1、2024中考数学全国真题分类卷 第二十讲 与圆有关的位置关系 强化训练命题点1点、直线与圆的位置关系1. (2022嘉兴)已知平面内有O和点A，B，若O半径为2 cm，线段OA3 cm，OB2 cm，则直线AB与O的位置关系为()A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切2. (2022上海)如图，已知矩形ABCD中，AB4，AD3，B的半径为1，A与B内切，则点C、D与A的位置关系是()第2题图A. 点C在A外，点D在A内B. 点C在A外，点D在A外C. 点C在A上，点D在A内D. 点C在A内，点D在A外命题点2切线的性质类型一切线性质的计算3. (2023眉山)如图是不倒翁的主视
2、图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若OAB28，则APB的度数为()A. 28 B. 50 C. 56 D. 62第3题图4. (2023哈尔滨)如图，AD，BC是O的直径，点P在BC的延长线上，PA与O相切于点A，连接BD，若P40，则ADB的度数为()第4题图A. 65 B. 60 C. 50 D. 255. (2023重庆B卷)如图，AB是O的直径，C为O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若ACPC3，则PB的长为()第5题图A. B. C. 2 D. 36. (2023无锡)如图，AB是O的直径，弦AD平分BAC，过点D的
3、切线交AC于点E，EAD25，则下列结论错误的是()A. AEDEB. AEODC. DEODD. BOD50第6题图7. (2022贺州)如图，在RtABC中， C90，AB5, 点O在AB上，OB2，以OB为半径的O与AC相切于点D，交BC于点E，则CE的长为()第7题图A. B. C. D. 18. (2023黔东南州)如图，PA、PB分别与O相切于点A，B，连接PO并延长与O交于点C，D，若CD12，PA8，则sin ADB的值为()A. B. C. D. 第8题图9. (2023泰安)如图，在ABC中，B90，O过点A，C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若A32，则ADO_第9题
4、图10. (新趋势)数学文化 (2023株洲) 中国元代数学家朱世杰所著四元玉鉴记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”“方田一段，一角圆池占之”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”，如图所示问题：此图中，正方形一条对角线AB与O相交于点M、N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，O的半径为2丈，则BN的长度为_丈第10题图11. (2023盐城)如图，AB，AC是O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若BAD35，则C_.第11题图12. (2023嘉兴)如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于
5、点E，F.已知AOB120，OA6，则的度数为_；折痕CD的长为_第12题图类型二切线性质的相关证明与计算13. (2023安徽)已知AB为O的直径，C为O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD.(1)如图，若COAB，D30，OA1，求 AD的长；(2)如图，若 DC与O相切，E为 OA上一点，且 ACDACE，求证：CEAB.第13题图14. (2023黄冈)如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G.(1)求证：ABAC；(2)若DGBC16，求AB的长第14题图15. (2023陕西)如图，AB是O的直径，AM是O的切线，AC，CD是O
6、的弦，且CDAB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.(1)求证：CABAPB；(2)若O的半径r5，AC8，求线段PD的长第15题图16. (2023泸州)如图，点C在以AB为直径的O上，CD平分ACB交O于点D，交AB于点E，过点D作O的切线交CO的延长线于点F.(1)求证：FDAB；(2)若AC2，BC，求FD的长第16题图17. (新趋势)真实问题情境 (2023河南)为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目，滚铁环器材由铁环和推杆组成小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为BAD，点
7、O，A，B，C，D在同一平面内当推杆AB与铁环O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果(1)求证：BOCBAD90；(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cos BAD.已知铁环O的半径为25 cm，推杆AB的长为75 cm，求此时AD的长第17题图命题点3与切线的判定及性质有关的计算18. (2023北京)如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，ABCD，连接AC，OD.(1)求证：BOD2A；(2)连接DB，过点C作CEDB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F
8、.若F为AC的中点，求证：直线CE为O的切线第18题图19. (2023甘肃省卷)如图，ABC内接于O，AB，CD是O的直径，E是DB延长线上一点，且DECABC.(1)求证：CE是O的切线；(2)若DE4，AC2BC，求线段CE的长第19题图20. (2023郴州)如图，在ABC中，ABAC.以AB为直径的O与线段BC交于点D，过点D作DEAC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P.(1)求证：直线PE是O的切线；(2)若O的半径为6，P30，求CE的长第20题图21. (2023滨州)如图，已知AC为O的直径，直线PA与O相切于点A，直线PD经过O上的点B且CBDCAB，连接OP交
9、AB于点M.求证：(1)PD是O的切线；(2)AM2OMPM.第21题图22. (2023玉林)如图，AB是O的直径，C，D都是O上的点，AD平分CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F.(1)求证：EF是O的切线；(2)若AB10，AC6，求tan DAB的值第22题图23. (2023抚顺本溪辽阳)如图，在RtABC中，ACB90，ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的O恰好经过点D和点E.(1)求证：BC与O相切；(2)若sin BAC，CE6，求OF的长第23题图24. (新考法)圆与正方形结合考查几何
10、类比探究能力 (2023云南)如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的O，P是O的劣弧BC上的任意一点连接PA，PC，PD，延长BC至点E，使BD2BCBE.(1)请判断直线DE与O的位置关系，并证明你的结论；(2)若四边形ABCD是正方形，连接AC.当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得.当P既不与C重合也不与B重合时，是否成立？请证明你的结论第24题图25. (2023雅安)如图，在RtABC中，ACB90，AO是ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作O与直线AO交于点E和点D.(1)求证：AB是O的切线；(2)连接CE，求证：ACEADC；
11、(3)若，O的半径为6，求tan OAC.第25题图26. (2023德阳)如图，AB是O的直径，CD是O的弦，ABCD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且ECD2BAD.(1)求证：CF是O的切线；(2)如果AB10，CD6.求AE的长；求AEF的面积第26题图参考答案与解析1. D2. C3. C【解析】PA，PB与O分别相切于点A，B，PAPB，OAPA，OAB28，PABPBA62，APB180626256.4. A【解析】PA是O的切线，PAO90.P40，AOPBOD50.OBDODB65.5. D【解析】如解图，连接OC，BC.CP是O的切线，OCP
12、OCBPCB90.AB是O的直径，ACBACOOCB90，PCBACO.ACPC3，CPBCAO，PCBACO(ASA)，PBAO，BCCOOB，BOC60，OC3，AO3，PBAO3.第5题解图6. C【解析】ED是O的切线，ODED，AD平分BAC，BAE2BAD2EAD，DOB2DAB，DOBBAE，AEOD，AEDE，故选项A，B正确；如解图，过点D作DFAB于点F，AD平分BAC，AEDE，DEDF，DFOD，DEOD，故选项C错误；EAD25，BADEAD25，BOD50，故选项D正确第6题解图7. B【解析】如解图，连接OD，过点O作OFBE于点F，BFEF，AC是O的切线，OD
13、AC，ODCCOFC90，四边形ODCF是矩形，ODOBFC2，OFAC，设CEx，则BF EF2x，又OFAC，即，解得x，即CE.第7题解图8. A【解析】如解图，连接OA，PA、PB分别与O相切于点A、B，PAPB，PO平分APB，OAAP，APDBPD，在APD和BPD中，APDBPD(SAS)，ADPBDP，OAOD6，OADADPBDP，AOPADPOADADPBDPADB，在RtAOP中，OP10，sin ADBsin AOP.第8题解图9. 64【解析】如解图，连接OC，BC是O的切线，OCB90.B90，ABOC，ADODOC.A32，DOC2A64，ADO64.第9题解图1
14、0. 82【解析】如解图，过点O作ODAC于点D，由题意得，OAD45，OD2，AO2，BNABAOON102282.第10题解图11. 35【解析】如解图，连接OA，OB，AD是O的切线，ADOA，DAO90，BAD35，BAODAOBAD55，OAOB，OBABAO55，AOB18025570，CAOB7035.第11题解图12. 60，4【解析】如解图，设所在圆的圆心为O，连接OO与CD交于点M，连接OC，OE，OF，则OO平分AOB，AOB120，EOF60，AOOBOO60，的度数为60，EOOFOO30.沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F，OEOOFO90.OFOA6，O
15、O4，MOMO2，在RtOMC中，MC2，CD2MC4.第12题解图13. (1)解：OA1，OC1，又D30，OCOD，OD，ADODOA1；(2)证明：DC与O相切，DCO90，ACDACO90，OAOC，ACOCAO，又ACDACE，ACECAE90，CEA90，CEAB.14. (1)证明：AD是O的直径，EF为O的切线，EFAD.EFBC，ADBC，ABAC；(2)解：如解图，连接BO，第14题解图设O的半径为r，则OBr，OG16r，BGBC8.由勾股定理，得OB2OG2BG2，即r2(16r)282，解得r10.AD20，AG20164.由勾股定理，得AB4.15. (1)证明：
16、AM是O的切线，BAM90.CDAB，CEA90，AMCD.CDBAPB.，CABCDB，CABAPB；(2)解：如解图，连接AD.AB为O的直径，CDBADC90.CABC90，CDBCAB，ADCC.ADAC8.O的半径为5，AB10，BD6.ADBBAP90，ABDPBA，ADBPAB.PB.PDPBBD6.第15题解图16. (1)证明：如解图，连接OD，AB为O的直径，ACB90.CD平分ACB，ACDBCDACB45，AOD2ACD90.FD为O的切线，ODF90，AODODF180，FDAB；(2)解：如解图，过点C作CMAB，垂足为M，AB为O的直径，ACB90，在RtABC中
17、，AC2，BC，AB5，OCOAOB.SABCACBCABCM，CM2，在RtOCM中，OM.由(1)可知ABFD，COMF，ODFD，CMOB，OMCFDO90，COMOFD，FD.第16题解图17. (1)证明：如解图，过点B作EFCD，分别交AD于点E，交OC于点F.CD与O相切于点C，OCD90.ADCD，ADC90.EFCD，OFBAEB90.BOCOBF90，ABEBAD90.AB为O的切线，OBA90.OBFABE90，OBFBAD.BOCBAD90；第17题解图(2)解：如解图，在RtABE中，AB75，cos BAD，AEABcos BAD45.由(1)知，OBFBAD，co
18、s OBF.在RtOBF中，OB25，BFOBcos OBF15，OF20.OC25，CF5.OCDADCCFE90，四边形CDEF为矩形DECF5，ADAEED50 cm.18. 证明：(1)如解图，连接OC，CDAB，COBBOD.又COB2A，BOD2A；第18题解图(2)如解图，设AB与CD交于点G，连接OC，OAOC，AFFC，OFAC，ACGFDC90.又ACGA90，FDCA.ACDE，FDCCDE.OCOD，FDCOCDCDE.E90，DCECDE90，DCEOCD90，即OCE90.OC为O的半径，直线CE为O的切线19. (1)证明：AB是O的直径，ACB90，AABC90
19、.，AD.又DECABC，DDEC90，DCE90，CDCE.OC是O的半径，CE是O的切线；(2)解：由(1)知CDCE，在RtABC和RtDEC中，AD，AC2BC，tan Atan D，即，CD2CE.在RtCDE中，CD2CE2DE2，DE4，(2CE)2CE2(4)2，解得CE4(负值已舍去)，即线段CE的长为4.20. (1)证明：如解图，连接AD，OD，AB为O的直径，ADBC，又ABAC，D为BC的中点，OD为ABC的中位线，ODAC，DEAC，DEOD，OD为O的半径，直线PE是O的切线；第20题解图(2)解：P30，DEAC，BAC60，ABAC，ABC为等边三角形，C60
20、，BCAB12，CDBC6，在RtCED中，CECDcos 6063.21. 证明：(1)如解图，连接OB，第21题解图OAOB，12.13，23.又AC为O的直径，2OBC90，3OBC90，即OBBD.OB是O的半径，PD是O的切线；(2)如解图，由(1)知PD是O的切线，直线PA与O相切，PAPB.OAOB，PO垂直平分AB，AMPAMO90.4590.OAP90，1590，14.AMOAMP，OAMAPM，AM2OMPM.22. (1)证明：如解图，连接OD，AD平分CAB，EADDAB，OAOD，DABADO，EADADO，AEOD，AEEF，ODEF，OD是O的半径，EF是O的切线
21、；第22题解图(2)解：如解图，连接CB交OD于点H，连接BD，EADDAO，ODCB，CHBH，AB是O的直径，ACBADB90，AB10，AC6，CB8，OB5，HB4，在RtOBH中，OH3，DH2，DB2，在RtABD中，AD4，tan DAB.23. (1)证明：如解图，连接OE，四边形ODEF是平行四边形，OFDE，EFAB，FOAEDA，FOEOED，ODOE，EDAOED，FOAFOE，OAOE，FOAFOE，OFOF，FOAFOE，AFEO，EFAB，FEOEOB，AEOB，ACOE，OEBC90，OEBC，OE是O的半径，BC与O相切第23题解图(2)解：EFAB，CFEB
22、AC，sin BAC，sin CFE，在RtCFE中，sin CFE，EF10，由(1)可知AFOE，四边形AOEF是平行四边形，OAOE，四边形AOEF是菱形，AOAF10.如解图，过点F作FPAB，垂足为P，则FPAFsin BAC6，AP8，OPAOAP2，OF2.24. 解：(1)直线DE为O的切线，证明：BD2BCBE，.CBDDBE，BCDBDE，BCDBDE，BD为O的直径，BCD90，BDE90，BDDE，又BD为O的直径，直线DE为O的切线；(2)当P既不与C重合也不与B重合时，成立，证明：如解图，将DCP绕点D顺时针方向旋转90得到DAQ，则PDQ90.第24题解图四边形A
23、PCD为O的内接四边形，DCPDAP180.DAQDAP180，即Q、A、P三点共线，由旋转知DCPDAQ，DCPDAQ，DPDQ，PCQA.DPQ为等腰直角三角形.PQQAPAPCPA.25. (1)证明：如解图，过点O作OFAB于点F，AO是ABC的角平分线，OFAB，OCAC，OFOC，OF为O的半径，AB是O的切线；第25题解图(2)证明：OC是O的半径，OCAC，ACEECO90.ED是O的直径，DCE90，EDCDEC90.又DECECO，ACEEDC.又EACCAD，ACEADC；(3)解：，ACEADC，即AC2AEAD.设AEa，则AC2a，ADa12，(2a)2a(a12)
24、，解得a10(舍去)，a24，AC8，在RtOAC中，tan OAC.26. (1)证明：如解图，连接OC，则BOC2BAC，AB是O的直径，ABCD，BADBAC，BOC2BAD，ECD2BAD，BOCECD，OHC90，BOCOCH90，ECDOCH90，即OCE90，OC是O的半径，CF是O的切线；(2)解：AB10，OAOBOC5，AB是O的直径，ABCD，CD6，CHDHCD3，OHC90，OH4，OHCOCE90，HOCCOE，OHCOCE，解得OE，AEOAOE5；如解图，过点F作FMAE交AE的延长线于点M，设FMx，ABCD，CDFM，HCEEFM，在RtCHE中，CH3，HEOEOH4，tan HCE，tan EFM，解得EMx，在RtAHD中，DH3，AHOAOH9，tan DAH，解得AM3x，AMAEEM，3xx，解得x5，即FM5，SAEFAEFM5.第26题解图
