(1)猜
5、想：如图，当点E、F分别在边CA和BC上时，线段DE与EF的大小关系；(2)如图，当点E、F分别在边CA、BC的延长线上判断线段DE与EF的大小关系，并加以证明；若DE4，利用探究得到的结论，求DEF的面积第2题图类型三三垂直模型探究典例精讲例3 如图，在等腰直角ABC中，ABBC，点E为BC上一点，连接AE，过点E作EMAE，且AEEM，连接MC.(1) 求证：ACM90；例3题图条件分析：垂直：ABBC，EMAE线段关系：AEEM联想到三垂直全等模型【解题思路】过点M作MHBC交BC的延长线于点H，证明MHEEBA，通过线段数量关系求得MCH45即可；(2)如图，若AC2CM，AB4，求E
6、M的长例3题图条件分析：垂直：ACCM，ABBC线段关系：AC2CM联想到三垂直相似【解题思路】过点M作MHBC交BC的延长线于点H，利用ABCMHC，求得MH的长，通过证明ABEEHM可得EH的长，再利用勾股定理求解即可针对演练3. 如图，在等腰RtABC中，ACB90，ACBC，BECE于点E，ADCE于点D.(1)求证：BCECAD；(2)猜想：线段AD，DE，BE之间有怎样的数量关系，并说明理由；(3)如图，若AD3，BE7，求DE的长第3题图类型四半角模型探究典例精讲例4 【问题解决】(1)如图，ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC，DAE的两边交线段BC于D、E两点，且DA
7、EBAC.求证：BD2CE2DE2；例4题图条件分析：BAC90，DAEABC45；ABAC联想到45旋转半角模型【解题思路】要证BD2CE2DE2，可将ABD旋转至ACD，连接DE，证得CD2CE2DE2，再利用全等证得DEDE即可；【类比探究】(2)如图，若BAC120，其余条件不变，且SABD2，SACE4，求ABC的面积例4题图条件分析：BAC120，DAEABC60；ABAC联想到60旋转半角模型【解题思路】旋转ABD至ACD，连接DE，可求得DCE，根据ACD和ACE的面积关系求出CD和CE的数量关系，再根据DE和CE的关系可求得ABC的面积针对演练4.)已知，AMN的顶点M、N分
8、别在正方形ABCD的边BC、CD所在的直线上，且满足MAN45.【问题解决】(1)如图，当点M、N分别在线段CB、DC上时，线段MN、BM和DN之间的数量关系为_；(2)如图，当点M、N分别在边CB、DC的延长线上时，请探究线段MN、MB和DN之间存在怎样的数量关系，并说明理由；【类比探究】(2) 如图，在(2)的条件下，作射线DB分别交直线AM、AN于P、Q两点，若MN10，CM8，求AP的长第4题图类型五动点探究问题(黔西南州2018.26，黔东南州2018.26)典例精讲例5(2018三州联考26题16分)如图，已知矩形AOCB，AB6 cm，BC16 cm，动点P从点A出发，以3 cm
9、/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以 2 cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动(1)点P到达终点O的运动时间是_s，此时点Q的运动距离是_cm；(2)当运动时间为2 s时，P、Q两点的距离为_cm；(3)请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10 cm；【解题思路】设出运动时间，表示出线段长，通过勾股定理列等量关系式求解即可；例5题图(4)如图，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1 cm长为单位长度建立平面直角坐标系，连接AC，与PQ相交于点D，若双曲线y过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值【解题思
10、路】通过证明APDCQD及速度比，即可得到，再证明ADGACO，由线段比求得OG与GD的长，即可得到点D的坐标，进而求得k的值例5题图针对演练5.)如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(8，0)、(0，6)，四边形OABC是以OA、OC为边的矩形，点P从点C出发，沿折线COOA以每秒1个单位的速度运动，过点P作PQCP，交AB于点Q，交AC于点E，设点P的运动时间为t秒(0t14)(1)点P到点B距离的最大值是_；(2)当点P在CO上时，若SCPE，求SEQA；(3)如图，当点P在OA上，且OCP45时，求tanPCE的值第5题图6. (2023铜仁25题14分)如图，在ABC中，A
11、CB90，BC6 cm，AC12 cm.点P是CA边上的一动点，点P从点C出发以每秒2 cm的速度沿CA方向匀速运动，以CP为边作等边CPQ(点B、点Q在AC同侧)，设点P运动的时间为x秒，ABC与CPQ重叠部分的面积为S.(1)当点Q落在ABC内部时，求此时ABC与CPQ重叠部分的面积S(用含x的代数式表示，不要求写x的取值范围)；(2)当点Q落在AB上时，求此时ABC与CPQ重叠部分的面积S的值；(3)当点Q落在ABC外部时，求此时ABC与CPQ重叠部分的面积S(用含x的代数式表示)第6题图参考答案类型一手拉手全等模型探究典例精讲例1(1)证明：ABC为等边三角形，ABAC，BAC60，B
12、ADDAG60.AE是AD绕点A逆时针旋转60得到的，ADAE，DAE60，CAEDAG60，BADCAE.在BAD和CAE中，BADCAE(SAS)，BDCE；(7分)(2)解：正确证明：如解图，在BD上取一点M，使得DMEF，连接AM，由(1)知BADCAE，ADMAEC，在AMD和AFE中，AMDAFE(SAS)，MADFAE，AMFAFE，DAFFAE60，DAFMAD60，MAF是等边三角形，AFBAFE60，BFC60，BFCAFBAFE.(14分)例1题解图【拓展设问】解：如解图，连接CD、DE，DAF30，DAE60，DAFEAF30，由(2)知DFAEFA60，在DAF和EA
13、F中，DAFEAF(ASA)，DFEF，DAF30，AFD60，AEFADF90，AEAD，DAE60，ADE是等边三角形，AED60，CED30，BD2DF，由(1)知BDCE，CE2DF，DFEFCF，FEDFDE，FDCFCD，EDCEDFFDC90，CED30，DEAD4，CDDEtanDEC.例1题解图针对演练1. 解：(1)全等；证明：ABC和DCE都是等边三角形，BCADCE60，BCAC，CDCE，BCAACDDCEACD，即BCDACE，在BCD和ACE中，BCDACE；(4分)(2)ADC30，CDE60，ADE90，AD3，CDDE2，AE，由(1)可知BCDACE，BD
14、AE，BD；(8分)(3)如解图，过点A作AFCD于点F，BCADCE60，B、C、E在同一条直线上，ACD60，在RtACF中，sinACF，AFACsinACF1，SACDCDAF2.(11分)CFACcosACF1，FDCDCF2，在RtAFD中，AD2AF2FD2()2()23，AD.(14分)第1题解图类型二对角互补全等模型探究典例精讲例2(1)证明：BAD120，AC平分BAD，CABCAD60，BD90，ABADAC，ABADAC；(3分)(2)解：ABADAC.理由如下：如解图，过点C作AB的垂线交AB于点M，过点C作AD的垂线交AD的延长线于点N，AC平分DAB，CNAN，C
15、MAB，CADCAB，CNCM，CBMADC180，CDNADC180，CDNCBM，在CDN和CBM中，CDNCBM(AAS)，DNBM.ABADAMADDNAMAN，由(1)知AMAN，ABAD2AN，NAC60，N90，ACN30，AC2ANABAD，ABADAC；(8分)例2题解图【一题多解】解：ABADAC.理由如下：如解图，延长AD到点E，使得AEAC，连接CE，例2题解图CAE60，ACE为等边三角形，AEC60，ACEC，ABCADC180，ADCCDE180，ABCEDC，BACAEC60，ABCEDC(AAS)，ABED，ABADDEADAE，AEAC，ABADAC；(8分
16、)解：如解图，由(2)知CDNCBM，易证CANCAM，S四边形ABCDSADCSABCSANCSAMC2SANC，AC10，N90，ACN30，ANACsin305，CNACcos305，S四边形ABCD2SANC2ANCN25525.(12分)【一题多解】解：如解图，过点E作EFAC于点F，ABCEDC，SABCSDEC，S四边形ABCDSABCSACDSDECSACDSACE，CAD60，ACAE10，EFAEsin605，S四边形ABCDSACEACEF25.(12分)针对演练2. 解：(1)猜想：EFDE；如解图，连接CD，第2题解图ACB90，ACBC，点D为AB的中点，BCDCA
17、D45，CDAD，EDFD，FDCEDC90，ADEEDC90，FDCADE，在AED和CFD中，AEDCFD(ASA)，DEDF，EDF90，EFDE；(2)EFDE，证明如下：如解图，连接CD，第2题解图ACB90，ACBC，CAD45，D为AB中点，ADCD，CDAB，EDFD，EDAADF90，FDCADF90，EDAFDC，CADEADBCDFCD180，EADFCD135，在ADE和CDF中，ADECDF(ASA)，DEDF，EDF90，EFDE；EDF90，DEDF4，SDEFDE2428.类型三三垂直模型探究典例精讲例3(1)证明：如解图，过点M作MHBC交BC的延长线于点H，
18、AEM90，ABC90，HEMAEB90，BAEAEB90，HEMBAE，在ABE和EHM中，ABEEHM(AAS)，BEMH，ABEH，BCAB，BCEH，BECH，CHMH，CMH是等腰直角三角形，HCM45，ABC是等腰直角三角形，ACB45，ACM180HCMACB90；例3题解图(2)解：如解图，过M作MHBC交BC的延长线于点H，由(1)得CMH是等腰直角三角形，ABCMHC，2，AB4，MH2.AEEM，AEBMEH90，AEBBAE90，BAEMEH，由(1)得ABEEHM(AAS)，ABEH4，由勾股定理得EM2.例3题解图针对演练3. (1)证明：BECE于点E，ADCE于
19、点D，ACB90，EADC90，BCE90ACD，CAD90ACD，BCECAD，在BCE与CAD中，BCECAD(AAS)；(2)解：ADDEBE.理由：ACB90，ACDBCE90，ADDE，ACDCAD90，CADBCE，又ACBC，ADCE90，ACDCBE，ADCE，CDBE，ADCEDECDDEBE，即ADDEBE；(3)解：ACB90，ACDBCE90，ADDE，ACDCAD90，CADBCE，又ACBC，DBEC90，ACDCBE，ADCE，CDBE，DECDCEBEAD.AD3，BE7，DE734.类型四半角模型探究典例精讲例4(1)证明：如解图，将ABD绕点A旋转至ACD，
20、连接DE，则ABDACD，BDCD，ADAD，BADCAD，BACDACB45，DCE90.DAEBAC，例4题解图DAECADCAEBADCAEBACBACBACDAE，AEAE，ADEADE，DEDE，在RtCDE中，由勾股定理得CD2CE2DE2，即BD2CE2DE2；(2)解：如解图，将ABD绕点A旋转至ACD，连接DE，过点A作AHCD交CD的延长线于点H，作APBC于点P，则ABDACD，例4题解图CDBD，ADAD，BADCAD，BACD.BAC120，ACDBACB30，DCE60，AHAP.DAEBAC，DAECADCAEBADCAEBACBACBACDAE.AEAE，ADE
21、ADE，DEDE.SACDCDAHSABD2，SACECEAP4，即.DCE60，cosDCEcos60，CDE90，DEDECE，SADESACE2，SABCSABDSADESACE22462.针对演练4. 解：(1)MNDNBM；【解法提示】如解图，在CB的延长线上取一点E，使得BEDN，连接AE.在AEB和AND中，AEBAND.AEAN，EABNAD.MAN45，BAMDAN45.BAMEABEAM45.EAMNAM.在AEM和ANM中，AEMANM.EMMN.EMEBBMDNBM，MNDNBM.第4题解图(2)DNMNBM；理由如下：如解图，在DN上取一点G，使得DGMB，连接AG、
22、MG，可得ABMADG，AMAG，MABGAD.BADBAGGAD90，BAGMAB 90，AMG为等腰直角三角形又MAN45，AN为MG的垂直平分线，MNNG，DNNGDGMNBM；图 图第4题解图(3)如解图，连接AC，在RtMNC中，MN2CM2NC2，即10282NC2，解得NC6.由(2)结论可得：MNBMDN，而BMCMBC，DNDCCN，DCBC，MNCMBCBCCN，即108BCBC6，解得BC6，AC6，DN6612.BAPBAQ45，NACBAQ45，BAPNAC.又ABPACN135，ABPACN， .在RtAND中，AN2AD2DN236144180，AN6，AP63.
23、类型五动点探究问题典例精讲例5解：(1)，；(3分)【解法提示】四边形AOCB是矩形，AOBC16 cm，点P向点O运动，速度为3 cm/s，点P运动到点O的时间为 s点Q运动的速度为2 cm/s，点Q的运动距离为2 cm.(2) 6；(5分)【解法提示】当t2 s时，AP236 cm，OP16610 cm，CQ224 cm.如解图，过点Q作QMAO于点M，则PM1046 cm.QMAB6 cm，PQ6 cm.例5题解图(3)设运动x秒时，点P和点Q之间的距离是10 cm，如解图，过点Q作QHAO，垂足为H，则AP3x，CQOH2x，OP163x，PH|(163x)2x|165x|.(6分)在
24、RtPHQ中，PH2QH2PQ2，|165x|262102，(8分)解得x1，x2，运动时间为 s或 s时，点P和点Q之间的距离是10 cm；(10分)例5题解图(4)k的值不会变化；(11分)理由如下：点P、点Q运动时间相同，速度比是32，.AOBC，PADQCD，APDCQD，APDCQD，如解图，过点D作DGy轴，垂足为点G，AGDAOC90，且GADOAC，ADGACO，.即，GD，AG，OGAOAG16，点D坐标为(，)，(15分)点D在双曲线y上，k.(16分)例5题解图针对演练5. 解：(1)10；【解法提示】点C的坐标为(0，6)，点A的坐标为(8，0)，OC6，BC8，当PC
25、6，BC8时，PB取得最大值，即PB10；(2)A(8，0)，C(0，6)，直线AC的解析式为yx6，设CPm，则点P的坐标为(0，6m)，E(m，6m)，SCPEmm，解得m(负值已舍)，PE6，AQOP，QE2，SEQA2；(3)OCP45，OP6，AP2，CPQ90，QPA45，AQAP2，P(6，0)，Q(8，2)，直线PQ的解析式为yx6，由(2)知直线AC的解析式为yx6，联立，解得，点E的坐标为(，)，P(6，0)，由两点之间距离公式得PE，CP6，tanPCE.6. 解：(1)如解图，过点Q作QMCP于点M，可知：CP2x(0x4)，CPQ为等边三角形，CMPMx，QMx，点Q
26、在ABC的内部，ABC与CPQ重叠部分的面积为CPQ的面积，SPCQM2xxx2(0x4)；第6题解图(2)如解图，当点Q 落在AB上时，QMCP，BCCP，QMBC，BC6，AC12，CMx，解得x4，SPCQM2xx4216；第6题解图(3)如解图，当点Q落在ABC外部时，作GDBC交BC于点D，交AB于点G，EFAC交AC于点F，交 AB 于点E，作GHCA交CA于点H，QM交AB于点N，由题可知，BC6，AC12，PC2x，CMMPx，AP122x，AM12x，由题意得AMNACB，即，解得MN，又AFEACB，设PFa，则EFa，即，解得EF(122x)，又AHGACB，设DGCHb，GHb，即，解得DG4，由题意得，S重叠部分SABCSAPESBCGACBCAPEF BCGD126(122x)(122x)6424(122x)22x224x48(4x6)第6题解图
