1、幂函数及图象变换幂函数及图象变换 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、幂函数概念要点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数. 要点诠释：要点诠释： 幂函数必须是形如()yxR 的函数，幂函数底数为单一的自变量 x，系数为 1，指数为常数. 例如： 2 42 3,1,2yxyxyx等都不是幂函数. 要点二、幂函数的图象及性质要点二、幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象：作出下列函数的图象： (1)xy ； (2) 2 1 xy ； (3) 2 xy ； (4) 1 xy； (5) 3 xy 要点诠释：要点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一
2、些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间), 0 上是增函数特别地，当1时，幂函 数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸； (3)0时，幂函数的图象在区间), 0( 上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图 象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 2.作幂函数图象的步骤如下作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象； (2)若幂函数的定义域为(0，+)或0，+)，作图已完成； 若在(-，0)或(-，0上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶
3、函数，则根据 y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定幂函数解析式的确定 (1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值 (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征 (3)如函数( ) a f xk x是幂函数，求( )f x的表达式，就应由定义知必有1k ，即( ) a f xx 4.幂函数值大小的比较幂函数值大小的比较 (1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与 0 和 1 进行比 较常称为“搭桥”法 (2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大
4、小 (3)常用的步骤是：构造幂函数；比较底的大小；由单调性确定函数值的大小 要点三、初等函数图象变换要点三、初等函数图象变换 基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数 函数、对数函数 （三角函数、反三角函数待讲） 由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数 如： 2 ( )f xx的图象变换， 22 (1) ,1,yxyx 22 2,|yxyx （1）平移变换 y=f(x)y=f(xa) 图象左（0a） 、右（0a）平移 y=f(x)y=f(x)b 图象上（b0） 、下（b0）平移 （2）对称变换 y=f(x) y=f(x), 图象
5、关于 y 轴对称 y=f(x) y=f(x) , 图象关于 x 轴对称 y=f(x) y=f(x) 图象关于原点对称 y=f(x) 1( ) yfx 图象关于直线 y=x 对称 （3）翻折变换： y=f(x) y=f(|x|),把 y 轴右边的图象保留，然后将 y 轴左边部分 关于 y 轴对称 （注意：它是一个偶函数） y=f(x) y=|f(x)| 把 x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象 关于 x 轴对称 要点诠释：要点诠释： （1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。 （2）若 f(ax)f(ax)，则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称。 【典型例题】【典型
6、例题】 类型一、求函数解析式类型一、求函数解析式 例 1.已知幂函数 2 23 ( ) kk f xx （kN*）的图象关于 y 轴对称，且在区间（0，+）上是减函数， 求函数 f（x）的解析式 【解析】幂函数 2 23 ( ) kk f xx （kN*）的图象关于 y 轴对称， 所以， 2 230kk，解得1k3， 因为 kN*，所以 k=1，2；且幂函数 2 23 ( ) kk f xx （kN*）在区间（0，+）为减函数， k=1， 函数的解析式为： 4 ( )f xx 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知幂函数( )yf x的图象过点 2 2, 2 ，则( )f x= 【解析】设(
7、)f xx，则由图象过点 2 2, 2 ，可得 2 2 2 ， 即 1 2 22 ，所以 1 2 ，即 1 2 ( )f xx 类型二、幂函数的图象类型二、幂函数的图象 例 2.给定一组函数的解析式： 3 4 yx； 2 3 yx； 3 2 yx ； 2 3 yx ； 3 2 yx； 1 3 yx ； 1 3 yx，如右图的一组函数图象请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内 【答案】 举一反三：举一反三： 【变式 1】幂函数yx在第一象限内的图象如图所示， 已知分别取-1， 1 ,1,2 2 四个值，则相应图象依次为： 【答案】 1432 ,C C C C 【变式 2】 已知幂函数 *
8、( ,) p q yxp qN的图象如图所示，则（ ） A., p q均为奇数，且0 p q B.q为偶数，p为奇数，且0 p q C. q为奇数，p为偶数，且0 p q D. q为奇数，p为偶数，且0 p q 【答案】D由函数图象关于y轴对称知，函数为偶函数，故p为偶数，q为奇数 由函数图象在第一象限为减函数知0 p q 类型三、幂函数的性质类型三、幂函数的性质 例 3.比较下列各组数的大小. (1) 5 2 3.14 与 5 2 (2) 3 5 (2) 与 3 5 (3) （3） 22 53 4.1 ,3.8 和 3 5 ( 1.9) 【解析】(1) 由于幂函数 5 2 yx (0 x)单
9、调递减且3.14， 55 22 3.14 . (2)由于 3 5 yx 这个幂函数是奇函数. 3 5 yx (x0)单调递减，且23， 3333 5555 ( 2)( 3)( 2)( 3) .即 33 55 (2)(3) . （3） 22223 55335 4.111,03.811,( 1.9)0 ， 322 535 ( 1.9)3.84.1 举一反三：举一反三： 【变式 1】比较 0.5 0.8， 0.5 0.9， 0.5 0.9的大小. 【解析】 0.5 yx在(0)，上单调递增，且0.80.9， 0.50.5 0.80.9. 作出函数 0.5 yx与 0.5 yx在第一象限内的图象，易知
10、 0.50.5 0.90.9. 故 0.50.50.5 0.80.90.9. 类型四、求参数的范围类型四、求参数的范围 例 4.已知幂函数 2 242 ( )(1) mm f xmx 在（0，+）上单调递增，函数( )2xg xk （1）求 m 的值； （2）当 x1，2时，记 f（x） ，g（x）的值域分别为集合 A，B，若 AB=A，求 k 的取值范围 【解析】 （1）依题意得： 2 (1)1m，解得 m=0 或 m=2 当 m=2 时， 2 ( )f xx在（0，+）上单调递减，与题设矛盾，舍去 m=0 （2）由（1）知 2 ( )f xx，当 x1，2时，f（x） ，g（x）单调递增，
11、 A=1，4，B=2k，4k， ABA， 21 44 k k 解得，0k1 故实数 k 的取值范围为0，1 【变式 1】若 22 132aa ，求实数 a 的取值范围. 解法 1： 22 132aa ， 考察 2 yx的图象，得以下四种可能情况: (1) 123 01 023 aa a a (2) 123 01 023 aa a a (3) ) 1(23 01 023 aa a a (4) 1)23( 01 023 aa a a 分别解得:(1) 2 1 3 a . (2)无解. (3)1a . (4)4a . a 的取值范围是 2 114 3 ，. 解法 2：画出 2 yx的图象，认真观察图
12、象，可得:越接近 y 轴，y 值越大，即|x|越小，y 值越大， 要使 22 132aa ， 即 10 320 |1| |32 | a a aa ， 解得: 2 114 3 ，. 类型五、幂函数的应用类型五、幂函数的应用 例 5.已知函数 2 23 ( )() mm f xxmZ 为偶函数，且 f（3）f（5） （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若( )log ( ) a g xf xax（a0 且 a1）在区间2，3上为增函数，求实数 a 的取值范围 【解析】 （1）f（x）为偶函数， 2 23mm为偶数， 又 f（3）f（5） ， 22 2323 35 mmmm ，即有： 2 23
13、3 ( )1 5 mm ， 2 230mm， 3 1 2 m ，又 mZ，m=0 或 m=1 当 m=0 时， 2 233mm为奇数（舍去） ， 当 m=1 时， 2 232mm为偶数，符合题意 m=1， 2 ( )f xx （2）由（1）知： 2 ( )log ( )log () aa g xf xaxxax（a0 且 a1）在2，3上为增函数 令 2 ( )u xxax，logayu； 当 a1 时，logayu为增函数，只需 2 ( )u xxax在区间2，3上为增函数 即： 2 122 (2)420 a a ua 当 0a1 时，logayu为减函数，只需 2 ( )u xxax在区间
14、2，3上为减函数 即： 3 2 (3)930 a a ua ， 综上可知：a 的取值范围为： （1，2） 类型六：基本初等函数图象变换类型六：基本初等函数图象变换 例 6作出下列函数的图象： (1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx. 【解析】(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3). 举一反三：举一反三： 【变式 1】作出 21 1 x y x 的图象 【解析】 2(1)33 2() 11 x y xx 先画出 3 y x 的图象，然后 3 y x 如下图： 【变式 2】作函数 2 |log (1)| 2yx
15、的图象 巩固练习巩固练习 1函数 1 2 yx 的定义域是( C ) A.0，+） B.(-，0) C.(0，+) D.R 2设 1 1 1 2, 1,1,2,3 2 3 2 ，则使( )f xx为奇函数且在0,上单调递减的的值 的个数是（ A ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3当(1,)x时，下列函数的图象全在直线yx下方的偶函数是（ B ） A. 1 2 yx B. 2 yx C. 2 yx D. 1 yx 4如果 2 43 ( )(1) mm f xmx 是幂函数，则( )f x在其定义域上是（ D ） A.增函数 B.减函数 C.在,0上是增函数，在0,上是减函数 D.在,
16、0上是减函数，在0,上也是减函数 5. 如图所示，幂函数 xy 在第一象限的图象，比较1 , 0 4321 的大小( ) A10 2431 B10 4321 C 1342 10 D 1423 10 5.【答案】D【解析】在0,上单调递减的幂函数，幂指数小于 0，故 23 0,0，故选 D 6. 三个数 1 3 3 ( ) 4 a ， 1 4 3 ( ) 4 b ， 1 4 3 ( ) 2 c 的大小顺序是( ) A.cab B.cba C.abc D.bac 6.【答案】B【解析】因为指数函数 3 ( ) 4 x y 是减函数，所以 11 34 33 ( )( ) 44 ，故ab 又幂函数 1
17、 4 yx 在(0,)上是减函数，所以 11 44 33 42 ，故bc，所以cba 7已知幂函数( ) a f xkx（kR，aR）的图象过点 1 (,2) 2 ，则 k+a=（ ） A 1 2 B1 C 3 2 D2 7 【答案】A【解析】幂函数( ) a f xkx（kR，aR）的图象过点 1 (,2) 2 ， k=1， 1 ( )2 2 a ， 1 2 a ； 11 1 22 ka 8.若幂函数( )f x存在反函数 1( ) fx ，且反函数的图象经过 3 (3 3,) 3 则( )f x的表达式为( ) A. 3 ( )f xx B. 3 ( )f xx C. 1 3 ( )f x
18、x D. 1 3 ( )f xx 8.【答案】B 反函数图象经过 3 (3 3,) 3 ，故原函数图象经过 3 (,3 3) 3 ， 所以 3 3 3 3 ，得3 9.函数 15 22 (1)(3)yxx 的定义域是 . 9.【答案】1,3)【解析】原函数 5 1 1 (3) yx x ，所以 10, 30. x x 解得1,3x 10.已知 53 ( )8f xxaxbx，且( 2)10f ，则(2)f . 10. 【答案】 -26 令 53 ( )g xxaxbx， 则( )g x为奇函数， 又( 2)( 2)8fg=10，( 2)18g， (2)(2)8( 2)818826fgg 11已
19、知幂函数 1 2 ( )f xx ，若(1)(82 )f afa，则a的取值范围是 11 【答案】(3,4)【解析】由题意，因为 1 2 ( )f xx 是幂函数，所以 x0，且是递减函数 又因为(1)(82 )f afa，所以有 10 820 182 a a aa ，即 1 4 3 a a a ，所以34a 12幂函数 2 23 ( )(1) mm f xmmx 在（0，+）上为增函数，则 m=_ 12 【答案】2【解析】函数 2 23 ( )(1) mm f xmmx 为幂函数，且在（0，+）是偶函数， 2 11mm ，解得 m=2，或 m=1 当 m=1 时，幂函数 3 ( )f xx在
20、（0，+）上是减函数，不满足题意，应舍去； 当 m=2 时，幂函数 3 ( )f xx在（0，+）上是增函数，满足题意；实数 m 的值为 2 13已知幂函数 2 23 ( )() mm f xxmZ 的图象关于 y 轴对称，且在第一象限是单调递减函数 （1）求 m 的值； （2）解不等式 f（12x）f（2） 13 【解析】因为幂函数 2 23 ( )() mm f xxmZ 的图象关于 y 轴对称，所以函数 f（x）是偶函数， 2 23mm为偶数， 2 2mm为奇函数， 故 m=1； （2） 4 ( )f xx定义域为0 xx，在第一象限是单调减函数，f（x）为偶函数， 又 f（12x）f（
21、2） ，|12x|2，且 021 x 解得： 1113 2222 xx或 14已知函数 2 23 ( ) mm f xx （mZ）是偶函数，且 f（x）在（0，+）上单调递增 （1）求 m 的值，并确定 f（x）的解析式； （2） 2 ( )log 32( )g xxf x，求 g（x）的定义域和值域 14 【解析】 （1）f（x）在（0，+）单调递增， 由幂函数的性质得 2 230mm，解得 3 1 2 m ， mZ，m=0 或 m=1 当 m=0 时， 3 ( )f xx不是偶函数，舍去； 当 m=1 时， 2 ( )f xx是偶函数， m=1， 2 ( )f xx； （2）由（1）知 2 2 ( )log (23)g xxx，由 2 230 xx得3x1， g（x）的定义域为（3，1） 设 2 23txx ，x（3，1） ，则 t（0，4， 此时 g（x）的值域，就是函数 2 logyt，t（0，4的值域 2 logyt在区间（0，4上是增函数，y（，2； 函数 g（x）的值域为（，2
