1、函数及其表示函数及其表示 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、函数的概念要点一、函数的概念 1函数的定义函数的定义 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记作：y=f(x)，xA 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函 数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. 要点诠释要点诠释： （1）A、B 集合的非空性； （2）对应关系的存在性、唯一性、确定性； （3）A 中元素的
2、无剩余性； （4）B 中元素的可剩余性。 2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3区间的概念区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示 区间表示： |( , );x axba b x|axb=a，b； |,x axba b； |,xaxba b；
3、 |- ,; |,x xbbx axa. 要点二、函数的表示法要点二、函数的表示法 1函数的三种表示方法：函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点：不需计算就可看出函数值. 2分段函数：分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程， 而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况 要点三、映射与函数要点三、映射与函数 1.映射定义：映射定义： 设 A、B 是两个非空集
4、合，如果按照某个对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中 都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从 A 到 B 的映射；记为 f：AB. 象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象，a 叫做 b 的原象. 要点诠释：要点诠释： (1)A 中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为 f(a). 2.函数与映射的区别与联系：函数与映射的区别与联系： 设 A、B 是两个非空数集，若 f：AB 是从集合 A 到集合 B 的映射，这个映射叫做从集合
5、A 到集 合 B 的函数，记为 y=f(x). 要点诠释：要点诠释： (1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则； (3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合. (5)如果 A 有 m 个元素，B 有 n 个元素，则从集合 A 中到集合 B 的映射（不加限制）有有 m n 个个。 3.函数定义域的求法函数定义域的求法 (1)确定函数定义域的原则 定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号 的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的
6、所有有意义的限制条 件. （2）抽象函数定义域的确定 注意 1：不管括号中的形式多复杂，定义域只是自变量x的取值集合。 注意 2：在同一函数f作用下，括号内整体的取值范围相同。 4.函数值域的求法函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完 全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：观察法： 通过对函数解析式的简单变形， 利用熟知的基本函数的值域， 或利用函数的图象的“最高点” 和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二 次函
7、数的值域方法求函数的值域； 判别式判别式法：法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函 数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本 函数的取值范围来求函数的值域. 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法最值法、数形结合法数形结合法等. 总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约. 【典型例题】【典型例题】 类型一、函数的概念类型一、函数的概念 例 1.已知集合1,2,3A，4,5B ，则从
8、A到B的函数( )f x有 个. 【答案】8 举一反三：举一反三： 【变式 1】下列各问的对应关系是否是给出的实数集R上的一个函数？为什么？ （1）:fx 2 ,0,xxR x ； （2）:gxy， 2 ,yx xN yR； （3）:h * ABN，对任意的,xA|3|xx. 【解析】 （1）对于任意一个非零实数 2 , x x 被x唯一确定，所以当0 x 时，x 2 x 是函数，可表示为 2 ( )(0)f xx x . （2）当4x 时， 2 4y ，得2y 或2y ，不是有唯一值和x对应，所以xy（ 2 yx）不是 函数. （3）不是，因为当3x 时，在集合B中不存在数值与之对应. 例
9、2下列函数 f（x）与 g（x）是否表示同一个函数，为什么？ （1） 0 ) 1x()x(f；1)x(g （2）x)x(f； 2 x)x(g （3） 2 x)x(f； 2 ) 1x()x(g （4）|x|)x(f； 2 x)x(g 【答案】 （1）不是（2）不是（3）不是（4）是 【解析】 (1) ( )( )f xg x与的定义域不同，前者是|1,x xxR，后者是全体实数，因此是不同的函数； (2)( ) |g xx，因此( )( )f xg x与的对应关系不同，是不同的函数； (3) ( )( )f xg x与的对应关系不同，因此是不相同的函数； (4) ( )( )f xg x与的定义
10、域相同，对应关系相同，是同一函数. 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列命题的真假 (1)y=x-1 与 1x 1x y 2 是同一函数； (2) 2 xy 与 y=|x|是同一函数； (3) 233 )x(y)x(y与是同一函数； (4) )0 x(xx )0 x(xx )x(f 2 2 与 g(x)=x2-|x|是同一函数. 【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题. 类型二、函数定义域的求法类型二、函数定义域的求法 例 3.求下列函数的定义域(用区间表示). (1) 2 -1 ( ) -3 x f x x ； (2)( )
11、3 -8f xx； (3) 1 ( )2- 6 f xx x . 【解析】(1) 2 1 ( ) 3 x f x x 的定义域为 x2-30， 3(,3)(3, 3)( 3,)x ， 定义域为：； (2) 88 ( )3 -8-80, 33 f xxxx ，由3得，定义域为； (3) 202 1 ( )2 6,2 60-66 xx f xx xxx ，由得定义域为. 举一反三：举一反三： 【变式 1】求下列函数的定义域（用区间表示） ： (1) 3 f(x) |x 1| 2 ； (2) 1 f(x)x3 x1 ； （3）( )1f xxx. 【解析】(1)当|x-1|-2=0，即 x=-1 或
12、 x=3 时， 3 | x1| 2 无意义，当|x-1|-20，即 x-1 且 x3 时，分 式有意义，所以函数的定义域是(-，-1)(-1，3)(3，+)； (2)要使函数有意义，须使 x10 x3x1 x30 ，即且，所以函数的定义域是3,1(1,)； (3)要使函数有意义，须使 1x0, x0. ，所以函数的定义域为0,1. 例 4.（1）已知函数 y=f（x）的定义域为1，2，求函数 y=f（1x2）的定义域 （2）已知函数 y=f（2x3）的定义域为（2，1，求函数 y=f（x）的定义域 【答案】 （1）2, 2； （2） （7，1 【解析】 （1）因为函数 y=f（x）的定义域是1
13、，2， 所以函数 f（1x2）中11x22，1x22， 即2, 2x ，f（1x2）的定义域为2, 2 （2）函数 y=f（2x3）的定义域为（2，1， 2x1，42x2，72x31， 即函数 y=f（x）的定义域为（7，1 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知(1)f x的定义域为2,3，求 1 (2)f x 的定义域. 【答案】 11 , 32 【解析】(1)f x的定义域为2,3，23x ，114x ， 1 124 x ，解得： 1 2 x 或 1 3 x ， 所以 1 (2)f x 的定义域为 11 , 32 . 例 5.已知函数 32 1 43 ax y axax 的定义域为R，求
14、实数a的取值范围. 【答案】 3 0, 4 【解析】 当0a 时， 2 430axax 对任意xR恒成立. 当0a 时 ， 要 使 2 430axax 恒 成 立 ， 即 方 程 2 430axax 无 实 根 . 只 需 判 别 式 2 (4 )124 (43)0aaaa ，于是 3 0 4 a. 综上，a的取值范围是 3 0, 4 . 类型三、求函数的值及值域类型三、求函数的值及值域 例 6. 已知 f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求： (1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2)，g(f(2)； (3)f(g(x)，g(f(x) 【答案】 （1）-23，-1； （2）
15、-20，-51； （3）8x2-46x+40，4x2-6x-55 【解析】 (1)f(2)=2 22-3 2-25=-23；g(2)=2 2-5=-1； (2)f(g(2)=f(-1)=2 (-1)2-3 (-1)-25=-20；g(f(2)=g(-23)=2 (-23)-5=-51； (3)f(g(x)=f(2x-5)=2 (2x-5)2-3 (2x-5)-25=8x2-46x+40； g(f(x)=g(2x2-3x-25)=2 (2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55. 例 7. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，4, 1x ；2,3x ； 2 -2 (2) ( )-2
16、3; (3) ( ) 3 x f xxxf x x . 【解析】(1)法一：配方法求值域 22 24(1)3yxxx，当4, 1x 时， maxmin 28,7yy，值域为7，28； 当2,3x 时， maxmin 12,3yy，值域为3，12 法二：图象法求值域 二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为1x ， 所以函数在区间,1上单调递减，在区间1,上单调递增 所以当4, 1x 时，值域为7，28；当2,3x 时，值域为3，12 (2) 22 -23( -1)22,2,yxxx 值域为； (3) -23-555 1-,0,1 3333 xx yy xxxx ，函数的值域为(-，1)(1，
17、+). 举一反三：举一反三： 【变式 1】 求下列函数的值域： （1）1yx； （2） 21 3 x y x ； （3） 2 2 1 1 x y x ； （4） 2 54yxx 【解析】（1）0,1 1xx ，即所求函数的值域为1, （2） 21 3 x y x 2672(3)77 2 333 xx xxx ， 7 0 3x ，2y， 值域为|2y y （3） 2 2 1 1 x y x 2 2 1 1x ，函数的定义域为R 2 2 2 11,02 1 x x ， 2 2 111 1x ，1,1y ，即函数的值域为1,1 （4） 22 54(2)9yxxx， 2 0(2)99x ，所求函数的值
18、域为0,3 类型四、映射与函数类型四、映射与函数 例 8. 判断下列对应哪些是从集合 A 到集合 B 的映射，哪些是从集合 A 到集合 B 的函数？ （1）A=直角坐标平面上的点，B=（x，y）|,xR yR，对应法则是：A 中的点与 B 中的（x， y）对应 （2）A=平面内的三角形，B=平面内的圆，对应法则是：作三角形的外接圆； （3）A=N，B=0，1，对应法则是：除以 2 的余数； （4）A=0，1，2，B=4，1，0，对应法则是 f： 2 xyx （5）A=0，1，2，B=0，1， 1 2 ，对应法则是 f： x 1 yx 【解析】(1)是映射，不是函数，因为集合 A、B 不是数集，
19、是点集； (2)是映射，集合 A 中的任意一个元素(三角形)，在集合 B 中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与 之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数 (3)是映射，也是函数，函数解析式为 0,(2 ) ( ) 1,(21) xn f x xn （4）是映射，也是函数 （5）对于集合 A 中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合 B 中没有元素与它对应，所以不是映 射，也不是函数 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列对应是否是实数集 R 上的函数： （1）f：把 x 对应到 3x+1； （2）g：把 x 对应到|x|+1； （3）h：把 x 对应到 1 25x ；
20、（4）r：把 x 对应到36x 【解析】 （1）是它的对应关系 f 是：把 x 乘 3 再加 1，对于任一 xR，3x+1 都有唯一确定的 y 值 与之对应如 x=1，则 3x+1=2 与之对应； （2）是它的对应关系 f 是：把 x 取绝对值再加 1，对于任一 xR，|x|+1 都有唯一确定的 y 值与 之对应如 x=1，则|x|+1=2 与之对应； （3）不是当 5 2 x 时，根据对应关系，没有值与之对应； （4）不是当 x2 时，根据对应关系，找不到实数与之对应 类型五、函数解析式的求法类型五、函数解析式的求法 例 9.求函数的解析式 (1)已知( )f x是二次函数，且(0)2, (
21、1)( )1ff xf xx，求( )f x； (2)若 f(2x-1)=x2，求 f(x)； （3）已知3 ( )2 ()3f xfxx，求( )f x. 【解析】求函数的表达式可由两种途径. (1)设 2 ( )(0)f xaxbxc a，由(0)2,f得2c 由(1)( )1f xf xx，得恒等式 2ax+a+b=x-1,得 13 , 22 ab ，故解析式为： 2 13 ( )2 22 f xxx. (2) f(2x-1)=x2，令 t=2x-1，则 1 2 t x 22 11 ( )() ,( )() 22 tx f tf x （3）因为3 ( )2 ()3f xfxx， x用x代
22、替得3 ()2 ( )3fxf xx ， 由消去()fx，得 3 ( ) 5 f xx. 举一反三：举一反三： 【变式】求下列函数( )f x的解析式 （1）已知 2 2 1 1 2()= x fx x ，求( )f x； （2）已知 1 592( )()=ff x xx，求( )f x 【解析】 （1）令120()tx x ，则 1 1 2 =() t xt 2 2 22 1 1 232 1 11 2 ( )=() t tt f tt tt ， 2 2 23 1 1 ( )=() xx f xx x （2）将已知式子中的 x 换成 1 x 得2 15 9()( )=xff xx 消去 1 (
23、)f x ，得 105 3 33 ( )=xfx x 类型六、函数的图象类型六、函数的图象 例 10.作出下列函数的图象. （1）1( 21012)yx x ， ， ， ，； （2） 21 1 x y x ； （3） 2 |2 | 1yxx 【解析】(1) 21012x ， ， ， ，图象为一条直线上 5 个孤立的点；如下图（1） （2） 213 2 11 x y xx ， 先作函数 3 y x 的图象，把它向右平移一个单位得到函数 3 1 y x 的图象，再把它向上平移两个 单位便得到函数 21 1 x y x 的图象如下图（2） （3）先作 2 2yxx的图象，保留x轴上方的图象，再把x轴
24、下方的图象对称翻到x轴上方再 把它向上平移 1 个单位，即得到 2 |2 | 1yxx的图象，如下图所示（3） 类型七、分段函数类型七、分段函数 例 11.设函数 2 2 220 0 xx,x, f x x ,x. 若 2ff a，则a= 【答案】2 【解析】由题意，当0 x时， 2 22f xxx，则 1f x 又 2ff a， 0f a （舍）或 2f a 2 2f aa， 2a （舍负） 2a 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图，在边长为 4 的正方形ABCD的边上有一点P，沿着边线BCDA 由B（起点）向A（终点）运动.设点P运动的路程为x，APB的面积为y. （1）求y与x之间的
25、函数关系式； （2）画出( )yf x的图象. 【解析】 （1） 2 ,04, 8,48, 224,812. xx yx xx （2）当P点在BC边上运动时，即当04x时， 1 42 ; 2 yxx 当P点在CD边上运动时，即当48x时， 1 4 48; 2 y 当P点在DA边上运动时，即当812x时， 1 4 (12)2(12)224 2 yxxx ，故为分 段函数. 【巩固练习】【巩固练习】 1函数1yxx的定义域是( ) A|1x x B|0 x x C|10 x xx或 D|01xx 1 【答案】D 【解析】由题意 1-x0 且 x0，解得01x，故选 D 2函数 2 43,0,3yx
26、xx的值域为 （ ） A0,3 B-1,0 C-1,3 D0,2 2 【答案】C【解析】 22 43(2)1,yxxx 又0,3x， 当 x=2 时，y=1，当 x=0 时，y=3 1y3，即 1, 3y ，故选 C 3对于集合 A 到集合 B 的映射，有下述四个结论: B 中的任何一个元素在 A 中必有原象； A 中的不同元素在 B 中的象也不同； A 中任何一个元素在 B 中的象是唯一的； A 中任何一个元素在 B 中可以有不同的象 其中正确结论的个数是（ A ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4设|02 ,|12MxxNyy，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集 合M到
27、N的函数关系的有 ( A ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5设函数 2 , 0, ( ) 1, 0, xx f x xx 则)1(ff的值为( ) A2 B1 C1 D2 5 【答案】D【解析】该分段函数的二段各自的值域为,0 , 1,， 111 12fff ，故选 D 6已知 f（x21）定义域为0，3，则 f（2x1）的定义域为（ ） A 9 (0, ) 2 B 9 0, 2 C 9 (, ) 2 D 9 (, 2 6 【答案】B， 【解析】根据 f（x21）定义域为0，3，得 x0，3， x20，9，x211，8；令 2x11，8，得 2x0，9， 即 9 0, 2 x；所以
28、 f（2x1）的定义域为 9 0, 2 7向高为H的水瓶里注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么 水瓶的形状是图中的（ B ） 8已知函数 2 2 ( ) 1 x f x x ，则: 1111 (1)(2)( )(3)( )(4)( )(2010)() 2342010 fffffffff的值是（ ） A2008 B2009 C 1 2009 2 D 2010 8 【答案】C 11 (2)( )1,(3)( )1, 23 ffff， 11 (1)200920092009 22 f原式 9若( )yf x的定义域是0,1，则( )()(2) 01F xf xafxaa的
29、定义域是 9 【答案】解不等式组 01, 021. xa xa 得 1, 1 22 axa aa x ， 又 11 ,1, 2222 aaaa aax 10已知 0, 1 0, 1 )( x x xf，则不等式(2)(2)5xxf x的解集是 10 【答案】 3 (, 2 ，当 3 20,2,(2)1,25, 2, 2 xxf xxxx 即则 当20,2, (2)1,25,2xxf xxxx 即则恒成立，即， 3 2 x . 11若函数 2 xb y x 在（a，a+6） （b2）上的值域为（2，+） ，则 a+b=_ 11 【答案】10， 【解析】由 222 1 222 xbxbb y xx
30、x ，b2，-（b+2）0， 则函数 2 1 2 b y x 在（，2） ， （2，+）上为减函数， 又函数在（a，a+6）上为减函数，且值域为（2，+） ， a=2，且 2 (4)12 42 b f ，解得 b=8a+b=10 12 已知 * , a bN，()( ) ( ),(1)2,f abf a f bf则 (2)(3)(4)(2011) (1)(2)(3)(2010) ffff ffff = 12 【答案】4020【解析】 令,1ax b，则由()( ) ( ),(1)2,f abf a f bf 可得(1)(1) ( )2 ( ),f xff xf x即 (1) 2, ( ) f
31、x f x 分别令1,2,3,2010 x ， 则 (2)(3)(4)(2011) (1)(2)(3)(2010) ffff ffff =2+2+2+2=20102=4020 13当m为何值时，方程 2 4| 5,xxm （1）无解； （2）有两个实数解； （3）有三个实数解； （4）有四个实数解 13 【解析】设 2 12 4| 5,yxxym，则该方程解的个数问题即可转化为两个函数图象的交点 个数问题来处理 设 2 1 4| 5,yxx则 2 1 2 45,0, 45,0. xxx y xxx 画出函数的图象，如右图 再画出函数 2 ym的图象由图象可以看出： （1）当1m时，两个函数图象没有交点，故原方程无解 （2）当1m或5m时，两个函数图象由两个交点，故原方程有两个解 （3）当5m时，两个函数图象有三个交点，故原方程有三个解 （4）当15m时，两个函数图象有四个交点，故原方程有四个解
