1、函数及其表示函数及其表示 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、函数的概念要点一、函数的概念 1函数的定义函数的定义 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记作：y=f(x)，xA 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函 数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. 要点诠释要点诠释： （1）A、B 集合的非空性； （2）对应关系的存在性、唯一性、确定性； （3）A 中元素的
2、无剩余性； （4）B 中元素的可剩余性。 2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3区间的概念区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示 区间表示： |( , );x axba b x|axb=a，b； |,x axba b； |,xaxba b；
3、 |- ,; |,x xbbx axa. 要点二、函数的表示法要点二、函数的表示法 1函数的三种表示方法：函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点：不需计算就可看出函数值. 2分段函数：分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程， 而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况 要点三、映射与函数要点三、映射与函数 1.映射定义：映射定义： 设 A、B 是两个非空集
4、合，如果按照某个对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中 都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从 A 到 B 的映射；记为 f：AB. 象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象，a 叫做 b 的原象. 要点诠释：要点诠释： (1)A 中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为 f(a). 2.函数与映射的区别与联系：函数与映射的区别与联系： 设 A、B 是两个非空数集，若 f：AB 是从集合 A 到集合 B 的映射，这个映射叫做从集合
5、A 到集 合 B 的函数，记为 y=f(x). 要点诠释：要点诠释： (1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则； (3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合. (5)如果 A 有 m 个元素，B 有 n 个元素，则从集合 A 中到集合 B 的映射（不加限制）有有 m n 个个。 3.函数定义域的求法函数定义域的求法 (1)确定函数定义域的原则 定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号 的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的
6、所有有意义的限制条 件. （2）抽象函数定义域的确定 注意 1：不管括号中的形式多复杂，定义域只是自变量x的取值集合。 注意 2：在同一函数f作用下，括号内整体的取值范围相同。 4.函数值域的求法函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完 全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：观察法： 通过对函数解析式的简单变形， 利用熟知的基本函数的值域， 或利用函数的图象的“最高点” 和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二 次函
7、数的值域方法求函数的值域； 判别式判别式法：法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函 数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本 函数的取值范围来求函数的值域. 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法最值法、数形结合法数形结合法等. 总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约. 【典型例题】【典型例题】 类型一、函数的概念类型一、函数的概念 例 1.已知集合1,2,3A，4,5B ，则从
8、A到B的函数( )f x有 个. 举一反三：举一反三： 【变式 1】下列各问的对应关系是否是给出的实数集R上的一个函数？为什么？ （1）:fx 2 ,0,xxR x ； （2）:gxy， 2 ,yx xN yR； （3）:h * ABN，对任意的,xA|3|xx. 例 2下列函数 f（x）与 g（x）是否表示同一个函数，为什么？ （1） 0 ) 1x()x(f；1)x(g （2）x)x(f； 2 x)x(g （3） 2 x)x(f； 2 ) 1x()x(g （4）|x|)x(f； 2 x)x(g 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列命题的真假 (1)y=x-1 与 1x 1x y 2 是
9、同一函数； (2) 2 xy 与 y=|x|是同一函数； (3) 233 )x(y)x(y与是同一函数； (4) )0 x(xx )0 x(xx )x(f 2 2 与 g(x)=x2-|x|是同一函数. 类型二、函数定义域的求法类型二、函数定义域的求法 例 3.求下列函数的定义域(用区间表示). (1) 2 -1 ( ) -3 x f x x ； (2)( )3 -8f xx； (3) 1 ( )2- 6 f xx x . 举一反三：举一反三： 【变式 1】求下列函数的定义域（用区间表示） ： (1) 3 f(x) |x 1| 2 ； (2) 1 f(x)x3 x1 ； （3）( )1f xx
10、x. 例 4.（1）已知函数 y=f（x）的定义域为1，2，求函数 y=f（1x2）的定义域 （2）已知函数 y=f（2x3）的定义域为（2，1，求函数 y=f（x）的定义域 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知(1)f x的定义域为2,3，求 1 (2)f x 的定义域. 例 5.已知函数 32 1 43 ax y axax 的定义域为R，求实数a的取值范围. 类型三、求函数的值及值域类型三、求函数的值及值域 例 6. 已知 f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求： (1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2)，g(f(2)； (3)f(g(x)，g(f(x) 例 7. 求
11、值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，4, 1x ；2,3x ； 2 -2 (2) ( )-23; (3) ( ) 3 x f xxxf x x . 举一反三：举一反三： 【变式 1】 求下列函数的值域： （1）1yx； （2） 21 3 x y x ； （3） 2 2 1 1 x y x ； （4） 2 54yxx 类型四、映射与函数类型四、映射与函数 例 8. 判断下列对应哪些是从集合 A 到集合 B 的映射，哪些是从集合 A 到集合 B 的函数？ （1）A=直角坐标平面上的点，B=（x，y）|,xR yR，对应法则是：A 中的点与 B 中的（x， y）对应 （2）A=平面内的三角
12、形，B=平面内的圆，对应法则是：作三角形的外接圆； （3）A=N，B=0，1，对应法则是：除以 2 的余数； （4）A=0，1，2，B=4，1，0，对应法则是 f： 2 xyx （5）A=0，1，2，B=0，1， 1 2 ，对应法则是 f： x 1 yx 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列对应是否是实数集 R 上的函数： （1）f：把 x 对应到 3x+1； （2）g：把 x 对应到|x|+1； （3）h：把 x 对应到 1 25x ； （4）r：把 x 对应到36x 类型五、函数解析式的求法类型五、函数解析式的求法 例 9.求函数的解析式 (1)已知( )f x是二次函数，且(0)2
13、, (1)( )1ff xf xx，求( )f x； (2)若 f(2x-1)=x2，求 f(x)； （3）已知3 ( )2 ()3f xfxx，求( )f x. 举一反三：举一反三： 【变式】求下列函数( )f x的解析式 （1）已知 2 2 1 1 2()= x fx x ，求( )f x； （2）已知 1 592( )()=ff x xx，求( )f x 类型六、函数的图象类型六、函数的图象 例 10.作出下列函数的图象. （1）1( 21012)yx x ， ， ， ，； （2） 21 1 x y x ； （3） 2 |2 | 1yxx 类型七、分段函数类型七、分段函数 例 11.设函
14、数 2 2 220 0 xx,x, f x x ,x. 若 2ff a，则a= 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图，在边长为 4 的正方形ABCD的边上有一点P，沿着边线BCDA 由B（起点）向A（终点）运动.设点P运动的路程为x，APB的面积为y. （1）求y与x之间的函数关系式； （2）画出( )yf x的图象. 【巩固练习】【巩固练习】 1函数1yxx的定义域是( ) A|1x x B|0 x x C|10 x xx或 D|01xx 2函数 2 43,0,3yxxx的值域为 （ ） A0,3 B-1,0 C-1,3 D0,2 3对于集合 A 到集合 B 的映射，有下述四个结论: B
15、中的任何一个元素在 A 中必有原象； A 中的不同元素在 B 中的象也不同； A 中任何一个元素在 B 中的象是唯一的； A 中任何一个元素在 B 中可以有不同的象 其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4设|02 ,|12MxxNyy，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集 合M到N的函数关系的有 ( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5设函数 2 , 0, ( ) 1, 0, xx f x xx 则)1(ff的值为( ) A2 B1 C1 D2 6已知 f（x21）定义域为0，3，则 f（2x1）的定义域为（ ） A 9 (0, ) 2 B 9
16、 0, 2 C 9 (, ) 2 D 9 (, 2 7向高为H的水瓶里注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么 水瓶的形状是图中的（ ） 8已知函数 2 2 ( ) 1 x f x x ，则: 1111 (1)(2)( )(3)( )(4)( )(2010)() 2342010 fffffffff的值是（ ） A2008 B2009 C 1 2009 2 D 2010 9若( )yf x的定义域是0,1，则( )()(2) 01F xf xafxaa的定义域是 10已知 0, 1 0, 1 )( x x xf，则不等式(2)(2)5xxf x的解集是 11若函数 2 xb y x 在（a，a+6） （b2）上的值域为（2，+） ，则 a+b=_ 12 已知 * , a bN，()( ) ( ),(1)2,f abf a f bf则 (2)(3)(4)(2011) (1)(2)(3)(2010) ffff ffff = 13当m为何值时，方程 2 4| 5,xxm （1）无解； （2）有两个实数解； （3）有三个实数解； （4）有四个实数解
