1、函数周期性与对称性函数周期性与对称性 考点一：考点一：函数的周期性函数的周期性 1.周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时， 都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期. 2.最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 3.函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0). (2)若 f(xa) 1 f（x），则 T2a(a0). (3)若 f(xa) 1 f（x），
2、则 T2a(a0). (4).若fxa fx fx () () () 1 1 ，则 T4a(a0). 证明：fxafx a a fx a fx a ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f x f x f x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ， fxafxaa fxa fx fx( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 422 1 2 1 1 . 考点二：考点二：函数的函数的对称对称性性 （1）若( )()f xf ax，则( )f x关于 2 a x 对称 （2）若()()f axf ax，则( )f x关于xa对称 （3）若()()f
3、 axf bx，则( )f x关于 2 ab x 对称 （4）.函数)(xfy 的图像和函数)( xfy的图像关于0 x（y 轴）对称. （5）.函数的图像和函数的图像关于0 x对称. （6）.函数) 1( xfy的图像和函数的图像关于1x对称. 4. 两线对称型：函数f x( )关于直线x a、对x b称，则f x( )的周期为|2 2b a。 证明： f x f a x f x f b x f a x f b x f x f x b a ( )() ( )() ()()( )() 2 2 2 22 2 ， 。 5. 一线一点对称型 ： 函数f x( )关于直线x a及点( ,0)b对称，则
4、f x( )的周期为|4 4b a。 证明： f x f ax f bx f x f ax f bx f x b a f x ( )() ()( )()()( )( ) 2 2 2 22 2， 所以fxbafxbabafxbafxfx( )( ) ( )()()44222222 6. 两点对称型： 函数f x( )关于点( ,0)a、( ,0)b对称，则f x( )的周期为|2 2b a。 证明： f ax f x f bx f x f ax f bx f x f x b a ()( ) ()( )()()( )( ) 2 2 2 22 2 。 注意注意：设：设)(xfy ，任意，任意Rx都有
5、都有)2()(xafxf，且且0)(xf有有k个实根个实根)2( k， 则所有实根之和为则所有实根之和为ka. (1)yfx (1)yfx 1.若函数)(xf是定义在R上周期为T的奇函数，则0)0() 2 ()(f T fTf. 证明： 由函数的周期为T可得：) 2 () 2 () 2 ( T fT T f T f， 因为函数)(xf为奇函数，) 2 () 2 ( T f T f ) 2 () 2 ( T f T f，0) 2 () 2 ( T f T f，0) 2 ( T f 2.设( )f x是定义在R上的奇函数，且( )yf x的图象关于直线 1 2 x 对称，则 (1)(2)(3)(4
6、)(5)fffff 0 . 3.设函数)(xf在定义域R上总有)2()(xfxf，且当11x时，2)( 2 xxf. 则当53 x时，求函数)(xf的解析式； 3.)2()(xfxf，)4()2(xfxf， )2()4(xfxf，)4()(xfxf，)4()(xfxf，4T， 当53 x时，141x ，11x时， 2)( 2 xxf ， 2)4()4()( 2 xxfxf ， 当53 x时，2)4()( 2 xxf . 4.设函数)(xf是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有)()2(xfxf， 当2 , 0 x 时， 2 2)(xxxf. （1）.求证：函数)(xf恒有)()4(xfxf
7、成立； （2）.当4 , 2x时，求)(xf的解析式 （3）.计算)2019()2() 1 ()0(ffff . 4.（1）.)()2(xfxf，)()2()4(xfxfxf ， )(xf恒有 )()4(xfxf成立。 （2）.当0 , 2x时，2 , 0 x，由已知得： 22 2)()(2)(xxxxxf， 又)(xf是定义在R上的奇函数， 2 2)()(xxxfxf，xxxf2)( 2 ， 当4 , 2x时，0 , 24x，)4(2)4()4( 2 xxxf， )()4(xfxf，86)4(2)4()4()( 22 xxxxxfxf . 所以当4 , 2x时，86)( 2 xxxf . （
8、3）. 0)0(f，0)2(f，1) 1 (f，1)3(f， )()4(xfxf )7()6()5()4()3()2() 1 ()0(ffffffff 0)2019()2018()2017()2016(ffff 0)2019()2() 1 ()0( ffff 5. 设函数( )yf x是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线2x 对称，已知2, 2x 时，函数 2 ( )1f xx ，则6,2x 时，( )f x 2 ( )(4)1f xx . 6.在R上定义的函数( )f x是偶函数，且( )(2)f xfx， 若( )f x在区间2, 1上是减函数，则( )f x（ B ） A. 在区间1,
9、2上是增函数，在区间4,3上是增函数 B. 在区间1,2上是增函数，在区间4,3上是减函数 C. 在区间1,2上是减函数，在区间4,3上是增函数 D. 在区间1,2上是减函数，在区间4,3上是减函数 7. 已知定义在R上的奇函数( )f x满足(2)( )f xf x ，则(6)f的值为（ B ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知偶函数( )yf x满足(1)(1)f xf x，且当 1, 0 x 时， 4 ( )3 9 x f x ， 则 1 3 (log 5)f的值等于（ D ） A. 1 B. 50 29 C. 45 101 D. 1 9. 设( )f x为R上的奇函数
10、，且()(3)0fxf x，若( 1)1f ， ( 2)log 2 a f，则a的取值范围是 1a 或 1 0 2 a . 10. 函数( )f x对于任意实数x满足条件 1 (2) ( ) f x f x ， 若(1)5f ， 则(5)ff等于 （ D ） A. 5 B. 5 C. 5 1 D. 5 1 11 函数( ) ()yf xxR满足( )f x是偶函数，又(0)2003f，( )(1)g xf x为奇函数，则 (2004)f 2003 . 12已知定义在 R 上的奇函数( )f x满足 1 (1) ( ) f x f x ， 当 1 0 2 x时， x xf4)(，则 ) 4 11
11、 (f =_ 2 2 _. 13. 已知定义在R上的函数( )yf x满足下列三个条件： 对于任意的xR，都有(4)( )f xf x； 对于任意的 12 02xx，都有 12 ( )()f xf x； 函数(2)yf x的图象关于y轴对称。 则下列结论正确的是（ A ） A. (6.5)(5)(15.5)fff B. (5)(6.5)(15.5)fff C. (5)(15.5)(6.5)fff D. (15.5)(5)(6.5)fff 14定义在),(上的偶函数( )f x满足(1)( )f xf x ，且在0, 1 上是增函数，下面是关于( )f x的判断： ( )f x是周期函数； (
12、)f x的图象关于直线1x 对称； ( )f x在1,0上是增函数； (2)(0).ff 其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上） 。 15定义在上的函数( )f x，对任意xR都有)()3(xfxf，当)0 , 3(x 时， x xf3)(，则 )2014(f_ 9 1 _. 16已知 xf是以 2 为周期的函数，且当 3 , 1x时， xxf x 2 log4 ，则1f 4 . 17定义在R上的函数( )yf x满足 1 (0)0,( )(1)1,( )( ) 52 x ff xfxff x， 且当 12 01xx时， 12 ( )()f xf x，则 1 () 2013 f_ 32 1 _. R 18设函数是周期为 5 的奇函数，当时，则= -1 . 19已知( )f x是定义在上的奇函数，且(4)( )f xf x， 当(0,2)x时，( )2f xx，则(7)f -3 . 20设函数 f(x)|x2|xa|的图像关于直线 x2 对称，则 a 的值为 6 . R
